Projecteur et Algebre Linéaire ...
KLYS
Je sollicite votre aide pour m'indiquer des pistes sur cet exo parce que je
tourne en rond depuis pls jours ! :)
f et g etant 2 projecteurs de E, montrer que fog est aussi un projecteur ssi
Imf inter (Img + Kerf) inclu dans Img + (Kerf inter Kerg)
J'ai essayé de me servir du fait que Imf inter (Img + Kerf) = Im(fog) mais
sans bcp de succes !
En fait ds le sens direct je prend un y apprtenant à Imf inter (Img +
Kerf) = Im(fog) donc
y = fog(x) et je décompose y = y -g(x) + g(x) mais je n'arrive pas a
montrer que y-g(x) app a Kerg ...
--
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" Placez votre main sur un poêle une minute et ça vous semble durer une
heure. Asseyez vous auprès d'une jolie fille une heure et ça vous semble
durer une minute. C'est ça la relativité "
Albert Einstein
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Sylvain Gautier
e-mail : sylva...@wanadoo.fr
ICQ # : 40273456
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Pascal
"KLYS" <sylva...@wanadoo.fr> a écrit dans le message news:
akside$a1n$1...@wanadoo.fr...
> Hello !
> Je sollicite votre aide pour m'indiquer des pistes sur cet exo parce que
je
> tourne en rond depuis pls jours ! :)
> f et g etant 2 projecteurs de E, montrer que fog est aussi un projecteur
ssi
> Imf inter (Img + Kerf) inclu dans Img + (Kerf inter Kerg)
>
> J'ai essayé de me servir du fait que Imf inter (Img + Kerf) = Im(fog)
mais
> sans bcp de succes !
> En fait ds le sens direct je prend un y apprtenant à Imf inter (Img +
> Kerf) = Im(fog) donc
> y = fog(x) et je décompose y = y -g(x) + g(x) mais je n'arrive pas a
> montrer que y-g(x) app a Kerg ...
> --
>
C'est beaucoup plus simple qu'il n'y paraît.
Soit x dans E.
==> On a fg(x)=gfg(x)+[fg(x)-gfg(x)]
et comme g est un projecteur c'est que le crochet est dans
ker(g). D'autre part, en utilisant que f et fg sont des projecteurs, on a
f[fg(x)-gfg(x)]=fg(x)-(fg)^2(x)=0 et
donc le crochet est aussi dans ker(f) ce qui prouve l'inclusion demandée.
<== Par hypothèse, il existe u dans Im(g) et v dans ker(f) n ker(g) (où n
est 'inter') tels que fg(x)=u+v.
Comme u est dans Im(g) et que v est dans ker(g) et que g est un projecteur,
c'est que
u=g(fg(x)) et donc v=fg(x)-gfg(x). Enfin, comme v est dans ker(f) et que f
est un projecteur, on a fg(x)-fgfg(x)=0 et donc fg est effectivement un
projecteur.
Très joli exo, je me demande d'où il sort.
Comme tu l'avais remarqué, que fg soit un projecteur ou non,
Im(fg)=Im(f) n (Im(g)+ker(f)). De même, il me semble que
ker(fg)=ker(g)+(ker(f) n Im(g)).
Pascal
> Hello !
> Je sollicite votre aide pour m'indiquer des pistes sur cet exo parce que je
> tourne en rond depuis pls jours ! :)
> f et g etant 2 projecteurs de E, montrer que fog est aussi un projecteur ssi
> Imf inter (Img + Kerf) inclu dans Img + (Kerf inter Kerg)
>
> J'ai essayé de me servir du fait que Imf inter (Img + Kerf) = Im(fog) mais
> sans bcp de succes !
> En fait ds le sens direct je prend un y apprtenant à Imf inter (Img +
> Kerf) = Im(fog) donc
> y = fog(x) et je décompose y = y -g(x) + g(x) mais je n'arrive pas a
> montrer que y-g(x) app a Kerg ...
C'est beaucoup plus simple qu'il n'y paraît.
Soit x dans E.
==> On a fg(x)=gfg(x)+[fg(x)-gfg(x)]
et comme g est un projecteur c'est que le crochet est dans
ker(g). D'autre part, en utilisant que f et fg sont des projecteurs, on a
f[fg(x)-gfg(x)]=fg(x)-(fg)^2(x)=0 et
donc le crochet est aussi dans ker(f) ce qui prouve l'inclusion demandée.
<== Par hypothèse, il existe u dans Im(g) et v dans ker(f) n ker(g) (où n
est 'inter') tels que fg(x)=u+v.
Comme u est dans Im(g) et que v est dans ker(g) et que g est un projecteur,
c'est que
u=g(fg(x)) et donc v=fg(x)-gfg(x). Enfin, comme v est dans ker(f) et que f
est un projecteur, on a fg(x)-fgfg(x)=0 et donc fg est effectivement un
projecteur.
Très joli exo, je me demande d'où il sort.
Comme tu l'avais remarqué, que fg soit un projecteur ou non,
Im(fg)=Im(f) n (Im(g)+ker(f)). De même, il me semble que
ker(fg)=ker(g)+(ker(f) n Im(g)).
Pascal.