[mini-FAQ] [Arithmetique] si pgcd(a,b) = 1 alors pgcd(ab,a+b) =1
Raphael GIROMINI
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I Soient a et b deux nombres entiers relatifs tels qu'ils soient I
I premiers entre-eux. Le problème est de montre que ab et a+b sont I
I premiers entre-eux I
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Pour cette démonstration il faut connaitre le lemme d'Euclide qui dit:
Soit p un nombre premier, et a, b deux nombres entiers relatifs.
Si p divise ab alors, p divise soit a soit b..
Soit p un nombre premier tels qu'il divise ab et a+b.
p divise ab ,donc par le lemme d'Euclide, p divise soit a, soit b.
Supposons que p divise a, alors on a:
p divise a et p divise (a+b) donc p divise (a+b) - a = b.
Donc p divise a et p divise b, comme a et b sont premiers entre-eux,
c'est donc que p=1, c'est à dire que ab et a+b sont premiers entre eux.
--
Raph.
Daniel Dubuisson
Voici une autre démonstration qui n'utilise pas les propriétés des nombres
premiers, mais uniquement la relation de Bezout.
lemme 1 : si a et b sont premiers entre eux, alors a+b est premier avec a et
avec b.
De au + bv = 1, on déduit a(u-v) + (a+b)v = 1, donc a et a+b sont premiers
entre eux. Démonstration analogue pour b et a+b.
lemme 2 : si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec bc.
De au + bv = 1, on déduit acu + bcv = c : tout diviseur commun de a et bc
divise c, donc divise pgcd(a,c)=1.
Conclusion : soient a et b premiers entre eux ; alors (lemme 1) a+b est
premier avec a et avec b, donc (lemme 2), a+b est premier avec ab.
Raphael GIROMINI
<daniel.d...@wanadoo.fr> a écrit:
>Si a et b sont premiers entre eux, alors a+b et ab sont premiers entre eux.
>
>Voici une autre démonstration qui n'utilise pas les propriétés des nombres
>premiers, mais uniquement la relation de Bezout.
Okay, démo notée et ajoutée à la mini-FAQ.
--
Raph.
Stéphane Ménart
Si au + bv = 1, alors (a + b)(au² + bv²)-ab(u - v)² = 1
cqfd
Cordialement
Stéphane
> c'est donc que p=1, c'est à dire que ab et a+b sont premiers entre eux.
> --
> Raph.
Raphael GIROMINI
<sme...@club-internet.fr> a écrit:
>Ou encore, (ultra rapide mais un peu "parachuté") avec Bezout:
>Si au + bv = 1, alors (a + b)(au² + bv²)-ab(u - v)² = 1
>cqfd
Celle là est marrante! c'est noté, et ajouté à la mini-faq.
Personne aurait une demo sans la relation de Bézout ?
--
Raph.
Vincent Lefevre
Raphael GIROMINI <raphael....@wanadoo.fr> wrote:
> Soit p un nombre premier tels qu'il divise ab et a+b.
[snip]
> Donc p divise a et p divise b, comme a et b sont premiers entre-eux,
> c'est donc que p=1, c'est à dire que ab et a+b sont premiers entre eux.
Ce que tu dis me gêne: on pourrait croire que 1 est un nombre premier.
Dis plutôt que "c'est impossible" (deux nombres premiers entre eux
n'ont pas de facteurs premiers communs).
--
Vincent Lefèvre <Vincent...@ens-lyon.fr> - PhD stud. in Computer Science
Web: http://www.ens-lyon.fr/~vlefevre/ - 100% validated HTML - Acorn Risc PC,
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TETRHEX, Faits divers insolites, etc...