Matrices carrées (antisymétriques..??)
stef
Soit la matrice C :
0 a b c d
-a 0 e f g
-b -e 0 h i
-c -f -h 0 j
-d -g -i -j 0
à coefficients complexes
Peut-on montrer que Det(C) = 0 comme ça ?
tC est la transposée de C,
On a (-1)*C = tC
donc Det((-1)*C) = Det(tC)
ce qui donne : -Det(C) = Det(tC)
Or on a forcément Det(C) = Det(tC)
Alors Det(C) = 0
Et peut-on résumer ça en disant :
C est antisymétrique => Det(C) = 0 ?
STEF
stef
stef <oto...@free.fr> a écrit dans le message :
LBu_6.9595$EJ6.3...@nnrp6.proxad.net...
> Bonjour,
>
> Soit la matrice C :
>
> 0 a b c d
> -a 0 e f g
> -b -e 0 h i
> -c -f -h 0 j
> -d -g -i -j 0
>
> à coefficients complexes
>
> Peut-on montrer que Det(C) = 0 comme ça ?
>
> tC est la transposée de C,
>
> On a (-1)*C = tC
> donc Det((-1)*C) = Det(tC)
> ce qui donne : -Det(C) = Det(tC)
Je précise que c'est parce que le nombre de colonnes est impaire
Donc multiplier la matrice par -1 revient à multiplier par -1 chacune des
colonnes
or (-1)^5 = -1
> Or on a forcément Det(C) = Det(tC)
> Alors Det(C) = 0
>
> Et peut-on résumer ça en disant :
> C est antisymétrique => Det(C) = 0 ?
Donc plutôt : C est antisymétrique carrée d'ordre impaire => Det(C) = 0
?
> STEF
>
>
>
>
>
>
mathieu.linet
> Peut-on montrer que Det(C) = 0 comme ça ?
>
> tC est la transposée de C,
>
> On a (-1)*C = tC
> donc Det((-1)*C) = Det(tC)
> ce qui donne : -Det(C) = Det(tC)
attention : c'est juste mais car C est une matrice 5*5 :
Det(-C) = (-1)^5 * Det(C)
> Or on a forcément Det(C) = Det(tC)
> Alors Det(C) = 0
>
> Et peut-on résumer ça en disant :
> C est antisymétrique => Det(C) = 0 ?
Non ce n'est vrai que si C est une matrice i*i avec i impair
contre exemple avec i pair :
0 -1
1 0
elle est antisymétrique et de det = 1
mathieu.linet
> Donc plutôt : C est antisymétrique carrée d'ordre impaire => Det(C) = 0
> ?
Ken Pledger
<oto...@free.fr> a écrit:
> ....
> Donc plutôt : C est antisymétrique carrée d'ordre impaire => Det(C) = 0
> ?....
Oui. Et aussi:
C est antisymétrique d'ordre _paire_ => Det(C) est une polynôme carrée.
Par exemple:
| 0 a|
|-a 0| = a^2
| 0 a b c|
|-a 0 d e|
|-b -d 0 f| = (af - be + cd)^2.
|-c -e -f 0|
Ken Pledger.
Chesneau Xavier
"Ken Pledger" <Ken.P...@vuw.ac.nz> a écrit dans le message news:
Ken.Pledger-28...@pascal.mcs.vuw.ac.nz...
> Par exemple:
>
> | 0 a|
> |-a 0| = a^2
>
> | 0 a b c|
> |-a 0 d e|
> |-b -d 0 f| = (af - be + cd)^2.
> |-c -e -f 0|
>
>
> Ken Pledger.
Avez vous une démonstration de ce dernier résultat ?
Merci
pascal ORTIZ
Chesneau Xavier <CHESNEA...@wanadoo.fr> a écrit dans l'article
<9hfe2q$gle$1...@wanadoo.fr>...
Par un resultat classique, toute matrice antisymetrique M
a coefficients dans un corps commutatif K
est congruente a une matrice D=diag(A,...,A,O), diagonale par blocs
avec
A= 0 -1
1 0
(c'est aussi le theoreme de classification des formes bilineaires
alternees).
Comme det(A)=1, on a det(M)=det(P)^2 si M est d'ordre impair.
Quand on considere M antisymetrique generique ie M=(X_ij) d'ordre n avec
X_ij = - X_ij
et qu'on regarde M a coefficients dans le corps des fractions
rationnelles en les X_ij (1<=i<j<=n), on voit que det(M) est le carre d'une
fraction rationnelle
et assez facilement en fait le carre d'un polynome en les n(n-1)/2
indeterminees X_ij.
Au signe pres, le polynome en question est le pfaffien de M.
Pascal.
Michel TALON
: Chesneau Xavier <CHESNEA...@wanadoo.fr> a écrit dans l'article
: Pascal.
Incidemment une démonstration qui est jolie, dans le livre de
N. Berline E.Getzler et M. Vergne
On définit le Pfaffien de la matrice antisymètrique A comme suit:
(le wedge product est noté W) c'est le coeff de e_1 W e_2 W ...W e_n dans
exp ( sum_{i<j} A_{ij} e_i W e_j )
où l'exponentielle est calculée comme d'habitude, mais dans l'algèbre
alternée.
Alors il est clair que c'est un polynome dans les éléments de matrice de A.
Et qu'on peut changer de base. On calcule dans la
base que tu dis où A e_1 = c e_2 et A e_2 = -c e_1 etc.
Sur ce bloc 2 x 2 le Pfaffien vaut c et le déterminant c^2. Donc en
général le carré du Pfaffien est égal au déterminant.
--
Michel TALON
Chesneau Xavier
>
stef
>Quand on considere M antisymetrique generique ie M=(X_ij) d'ordre n avec
> X_ij = - X_ij
> et qu'on regarde M a coefficients dans le corps des fractions
> rationnelles en les X_ij (1<=i<j<=n), on voit que det(M) est le carre
d'une
> fraction rationnelle
> et assez facilement en fait le carre d'un polynome en les n(n-1)/2
> indeterminees X_ij.
> Au signe pres, le polynome en question est le pfaffien de M.
>