Re: Histoire d'i [WAS] [HS] Re: Windows 95

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efji

unread,
Sep 12, 2023, 5:22:33 PMSep 12
to
Le 12/09/2023 à 22:24, "Benoît L." a écrit :
> Avec enthousiasme, le 12 septembre 2023 à 18:45, efji écrivit :
>
>
>> Le 12/09/2023 à 17:48, "Benoît L." a écrit :
>>> Le 12 septembre 2023 à 17:06, efji d'un élan de joie s'exprima ainsi :
>>>> Le 12/09/2023 à 17:01, "Benoît L." a écrit :
>>>>> Avec enthousiasme, le 11 septembre 2023 à 18:06, efji écrivit :
>>>>>> Je vous conseille l'excellente page wikipedia :
>>>>>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_nombres_complexes
>>>>>
>>>>> Maintenant j’ai un petit pb*, je ne vois pas l’erreur :
>>>>> « ainsi voit-on encore, sous la plume d'Euler en 176814 la règle
>>>>> » suivante : √–1√–4 = √4 alors que la notation de Bombelli piu di
>>>>> » meno R.q. 1 via piu di meno R.q.4 aurait donné meno R.q.4 »
>>>>
>>>> √–1√–4 est sensé représenter i x (2i), donc le résultat est -2 (meno R.q.4)
>>>>
>>>> Si on écrit √–1√–4 = √4 on fait implicitement une sorte de
>>>> distributivité du signe "-": √–1√–4 = √1√4, ce qui n'est pas correct.
>>>
>>> Peut-être mais √4 = ± 2, donc √–1√–4 = i * (±2i) = i² * (±2) = ±2
>>>
>>> Il y a autant de solutions que de degrés, non ?
>>>
>>
>> Non. √4 = 2, c'est une notation. Le radical désigne la racine positive.
>
> Faudrait être d’accord, les gars. Plus bas dans la page :
>
> « Cette erreur a fait couler beaucoup d'encre car il est clair qu'Euler
> » maîtrisait à cette époque très bien les nombres complexes : pour
> » Flament (Flament 2003, p. 321) il s'agit d'une confusion due au désir
> » d'Euler de transposer aux racines carrées des nombres négatifs des
> » règles appliquées aux racines carrées des nombres positifs, pour
> » Cajori (Cajori 1928, p. 127 par. 496), il s'agit d'une erreur
> » d'imprimeur qu'Euler, à la vue faible, n'aurait pas détectée, pour
> » Hamon (Hamon 1998, p. 254), il n'y a pas d'erreur car il faut voir le
> » signe racine carrée comme une fonction multiforme (deux valeurs
> » possibles) comme le précise Euler dans la section 150 [archive] du
> » même ouvrage “il faut lire √4 comment pouvant valoir 2 ou –2”. »
>
>

Bon, je ne vais pas me battre contre Euler :)
Il faut comprendre que les notations mathématiques utilisées aujourd'hui
ont été pour certaines fixées récemment. Même les articles du XIXe
siècles ont parfois des façons bizarres d'exprimer les choses.

En tout cas au XXIe siècle, pour l'ensemble des humains, le radical noté
√ est une fonction positive et univoque, et √4 = 2.
Pour y positif, les solutions de x^2=y sont √y et -√y.

--
F.J.

Michel Talon

unread,
Sep 12, 2023, 6:31:21 PMSep 12
to
Le 12/09/2023 à 23:22, efji a écrit :
> En tout cas au XXIe siècle, pour l'ensemble des humains, le radical noté
> √ est une fonction positive et univoque, et √4 = 2.

Peut être au collège ou au lycée, mais certainement pas pour l'ensemble
des humains. Après elle est étendue à C et il n'y a plus aucune unicité
sur la manière de procéder. La façon la plus usuelle est de définir une
coupure sur les réels négatifs, et de prolonger par continuité la valeur
positive sur l'axe réel positif, mais la position de la coupure est
parfaitement arbitraire. Comme le dit Dieudonné une façon sérieuse de
considérer ce genre de question est de définir la surface de Riemann
de ces fonctions algébriques, auquel cas elles sont bien monovaluées
sur la surface de Riemann. Pour le cas de la racine carrée, la surface
de Riemann est un revêtement à deux feuillets de C avec deux points
de branchement en 0 et l'infini, ce qui ne fait jouer aucun rôle
particulier à une coupure. Ainsi le signe plus ou moins devant la racine
est déterminé par la position sur l'un des deux feuillets. Même type de
problème pour le logarithme. Finalement je trouve que ce que dit Euler
est bien plus intelligent.


--
Michel Talon

jdanield

unread,
Sep 13, 2023, 2:39:08 AMSep 13
to
Le 13/09/2023 à 00:31, Michel Talon a écrit :
> Le 12/09/2023 à 23:22, efji a écrit :
>> En tout cas au XXIe siècle, pour l'ensemble des humains, le radical noté
>> √ est une fonction positive et univoque, et √4 = 2.
>
> Peut être au collège ou au lycée, mais certainement pas pour l'ensemble
> des humains.

je doute que l'ensemble des humains comprennent quoi que ce soit dans ce
que tu dis (et qu'il est inutile de reproduire :-()

jdd

--
c'est quoi, usenet? http://www.dodin.org/wiki/pmwiki.php?n=Usenet.Usenet

efji

unread,
Sep 13, 2023, 5:59:12 AMSep 13
to
Le 13/09/2023 à 00:31, Michel Talon a écrit :
> Le 12/09/2023 à 23:22, efji a écrit :
>> En tout cas au XXIe siècle, pour l'ensemble des humains, le radical
>> noté √ est une fonction positive et univoque, et √4 = 2.
>
> Peut être au collège ou au lycée, mais certainement pas pour l'ensemble
> des humains. Après elle est étendue à C et il n'y a plus aucune unicité

On ne parle pas de la racine carrée mais du radical √.
Cette notation ne s'applique qu'aux réels positifs et est univoque.
J'interdis strictement à mes étudiants d'écrire √i ou même √(-1).
On peut éventuellement écrire (i)^(1/2) mais c'est dangereux et peu
utile en pratique car non univoque.


> sur la manière de procéder. La façon la plus usuelle est de définir une
> coupure sur les réels négatifs, et de prolonger par continuité la valeur
> positive sur l'axe réel positif, mais la position de la coupure est
> parfaitement arbitraire. Comme le dit Dieudonné une façon sérieuse de
> considérer ce genre de question est de définir la surface de Riemann
> de ces fonctions algébriques, auquel cas elles sont bien monovaluées
> sur la surface de Riemann. Pour le cas de la racine carrée, la surface
> de Riemann est un revêtement à deux feuillets de C avec deux points
> de branchement en 0 et l'infini, ce qui ne fait jouer aucun rôle
> particulier à une coupure. Ainsi le signe plus ou moins devant la racine
> est déterminé par la position sur l'un des deux feuillets. Même type de
> problème pour le logarithme. Finalement je trouve que ce que dit Euler
> est bien plus intelligent.

La confiture...

--
F.J.

Michel Talon

unread,
Sep 13, 2023, 6:25:12 AMSep 13
to
Le 13/09/2023 à 11:59, efji a écrit :
>
> On ne parle pas de la racine carrée mais du radical √.
> Cette notation ne s'applique qu'aux réels positifs et est univoque.

C'est manifestement faux, tout le monde écrit les racines de l'équation
du second degré avec sqrt(delta) pour un delta symbolique, le sqrt étant
représenté par un radical √.
En ce qui concerne les surfaces de Riemann et la confiture, il se trouve
que ça a été mon domaine de travail pendant des années, donc j'y suis
sensibilisé. Et je partage l'opinion de Arnold que c'est une des plus
belles théories des mathématiques, contenant en germe beaucoup de
théories modernes (étendues au cas de plusieurs variables, et au cas de
corps plus généraux que C). Je suis convaincu de ce fait que la
définition univoque √4 = 2 est sans intérêt autre que d'éviter la
confusion dans l'enseignement le plus élémentaire.


--
Michel Talon

efji

unread,
Sep 13, 2023, 7:09:38 AMSep 13
to
Le 13/09/2023 à 12:25, Michel Talon a écrit :
> Le 13/09/2023 à 11:59, efji a écrit :
>>
>> On ne parle pas de la racine carrée mais du radical √.
>> Cette notation ne s'applique qu'aux réels positifs et est univoque.
>
> C'est manifestement faux, tout le monde écrit les racines de l'équation
> du second degré avec sqrt(delta) pour un delta symbolique, le sqrt étant

"tout le monde". Pas dans le mien :)
Je fais bien attention à cela auprès des étudiants.

La page wikipedia est assez claire là dessus à plusieurs endroits
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e

Notion algébrique générale
Définition algébrique d'une racine carrée
Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x^2 = a. L'élément x
est alors une racine carrée de a. La notation √a est néanmoins souvent
déconseillée car il peut exister plusieurs tels éléments x.

Racines carrées de nombres complexes
...
Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination
principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation
{\displaystyle {\sqrt {zz'}}={\sqrt {z}}{\sqrt {z'}}} devient fausse en
général.


> représenté par un  radical √.
> En ce qui concerne les surfaces de Riemann et la confiture, il se trouve
> que ça a été mon domaine de travail pendant des années, donc j'y suis
> sensibilisé. Et je partage l'opinion de Arnold que c'est une des plus
> belles théories des mathématiques, contenant en germe beaucoup de
> théories modernes (étendues au cas de plusieurs variables, et au cas de
> corps plus généraux que C). Je suis convaincu de ce fait que la
> définition univoque  √4 = 2 est sans intérêt autre que d'éviter la
> confusion dans l'enseignement le plus élémentaire.

La définition univoque √4 = 2 a un intérêt essentiel: elle permet
d'écrire des expressions algébriques et de faire des calculs!
si √4 = \pm 2, alors que vaut
\sum_{i=0}^\infty \sqrt{x_i} ?

--
F.J.

Julien Arlandis

unread,
Sep 13, 2023, 7:49:04 AMSep 13
to
Est ce que l'on peut affirmer que sqrt(1) = 1^(1/2) ?
Si tel est le cas j'en suis resté au fait que 1^(1/2) est multivalué et
trouve ses solutions dans {-1; 1}.
Dans ce cas comment évaluer 1^(1/2) + 1^(1/2) ? Doit on accepter la
valeur 0 comme résultat ?

efji

unread,
Sep 13, 2023, 8:08:06 AMSep 13
to
Mais non. Si on prend de telles conventions on ne peut plus rien
calculer. Essentiellement x^{1/2}=\sqrt{x} (un réel positif)
Parfois on peut accepter la notation x^{1/2} pour x complexe, justement
pour éviter d'utiliser \sqrt qui est tabou, mais en sachant bien que la
racine carrée d'un complexe est ambigue.

Pour les mêmes raisons on essaye d'éviter d'écrire \sqrt{A} pour A une
matrice symétrique réelle définie positive ou hermitienne, bien que l'on
puisse définir une racine unique par convention (mais il y a plusieurs
matrices B telles que B^2 = A).


--
F.J.

Michel Talon

unread,
Sep 13, 2023, 9:15:25 AMSep 13
to
Le 13/09/2023 à 14:08, efji a écrit :
>>
>> Est ce que l'on peut affirmer que sqrt(1) = 1^(1/2) ?
>> Si tel est le cas j'en suis resté au fait que 1^(1/2) est multivalué
>> et trouve ses solutions dans {-1; 1}.
>> Dans ce cas comment évaluer 1^(1/2) + 1^(1/2) ? Doit on accepter la
>> valeur 0 comme résultat ?
>>
>
> Mais non. Si on prend de telles conventions on ne peut plus rien
> calculer. Essentiellement x^{1/2}=\sqrt{x} (un réel positif)
> Parfois on peut accepter la notation x^{1/2} pour x complexe, justement
> pour éviter d'utiliser \sqrt qui est tabou, mais en sachant bien que la
> racine carrée d'un complexe est ambigue.


Je me contenterai de citer Dieudonné dans le texte:
Elements d'analyse, Chapitre 9, Introduction

... Le lecteur ne trouvera, dans ce chapitre aucune allusion aux
fonctions dite à valeur multiple ou fonctions multiformes. ... (avec
elles) il est impossible d'utiliser les expressions algébriques les plus
élémentaires de façon raisonnable, par exemple la relation 2√z=√z+√z
n'est certainement pas vraie ....
Heureusement il existe une solution a cette difficulté qui n'a rien à
voir avec un tel non sens. Elle a été découverte par Riemann, il y a
plus de 100 ans: elle consiste à rétablir l'unicité de la valeur de √z
en doublant pour ainsi dire le domaine de la variable z, de sorte que
les deux valeurs de √z correspondent à deux points au lieu d'un seul ....

C'est le fameux revêtement ramifié à deux feuillets, ce que Dieudonné ne
dit pas dans cette brève description c'est qu'il y a deux points de
branchement (ou ramification) en 0 et infini au dessus desquels il y a
juste une valeur de √z. Ceci concerne l'équation y^2=z, il y a la
construction analogue pour n'importe quelle relation polynomiale
P(y,z)=0 avec des points de branchement là où y=y(z) a des racines
multiples. La surface de Riemann de P est définie par prolongement
analytique dans la version "fonction de variable complexe", par exemple
dans Springer Introduction to Riemann surfaces, mais aussi de façon
purement algébrique, par exemple dans Zariski et Samuel.

Je pense que garder ces considérations en mémoire est important quand on
commence à se préoccuper d'expressions contenant des radicaux dans des
logiciels de calcul symbolique (maxima, etc.). L'une des jérémiades qui
revient souvent dans le courrier de maxima vient de gens qui
ne veulent pas comprendre que dans ce contexte une racine carrée a 2
valeurs. C'est pourquoi je pense qu'insister de façon rigide sur √4=2
rend peut être service à l'école élémentaire mais certainement pas dans
la suite.

Sans même aller dans des mathématiques ultra éthérées, en physique, le
problème de la diffraction par un demi plan a été résolu par Sommerfeld
en utilisant une surface de Riemann. C'est l'une des plus jolies
solutions de toute la physique théorique classique.

--
Michel Talon

efji

unread,
Sep 13, 2023, 9:55:16 AMSep 13
to
Le 13/09/2023 à 15:15, Michel Talon a écrit :
> Le 13/09/2023 à 14:08, efji a écrit :
>>>
>>> Est ce que l'on peut affirmer que sqrt(1) = 1^(1/2) ?
>>> Si tel est le cas j'en suis resté au fait que 1^(1/2) est multivalué
>>> et trouve ses solutions dans {-1; 1}.
>>> Dans ce cas comment évaluer 1^(1/2) + 1^(1/2) ? Doit on accepter la
>>> valeur 0 comme résultat ?
>>>
>>
>> Mais non. Si on prend de telles conventions on ne peut plus rien
>> calculer. Essentiellement x^{1/2}=\sqrt{x} (un réel positif)
>> Parfois on peut accepter la notation x^{1/2} pour x complexe,
>> justement pour éviter d'utiliser \sqrt qui est tabou, mais en sachant
>> bien que la racine carrée d'un complexe est ambigue.
>
>
> Je me contenterai de citer Dieudonné dans le texte:
> Elements d'analyse, Chapitre 9, Introduction

On ne dira jamais assez tout le mal qu'ont fait Dieudonné et Bourbaki
aux mathématiques. Heureusement on en est sortis depuis un moment et
plus personne ne se revendique aujourd'hui Bourbakiste, sauf peut-être
quelques retraités sur ce forum :)
Mépris classique :) C'est à ça qu'on les reconnaît.

>
> Sans même aller dans des mathématiques ultra éthérées, en physique, le
> problème de la diffraction par un demi plan a été résolu par Sommerfeld
> en utilisant une surface de Riemann. C'est l'une des plus jolies
> solutions de toute la physique théorique classique.
>

--
F.J.

Samuel Devulder

unread,
Sep 13, 2023, 4:25:02 PMSep 13
to
Le 13/09/2023 à 15:15, Michel Talon a écrit :

> par exemple dans Zariski et *Samuel* .

Oui ?

Nan désolé de l'interruption, j'ai cru qu'on m’appelait :)

sam.
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