ensemble négligeable
Lionel Dorat
Est-ce que vous savez si l'image r�ciproque d'un ensemble n�gligeable par
une fonction continue de [a,b] dans R est n�gligeable ?
En fait, je me demandais si f Riemann-int�grable et g continue implique ou
non fog Riemann int�grable, et par le th�or�me de Lebesgue (une fonction
born�e est riemann-int�grable sur un segment si et seulement si elle est
discontinue sur un ensemble n�gligeable) cela revient � la question que je
vous demande.
Je suppose que j'ai d�j� vu ca en cours sur l'int�grale de Lebesgues, mais
mes souvenirs sont vraiment trop vague ...
D'avance, merci beaucoup.
Lionel Dorat
Benoit RIVET
> Est-ce que vous savez si l'image r�ciproque d'un ensemble n�gligeable par
> une fonction continue de [a,b] dans R est n�gligeable ?
L'image r�ciproque de {0} par la fonction nulle est R. Il ne me semble
pas que R soit un ensemble ;-)
Benoit RIVET
> Est-ce que vous savez si l'image r�ciproque d'un ensemble n�gligeable par
> une fonction continue de [a,b] dans R est n�gligeable ?
L'image r�ciproque de {0} par la fonction nulle est R. Il ne me semble
pas que R soit un ensemble n�glibeable ;-)
Lionel Dorat
>> Est-ce que vous savez si l'image r�ciproque d'un ensemble n�gligeable par
>> une fonction continue de [a,b] dans R est n�gligeable ?
>
> L'image r�ciproque de {0} par la fonction nulle est R. Il ne me semble
> pas que R soit un ensemble n�glibeable ;-)
Certes ...
Du coup, ca me permet de constater que la question qui me pr�ocupe n'est pas
�quivalente � celle l� !
Je reformule : j'ai f continue sauf �ventuellement sur un ensemble
n�gligeable et g continue. Est-ce que fog est continue sauf �ventuellement
sur un ensemble n�gligeable ?
Voil� ...
Lionel Dorat
zwim
Lionel Dorat a �crit
cf. ma r�ponse � un autre thread.
http://groups.google.com/group/fr.education.entraide.maths/browse_thread/thread/b78a01fbc152f70d/871227df72fc8f4a?hl=en&q=zwim+discontinuit%C3%A9#
En fait si g est � valeurs dans un intervalle de continuit� de f, la
compos�e est continue.
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volont� humaine...
zwim
Lionel Dorat a �crit
La composition se fait plut�t dans l'autre sens, f riemann-int�grable
et g continue alors g o f riemann-int�grable.
http://www.math.u-psud.fr/~perrin/enseignement/polysite.pdf
Dans l'autre sens, si l'image de g est l'ensemble n�gligeable qui fait
du mal � f, c'est foutu.
f(x) = x/|x| non d�finie en 0, Riemann-Int�grable sur tout intervalle.
g(x) = 0, fog n'est m�me pas d�finie
On peut bien s�r compliquer un peu le contre-example, mais c'est
l'id�e.
Lionel Dorat
> La composition se fait plut�t dans l'autre sens, f riemann-int�grable
> et g continue alors g o f riemann-int�grable.
Oui, ca je savais. C'est pour cela que je me demandais ce qu'il en �tait
dans l'autre sens.
>
> Dans l'autre sens, si l'image de g est l'ensemble n�gligeable qui fait
> du mal � f, c'est foutu.
Oui, mais construire une telle fonction ce n'est pas �vident.
>
> f(x) = x/|x| non d�finie en 0, Riemann-Int�grable sur tout intervalle.
> g(x) = 0, fog n'est m�me pas d�finie
>
Certes, mais l� c'est tricher. Pour composer, je supposais que f o g avait
du sens.
Ceci dit, gr�ce � une r�ponse sur sci.math, je pense que j'ai un contre
exemple : on prend f l'indicatrice du triadique de Cantor (donc ses points
de discontinuit�s sont le Cantor) et pour g un hom�omorphisme de [0,1] sur
lui-m�me qui envoye un Cantor de mesure non nulle sur le triadique de Cantor
(ca se construit � la main, p�niblement). Donc l'ensemble de discontinuit�
de f o g est le Cantor de mesure non nulle, et donc ne peut pas �tre
Riemann-int�grable.
En tout cas, merci pour les remarques.
Lionel Dorat
zwim
Lionel Dorat a �crit
>>
Trouv� �a sur le web :
http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/articulos/AMSSjmaa.pdf