Formule generale pour sin(nx) et cos(nx)

[Raphael Giromini]

A la suite d'un exo pose sur ce NG, je me suis demande s'il existait des
formules generales pour sin(n*x) et cos(n*x) ou n est un entier naturel.

Je connais la solution pour n = 2
sin(2x) = 2sin(x)cos(x) et cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2

D'ailleurs, c'est une formule que j'ai betement appris par coeur il y a fort
longtemps, comment puis je le demontrer.
En clair: comment montre-t-on les formules de sin(x+y) et cos(x+y) ????

Pour n = 3, on peut procede comme suit:
sin(3x) = sin(2x+x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)
= 3sin(x)cos(x)^2 - sin(x)^3
et
cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)
= cos(x)^3 - 3cos(x)sin(x)^2

Pour n = 4 /Mathematica/ me donne
sin(4x) = 4 cos(x) ( cos(x) - sin(x) ) sin(x) (cos(x) + sin(x) )...

Bon, on pourrait pas trouver une forme generale (peut-etre qu'elle existe
deja, cela ne m'etonnerait guere que les mathematiciens arabes du Xe siecle
aient deja calcule cela, mais alors, dans quels livres puis-je trouver de
telles formules???)
Merci d'avance.
--
"Il n'a pas de solutions car il n'y a pas de probleme..."
@+
Raph

[Antoine Chambert-Loir]

In article <72v9c6$qba$1...@platane.wanadoo.fr>,

Raphael Giromini <raphael....@wanadoo.fr> wrote:
>A la suite d'un exo pose sur ce NG, je me suis demande s'il existait des
>formules generales pour sin(n*x) et cos(n*x) ou n est un entier naturel.

Écrire e^(ix)=cos(x)+i sin(x),
mettre à la puissance n, développer avec le binôme de Pascal
Écrire que cos(nx)=(e^(inx)+e^(-inx))/2 et une formule analogue
pour sin(nx).

--
Antoine

[Stéphane Ménart]

Une méthode consiste à utiliser la formule de De Moivre
(cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx) (où i^2 = -1)
Ensuite, il suffit d'appliquer la formule du binôme pour développer le
membre de gauche, et d'égaler les parties réelles et imaginaires.
Il vient:
cos(nx)=(cos(x))^n-(n,2)*(cos(x))^(n-2)*sin(x)^2+(n,4)*(cos(x))^(n-4)*sin(x)^4-...
et
sin(nx)=(n,1)*(cos(x))^(n-1)*sin(x)-(n,3)*(cos(x))^(n-3)*(sin(x))^3+...

où l'on pose (n,k)=n!/(k!*(n-k)!) (coefficient du binôme)

Stéphane

Raphael Giromini wrote:
>
> A la suite d'un exo pose sur ce NG, je me suis demande s'il existait des
> formules generales pour sin(n*x) et cos(n*x) ou n est un entier naturel.
>

...

[Michel TERRISSE]

Raphael Giromini wrote in message <72v9c6$qba$1...@platane.wanadoo.fr>...

>A la suite d'un exo pose sur ce NG, je me suis demande s'il existait des
>formules generales pour sin(n*x) et cos(n*x) ou n est un entier naturel.

Il y a les polynôme de Tchebicheff (Tn)(n ds N) définis par
T0 = 1
T1 = X
T(n+1) = 2.X.T(n) - T(n - 1)

Par récurrence on a de façon immédiate
cos(n.x) = Tn(cos(x))
Par dérivation, on en déduit
sin(n.x) = Un(cos(x)).sin(x)
où Un est -1/n fois la dérivée de Tn

Notons que (Un)(n ds N) peut être construite directement par
U0 = 0
U1 = 1
U(n+1) = 2.X.U(n) - U(n - 1)

Michel