Egalité des nombres 0,999.... et 1
Sélénissime
Je suis persuadé que oui, et j'ai regardé de nombreux articles sur le
web qui vont dans ce sens. J'ai vu plein de démonstrations possibles.
- celle comme quoi ces 2 nombres sont solutions de l'équation 10x =
x+9
- celle qui utilise la limite vers l'infini de la somme des nombres 0,9
0,09 0,009 ... et qui montre que cette limite est 1
- celle qui dit que ce n'est qu'une histoire de base, et si on
représentait par exemple 0,6 et 0,5999... dans une base autre que la
base 10 (par exemple la base 2), on se rendrait bien compte qu'ils
s'écrivent exactement de la même façon.
Tous ces arguments me convainquent parfaitement, et tout le monde
semble d'accord. Et pourtant...
Un professeur de mathématiques, que je n'ai pas le plaisir de
connaître mais dont on m'a parlé, prétend le contraire. Je ne
connais pas ses arguments.
De surcroît, j'ai rencontré une personne apparemment très
intéressée dans le domaine, et qui raconte des choses étonnantes.
Selon elle, ces 2 nombres sont différents, et il y a entre une
infinité de réels. Il fait l'amalgame entre les décimales d'un réel
et les cardinaux des ensembles infinis. Selon lui, dans la mesure où
en ajoutant 1 à un ensemble infini on obtient un infini de même
taille (se rapporter aux travaux de Cantor dans la théorie des
ensembles), on peut ajouter un 9 quelque part au milieu des décimales
de 0,999... et obtenir un nombre différent!
Ca me semble tout simplement abracadabrant. Mais j'ai envie d'en avoir
le coeur net. Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
Frederic Beal
> Ca me semble tout simplement abracadabrant. Mais j'ai envie d'en avoir
> le coeur net. Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
Non.
--
À votre service !
µ
> Ca me semble tout simplement abracadabrant. Mais j'ai envie d'en avoir
> le coeur net. Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
Non, car la définition du nombre x=0,999... (infinité de 9) est x=limite
quand n tend vers +infini de 0,99..9 (n chiffres 9) et cette limite est 1.
La plupart des interprétations fumeuses de 0,999... viennent du fait que
les gens ignorent la définition de cette notation.
--
Mû
Olivier Miakinen
>
> [...]. Selon lui, dans la mesure où
> en ajoutant 1 à un ensemble infini on obtient un infini de même
> taille (se rapporter aux travaux de Cantor dans la théorie des
> ensembles), on peut ajouter un 9 quelque part au milieu des décimales
> de 0,999... et obtenir un nombre différent!
Tiens, ça c'est rigolo comme idée. Si on la suit, alors en ajoutant
un 0 quelque part au milieu des décimales de 0,000... on devrait aussi
obtenir un nombre différent !
Au fait, puisqu'il parle de Cantor, je crois me rappeler que pour
montrer que son ensemble ternaire peut être mis en bijection avec le
segment [0, 1] on a besoin de tenir pour acquis que 0,111... en base
2 est égal à 0,222... en base 3, tous deux égaux à 1.
> [...] Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
Non.
jojolapin
"Sélénissime" <sud...@free.fr> a écrit dans le message de news:
1169741710.8...@s48g2000cws.googlegroups.com...
Ca me semble tout simplement abracadabrant. Mais j'ai envie d'en avoir
le coeur net. Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
------------------
Non quand on en connait pas uen définition , on peut raconter n'importe quoi
Oncle Dom
1169741710.8...@s48g2000cws.googlegroups.com,
nous a fait l'honneur d'écrire:
> De surcroît, j'ai rencontré une personne apparemment très
> intéressée dans le domaine, et qui raconte des choses étonnantes.
> Selon elle, ces 2 nombres sont différents, et il y a entre une
> infinité de réels.
Dans un segment de longueur nulle de la droite des réels, il y aurait
une infinité de nombres, qui curieusement, s'écriraient tous de la même
façon
bizarre, bizarre
> Il fait l'amalgame entre les décimales d'un réel
> et les cardinaux des ensembles infinis. Selon lui, dans la mesure où
> en ajoutant 1 à un ensemble infini on obtient un infini de même
> taille (se rapporter aux travaux de Cantor dans la théorie des
> ensembles), on peut ajouter un 9 quelque part au milieu des décimales
> de 0,999... et obtenir un nombre différent!
C'est d'autant plus dingue que son raisonnement conduit au résultat
inverse
Et puis, comment admettre que 9 >< 9?
> Ca me semble tout simplement abracadabrant.
+1
> Mais j'ai envie d'en avoir
> le coeur net. Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
Il faudrait savoir si c'était un humoriste, ou pas ;-)
--
Oncle Dom
_________
http://perso.orange.fr/oncle.dom/
didier
> Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
Attention, il faut bien ce dire que 0.99999 et 1 ne sont
pas des nombres réels, naturels, etc... mais des
**représentations** de ces nombres.
Il se fait qu'avec la représentation en notation décimale
ces deux expressions correspondent au même nombre.
C'est sur cette représentation/notation est ses propriétés
que se basent les démonstrations dont tu parles.
On peut s'amuser et dire "c'est de l'hexadécimal et
ces deux nombres sont différents" :-)
[...]
> Ca me semble tout simplement abracadabrant. Mais j'ai envie d'en avoir
> le coeur net. Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
Sans plus détail ça parrait effectivement abracadabrant. Voir les
réponses intéressantes des autres et en particulier celle
qui dit "l'argument démontre le contraire" !
Maintenant, on peut imaginer plein de choses.
Par exemple un ensemble plus grand que R avec
de hyperréels et autres idées non standard et
utiliser une notation obéissant à des règles
différentes tel que ... blablabla
Encore faut-il en voir la consistance et l'utilité.
Sélénissime
J'ai à présent la conviction que le mec qui m'a tenu ce discours ne
savait pas de quoi il parlait.
µ
> On Jan 25, 5:15 pm, "Sélénissime" <sud...@free.fr> wrote:
>
>>Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
>
>
> Attention, il faut bien ce dire que 0.99999 et 1 ne sont
> pas des nombres réels, naturels, etc... mais des
> **représentations** de ces nombres.
Il me semble également que c'est là le noeud du problème.
--
Mû
Joe Cool
> Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
Mais l'analyse non standard est plus fine que l'analyse usuelle, elle
rend compte de plus de propriétés et donc elle est capable de distinguer
plus de nombres. L'analyse usuelle est plus grossière, ainsi elle
considère égaux des nombres qui ne sont pas identiques.
> Je suis persuadé que oui, et j'ai regardé de nombreux articles sur le
> web qui vont dans ce sens. J'ai vu plein de démonstrations
> possibles. - celle comme quoi ces 2 nombres sont solutions de
> l'équation 10x = x+9
Quand on se contente des réels standards, oui. Il faut se brider, ne pas
chercher à travailler dans un système plus fin.
> Tous ces arguments me convainquent parfaitement, et tout le monde
> semble d'accord. Et pourtant...
Tout le monde accepte l'analyse usuelle comme l'ultime source de
compréhension. On ne peut pas appréhender ce qu'on exclut par définition
du domaine de la connaissance. Quand tout le monde est aveugle de la
même façon, tout le monde ignore les mêmes choses. Celui qui se contente
de ses yeux peut décider que deux rouges donnés sont de la même couleur
quand ils ne se différencient que dans l'infrarouge. De même, celui qui
décide, par choix ou par conditionnement, de se contenter de l'analyse
usuelle jugera que 1 et 0.9999... sont égaux car ils sont différenciés
par un infiniment petit qui échappe à la « perception » de l'analyse
usuelle : son jugement n'est pas assez fin pour distinguer les deux.
> De surcroît, j'ai rencontré une personne apparemment très intéressée
> dans le domaine, et qui raconte des choses étonnantes. Selon elle,
> ces 2 nombres sont différents, et il y a entre une infinité de réels.
> Il fait l'amalgame entre les décimales d'un réel et les cardinaux
> des ensembles infinis. Selon lui, dans la mesure où en ajoutant 1 à
> un ensemble infini on obtient un infini de même taille (se rapporter
> aux travaux de Cantor dans la théorie des ensembles), on peut ajouter
> un 9 quelque part au milieu des décimales de 0,999... et obtenir un
> nombre différent!
Tout dépend où on place le 9 : il faut au moins le placer à la fin de
0.99999...
> Ca me semble tout simplement abracadabrant. Mais j'ai envie d'en
> avoir le coeur net. Peut-on accorder du crédit à une telle théorie?
Sans plus de détails, avec un témoignage de seconde main, on ne peut pas
conclure.
--
Joe Cool
Olivier Miakinen
>> Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
>
> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
C'est drôlement intéressant, ça. Je suppose donc que 1,000...
(c'est-à-dire 2 - 0,999...) n'est pas non plus identique à 1, et
que l'on a : 0,999... < 1 < 1,000...
Mais ce qui me chiffonne, c'est que ça privilégie certains nombres,
pour lesquels on peut donner des nombres infiniment proches grâce à
leurs décimales, tandis que d'autres n'auront pas cette chance. Par
exemple, quel sera le nombre infiniment proche par valeur inférieure
de 0,333... ? Et par valeur supérieure ? Et pour 3,141592653589... ?
Pire : 0,1 aura de tels voisins en base 10, mais pas en base 11.
Je veux bien qu'il existe d'« autres » nombres en analyse non standard,
mais les assimiler à des écritures décimales standard me semble un peu
présomptueux. Tu as une preuve de ce que tu avances ?
Rakoto Ramparany
> pour lesquels on peut donner des nombres infiniment proches grâce à
> leurs décimales, tandis que d'autres n'auront pas cette chance. Par
> exemple, quel sera le nombre infiniment proche par valeur inférieure
> de 0,333... ?
peut-être 1/3 ?
rakoto
Frederic Beal
Par valeurs supérieures, peut-être, mais pas dans l'autre sens...
Rakoto Ramparany
Frederic Beal <fred...@ka-ge-ro.org.nospam> a écrit dans le message :
slrnerk8k...@clipper.ens.fr...
effectivement...
rakoto
Vincent Nesme
écrit :
>
> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
C'est faux. Tout ce qui est vrai en analyse standard le reste en analyse
non standard, en particulier la somme des 9*10^-n, pour n>0, est toujours
égale à 1.
> Mais l'analyse non standard est plus fine que l'analyse usuelle, elle
> rend compte de plus de propriétés et donc elle est capable de distinguer
> plus de nombres.
C'est faux, ou mal dit. L'analyse non standard n'est pas plus puissante
que l'analyse standard, sauf à considérer les énoncés faisant intervenir
la propriété "être standard" mais à ce moment c'est un truisme puisque
cette propriété n'est pas définie dans l'analyse standard.
lavau....@nospamlaposte.net
>> Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
>Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
>non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
Discutable.
x = 0,9999...9 avec N chiffres 9 où N est un entier non standard est
effectivement distincts de 1 d'un infiniment petit, mais il ne s'agit
pas de 0,9999... avec une infinité de 9.
Lavau Gérard
Charles Dodgson
Quelle est la définition de la limite dans une analyse non standard ?
Philippe Gaucher
> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
0.999... = 1 même en ANS comme cela a déjà été dit.
> Tout le monde accepte l'analyse usuelle comme l'ultime source de
> compréhension.
L'analyse non-standard est utilisée dans la théorie de sommation de
séries divergentes et autre prolongement de Cauchy sauvage et aussi
dans certains travaux sur les équations différentielles (les
canards). Je me souviens avoir assisté à des exposés, il y a un
certain temps et même un temps certain, où l'orateur partait du
principe qu'une série divergente convergeait en fait dans un rayon
infiniment petit et à coup de prolongement de Cauchy adapté, on
arrivait à obtenir une fonction définie sur C, où tout au moins sur un
rayon >0 non infiniment petit, et donc la somme de séries a priori
divergentes. Ce genre de considération tire sa source de la physique
autant que je me souvienne où bien avant la renormalisation et les
problèmes de physique contemporaine, les physiciens du XIXième siècle
essayaient déjà pour des raisons qui leur sont propres de sommer des
séries divergentes. Malheureusement je n'arrive pas à trouver un URL
où il pourrait y avoir un survol de ces trucs.
pg.
Vincent Nesme
a écrit :
>
> Quelle est la définition de la limite dans une analyse non standard ?
Exactement la même qu'en analyse standard, comme tout le reste !
Une suite (u_n) tend vers l si pour tout epsilon>0, il existe blablabla.
Maintenant, si (u_n) et l ont l bon goût d'être standard, on peut exprimer
cela de manière plus fancy : c'est équivalent à dire que pour tout n non
standard, u_n-l est infiniment petit (sous réserves, ça fait longtemps que
je n'ai pas touché à l'analyse non standard). Mais de toute façon, je le
répète encore et toujours, ce qui est valable en analyse traditionnelle le
reste en analyse non standard ; en particulier la notion de limite est la
même.
Charles Dodgson
Vincent Nesme
> Donc si la limite a la même définition, alors on a aussi "0.9999....=1" ?
Oui. Vous n'avez pas remarqué que c'est ce que tout le monde dit à part
le clown de service ?
Charles Dodgson
Y a-t-il un rapport entre les nombres suréels de Knuth et cette analyse
non standard ?
Vincent Nesme
> Y a-t-il un rapport entre les nombres suréels de Knuth et cette analyse
> non standard ?
Les surréels de Conway, je suppose ?
Pas tellement de rapport au-delà de l'existe d'infiniment petits et
d'infiniment grands. Déjà, je ne crois pas qu'on puisse faire de l'analyse
avec les surréels. Je ne crois pas qu'il y ait une vraie notion de limite,
par exemple. Il existe en effet, dans ce corps un peu particulier, un
élément strictement supérieur à 0 et strictemetn inférieur à tous les
10^-n, et partant, on pourrait dire en ce sens que 0,999.... ne vaut pas
1, mais honnêtement c'est abusif, puisqu'il n'y a pas de notion de limite
(et en particulier, une somme infinie n'a pas de sens).
Philippe Gaucher
La même qu'en analyse classique... Pour tout epsilon, il existe eta,
etc...
pg.
Philippe Gaucher
> Vincent Nesme wrote:
>> Charles Dodgson , dans son post
>> <45ba3183$0$26689$426a...@news.free.fr>, a écrit :
>>> Donc si la limite a la même définition, alors on a aussi "0.9999....=1" ?
>> Oui. Vous n'avez pas remarqué que c'est ce que tout le monde dit à
>> part le clown de service ?
> Mmmm, il me semblait aussi ...
Faites attention aux affirmations du con ... pardon Cool de
service. Il n'y a pas toujours quelqu'un pour corriger les
affirmations de cet âne baté.
Sur l'ANS, j'ai trouvé ça :
http://www.ilemaths.net/encyclopedie/Analyse_non_standard.html
pg.
Vincent Nesme
> Y a-t-il un rapport entre les nombres suréels de Knuth et cette analyse
> non standard ?
Les surréels de Conway, je suppose ?
Pas tellement de rapport au-delà de l'existence d'infiniment petits et
d'infiniment grands. Déjà, je ne crois pas qu'on puisse faire de l'analyse
avec les surréels. Il me semble qu'il n'y a pas de vraie notion de limite,
par exemple. Il existe en effet, dans ce corps un peu particulier, un
élément strictement supérieur à 0 et strictement inférieur à tous les
Denis Feldmann
Evidemment pas, puisqu'il trolle. Et je soupçonne qu'il est moins bon en
ANS qu'en logique intuitionniste. Bon, de la part de quelqu'un qui s'y
connait un peu en ANS, c'est tout bête, la notation 0.999... désigne
somme ( 9/10^n / n entier standard ) qui est certes <1... sauf que ça
n'existe pas. La seule chose qui exiiste ,c'est des objets de la forme
0.999.... puis ..99273.... , qui sont bien infiniment proches de 1
Denis Feldmann
> Charles Dodgson , dans son post <45ba2efd$0$5685$426a...@news.free.fr>,
> a écrit :
>>
>> Quelle est la définition de la limite dans une analyse non standard ?
>
> Exactement la même qu'en analyse standard, comme tout le reste !
> Une suite (u_n) tend vers l si pour tout epsilon>0, il existe blablabla.
>
> Maintenant, si (u_n) et l ont l bon goût d'être standard, on peut exprimer
> cela de manière plus fancy : c'est équivalent à dire que pour tout n non
> standard, u_n-l est infiniment petit (sous réserves, ça fait longtemps que
> je n'ai pas touché à l'analyse non standard).
En fait, si u_n est standard, elle ne peut converger vers l non standard
Denis Feldmann
Pas vraiment. Conway explique ça très bien dans ONAG: d'une part, les
surréels forment une structure beaucoup plus riche que les réels non
standard (ce n'est même pas un ensemble, tellement c'est vaste), mais
d'autre part, les entiers surréels ne sauraient constituer un modèle des
entiers (on ne peut pas fabriquer ce genre de modèle par des moyens
aussi simples), et donc les entiers en question n'ont pas vraiment les
propriétés "fines" des entiers non standard
Denis Feldmann
Euh , si... (Voir ONAG, deuxième édition). Mais c'est vrai que c'est
plein de problèmes. On peut par exemple définir une exponentielle (par
la série, aussi loufoque que cela puisse paraître, puisqu'en effet on
n'a pas de notion de convergence), et elle a toutes les bonnes
propriétés, y compris d'être sa propre dérivée, ou d'avoir pour inverse
un log acceptable , mais l'intégrale a de mauvaises propriétés (int (e^x
x=0..w)=e^w, et non e^w-1, par exemple)
Vincent Nesme
Vincent Nesme
l'équivalence, sinon elle devient trivialement fausse. Après, je voulais
pas entrer dans les détails.
Master J
"Sélénissime" <sud...@free.fr> a écrit dans le message de news:
1169741710.8...@s48g2000cws.googlegroups.com...
Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
En tout cas pour une histoire d'infinitesimal.... il y a un nombre non nuls
de reactions (lol)
Joe Cool
> Joe Cool a écrit :
>>
>> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
>> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
>
> C'est faux. Tout ce qui est vrai en analyse standard le reste en analyse
> non standard, en particulier la somme des 9*10^-n, pour n>0, est toujours
> égale à 1.
Je l'ai bien fait remarqué dans mon message, celui qui interprète tout à
la lumière de l'analyse standard ne peut pas déduire autre chose que ce
qui est standard.
En analyse standard, la notation intuitive 0.999... n'a qu'une seule
manière d'être formalisée : par la suite des 9*10^-n. En analyse
standard, il n'y a qu'un seul infinitésimal : 0, et comme 1 et 0.999...
ne diffèrent que d'un infinitésimal, celui qui s'évertue à poser
l'analyse standard en dogme absolu ne verra jamais ce qu'il a refusé de
voir par définition : les infinitésimaux différents de zéro.
Quand on raisonne dans un système, le système sert de fondement, ainsi
travailler dans l'analyse non standard en gardant les fondements
standards ne signifie rien sinon qu'on ne sait pas différencier la «
vérité » de la standardisation. En analyse non standard, la notation
0.999... n'est plus informelle car elle admet une formalisation
immédiate et intuitive : le nombre composé d'une infinité de 9 après la
virgule. Ce nombre est représenté dans les hyperréels par la suite {0.9,
0.99, 0.999, 0.9999,... , 9*10^-n}, qui est strictement inférieur à 1
puisque chacun des 9*10^-n l'est.
1-0.999... est égal à 0.0...01, le nombre composé d'une infinité de
zéros après la virgule avec un 1 à la fin. Il est représenté par la
suite {0.1, 0.01, 0.001, ..., 10^-n}, strictement supérieure à 0 puisque
chacun des 10^-n l'est. 0.0...01 est un infinitésimal distinct de 0.
Ainsi quand on prend l'analyse non standard (sic) comme fondement,
0.999... et 1 ne sont pas égaux car ils diffèrent d'un infinitésimal.
>> Mais l'analyse non standard est plus fine que l'analyse usuelle, elle
>> rend compte de plus de propriétés et donc elle est capable de distinguer
>> plus de nombres.
>
> C'est faux, ou mal dit.
En analyse standard, il existe un seul et unique infinitésimal. Je vous
invite à prouver cela en analyse non standard, évidemment sans faire
allusion à votre dogme absolu qu'est l'analyse standard.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Charles Dodgson a écrit :
>> Donc si la limite a la même définition, alors on a aussi "0.9999....=1" ?
>
> Oui. Vous n'avez pas remarqué que c'est ce que tout le monde dit à part
> le clown de service ?
J'admire la force d'esprit nécessaire à l'acceptation de ce genre de
preuve. Je dois avouer qu'une telle argumentation me laisse sans voix.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Le 26/01/2007 14:27, Joe Cool a écrit :
>
>>> Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
>> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
>> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
>
> C'est drôlement intéressant, ça. Je suppose donc que 1,000...
> (c'est-à-dire 2 - 0,999...) n'est pas non plus identique à 1, et
> que l'on a : 0,999... < 1 < 1,000...
Tout à fait.
On note m = 0.000....0001 le nombre infinitésimal composé d'une infinité
de zéros après la virgule et avec un 1 à la fin.
0.999... = 1 - m
2 - 0.999... = 1 + m
On a bien 1 - m < 1 < 1 + m car m est strictement supérieur à 0.
> Mais ce qui me chiffonne, c'est que ça privilégie certains nombres,
> pour lesquels on peut donner des nombres infiniment proches grâce à
> leurs décimales, tandis que d'autres n'auront pas cette chance. Par
> exemple, quel sera le nombre infiniment proche par valeur inférieure
> de 0,333... ?
0.3333... - m
> Et par valeur supérieure ?
1/3
> Et pour 3,141592653589... ?
pi - m et pi + m
> Pire : 0,1 aura de tels voisins en base 10, mais pas en base 11.
La représentation des réels en digits est connue pour poser ce genre de
problèmes même sans infinitésimaux, c'est pour cela que les réels ne
sont jamais construits de cette manière. Par exemple, il y a des
changements de base qui ne sont pas effectifs selon la base canonique
choisie. Selon le théorème de messieurs Mostowski et Uspenskij (ça ne
s'invente pas !) : il existe un algorithme faisant passer tout nombre
réel de la base B à la base C si et seulement si tout diviseur premier
de C divise B. Une des conséquences de ce résultat est qu'on ne peut en
général pas calculer la partie entière d'un réel quelconque, et donc
étant donné une base, qu'on ne peut pas en général y exprimer un nombre
réel quelconque.
> Je veux bien qu'il existe d'« autres » nombres en analyse non standard,
> mais les assimiler à des écritures décimales standard me semble un peu
> présomptueux. Tu as une preuve de ce que tu avances ?
Il suffit d'observer la représentation en hyperréel des dévelopements
décimaux infinis sous la forme de suites strictement monotones de
rationnels.
Le nombre 0.abcd...fgh... est représenté par la suite {0, 0.a, 0.ab,
0.abc, 0.abcd, ..., 0.abcd...f, 0.abcd...fg, 0.abcd...fgh, ...}.
Personnellement, je trouve que les hyperréels sont mal foutus :
n'importe quelle suite de réels représente un hyperréel, ce qui ne
signifie rien en soi. Je préfèrerais une modélisation à partir de suites
de rationnelles strictement monotones. On pourrait définir les réels non
plus à partir de suites de Cauchy rationnelles mais à partir de suites
re rationnels strictement monotones. Mais l'analyse non standard est
plombée par ZFC, les ultrafiltres à la con et la soumission aux
standards sous la forme d'un prédicat standard. Avec des suites
monotones, peut-être qu'on obtiendrait quelque chose de propre.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Faites attention aux affirmations du con ... pardon Cool de
> service. Il n'y a pas toujours quelqu'un pour corriger les
> affirmations de cet âne baté.
On vous attendais pour le faire, mais on a eu droit à un pétard mouillé.
Pfffuit...
--
Joe Cool
zpz
> On note m = 0.000....0001 le nombre infinitésimal composé d'une infinité
> de zéros après la virgule et avec un 1 à la fin.
Qu'est-ce que c'est, la « fin » d'une suite infinie ?
--
zpz
Denis Feldmann
> Vincent Nesme a écrit :
>> Joe Cool a écrit :
>>>
>>> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
>>> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
>> C'est faux. Tout ce qui est vrai en analyse standard le reste en analyse
>> non standard, en particulier la somme des 9*10^-n, pour n>0, est toujours
>> égale à 1.
>
> Je l'ai bien fait remarqué dans mon message, celui qui interprète tout à
> la lumière de l'analyse standard ne peut pas déduire autre chose que ce
> qui est standard.
>
> En analyse standard, la notation intuitive 0.999... n'a qu'une seule
> manière d'être formalisée : par la suite des 9*10^-n. En analyse
> standard, il n'y a qu'un seul infinitésimal : 0, et comme 1 et 0.999...
> ne diffèrent que d'un infinitésimal, celui qui s'évertue à poser
> l'analyse standard en dogme absolu ne verra jamais ce qu'il a refusé de
> voir par définition : les infinitésimaux différents de zéro.
Le fait que Joe Cool soit un provocateur assez incompétent fait que je
ne lui répond pas directement, mais me contente de donner quelques
pistes pour ceux qui seraient tenté de prendre ses messages au sérieux,
ou qui voudraient en savoir plus long sur l'ANS. Première règle : en
mathématiques, on évite en général la notation 0.999..., on la remplace
par un,e définition rigoureuse quelconque. Deuxième règle : en ANS,
toute notation standard se prolonge avec le même sens (c'est bien le
moins), donc si on veut conserver un sens à 0.999..., ce sera
inévitablement = à 1. Troisième règle ; en analyse intuitive (qui, en
quelque sorte, est "méta" par rapport à l'ANS), la notation 0.999...
désigne "nécessairement" un objet "illégal" c, la coupure entre les
réels < 0.999...9 (n fois) pour un certain n *standard* (une galaxie,
pour les familiers de la chose) et 1. Il est alors vrai que tous les
réels de la forme 1- e avec e infiniment petit (un halo, pour les
amateurs) sont plus grands que c (ou plus précisément, qu'il existe n
infiniment grand (et non standard, bien sûr) tel que 1-e 0.999...9 (n
fois).>
>
> Quand on raisonne dans un système, le système sert de fondement, ainsi
> travailler dans l'analyse non standard en gardant les fondements
> standards ne signifie rien sinon qu'on ne sait pas différencier la «
> vérité » de la standardisation. En analyse non standard, la notation
> 0.999... n'est plus informelle car elle admet une formalisation
> immédiate et intuitive : le nombre composé d'une infinité de 9 après la
> virgule.
*Quelle* infinité ?
Ce nombre est représenté dans les hyperréels par la suite {0.9,
> 0.99, 0.999, 0.9999,... , 9*10^-n}, qui est strictement inférieur à 1
> puisque chacun des 9*10^-n l'est.
Pipo. C'est censé s'arrêter à quel n ?
>
> 1-0.999... est égal à 0.0...01, le nombre composé d'une infinité de
> zéros après la virgule avec un 1 à la fin. Il est représenté par la
> suite {0.1, 0.01, 0.001, ..., 10^-n}, strictement supérieure à 0 puisque
> chacun des 10^-n l'est. 0.0...01 est un infinitésimal distinct de 0.
Ben voyons. Et comment écrire, alors, 0.0...01/10? ou /100? ou
(0.0...01)^2 ?
>
> Ainsi quand on prend l'analyse non standard (sic) comme fondement,
> 0.999... et 1 ne sont pas égaux car ils diffèrent d'un infinitésimal.
Et lequel?
>
>>> Mais l'analyse non standard est plus fine que l'analyse usuelle, elle
>>> rend compte de plus de propriétés et donc elle est capable de distinguer
>>> plus de nombres.
>> C'est faux, ou mal dit.
>
> En analyse standard, il existe un seul et unique infinitésimal. Je vous
> invite à prouver cela en analyse non standard, évidemment sans faire
> allusion à votre dogme absolu qu'est l'analyse standard.
Retour à la provocation conne.
>
Denis Feldmann
Olivier Miakinen
>
> On note m = 0.000....0001 le nombre infinitésimal composé d'une infinité
> de zéros après la virgule et avec un 1 à la fin.
>
> 0.999... = 1 - m
> 2 - 0.999... = 1 + m
Attention sophisme !
Par un habile tour de passe passe tu introduis la notation 0,000...001
supposée valoir 1 - 0,999999... mais ce faisant tu as décalé la place
des « ... ». Avec ta notation, 1 - m ce n'est pas 0,999999... mais bel
et bien 0,999...999 !
> [...]
>
> La représentation des réels en digits est connue pour poser ce genre de
> problèmes même sans infinitésimaux, c'est pour cela que les réels ne
> sont jamais construits de cette manière.
Ben tiens ! Pourquoi alors faire semblant de parler du nombre réel et
standard 0,999999... alors qu'en vérité tu as en tête un autre nombre,
qui lui est non-standard ? Tu as cru nous embrouiller mais ça ne marche pas.
>> Je veux bien qu'il existe d'« autres » nombres en analyse non standard,
>> mais les assimiler à des écritures décimales standard me semble un peu
>> présomptueux. Tu as une preuve de ce que tu avances ?
Tiens, du coup je ne te demande plus qu'une seule preuve : celle que
0,999999... est égal à 0,999...999. Mais bien sûr tu ne pourras pas le
prouver puisque c'est faux.
Denis Feldmann
> Olivier Miakinen a écrit :
>> Le 26/01/2007 14:27, Joe Cool a écrit :
>>
>>>> Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
>>> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
>>> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
>> C'est drôlement intéressant, ça. Je suppose donc que 1,000...
>> (c'est-à-dire 2 - 0,999...) n'est pas non plus identique à 1, et
>> que l'on a : 0,999... < 1 < 1,000...
>
> Tout à fait.
>
> On note m = 0.000....0001 le nombre infinitésimal composé d'une infinité
> de zéros après la virgule et avec un 1 à la fin.
Il est donc unique, puisque tu l'appelle "le" nombre... et que tu lui
donne un nom
>
> 0.999... = 1 - m
> 2 - 0.999... = 1 + m
Et comment le différencie-t-on de 10*m, 100*m, m^2, 10^(-1/m), m^(1/m),... ?
Le concept de preuve chez Joe Cool est assez personnel
>
> Le nombre 0.abcd...fgh... est représenté par la suite {0, 0.a, 0.ab,
> 0.abc, 0.abcd, ..., 0.abcd...f, 0.abcd...fg, 0.abcd...fgh, ...}.
C'est mal parti pour représenter m, m^2, m^(1/m), etc...
>
> Personnellement,
C'est le mot juste
je trouve que les hyperréels sont mal foutus :
> n'importe quelle suite de réels représente un hyperréel, ce qui ne
> signifie rien en soi.
C'est sûr. Mais ta définition (négligeant quelque peu la relation
d'équivalence) implique ce genre de surprise...
Je préfèrerais une modélisation à partir de suites
> de rationnelles strictement monotones. On pourrait définir les réels non
> plus à partir de suites de Cauchy rationnelles mais à partir de suites
> re rationnels strictement monotones. Mais l'analyse non standard est
> plombée par ZFC, les ultrafiltres à la con
Ah, je comprends mieux où elle est passé.
et la soumission aux
> standards sous la forme d'un prédicat standard. Avec des suites
> monotones, peut-être qu'on obtiendrait quelque chose de propre.
Peut-être. Si tu te mets à faire des maths, c'est pas sûr que tu
obtiendras quoi que ce soit (propre ou non), mais tu nous feras
peut-être moins perdre notre temps)
>
Denis Feldmann
perplexes. C'est bien.
Denis Feldmann
Tu semble pourtant ne pas trop savoir par quel bout le désamorcer.
Essaie en commençant par le côté ...999
>
> Pfffuit...
>
Joe Cool
C'est l'infini plus un.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Le 29/01/2007 12:30, Joe Cool a écrit :
>> On note m = 0.000....0001 le nombre infinitésimal composé d'une infinité
>> de zéros après la virgule et avec un 1 à la fin.
>>
>> 0.999... = 1 - m
>> 2 - 0.999... = 1 + m
>
> Attention sophisme !
C'est la magie de l'analyse non standard de donner un sens aux
constructions qui n'en ont pas en version orthodoxe.
> Par un habile tour de passe passe tu introduis la notation 0,000...001
> supposée valoir 1 - 0,999999... mais ce faisant tu as décalé la place
> des « ... ». Avec ta notation, 1 - m ce n'est pas 0,999999... mais bel
> et bien 0,999...999 !
Je ne me suis pas trompé, c'est vous qui ne faites pas l'effort de
comprendre. Au lieu de cela vous vous fâchez contre une manière de
penser qui choque votre entendement. Quelle vilaine réaction !
>> La représentation des réels en digits est connue pour poser ce genre de
>> problèmes même sans infinitésimaux, c'est pour cela que les réels ne
>> sont jamais construits de cette manière.
>
> Ben tiens ! Pourquoi alors faire semblant de parler du nombre réel et
> standard 0,999999...
Qui a dit qu'il était standard ? Pourquoi vous évertuez-vous à rester
scotché à l'orthodoxie alors qu'elle est incapable de rendre compte de
la notation 0.999... ?
C'est comme si je vous disais que l'équation x²=2 a une solution
positive, et que vous me répondiez « Sophisme ! tout le monde sait
qu'aucun carré rationnel n'est égal à deux ! » Vous restez coincé dans
vos dogmes, comme si il y avait une orthodoxie mathématique. C'est
pathétique. C'est effrayant.
> Tiens, du coup je ne te demande plus qu'une seule preuve : celle que
> 0,999999... est égal à 0,999...999. Mais bien sûr tu ne pourras pas le
> prouver puisque c'est faux.
0.999999... < 0,999...999 puisqu'il a trois neufs de plus à la fin.
--
Joe Cool
Philippe Gaucher
> re rationnels strictement monotones. Mais l'analyse non standard est
> plombée par ZFC, les ultrafiltres à la con et la soumission aux
> standards sous la forme d'un prédicat standard. Avec des suites
> monotones, peut-être qu'on obtiendrait quelque chose de propre.
Peut-être ?! Si vous avez des suggestions différentes du modèle de
l'analyse non-standard interne à ZFC, libre à vous de les proposer. Je
vous signale quand même que les infinitements petits apparaissent
*déjà* dans d'autres constructions mentionnées ici, les hyperréels
notamment. Mais ces autres constructions ne permettent pas de faire de
l'analyse. Ca ne vérifie pas les bonnes propriétés. L'ANS par contre
permet de faire de l'analyse et permet par exemple de mettre un schéma
théorique derrière les sommations de séries divergentes. Cela explique
son intérêt, et ce n'est déjà pas si mal comme application. Toutes les
notations genre dx des physiciens sont aussi formalisées. Mais vous ne
cherchez jamais à résoudre des problèmes mathématiques. L'éclairage
qu'apporte telle ou telle théorie (ou système formel si vous voulez)
sur tel problème ne vous intéresse pas. Le jour où vous vous
intéresserait à un vrai problème de math, je suppose que ça changera.
> vérité » de la standardisation. En analyse non standard, la notation
> 0.999... n'est plus informelle car elle admet une formalisation
> immédiate et intuitive : le nombre composé d'une infinité de 9 après
> la virgule.
Il faut prendre un développement de 0.9999... avec n fois 9 où n est
infiniment grand. Hors quelles que soient les formalisations, il n'y a
pas qu'un seul nombre infiniment grand n : si n est infiniment grand,
tout le monde s'accorde pour dire que n+1 est infiniment grand. Donc
il n'y a pas UNE infinité.
pg.
Joe Cool
> Le fait que Joe Cool soit un provocateur assez incompétent fait que je
Ça a le mérite de fixer le ton du message : paranoïa et orthodoxie au menu.
Voilà pour la paranoïa, passons à l'orthodoxie, ses règles arbitraires,
ses vérités décrétées...
> Première règle : en
> mathématiques, on évite en général la notation 0.999..., on la remplace
> par un,e définition rigoureuse quelconque.
Dans quel formalise ? Ah, je comprend, il y a un formalisme canonique,
et il se trouve que c'est le votre. Seriez-vous une sorte de prêtre ?
> Deuxième règle : en ANS,
> toute notation standard se prolonge avec le même sens (c'est bien le
> moins), donc si on veut conserver un sens à 0.999..., ce sera
> inévitablement = à 1.
0,999...999 est le seul infinitésimal standard, dont il ne doit y avoir
qu'un seul infinitésimal non standard... Sans parler de cette manie de
faire de votre « standard » la mesure de toute chose.
> Troisième règle ; en analyse intuitive (qui, en
> quelque sorte, est "méta" par rapport à l'ANS)
Inutile d'aller plus loin, le bonhomme est persuadé de posséer un « méta
» formalisme plus puissant et plus juste que tous les autres. On devine
le niveau...
Orthodoxie, quand tu nous tient... c'est pour la vie.
>> Quand on raisonne dans un système, le système sert de fondement, ainsi
>> travailler dans l'analyse non standard en gardant les fondements
>> standards ne signifie rien sinon qu'on ne sait pas différencier la «
>> vérité » de la standardisation. En analyse non standard, la notation
>> 0.999... n'est plus informelle car elle admet une formalisation
>> immédiate et intuitive : le nombre composé d'une infinité de 9 après la
>> virgule.
>
> *Quelle* infinité ?
0, 1, 2, 3,...
Savez-vous compter ?
> Ce nombre est représenté dans les hyperréels par la suite {0.9,
>> 0.99, 0.999, 0.9999,... , 9*10^-n}, qui est strictement inférieur à 1
>> puisque chacun des 9*10^-n l'est.
>
> Pipo. C'est censé s'arrêter à quel n ?
Ne savez-vous pas ce qu'est une suite ? Certains dans votre club appelle
cela une fonction de domaine IN.
>> 1-0.999... est égal à 0.0...01, le nombre composé d'une infinité de
>> zéros après la virgule avec un 1 à la fin. Il est représenté par la
>> suite {0.1, 0.01, 0.001, ..., 10^-n}, strictement supérieure à 0 puisque
>> chacun des 10^-n l'est. 0.0...01 est un infinitésimal distinct de 0.
>
> Ben voyons. Et comment écrire, alors, 0.0...01/10? ou /100? ou
> (0.0...01)^2 ?
De la manière usuelle.
On représente 0.0...01 par {0, 0.1, 0.01, ..., 10^-n}
0.0...01² = 0.0...00...1 représenté par {0, 0.01, 0.0001, ..., (10^-n)²}.
Etc.
>> Ainsi quand on prend l'analyse non standard (sic) comme fondement,
>> 0.999... et 1 ne sont pas égaux car ils diffèrent d'un infinitésimal.
>
> Et lequel?
0.0...01
> Retour à la provocation conne.
Tant de choses à dire, si peu de mots pour le faire.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool a écrit :
>> On vous attendais pour le faire, mais on a eu droit à un pétard mouillé.
>
> Tu semble pourtant ne pas trop savoir par quel bout le désamorcer.
> Essaie en commençant par le côté ...999
Avec vous le pétard est noyé.
Pflflfluilfblblbllb...
--
Joe Cool
Joe Cool
> Mais ces autres constructions ne permettent pas de faire de
> l'analyse. Ca ne vérifie pas les bonnes propriétés.
Les « bonnes » propriétés étant par définition celles des réels
orthodoxes dans un formalisme orthodoxe (i.e. ZFC)...
> Il faut prendre un développement de 0.9999... avec n fois 9 où n est
> infiniment grand. Hors quelles que soient les formalisations, il n'y a
> pas qu'un seul nombre infiniment grand n : si n est infiniment grand,
> tout le monde s'accorde pour dire que n+1 est infiniment grand. Donc
> il n'y a pas UNE infinité.
Chacun sait lire la notation 0.999... comme étant le nombre tel que pour
tout entier n, la nième décimale est un neuf. Il n'y a pas à se
questionner longtemps pour savoir de quel « infini » il s'agit.
--
Joe Cool
Olivier Miakinen
>>
>> Attention sophisme !
>
> C'est la magie de l'analyse non standard de donner un sens aux
> constructions qui n'en ont pas en version orthodoxe.
C'est la magie de ton interprétation de vider de sens une construction
parfaitement valide en version orthodoxe.
>> Par un habile tour de passe passe tu introduis la notation 0,000...001
>> supposée valoir 1 - 0,999999... mais ce faisant tu as décalé la place
>> des « ... ». Avec ta notation, 1 - m ce n'est pas 0,999999... mais bel
>> et bien 0,999...999 !
>
> Je ne me suis pas trompé, c'est vous qui ne faites pas l'effort de
> comprendre. Au lieu de cela vous vous fâchez contre une manière de
> penser qui choque votre entendement. Quelle vilaine réaction !
Qui se fâche ? C'est toi qui ne fais pas l'effort de comprendre que la
somme infinie 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... vaut 1. Quelle vilaine réaction !
>> Ben tiens ! Pourquoi alors faire semblant de parler du nombre réel et
>> standard 0,999999...
>
> Qui a dit qu'il était standard ?
Tous ceux qui ne se noient pas face à une bête série convergente.
> Pourquoi vous évertuez-vous à rester
> scotché à l'orthodoxie alors qu'elle est incapable de rendre compte de
> la notation 0.999... ?
Si tu en es incapable c'est ton problème, mais ne traite pas les autres
d'incapables parce qu'ils savent faire des sommes infinies.
> C'est comme si [ suit une MÀLC ]
> [...] C'est pathétique. C'est effrayant.
Mais non, mais non, tout de suite les grands mots. Que tu ne saches pas
faire une démonstration n'est ni pathétique ni effrayant. Il y a des
gens très bien qui n'ont jamais été très doués en maths, il ne faut pas
leur jeter la pierre, aussi je ne te la jette pas non plus. Mieux : je
parie même qu'il y a au moins un domaine en maths dans lequel tu es plus
doué que moi.
>> Tiens, du coup je ne te demande plus qu'une seule preuve : celle que
>> 0,999999... est égal à 0,999...999. Mais bien sûr tu ne pourras pas le
>> prouver puisque c'est faux.
>
> 0.999999... < 0,999...999 puisqu'il a trois neufs de plus à la fin.
Ah, au moins tu sais avoir de l'humour. Je savais bien que tout n'était
pas perdu.
Denis Feldmann
> Denis Feldmann a écrit :
>> Le fait que Joe Cool soit un provocateur assez incompétent fait que je
>
> Ça a le mérite de fixer le ton du message : paranoïa et orthodoxie au menu.
>
> Voilà pour la paranoïa,
Curieux : tu confonds insulte et comportement paranoïaque... Je ne crois
pas être persécuté par toi, je crois juste que tu es un provocateur un
peu con (et pas compétent sur ce sujet-là ; sans doute pas sur beaucoup
d'autres non plus).
passons à l'orthodoxie, ses règles arbitraires,
> ses vérités décrétées...
>
>> Première règle : en
>> mathématiques, on évite en général la notation 0.999..., on la remplace
>> par un,e définition rigoureuse quelconque.
>
> Dans quel formalise ?
Dans quelle orthographe?
Ah, je comprend, il y a un formalisme canonique,
> et il se trouve que c'est le votre. Seriez-vous une sorte de prêtre ?
Non, j'ai dit *une* définition, pas *la* définition
Bon, j'arrête là.
>
>> Deuxième règle : en ANS,
>> toute notation standard se prolonge avec le même sens (c'est bien le
>> moins), donc si on veut conserver un sens à 0.999..., ce sera
>> inévitablement = à 1.
>
> 0,999...999 est le seul infinitésimal standard,
Tu dis n'importe quoi. L'énervement, sans doute. Le seul infinitésimal
standard, c'est 0.
dont il ne doit y avoir
> qu'un seul infinitésimal non standard...
Sans parler de cette manie de
> faire de votre « standard » la mesure de toute chose.
>
>> Troisième règle ; en analyse intuitive (qui, en
>> quelque sorte, est "méta" par rapport à l'ANS)
>
> Inutile d'aller plus loin, le bonhomme est persuadé de posséer un « méta
> » formalisme plus puissant et plus juste que tous les autres. On devine
> le niveau...
Pauvre type
>
> Orthodoxie, quand tu nous tient... c'est pour la vie.
>
>>> Quand on raisonne dans un système, le système sert de fondement, ainsi
>>> travailler dans l'analyse non standard en gardant les fondements
>>> standards ne signifie rien sinon qu'on ne sait pas différencier la «
>>> vérité » de la standardisation. En analyse non standard, la notation
>>> 0.999... n'est plus informelle car elle admet une formalisation
>>> immédiate et intuitive : le nombre composé d'une infinité de 9 après la
>>> virgule.
>> *Quelle* infinité ?
>
> 0, 1, 2, 3,...
>
> Savez-vous compter ?
Oui
>
>> Ce nombre est représenté dans les hyperréels par la suite {0.9,
>>> 0.99, 0.999, 0.9999,... , 9*10^-n}, qui est strictement inférieur à 1
>>> puisque chacun des 9*10^-n l'est.
>> Pipo. C'est censé s'arrêter à quel n ?
>
> Ne savez-vous pas ce qu'est une suite ? Certains dans votre club appelle
> cela une fonction de domaine IN.
Mais tu ne sais pas ce qu'est un hyperéel
>
>>> 1-0.999... est égal à 0.0...01, le nombre composé d'une infinité de
>>> zéros après la virgule avec un 1 à la fin. Il est représenté par la
>>> suite {0.1, 0.01, 0.001, ..., 10^-n}, strictement supérieure à 0 puisque
>>> chacun des 10^-n l'est. 0.0...01 est un infinitésimal distinct de 0.
>> Ben voyons. Et comment écrire, alors, 0.0...01/10? ou /100? ou
>> (0.0...01)^2 ?
>
> De la manière usuelle.
>
> On représente 0.0...01 par {0, 0.1, 0.01, ..., 10^-n}
>
> 0.0...01² = 0.0...00...1 représenté par {0, 0.01, 0.0001, ..., (10^-n)²}.
>
> Etc.
Ben voyons. Et en décimal, ça fait?
Joe Cool
> Le 29/01/2007 14:00, Joe Cool a écrit :
>>> Attention sophisme !
>> C'est la magie de l'analyse non standard de donner un sens aux
>> constructions qui n'en ont pas en version orthodoxe.
>
> C'est la magie de ton interprétation de vider de sens une construction
> parfaitement valide en version orthodoxe.
Pour un orthodoxe, rien n'est possible en dehors de l'orthodoxie, donc
tout doit être contenu par l'orthodoxie, quitte à forcer un peu. Peu
importe le sens des chose, ce qui importe c'est de servir l'orthodoxie.
>>> Par un habile tour de passe passe tu introduis la notation 0,000...001
>>> supposée valoir 1 - 0,999999... mais ce faisant tu as décalé la place
>>> des « ... ». Avec ta notation, 1 - m ce n'est pas 0,999999... mais bel
>>> et bien 0,999...999 !
>>
>> Je ne me suis pas trompé, c'est vous qui ne faites pas l'effort de
>> comprendre. Au lieu de cela vous vous fâchez contre une manière de
>> penser qui choque votre entendement. Quelle vilaine réaction !
>
> Qui se fâche ? C'est toi qui ne fais pas l'effort de comprendre que la
> somme infinie 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... vaut 1. Quelle vilaine réaction !
Vous jouez sûr les mots, vous espérer que les gens vont confondre
l'égalité stricte et l'abus de notation utilisé pour écrire une limite.
Quand on écrit : limite en l'infini de u_n = L, ça ne signifie pas que
l'objet phantasmé à l'infini est effectivement L. On aurais pu tout
aussi bien noter : limite en l'infini de u_n -> L, ce qui met par terre
votre analogie trompeuse.
Limite en l'infini de u_n -> L signifie que chacun des u_n est
arbitrairement proche de L, la limite de u_n n'étant qu'ne notation
commode pour nommer L. Mais l'objet que l'on pourrait noter u_(+oo)
n'est pas forcément égal à L : il en est juste aussi proche que l'on
veut, autrement dit, u_(+oo) frôle L mais n'est pas forcément L. Le
formalisme ne possède pas d'élément égale à +oo, seulement des suites
qui frôlent +oo. Ainsi votre objet « somme infinie 0,9 + ... » n'est
qu'une mauvaise formalisation. Tout ce que vous dites, c'est que si
0.9999... était formalisable dans votre système, alors il frôlerait 1.
Simplifions le problème en ne considérant que le cas L=0 et u_n<>0 pour
tout n. Pour tout n, u_n est différent de 0, alors pourquoi u_(+oo)
devrait-il être égal à 0 ? Parce qu'un axiome dit que tout ce qui est
arbitrairement proche de zéro est zéro. On retombe dans le dogme, aussi
paradoxal soit-il, comme si tout le monde se devrait d'être atteint de
la même presbytie ? Le dogme dit : « Je ne veux pas qu'il y ait d'autres
infiniment petits que 0 ! Je vous interdit de les voir ! ». Mais il faut
qu'ils soient là pour que l'objet u_(+oo) puisse être écrit en toute
rigueur. Et quant +oo est là, on se rend compte que u_(+oo) est distinct
de 0 d'une valeur aussi petite que +oo est grand.
En résumé, vous échouez à représenter 0.9999..., tout ce que vous dites
est que les approximations rationnelles de 0.999... se rapprochent de
plus en plus de 1... mais sans l'atteindre.
--
Joe Cool
jojolapin
"Joe Cool" <zier...@free.fr> a écrit dans le message de news:
45bdedcb$0$2294$426a...@news.free.fr...
YBM
> Pflflfluilfblblbllb...
tiens, Joe Coule.
jojolapin
"Joe Cool" <zier...@free.fr> a écrit dans le message de news:
45bdedcb$0$2294$426a...@news.free.fr...
Dans la logique en mettant 1 en position double infini
J'ai obtenu un nombre encore plus petit , cela tient pas ton raisonnement
Charles Dodgson
> Olivier Miakinen a écrit :
>> Le 26/01/2007 14:27, Joe Cool a écrit :
>>
>>>> Les nombres 0,999... à l'infini, et 1, sont-ils identiques?
>>> Non. Ils sont égaux sur IR mais ils ne sont pas identiques. En analyse
>>> non standard, ils ne sont pas égaux car un infiniment petit les sépare.
>> C'est drôlement intéressant, ça. Je suppose donc que 1,000...
>> (c'est-à-dire 2 - 0,999...) n'est pas non plus identique à 1, et
>> que l'on a : 0,999... < 1 < 1,000...
>
> Tout à fait.
>
> On note m = 0.000....0001 le nombre infinitésimal composé d'une infinité
> de zéros après la virgule et avec un 1 à la fin.
>
> 0.999... = 1 - m
Si j'ai bien lu les document sur l'ANS, il faudrait plutôt écrire :
0.999.... ~ 1 - m (je noterai par ~, ce qui noté ~
~ dans les documents)
> 2 - 0.999... = 1 + m
>
> On a bien 1 - m < 1 < 1 + m car m est strictement supérieur à 0.
>
En fait si on défini dans |R le réel x par :
__ 9
\ -----
x= / i
-- 10
i>=1
Alors dans |R on a bien x=0.99999.....=1
Quel est son extension en ANS ?
Quelquepart on a le choix entre :
__ 9
\ -----
x'= / i , cela ne change rien car on aura
-- 10 toujours x'=1
i>=1 élement |N
et
__ 9
\ -----
x''= / i = x' + infiniment petit
-- 10
i>=1 élement *|N
où *|N est l'extension de |N dans l'ANS.
La plupart des gens ici parlent de x', Joe lui parle de x''.
En fait x' et x'' ont la même partie standard valant 1, mais x'' ne se
trouve pas "entre 0.9999.... (9 répété w(petit oméga) fois) et 1"
puisqu'il n'est pas sur la droite réelle, il fait partie du halo de 1.
Dans la notation Joe Cool on a x'' = 0.{{9 répété w fois} répété w fois
} ...
Conclusion
x' =0.{9 répété w fois}=1
x'' <> 1, mais _ox''=1, où _ox'' représente l'ombre de x''
CD.
Olivier Miakinen
(éclat de rire)
Denis Feldmann
essayer de nous piéger en indexant par w+1 (voir "nombres ordinaux"
pour comprendre). Mais comme il confond (volontairement ou non, je ne
sais) tout, c'est dur à dire. Par exemple, dans sa notation, m est (la
classe d'équivalence de) (0.1, 0.01, 0.001, ...) , et alors j'aimerais
bien savoir ce qui est dénoté par 0.000... 14 (peut-être 7m/5) ou par
0.0000.... 000... 1 (peut-être m^2 ?) Et comment noter 10^(-1/m) ou m^(1/m)?
Vincent Nesme
Joe Cool sur la logique, c'est du gloubi-boulga avec des vrais morceaux de
logique dedans, mais Joe Cool sur l'analyse non standard c'est juste
les émanations provenant d'un bon gros pétard roulé avec la quatrième de
couv de l'"analyse non standard expliquée à ma grand-mère". Ca a son
charme.
Et puis il fait plus de fautes d'orthographe que d'habitude, non ? Je me
demande si Joe Cool n'est pas un pseudo collectifs de grands bêtas qui
passent leur temps à troller sur les news.
(Là si Joe Cool affirme que je suis parano, ça va être encore plus drôle.
Alors comme ça je suis parano et religieux orthodoxe, Denis est parano et
religion orthodoxe, bref tout le monde sauf vous est parano et défend la
religion orthodoxe des mathématiques establishmentales, et youpi !)
kduc
[Un peu trop costaud pour moi]
Je vous prie de m'excuser d'intervenir dans une discussion pour
laquelle je ne possède pas les bases nécessaires mais je me pose la
question de savoir :
1 - Est-ce que le réel 0,9999999.... n'existe pas ?
2 - Quelle est la somme de 0,8888888... et de 0,11111111... ?
Je viens sans doute de me ridiculiser ainsi que ma famille pour une
bonne centaine de générations....
--
kd
Vincent Nesme
a écrit :
> __ 9
> \ -----
> x''= / i = x' + infiniment petit
> -- 10
> i>=1 élement *|N
>
> où *|N est l'extension de |N dans l'ANS.
Euh, pardon, c'est quoi, *|N, au juste ? Si c'est l'"ensemble" des entiers
standard, rappelons, comme il a déjà été fait plusieurs fois dans ce fil,
que cet ensemble n'existe pas, et que la somme des 9/10^i pour i entier
standard n'a aucun sens, par plus que la somme des 9/10^i pour i une
sucette à la fraise.
--
Vincent
Joe Cool
> En fait si on défini dans |R le réel x par :
>
> __ 9
> \ -----
> x= / i
> -- 10
> i>=1
>
> Alors dans |R on a bien x=0.99999.....=1
C'est faux. Dans le cas çi-dessus on a x=1 mais on n'a pas pas 0.999...,
c'est un abus de croyance. Ce n'est pas aprce qu'on décide que
x=0.999... que c'est le cas. L'analyse standard ne possède aucun élément
représentant l'infini, elle ne peut donc pas représenter 0.999..., elle
peut définir une suite d'approximations successives, constater que
toutes les approximation sont proches de 1, mais rien de plus.
--
Joe Cool
Olivier Miakinen
>
> Je vous prie de m'excuser d'intervenir dans une discussion pour
> laquelle je ne possède pas les bases nécessaires
Tu fais bien, au contraire. Revenons un peu sur terre.
> mais je me pose la question de savoir :
>
> 1 - Est-ce que le réel 0,9999999.... n'existe pas ?
Ce réel existe et vaut 1.
> 2 - Quelle est la somme de 0,8888888... et de 0,11111111... ?
Elle vaut 0,9999999... c'est-à-dire 1.
> Je viens sans doute de me ridiculiser ainsi que ma famille pour une
> bonne centaine de générations....
Absolument pas.
zpz
> zpz a écrit :
>> Qu'est-ce que c'est, la « fin » d'une suite infinie ?
>>
> Ah, je vois qu'il y en a que les arguments de Joe Cool laissent
> perplexes. C'est bien.
Je me sens si orthodoxe, parfois.
N'empêche, la notion d'infinitésimal non nul
existe aussi en mathématiques orthodoxes.
Si j'ai bon souvenir, l'espace tangent à une
variété algébrique V peut être obtenu en
considérant les points K[e]-rationnels de V, où
e²=0 (bon, ce ne sont que flous souvenirs, un
spécialiste pourrait confirmer et infirmer).
--
zpz
zpz
Vous êtes amusant.
--
zpz
kduc
>> 1 - Est-ce que le réel 0,9999999.... n'existe pas ?
>
> Ce réel existe et vaut 1.
>
>> 2 - Quelle est la somme de 0,8888888... et de 0,11111111... ?
>
> Elle vaut 0,9999999... c'est-à-dire 1.
>
>> Je viens sans doute de me ridiculiser ainsi que ma famille pour une
>> bonne centaine de générations....
>
> Absolument pas.
Merci pour ta coutumière gentillesse.
J'en profite encore et pose une dernière question :
Quel est le réel immédiatement inférieur à 1 ?
--
kd
Denis Feldmann
Mais non, mais non... Bon, c'est un problème de bases (et de base 10, aussi)
Soit un réel comme pi. Il est défini par des méthodes variées
(accompagnées de théorèmes prouvant qu'elles reviennent au même). On
démontre que 3.141592 (=3141592/1000000) < pi < 3.141593 (où les entiers
sont notés en base 10, mais c'est une question pratique, parce que
IIIII...III trois millions cent quarante et un mille... fois, c'est un
peu long) . On convient (première version) de noter pi=3.141592... pour
dire qu'on pourrait (en principe) continuer cette suite d'encadrements à
l'infini. Dans une version un peu plus élaborée, on démontre qu'une
certaine construction des réels (les "suites de Cauchy") est équivalente
à donner pi par une suite infinie de telles approximations successives :
pi = (pour un sens convenable de "égal") (3, 3.1, 3.14, 3.141,
3.1415,...) Dans cette version, le nombre 0.999... (qui est lui même une
autre notation pour 0.999(9), c'est-à-dire pour la suite
(0,0.9,0.99,0.999,0.9999,...) peut être *démontré* égal à 1. (et c'est
assez logique, quand on y réfléchit (voir la FAQ), c'est-à-dire qu'une
construction de IR où ce résultat serait faux mettrait tout le monde mal
à l'aise...)
Dans cette version (la version "orthodoxe", ou plutôt celle de M.
Toulemonde), 0.9999... = 1 =1.0000...= 0.888... + 0.1111... = ....
Maintenant, il existe des constructions d'autres ensembles que IR, par
exemple les hyperréels (ou réels non-standards) de Robinson, les
surréels (nombres de Conway), etc. Pour certains de ces ensembles, la
notation 0.999... peut encore être définie (et représente, le plus
souvent, le nombre 1) Pour d'autres, c'est une abréviation pour quelque
chose qui n'a pas le même statut que les nombres (mêmes "non-standards")
de ces ensembles (cela désigne plutôt une frontière floue) et alors, et
seulement dans ce cas, on peut en effet dire que, par exemple 0.9999....
(à l'infini) < 0.9999... ...999 ("au-delà de l'infini", merci Buzz ) < 1
Vincent Nesme
>
> Quel est le réel immédiatement inférieur à 1 ?
1 :-)... Sans blague, le réel immédiatement strictement inférieur à 1, y
en a pas, ça n'existe pas, pas plus que le plus grand nombre réel. La
comparaison n'est pas gratuite, puisque si x était le réel immédiatement
strictement inférieur à 1, 1/(x-1) serait le plus grand nombre réel...
Olivier Miakinen
>
> J'en profite encore et pose une dernière question :
>
> Quel est le réel immédiatement inférieur à 1 ?
Il n'existe pas de réel « immédiatement inférieur à 1 ».
Supposons qu'il existe un tel nombre, mettons u. Ce serait le plus grand
nombre réel strictement plus petit que 1. Or si u est un réel, le nombre
(u+1)/2 est réel lui aussi, mais il est à la fois plus grand que u et
plus petit que 1, ce qui contredit l'hypothèse que u est le plus grand
des nombres plus petits que 1.
kduc
> c'est un problème de bases
C'est le moins qu'on puisse dire.
>
> Soit un réel comme pi...
> Maintenant, il existe des constructions d'autres ensembles que IR...
>
Je vais me documenter selon toutes ces voies et y réfléchir.
Merci de ces éclaircissements encore un peu /sfumato/ pour moi
--
kd
kduc
> 1 :-)... Sans blague, le réel immédiatement strictement inférieur à 1, y
> en a pas, ça n'existe pas, pas plus que le plus grand nombre réel. La
> comparaison n'est pas gratuite, puisque si x était le réel immédiatement
> strictement inférieur à 1, 1/(x-1) serait le plus grand nombre réel...
>
Évident...
--
kd
kduc
> Il n'existe pas de réel « immédiatement inférieur à 1 ».
>
> Supposons qu'il existe un tel nombre, mettons u. Ce serait le plus grand
> nombre réel strictement plus petit que 1. Or si u est un réel, le nombre
> (u+1)/2 est réel lui aussi, mais il est à la fois plus grand que u et
> plus petit que 1, ce qui contredit l'hypothèse que u est le plus grand
> des nombres plus petits que 1.
À travers ta réponse et celle de Vincent je vois bien que malgré ma
passion (relativement récente) pour les mathématiques je suis loin
encore de l'état d'esprit qu'il faut y mettre.
Pourtant ces réponses une fois lues je les trouve si évidentes et simples.
Merci à tous deux, je continue mon lurquage discret.
--
kd
Charles Dodgson
vous vouliez sans doute écrire non standard à la place de standard
(l'ensemble des entiers standards étant |N) ?
dans http://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/sup961/gautheron.pdf je
lis au paragraphe 1 :
"Entiers naturels, standard ou non. Il existe des entiers naturels plus
grands que tout entier standard ; ces entiers sont évidemment
non-standards, et de plus tout entier non standard est plus grand que
tout entier standard."
Appelons *|N la collection des entiers naturel standards et non.
Les paragraphes 3.2 Traduction de notions classiques et 3.3 S-continuité
me laissent penser, mais je peux me tromper, que si la fonction
exponentielle peut être étendue aux hyperréels, la fonction
f(x)=1/(10^x) peut l'être aussi.
Charles Dodgson
Effectivement 0.999...=1 est un abus de notation, c'est un raccourci pour
__n
\ -i
lim / 9.10 = 1
n->+oo --
i=1
Olivier Miakinen
>
> Effectivement 0.999...=1 est un abus de notation,
C'est vrai, mais ni plus ni moins que 0,333... = 1/3.
> c'est un raccourci pour
>
> __n
> \ -i
> lim / 9.10 = 1
> n->+oo --
> i=1
>
(Remplacer 9 par 3 dans cette jolie formule.)
Vincent Nesme
>
> vous vouliez sans doute écrire non standard à la place de standard
> (l'ensemble des entiers standards étant |N) ?
Non.
D'ailleurs l'ensemble des entiers standard n'existe pas, encore une fois.
IN désigne l'ensemble des entiers, que ce soit en analyse standard ou en
analyse non standard.
> dans http://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/sup961/gautheron.pdf je
> lis au paragraphe 1 :
> "Entiers naturels, standard ou non. Il existe des entiers naturels plus
> grands que tout entier standard ; ces entiers sont évidemment
> non-standards, et de plus tout entier non standard est plus grand que
> tout entier standard."
> Appelons *|N la collection des entiers naturel standards et non.
La notation habituelle, c'est IN.
Je répète :
Que ce soit en analyse classique ou en analyse non standard, on définit de
la même façon IN comme étant l'ensemble des entiers.
L'analyse non standard introduit de plus un prédicat *externe* S sur les
entiers. Quand on a S(n), on dit que n est un entier standard, sinon on
dit qu'il est non standard. S vérifie ces deux propriétés :
(i) S(0) est vraie
(ii) Si S(n) est vraie, alors S(n+1) est vraie.
De plus, l'analyse non standard nous dit qu'il existe un entier n tel que
S(n) est faux. Quoi quoi quoi me direz-vous, les propriétés (i) et (ii) ne
montrent-elles pas par récurrence que S(n) est vraie pour tout entier ?
Oui mais non. C'est là qu'intervient un point subtil. S est un prédicat
*externe*. Ceci signifie, essentiellement, qu'on ne peut lui appliquer
aucune règle commune, autre que celles qui sont expressément mentionnées
dans les postulats de l'analyse non standard. Pour plus de détails, il
suffit d'ouvrir un livre d'introduction à cette matière, et en attendant
il faut me croire : le principe de récurrence ne fonctionne pas avec le
postulat S.
Que peut-on dire tout de même ? On peut montrer que si n est standard et
si k est strictement inférieur à n, alors k est lui aussi standard.
Autrement dit, les entiers standard forment une section initiale de IN.
Comme il existe un entier N non standard, on peut dire que tous les
entiers standard sont strictement inférieurs à N. Il y en a donc un nombre
fini et il y en a un maximal ! Sauf que ce n'est pas possible, d'après la
propriété (ii). Là, l'erreur est de dire qu'il y a un nombre fini
d'entiers standard. On ne peut pas compter les entiers standard pour la
simple raison que la "collection" (ce n'est pas non plus une collection au
sens mathématique, mais baste) des entiers standard n'est pas un ensemble,
bien qu'elle soit en effet incluse dans un ensemble fini.
En particulier, parler de la suite (u_n) pour n entier standard, ou
considérer la somme des a_n pour n entier standard, ou plus généralement
toute construction mathématique faisant intervenir l'ensemble des entiers
standard, n'a absolument aucun sens. Nada, zip.
Bref, ce que je voulais montrer, là, c'est qu'il est très facile de
raconter rapidement n'importe quoi ou de s'emmêler les pinceaux quand on
parle d'analyse non standard sans avoir lu et compris ses postulats, ce
qui nécessite probablement une certaine familiarité avec la théorie des
ensembles de base. En attendant, voici comment je me représente IN en
analyse non standard quand je n'ai pas besoin de revenir au formalisme :
|----------------->~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~------------>
012... standard (séparation floue) non standard
Il est important de noter que tous les entiers "nommables" sont standard,
tout simplement parce que S vérifie un principe de récurrence "naïf" avec
(i) et (ii).
Une manière de voir les choses, qui n'est pas la mienne parce qu'elle
ne me paraît pas vraiment dans l'esprit de la théorie des ensembles mais
qui est possible, est de penser aux entiers standard comme aux "vrais"
entiers et aux entiers non standard comme à une ratatouille qu'on ajoute
après de manière complètement artificielle afin d'avoir des infiniment
grands à disposition. Du point de vue de l'intuition, c'est un peu
ennuyeux car on risque de perdre de vue le fait que les entiers standard
ne forment *pas* un ensemble.
Charles Dodgson
Si je me souviens bien on peut construire les entiers ainsi :
0 = {} et avec n+1 = n U {n}
1 = 0 U {0} = {0} = {} U { {} } = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
en poursuivant on obtient tous l'ensemble des entiers :
IN = {0,1,2,3,...}
On peut continuer en construisant les ordinaux transfinis :
w = {0,1,2,3,...}
w+1 = w U {w} = {0,1,2,3,...,w}
...
2w = {0,1,2,3,...,w,w+1,w+2,w+3,...}
...
2
w
....
On obtient la classe propre des ordinaux
En ANS on vient de construire les objets internes.
Les objets standards sont ceux de {0,1,2,...}, les autres sont les
objets non standards.
L'ensemble des entiers standards ne peut exister car étant infini, il
doit contenir au moins un objet non standard.Néanmoins {0,1,2,....} est
une collection externe de IN.
> En particulier, parler de la suite (u_n) pour n entier standard, ou
> considérer la somme des a_n pour n entier standard, ou plus généralement
> toute construction mathématique faisant intervenir l'ensemble des entiers
> standard, n'a absolument aucun sens. Nada, zip.
>
> Bref, ce que je voulais montrer, là, c'est qu'il est très facile de
> raconter rapidement n'importe quoi ou de s'emmêler les pinceaux quand on
> parle d'analyse non standard sans avoir lu et compris ses postulats, ce
> qui nécessite probablement une certaine familiarité avec la théorie des
> ensembles de base. En attendant, voici comment je me représente IN en
> analyse non standard quand je n'ai pas besoin de revenir au formalisme :
>
>
>
> |----------------->~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~------------>
> 012... standard (séparation floue) non standard
>
>
> Il est important de noter que tous les entiers "nommables" sont standard,
> tout simplement parce que S vérifie un principe de récurrence "naïf" avec
> (i) et (ii).
>
> Une manière de voir les choses, qui n'est pas la mienne parce qu'elle
> ne me paraît pas vraiment dans l'esprit de la théorie des ensembles mais
> qui est possible, est de penser aux entiers standard comme aux "vrais"
> entiers et aux entiers non standard comme à une ratatouille qu'on ajoute
> après de manière complètement artificielle afin d'avoir des infiniment
> grands à disposition. Du point de vue de l'intuition, c'est un peu
> ennuyeux car on risque de perdre de vue le fait que les entiers standard
> ne forment *pas* un ensemble.
En lisant des documents je tombe sur des expressions comme :
"Une suite standard (u ) converge vers un standard l si et seulement si
n
u ~ l pour tout n i-grand."
n
avec :
"Il existe plusieurs sortes de r éels non standard :
- les uns sont plus grands en valeur absolue que tout r éel standard, et
leur partie enti ère est un entier non standard ; on les nomme r éels
i-grands
(...)"
Donc si je définis :
_n_ 9
\ -----
u = / i
n --- 10
i=1
qui est une suite standard, je pourrai montrer que même en ANS (un)
converge vers 1.
Cela montre aussi que les notations du style 0.999....1 n'ont pas de sens.
Cohérent ?
Denis Feldmann
> Charles Dodgson , dans son post
> <45be8b9d$0$30641$426a...@news.free.fr>, a écrit :
>>
>> vous vouliez sans doute écrire non standard à la place de standard
>> (l'ensemble des entiers standards étant |N) ?
>
> Non.
> D'ailleurs l'ensemble des entiers standard n'existe pas, encore une fois.
> IN désigne l'ensemble des entiers, que ce soit en analyse standard ou en
> analyse non standard.
Heu... C'est vrai en IST (la version de Nelson de l'ANS). Dans les
modèles de Robinson, au contraire, IN désigne les entiers usuels, et IN*
une construction compliquée (quotient de IN^A par un ultrafiltre non
trivial sur A dans la méthode des ultraproduits), dans lequel IN
s'injecte canoniquement. Dans cette version, IN est bien un ensemble,
mais IN* n'est pas un modèle du second ordre de IN (ou plutôt, les
propriétés d'ensembles, comme l'axiome d'induction, doivent être
restreintes aux ensembles d'un certain type : l'ensemble IN*-IN n'a pas
de plus petit élément) Comme la manipulation de ces modèles est plus
délicate (sans parler de la difficulté à les étendre à ZFC, ou d'y avoir
l'axiome d'idéalisation vrai), on s'est mis à préférer l'approche de
Nelson, ce qui conduit à l'affirmation que vous faites.
[cut d'une description parfaitement correste du prédicat S]
> En particulier, parler de la suite (u_n) pour n entier standard, ou
> considérer la somme des a_n pour n entier standard, ou plus généralement
> toute construction mathématique faisant intervenir l'ensemble des entiers
> standard, n'a absolument aucun sens. Nada, zip.
En fait, on peut se demander ce qu'il en est dans l'ancienne théorie...
Bon, ben le plus souvent, c'est tout bête : ou bien la construction est
prolongée (et, à la somme des u_n pour n entier standard, on associe la
somme des u_n* pour n quelconque dans IN*, avec la même signification de
limite de série), ou bien, le plus souvent, on ne peut tout simplement
pas trouver de représentation (canonique ou non) de l'objet qu'on
voudrait construire (0.999.... dans notre exemple, où les pointillés
s'arrêtent aux entiers standards) dans l'extension appropriée (IR* ici).
>
> Bref, ce que je voulais montrer, là, c'est qu'il est très facile de
> raconter rapidement n'importe quoi ou de s'emmêler les pinceaux quand on
> parle d'analyse non standard sans avoir lu et compris ses postulats, ce
> qui nécessite probablement une certaine familiarité avec la théorie des
> ensembles de base. En attendant, voici comment je me représente IN en
> analyse non standard quand je n'ai pas besoin de revenir au formalisme :
>
>
>
> |----------------->~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~------------>
> 012... standard (séparation floue) non standard
>
>
> Il est important de noter que tous les entiers "nommables" sont standard,
> tout simplement parce que S vérifie un principe de récurrence "naïf" avec
> (i) et (ii).
Il y a une bonne description de cette approche naïve dans l'appendice de
u bouquin de Diener et Reeb
Denis Feldmann
Jusque là, tout va bien
>
> Cela montre aussi que les notations du style 0.999....1 n'ont pas de sens.
>
> Cohérent ?
Ben, c'est pas clair: pour moi, 0.999....9991, par exemple, c'est
u_n+1/10^(n+1), avec un n non standard. Ce que je reproche à Joe Cool
quand il emploie cette notation, c'est de ne pas préciser *quel* n. Mais
il faut bien reconnaître qu'on devrait obtenir un calcul cohérent (même
s'il est parfaitement vain) en choisissant une fois pour toute un entier
non standard appelé w, et en construisant le reste par un formalisme à
la Conway qui, dans une certaine mesure sera suffisant pour les besoins
de l'analyse (mais pas de la théorie des nombres). On peut alors décider
de noter m=10^(-w) par 0.000...1, on aura donc m/10=0.000...01 (mais ce
sera pas pratique pour noter 10 m, à moins d'employer d'autres symboles,
comme 22m/3=0.000...7:333..., voire m^2=0.000...000...:1). De toute
façon, c'est quand même mal barré pour du décimal, mais en binaire, ça
doit vaguement se tenir si on emploie la notation de Gonshor pour les
nombres de Conway ("sign-expansion")
Joe Cool
> Tu fais bien, au contraire. Revenons un peu sur terre.
Il me semble que vous êtes plutôt dans la Lune.
>> mais je me pose la question de savoir :
>>
>> 1 - Est-ce que le réel 0,9999999.... n'existe pas ?
>
> Ce réel existe et vaut 1.
Ouh, de la métaphysique, j'aime ça ! Alors comme ça le réel 0.999... «
existe », sûrement de la même manière que le plus petit réel non
définissable...
Il faut tout d'abord précisé que vous représentez le « réel » 0.999...
par la suite de Cauchy u_n=1-10^-n, qui tend vers 1. Il faut aussi
préciser que *par une définition arbitraire*, tout réel qui en frôle un
autre lui est égal.
Ainsi, 0.999... n'existe pour vous que parce que vous avez envie qu'il
soit égal à 1. Il suffisait de le décider. Alors votre métaphysique...
>> Je viens sans doute de me ridiculiser ainsi que ma famille pour une
>> bonne centaine de générations....
>
> Absolument pas.
Il aurait du mal, tout le monde ici est aussi ignare que lui, certains
ont juste plus de certitudes.
--
Joe Cool
Joe Cool
> c'est-à-dire qu'une construction de IR où ce résultat serait faux
> mettrait tout le monde mal à l'aise...
Tout est dit. Peu importe que l'orthodoxie soit mal foutue, insensée, ce
qui compte c'est le confort des croyants. Il est bien plus confortable
de décréter pour tous une vérité intangible plutôt que de risquer de
perdre le pouvoir sur sa spécialité, de voir le peuple comprendre les
maths au lieu de les admettre.
On sent le prof poindre sous le forumeur, le type de personne à qui on
apprend à parler au nom de tous.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Effectivement 0.999...=1 est un abus de notation, c'est un raccourci pour
>
> __n
> \ -i
> lim / 9.10 = 1
> n->+oo --
> i=1
Ça ne change rien au problème. L'égalité utilisée est un abus de
langage. Une chose qui tend vers une autre s'en rapproche indéfiniment
éventuellement sans jamais la toucher. L'inégalité 0.999...<>1 rend
compte de ce phénomène. Poser 0.999...=1 revient à dire que la suite
u_n=1-10^-n touche 1 à l'infini sous prétexte qu'elle ne touche jamais
1. À l'infini il se passe ce que bon nous semble, personne n'ira jamais
vérifier. TOut ce qu'on peut voir, c'est qu'un système qui permet de
montrer que 0.999...=1 est un mauvais système, et qu'il faut donc le
rejeter sans se soucier de la politique ou des caprices de quelques gros
bonnets.
--
Joe Cool
Michel Talon
J'ai entendu une fois Kruskal parler des nombres surrééls, il y a un
article ici à ce sujet:
http://discover.com/issues/dec-95/features/infinityplusonea599/
Pour la petite histoire, Kruskal est aussi célèbre pour:
- un système de coordonnées qui permet de voir ce qui se passe à
l'horizon d'un trou noir
- un algorithme qui permet de se déplacer dans un graphe
- et surtout la méthode du "problème inverse classique", de Gardner
Greene Kruskal et Miura.
Incidemment cette question est évidemment liée au paradoxe de Zénon
d'Elée dont il est si ridicule de dire qu'il est "résolu" par la
définition standard de Cauchy des limites.
Kruskal était à Princeton, un autre grand spécialiste d'anlyse
fonctionnelle qui s'est tourné vers l'analyse non standard à Princeton:
http://www.math.princeton.edu/~nelson/
--
Michel TALON
Paul
Paul
affirmations est un (mauvais) système
... et donc qu'il convient de :
- fermer le forum ?
- éliminer Joe Cool ?
Philippe Gaucher
> Heu... C'est vrai en IST (la version de Nelson de l'ANS). Dans les
> modèles de Robinson, au contraire, IN désigne les entiers usuels, et
> IN* une construction compliquée (quotient de IN^A par un ultrafiltre
> non trivial sur A dans la méthode des ultraproduits), dans lequel IN
> s'injecte canoniquement. Dans cette version, IN est bien un
> ensemble, mais IN* n'est pas un modèle du second ordre de IN (ou
> plutôt, les propriétés d'ensembles, comme l'axiome d'induction,
> doivent être restreintes aux ensembles d'un certain type :
> l'ensemble IN*-IN n'a pas de plus petit élément) Comme la
> manipulation de ces modèles est plus délicate (sans parler de la
> difficulté à les étendre à ZFC, ou d'y avoir l'axiome d'idéalisation
> vrai), on s'est mis à préférer l'approche de Nelson, ce qui conduit
> à l'affirmation que vous faites.
IST a été conçu pour les gens (comme moi :-/) qui ne connaissent rien
à la logique. Au fait, une petite question que j'ai depuis longtemps
et dont je n'ai jamais trouvé de réponse nulle part : si on travaille
dans ZFC+IST, est-ce-qu'on peut encore faire de la théorie des
catégories ? C'est-à-dire est-ce-qu'on peut encore rajouter des
cardinaux inaccessibles sans que cela pose de problème avec IST ?
pg.
Vincent Nesme
<45bee3bc$0$21145$7a62...@news.club-internet.fr>, a écrit :
>
> Heu... C'est vrai en IST (la version de Nelson de l'ANS). Dans les
> modèles de Robinson, au contraire, IN désigne les entiers usuels, et IN*
> une construction compliquée (quotient de IN^A par un ultrafiltre non
> trivial sur A dans la méthode des ultraproduits), dans lequel IN
> s'injecte canoniquement. Dans cette version, IN est bien un ensemble,
> mais IN* n'est pas un modèle du second ordre de IN (ou plutôt, les
> propriétés d'ensembles, comme l'axiome d'induction, doivent être
> restreintes aux ensembles d'un certain type : l'ensemble IN*-IN n'a pas
> de plus petit élément) Comme la manipulation de ces modèles est plus
> délicate (sans parler de la difficulté à les étendre à ZFC, ou d'y avoir
> l'axiome d'idéalisation vrai), on s'est mis à préférer l'approche de
> Nelson, ce qui conduit à l'affirmation que vous faites.
Ah, OK, je regarderai à quoi ça ressemble.
Joe Cool
> C'est-à-dire est-ce-qu'on peut encore rajouter des cardinaux
> inaccessibles sans que cela pose de problème avec IST ?
Comme si les cardinaux inaccessibles ne posaient pas d'assez gros
problèmes...
--
Joe Cool
Vincent Nesme
ultrafiltres, de manière générale), mais ça m'embête un peu que l'on n'ait
droit a priori qu'au premier ordre.
Du coup, je comprends la confusion qu'il y avait. C'est embêtant, ça, le
vocabulaire varie subtilement d'une version à l'autre de la théorie.
Alors chaque fois qu'on parle d'ANS, il faut mettre un gros bandeau pour
avertir si l'on se place dans le formalisme de Robinson ou dans celui de
Nelson ?
Denis Feldmann
Sans problème : L'équiconsistence de IST avec ZFC résulte de théorèmes
classiques (dans ZFC) (à savoir Lowenheim-Skolem plus ou moins adapté) ;
les axiomes de grands cardinaux (qui sont plus forts que Consis (ZFC))
ne posent pas de problèmes pour cette construction, en on aura donc de
même la possibilité d'ajouter les 3 (schémmas d') axiomes de IST sans
peredre l'équiconsistence.
> pg.
Denis Feldmann
Oui, j'en ai peur. Bon, cela dit, il me semble bien qu'IST est devenu
largement majoritaire, et d'un point de vue pédagogique, c'est sans
doute plus raisonnable, sauf qu'il faudrait peut-être remplacer
"standard" par "naïf" :-)...
Denis Feldmann
"Poète de vingt ans, d'avance assassiné, et que vengeaient déjà le
blasphème et l'injure"...
Je pense à toi, Joe Cool, mais avec moins de tendresse qu'Aragon...
>
Charles Dodgson
jojolapin
"Joe Cool" <zier...@free.fr> a écrit dans le message de news:
45befea2$0$24866$426a...@news.free.fr...
YBM
> Denis Feldmann a écrit :
>> c'est-à-dire qu'une construction de IR où ce résultat serait faux
>> mettrait tout le monde mal à l'aise...
>
> Tout est dit. Peu importe que l'orthodoxie soit mal foutue, insensée, ce
> qui compte c'est le confort des croyants. Il est bien plus confortable
> de décréter pour tous une vérité intangible plutôt que de risquer de
> perdre le pouvoir sur sa spécialité, de voir le peuple comprendre les
> maths au lieu de les admettre.
À ce léger détail près que ce sont tes assertions qui ont été démolies
par des raisonnements et non celles des autres intervenants de ce fil.
(au passage : répondre au message de Denis ainsi, reprenant cette
phrase hors-contexte est un joli exercice d'hypocrisie - mais je
t'ai vu faire pire : dire "alors, où j'ai dis ça ?" à 2 cm (en corps 9)
de ta citation)
C'est de ton côté, coco, que sont la croyance et le dogmatisme idiot, et
ils sont d'autant plus manifestes qu'ils ne sont pas orienté vers un
système ou une école, mais vers un bête ego (pire encore :l'ego d'un pseudo
stupide), un ego qui croit tout ce qu'il produit, même s'il ne prend
pas même le soin de se relire...
Vincent Lascaux
> est que les approximations rationnelles de 0.999... se rapprochent de
> plus en plus de 1... mais sans l'atteindre.
C'est là où tu te trompes. On n'échoue pas à représenter 0.999..., on le
représente même parfaitement !
On a un tas de définition derrière : la définition de R, de limite dans R,
les théorèmes d'unicité de la limite dans R qui permette l'écriture
limite(u_n) comme une fonction... pour en arriver à donner un sens à
l'écriture en base B "u0.u1u2..." où (un)n=1..n une suite de chiffres dans
[0..B[, et u0 dans Z comme une représentation du réel limite(somme(uk*10^-k,
k=0..n)).
Avec ces définitions de R, de limite, de série et avec cette convention
d'écriture, ALORS, 0.99999.... = 1. C'est démontré, ce n'est pas discutable.
Ce que tu peux faire, c'est définir de maths "non orthodoxes" comme tu les
appelles, personne n'a rien contre. Mais si tu sors du modèle de maths
usuel, il faut que tu précises les changements que tu fais, sinon la
discution n'a pas de sens.
Donc si tu veux changer le sens qu'on donne à 0.9999... pour qu'il ne soit
pas égal à 1, soit, donne juste ta définition de ce que tu notes u0.u1u2....
--
Vincent
Denis Feldmann
On prends des paris sur le fait que tu n'auras pas de définition, mais
des injures (ou du silence, ce qui serait tout de même un progrès)?
Joe Cool
>> En résumé, vous échouez à représenter 0.9999..., tout ce que vous dites
>> est que les approximations rationnelles de 0.999... se rapprochent de
>> plus en plus de 1... mais sans l'atteindre.
>
> C'est là où tu te trompes. On n'échoue pas à représenter 0.999..., on le
> représente même parfaitement !
Répéter cela ad nauseam ne rend pas la formalisation plus pertinente. Je
comprends cela comme un acte de foi. Que deux développements décimaux
puissent représenter un seul et même réel est déjà une tare en soi. Que
l'analyse orthodoxe ne permettent pas de rendre compte de la manière
dont un réel est approximé est inacceptable. Les mots 1 et 0.999... sont
trivialement différents, les forcer à être égaux est peut-être cohérent,
mais c'est insensé.
> On a un tas de définition derrière : la définition de R, de limite dans R,
> les théorèmes d'unicité de la limite dans R qui permette l'écriture
> limite(u_n) comme une fonction... pour en arriver à donner un sens à
> l'écriture en base B "u0.u1u2..." où (un)n=1..n une suite de chiffres dans
> [0..B[, et u0 dans Z comme une représentation du réel limite(somme(uk*10^-k,
> k=0..n)).
On a effectivement un tas de définitions derrière, et alors ? On est sur
fr.sci.maths tout de même. Vous semblez suggérer que la pratique usuelle
des maths passe par une soumission totale et inconditionnelle aux
définitions imposées par je ne sais quel mandarin.
> Avec ces définitions de R, de limite, de série et avec cette convention
> d'écriture, ALORS, 0.99999.... = 1. C'est démontré, ce n'est pas discutable.
>
> Ce que tu peux faire, c'est définir de maths "non orthodoxes" comme tu les
> appelles, personne n'a rien contre. Mais si tu sors du modèle de maths
> usuel, il faut que tu précises les changements que tu fais, sinon la
> discution n'a pas de sens.
> Donc si tu veux changer le sens qu'on donne à 0.9999... pour qu'il ne soit
> pas égal à 1, soit, donne juste ta définition de ce que tu notes u0.u1u2....
Toujours la même pirouette pathétique. Quand on fait remarquer aux
matheux qu'il y a une bonne raison pour qu'ils utilisent les mots « réel
», « exister », « égaux », ils répondent invariablement au moindre
problème « Tout est formel, rien n'a de sens. » Bla bla bla ! Vous
avouez à votre manière que vous ne savez pas de quoi vous parlez, que
vous répétez comme un perroquet ce qu'on vous a transmis, que vous
régurgitez à l'identique ce qu'on vous a fait ingurgiter, sans chercher
à comprendre, en acceptant tout cela sans broncher.
Nous sommes vraiment en pleine orthodoxie, on accepte l'analyse comme on
accepte la Bible et sa Parole Divine. On définit le Monde comme étant
l'Oeuvre de Dieu, puis on en déduit que « Oui, oui, Dieu existe, c'est
prouvé ! ». On s'extasie devant chaque paradoxe comme autant de mystères
de la Trinité. On préfère s'entêter dans les formalismes insensés comme
pour mieux les justifier. Les matheux usent de procédés d'inquisiteurs -
Hilbert le premier - puis ses vassaux. Un Denis Feldmann : « Je vais te
casser la gueule ! », un YBM : « Vas-y pendant que je le tiens ! ».
En fait, toutes les mathématiques contemporaines sont résumées dans
cette phrase prophétique de Hilbert : « Personne ne nous expulsera du
paradis que Cantor a créé pour nous. » Amen !
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool a écrit dans le message de news:
>> langage. Une chose qui tend vers une autre s'en rapproche indéfiniment
>> éventuellement sans jamais la toucher. L'inégalité 0.999...<>1 rend
>> compte de ce phénomène. Poser 0.999...=1 revient à dire que la suite
>> u_n=1-10^-n touche 1 à l'infini sous prétexte qu'elle ne touche jamais
>> 1. À l'infini il se passe ce que bon nous semble, personne n'ira jamais
>> vérifier. TOut ce qu'on peut voir, c'est qu'un système qui permet de
>> montrer que 0.999...=1 est un mauvais système, et qu'il faut donc le
>> rejeter sans se soucier de la politique ou des caprices de quelques gros
>> bonnets.
>
> Désolé mais 0<=1-0.99999......<=10^-n quelques soit n (entier)
On se croirait à Jeopardy...
--
Joe Cool