dérivée de |x| quand x->0
TSalm
Je ne comprends pas bien pourquoi la limite de la valeur absolue de x
n'est pas dï¿œrivable en 0.
Ca ne devrait pas ï¿œtre 0 ?
Merci d'avance pour vos lumiï¿œres.
-TSalm
sotwafits
> Je ne comprends pas bien pourquoi la limite de la valeur absolue de x
> n'est pas dï¿œrivable en 0.
Bonjour
Cela n'a aucun sens : la notion de dￜrivabilitￜ ne s'applique qu'aux
fonctions.
Mais une limite n'est pas une fonction. Une limite est un scalaire.
ï¿œa n'a donc pas de sens de dire que la limite d'une fonction est dï¿œrivable.
Si tu veux parler de la dￜrivabilitￜ de la fonction valeur absolue en 0,
il suffit d'appliquer la dￜfinition de la dￜrivabilitￜ en un point pour
comprendre ce qui se passe.
zwim
TSalm a �crit
>
>Je ne comprends pas bien pourquoi la limite de la valeur absolue de x
>Ca ne devrait pas �tre 0 ?
>
>Merci d'avance pour vos lumi�res.
>
>-TSalm
Que vaut la d�riv�e de |x| en 0 ?
D'apr�s la d�finition c'est la limite quand x->0
de |x| - 0 / (x-0) = |x| / x = signe(x)
c�d +1 si x > 0 et -1 si x < 0.
On dit qu'une fonction est d�rivable en un point x0 si le quotient
f(x)-f(x0)/(x-x0) admet une limite.
Or ici ce n'est pas le cas puisqu'il y a deux valeurs possibles et que
de plus la valeur en 0 est "ind�finie" (i.e. 0/0).
On parle alors g�n�ralement de demi-tangentes au point consid�r�.
Ici quand x -> 0+ (i.e x tend vers 0 tout en �tant positif),
f+' (x) = +1
Et quand x -> 0- (i.e x tend vers 0 tout en �tant n�gatif),
f-' (x) = -1
On a les deux demi-tangentes (1,-1) et (1,1) au point (0,0) de la
courbe y = |x|
Quand la valeur de f+' et f-' sont �gales cela signifie que les 2
demi-tangentes sont align�es et on parle donc de f ' sans ambiguit� en
ce point.
Bien entendu on peut toujours poser par convention
f ' (x) = ( f+'(x) + f-'(x) ) / 2
Ce qui nous am�nerait ici � consid�rer que f'(0) = (+1 - 1) / 2 = 0,
mais il ne s'agit que d'une pure convention esth�tique.
Un autre point de vue plus avanc�, par exemple la th�orie des
distributions nous am�ne plut�t � poser f '(0) = 2 * dirac(0).
O� la distribution dirac(a) vaut l'infini au point a, et 2 parce que
c'est l'�cart entre -1 et +1, les d�riv�es � gauche et � droite de 0.
G�n�ralement on se limite � l'usage strict et on ne parle de
d�rivabilit� qu'aux points o� la limite existe (i.e. la limite du
quotient ne peut prendre qu'une seule valeur bien d�finie).
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volont� humaine...
zwim
zwim a �crit
>distributions nous am�ne plut�t � poser f '(0) = 2 * dirac(0).
>O� la distribution dirac(a) vaut l'infini au point a, et 2 parce que
>c'est l'�cart entre -1 et +1, les d�riv�es � gauche et � droite de 0.
ERRATA: 2 * dirac(0) ce serait plut�t la d�riv�e seconde, je me suis
emport�.
Alan
0, on la voit bien quand on dessine la fonction. Cette «cassure», on peut
essayer de la décrire.
Déjà, ce n'est pas une «cassure» du type 'discontinuité' : on ne lève pas
le crayon quand on dessine la fonction.
En fait, c'est une cassure de «vitesse d'évolution». En clair, à gauche
de 0, si j'avance de 1, je diminue de 1 (*). À droite, si j'avance de 1,
j'augmente de 1.
En 0, c'est vraiment impossible à dire, parce que suivant le chemin que
je prends, bah je change la «vitesse d'évolution». Ce dont je suis sûr,
c'est qu'à gauche, la vitesse, je l'estime à -1, et à droite je l'estime
à 1.
On pourrait se mettre d'accord pour dire que, lorsque ça arrive, on fait
la somme : -1+1 = 0, oui. Mais en fait, ça ne nous importe aucune
information utile (si ce n'est «vers où penche le point ?» peut-être), et
surtout ce n'est pas comme ça qu'on définit une dérivée, tout simplement.
Il faut faire preuve d'imagination pour bien comprendre la dérivation...
mais pas au point de changer les définitions !
(*) si x < -1 f(x+1)=f(x)-1, c'est clair.
mais pour le cas : -1 < x < 0, on voit :
f(x+a) = f(x) - a avec x < a < 0
c'est-à-dire : si j'avance de a, je recule de a.
Et je peux me rapprocher comme ça indéfiniment de 0 avec x... Mais dès
que je dépasse un tout petit peu zéro, je me retrouve à droite, et ça
devient beaucoup plus compliqué.
N'hésite pas à te renseigner sur le sujet, c'est un formidable outil, les
dérivées, on peut les utiliser partout, et ça t'aidera de nombreuses fois
au cours de ta scolarité. Ça été aussi historiquement un sujet de
discorde et une porte ouverte vers plein de bonnes choses en
mathématiques. Beaucoup de gens ont longtemps pensé que le «calcul
infinitésimal» n'était pas vraiment du calcul... Mais on a fini par
comprendre d'où ça venait, et aujourd'hui, les scientifiques utilisent
les dérivées comme ils utilisent l'addition de deux nombres entiers :
tous les jours.
Cordialement,
--
Alan
zwim
Alan a �crit
>La fonction f, qui � tout r�el x associe le r�el |x|, a une �cassure� en
>
>D�j�, ce n'est pas une �cassure� du type 'discontinuit�' : on ne l�ve pas
>
>de 0, si j'avance de 1, je diminue de 1 (*). � droite, si j'avance de 1,
>j'augmente de 1.
>
>En 0, c'est vraiment impossible � dire, parce que suivant le chemin que
>je prends, bah je change la �vitesse d'�volution�. Ce dont je suis s�r,
>c'est qu'� gauche, la vitesse, je l'estime � -1, et � droite je l'estime
>� 1.
>
>On pourrait se mettre d'accord pour dire que, lorsque �a arrive, on fait
>la somme : -1+1 = 0, oui. Mais en fait, �a ne nous importe aucune
>information utile (si ce n'est �vers o� penche le point ?� peut-�tre), et
>surtout ce n'est pas comme �a qu'on d�finit une d�riv�e, tout simplement.
>Il faut faire preuve d'imagination pour bien comprendre la d�rivation...
>mais pas au point de changer les d�finitions !
>
>(*) si x < -1 f(x+1)=f(x)-1, c'est clair.
>mais pour le cas : -1 < x < 0, on voit :
>f(x+a) = f(x) - a avec x < a < 0
>
>Et je peux me rapprocher comme �a ind�finiment de 0 avec x... Mais d�s
>que je d�passe un tout petit peu z�ro, je me retrouve � droite, et �a
>devient beaucoup plus compliqu�.
>
>N'h�site pas � te renseigner sur le sujet, c'est un formidable outil, les
>d�riv�es, on peut les utiliser partout, et �a t'aidera de nombreuses fois
>au cours de ta scolarit�. �a �t� aussi historiquement un sujet de
>infinit�simal� n'�tait pas vraiment du calcul... Mais on a fini par
>comprendre d'o� �a venait, et aujourd'hui, les scientifiques utilisent
>les d�riv�es comme ils utilisent l'addition de deux nombres entiers :
>tous les jours.
>
>Cordialement,
On peut tenir exactement le m�me discours avec la fonction suivante
qui visuellement a exactement le m�me aspect que |x|.
f(x) = |x| * exp( 1 - 1/ (x�)^0.0000001 )
En revanche f est on ne peut plus r�guli�re, d�rivable une infinit� de
fois et toutes les d�riv�es sont continues.
Ca peut �tre confusionnant d'expliquer un comportement local par une
explication de type global.
Nicolas Bonneel
> Le Wed, 04 Nov 2009 05:45:03 +0100
> zwim a �crit
>> Un autre point de vue plus avanc�, par exemple la th�orie des
>> distributions nous am�ne plut�t � poser f '(0) = 2 * dirac(0).
>> O� la distribution dirac(a) vaut l'infini au point a, et 2 parce que
>> c'est l'�cart entre -1 et +1, les d�riv�es � gauche et � droite de 0.
>
> ERRATA: 2 * dirac(0) ce serait plut�t la d�riv�e seconde, je me suis
> emport�.
oui, ce serait plutot Heaviside(0).
Pour r�pondre � la question, il y'a aussi la notion de sous-gradient qui
serait l'ensemble des r�els entre -1 et 1...
--
Nicolas Bonneel
http://www-sop.inria.fr/reves/Nicolas.Bonneel/
Nicolas Bonneel
> oui, ce serait plutot Heaviside(0).
pfff, moi aussi j'�cris n'importe quoi. 2*Heaviside(0)-1