fonctions et limites
Cam
limites :
f est la fonction définit par :
f(x) = (2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3)
a) Démontrer qu'il existe deux réels u et v, et deux seulement, pour lequels
f n'est pas définie.
(Pour cette question j'ai démonté que les 2 réels sont {-3 ; 1}.)
Dans la suite de l'exercice, on note D l'ensemble des réels privé de u et de
v.
b) Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour tout x de D,
f(x) = ax + b + (cx + d) / (x² + 2x -3)
YBM
pose ce que ça donne :
(2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3) = ax + b + (cx + d) / (x² + 2x -3)
mets à droite tout sous le même dénominateur (x² + 2x -3)
que tu pourras virer (puisqu'on est dans D).
ça va te faire deux polynômes égaux, tu identifies les
coefficients, et tu résouds en a,b,c,d.
Cam
Je n'ai cherché que a pour l'instant, ça me donne :
a = [(2x^3+3x²-7x+3-cx-d)/(x²+2x-3)-b] 1/x
"YBM" <ybm...@nooos.fr> a écrit dans le message de news:
4818bbb9$0$27843$426a...@news.free.fr...
YBM
> J'ai essayé de suivre votre conseil mais mon résultat ne me parait pas top :
> Je n'ai cherché que a pour l'instant, ça me donne :
>
> a = [(2x^3+3x²-7x+3-cx-d)/(x²+2x-3)-b] 1/x
ménon. a en fonction de x,b,c et d ça n'a strictement aucun sens s'il
est question d'indentifier des coefficients.
Tu arrives à une égalité entre deux polynômes en x pour une infinité
(sauf deux valeurs sans intérêt) de valeurs de x. On a du vous dire
(voire vous le démontrer) que ça n'arrive que si les coefficients sont
égaux terme à terme. Bon à proprement parler ce n'est qu'une
implication, il faudra le vérifier dans l'autre sens...
(2x3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3) = ax + b + (cx + d) / (x² + 2x -3)
(2x3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3) =
[ (ax + b)(x² + 2x -3) + (cx + d) ] / (x² + 2x -3)
(2x3 + 3x² - 7x + 3) = (ax + b)(x² + 2x -3) + (cx + d)
là tu développes à droite, et tu regardes ce que ça donne
comme conditions si les coefficients des termes en x^3, x^2,
x et le terme constant sont égaux.
tu vas trouver un zoli système de quatre équations en les
inconnues a,b,c,d
Ken Pledger
"Cam" <camill...@wanadoo.fr> wrote:
> ....
> f(x) = (2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3)
> ....
> b) Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour tout x de D,
>
> f(x) = ax + b + (cx + d) / (x² + 2x -3)
Division avec reste. Songer à l'analogie avec les entiers, par
exemple diviser 23 par 5:
23/5 = 4 + 3/5.
Il te faut diviser 2x^3 + 3x² - 7x + 3 par x² + 2x - 3.
Ken Pledger.
YBM
en première S, ça va pas le faire... c'est dommage mais c'est comme ça.
Par contre c'est une très bonne idée de réfléchir à la méthode évoquée
ici après avoir rédigé le truc un peu ouin-ouin que le prof attend.
D'ailleurs, question pour le posteur inital : que vient faire ici le
mot "limite" présent dans le titre ?
BriCaMatH
> D'ailleurs, question pour le posteur inital : que vient faire ici le
> mot "limite" présent dans le titre ?
Peut être que son prof attend qu'on trouve le coeff a en s'aidant des
limites ?
En effet avec la définition de f, en +inf : lim f(x)/x=2
Et avec les coefficients, en +inf : lim f(x)/x=a
et donc a=2
Mais je trouve ça assez peu naturel pour un 1S...
--
*BriCàMatH*, des documents pour le collège
Pichereau Alain
>Tu arrives à une égalité entre deux polynômes en x pour une infinité
>(sauf deux valeurs sans intérêt) de valeurs de x. On a du vous dire
>(voire vous le démontrer) que ça n'arrive que si les coefficients sont
>égaux terme à terme.
non, je ne crois pas : ce résultat a disparu de la 1ère S
Cam
global, au cas ou ça aurait une utilité pour cette question.
Je ne vois pas ce que vous entendez par "conditions", et quand je développe
à droite ça me donne :
ax^3 + 2ax²-3ax+bx²+2bx-3b+cx+d
le terme x^3 a comme coefficient "a", mais x² a les coefficients "2a" et
"b", et x a "-3a", "2b" et "c".
Sinon j'ai essayé de factoriser :
ax(x²+2x-3)+b(x²+2x-3)+cx+d
Mais ça n'a pas l'air de servir à grand chose...
"YBM" <ybm...@nooos.fr> a écrit dans le message de news:
48191b7e$0$25759$426a...@news.free.fr...
Pichereau Alain
wrote:
j'essaye de donner une solution "1ièreS" cad sans aucun th connu sur
l'égalité de polynôme ("dans le temps" on utilisait effectivement ce
th en 1S)
ax + b + (cx + d) / (x² + 2x -3) :
mentalement en réduisant au même dénominateur on voit que le terme en
x^3 au numérateur sera forcément ax^3 (puisqu'il ne peut provenir que
de ax et x^2)
donc si on veut que cette expression soit ton f(x)
le a doit être très certainement 2 : essayons cela
f(x)= 2x + b + (cx + d) / (x² + 2x -3) ?
donne alors f(x)-2x= b + (cx + d) / (x² + 2x -3)
or f(x)-2x=(2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3)-2x
=(-x^2-x+3)/(x^2+2x-3)
et là on "triture" un peu le numérateur pour faire apparaître x^2+2x-3
-x^2-x+3=-(x^2+2x-3)+x
donc f(x)-2x=-1+x/(x^2+2x-3)
soit f(x)=2x-1+x/(x^2+2x-3)
Nicolas Richard
> donc si on veut que cette expression soit ton f(x)
> le a doit être très certainement 2 : essayons cela
Dans la mesure où on ne peut pas identifier les coefficients pour tirer
des infos, "a doit être très certainement 2" c'est accepté comme
raisonnement ça ?
Sinon on peut aussi procéder "à la main" : on veut que l'égalité
(2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3) = ax + b + (cx + d) / (x² + 2x -3)
soit vraie pour tout x dans D. En particulier ce doit être vrai pour
x=0, x=-1, x=2 et x=-2
On en déduit les équations:
-1=b-d/3
-11/4=-(d-c)/4+b-a
17/5=(d+2*c)/5+b+2*a
-13/3=-(d-2*c)/3+b-2*a
Qu'on résoud pour trouver effectivement [a=2,b=-1,c=1,d=0]. On vérifie
ensuite que pour tout x dans D,
(2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3) = 2x - 1 + x / (x² + 2x -3)
ce qui achève l'exercice.
Par contre les calculs sont sans doute un peu fastidieux avec ce système
4x4 qui me semble assez peu sympathique (Maxima est mon ami)...
--
Nico.
Cam
f(x)-2x = (-x²-x+3)/(x²+2x-3) = [-1(x²+2x-3)+x]/(x²+2x-3) jusque là je suis.
Mais je ne comprends pas comment vous passez de là à :
f(x) = -1+x/(x^2+2x-3)
Et dans la formule finale : soit f(x)=2x-1+x/(x^2+2x-3)
= ax+b+(cx+d)/(x²+2x-3)
on aurait c=1 et d=0?
"Pichereau Alain" <alainpi...@wanadoo.fr.inv> a écrit dans le message de
news: a85j14ljed5lfpbr5...@4ax.com...
Pichereau Alain
<theonewith...@yahoo.fr> wrote:
>Pichereau Alain a tapoté :
>> donc si on veut que cette expression soit ton f(x)
>> le a doit être très certainement 2 : essayons cela
>
>Dans la mesure où on ne peut pas identifier les coefficients pour tirer
>des infos, "a doit être très certainement 2" c'est accepté comme
>raisonnement ça ?
>
lorsque je dis a doit être certainement 2 , je n'ai pas prouvé que
a=2 mais simplement "conjecturé" que a=2 (cf le ax^3 qui va être en
haut)
et c'est bien pour cela que je rajoute aussitôt essayons cela (cad
essayons a=2)
après tout on est libre de faire n'importe quelle conjecture
(et celle-ci me semble pas insurmontable en 1S)
reste à la prouver, ce qui est fait ensuite via
f(x)-2x=... ;
mais bon, je n'enseigne plus en 1S actuellement
Pichereau Alain
wrote:
>Merci à tout ceux qui me répondent pour m'aider.
>
>f(x)-2x = (-x²-x+3)/(x²+2x-3) = [-1(x²+2x-3)+x]/(x²+2x-3) jusque là je suis.
>Mais je ne comprends pas comment vous passez de là à :
>f(x) = -1+x/(x^2+2x-3)
euh, il me semble que j'ai écrit f(x)-2x=-1+x/(x^2+2x-3)
car tout simplement à droite on a (-1*A+B)/A=-1*A/A+B/A=-1+B/A
>Et dans la formule finale : soit f(x)=2x-1+x/(x^2+2x-3)
> = ax+b+(cx+d)/(x²+2x-3)
>on aurait c=1 et d=0?
oui
Nicolas Richard
> On Thu, 01 May 2008 12:41:26 +0200, Nicolas Richard
>> Dans la mesure où on ne peut pas identifier les coefficients pour tirer
>> des infos, "a doit être très certainement 2" c'est accepté comme
>> raisonnement ça ?
> lorsque je dis a doit être certainement 2 , je n'ai pas prouvé que
> a=2 mais simplement "conjecturé" que a=2 (cf le ax^3 qui va être en
> haut)
> et c'est bien pour cela que je rajoute aussitôt essayons cela (cad
> essayons a=2)
Ce que je voulais dire (et que je n'ai pas dit, je m'en rends compte)
c'est que si on se permet d'identifier le coefficient du plus haut degré
(sous forme de conjecture), on doit pouvoir se permettre d'en faire
autant avec les autres degrés et donc en déduire le système sur les
coefficients de la manière usuelle (toujours sous forme de conjceture).
En tout cas ça me paraissait naturel, mais ma vision de la "naturalité"
est sans doute biaisée par l'habitude de la méthode.
Par contre ce qu'on ne montre pas en formulant ce genre de conjecture
c'est l'unicité de la solution (mais ce n'était peut-être pas demandé)
--
Nico.
Cam
"Pichereau Alain" <alainpi...@wanadoo.fr.inv> a écrit dans le message de
YBM
Je te donne la solution complète, mais c'est bien parce qu'on est
le premier mai. Je pense que rédigé ainsi c'est ce que ton prof
attend, mais le but du jeu est bien de réaliser qu'il ne s'agit
pas d'une bidouille qui marche par miracle mais l'indication d'un
résultat général sur les polynômes que vous pourrez étudier plus
tard, ou l'an prochain.
on pose l'égalité recherchée pour x dans D :
(2x^3 + 3x - 7x + 3)/(x^2 + 2x - 3) = ax + b + (cx + d)/(x^2 + 2x - 3)
on met au même dénominateur à droite, on obient l'équation équivalente :
(2x^3 + 3x - 7x + 3)/(x^2 + 2x - 3) =
[ (ax + b)(x^2 + 2x - 3) + cx + c ]/x^2 + 2x - 3)
comme x est dans D, x^2 + 2x - 3 n'est pas nul, ceci équivaut à (on
développe en même temps à droite) :
2x^3 + 3x - 7x + 3 = ax^3 + (2a + b)x^2 + (c - 3a + 2b)x + (d - 3b)
là on raisonne un peu à l'envers (selon le principe : "prenons nos
désirs pour des réalités"), en l'absence d'un théorème bien connu
d'algèbre : Si jamais les coefficients de x^3, x^2, x et le terme
constant de ces deux polynômes (à gauche et à droite) étaient égaux,
alors l'équation serait bien vérifiée pour tout x dans D (tu es
bien d'accord ?) :
Voyons ce que ça impose pour a, b, c et d :
terme en x^3 : a = 2
terme en x^2 : 2a + b = 3 donc b = -1
terme en x : c - 3a + 2b = -7 donc c = 1
terme constant : d - 3b = 3 donc d = -1
Vérifions alors que l'on retombe bien sur f(x) :
2x - 1 + (x-1)/(x^2 + 2x -3)
= [ (2x - 1)(x^2 + 2x -3) + x -1 ]/(x^2 + 2x -3)
= (2x^3 + 3x^2 - 7x + 3)/(x^2 + 2x -3)
= f(x)
Nous avons donc établi que pour tout x dans D :
f(x) = 2x - 1 + (x-1)/(x^2 + 2x - 3)
Pichereau Alain
<theonewith...@yahoo.fr> wrote:
>Pichereau Alain a tapoté :
>
>> On Thu, 01 May 2008 12:41:26 +0200, Nicolas Richard
>>> Dans la mesure où on ne peut pas identifier les coefficients pour tirer
>>> des infos, "a doit être très certainement 2" c'est accepté comme
>>> raisonnement ça ?
>
>> lorsque je dis a doit être certainement 2 , je n'ai pas prouvé que
>> a=2 mais simplement "conjecturé" que a=2 (cf le ax^3 qui va être en
>> haut)
>> et c'est bien pour cela que je rajoute aussitôt essayons cela (cad
>> essayons a=2)
>
>Ce que je voulais dire (et que je n'ai pas dit, je m'en rends compte)
>c'est que si on se permet d'identifier le coefficient du plus haut degré
>(sous forme de conjecture), on doit pouvoir se permettre d'en faire
>autant avec les autres degrés et donc en déduire le système sur les
>coefficients de la manière usuelle (toujours sous forme de conjceture).
>En tout cas ça me paraissait naturel, mais ma vision de la "naturalité"
>est sans doute biaisée par l'habitude de la méthode.
c'est sûr que ce que je fais est "batard" mais on n'a pas le th sur
l'égalité des poly , donc je me suis dit si on doit avoir
(2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3)=ax+b+(cx+d)/(x^2+2x-3)
et que l'on connaît le principe de réduction au même dénominateur
il ne me paraîssait pas impossible de conjecturer, sans calcul, que
a=2
car à droite au numérateur le seul terme en x^3 sera ax^3
d'où l'idée de penser que a=2 ; et en prenant a=2 un calucl rigouruex
prouve qu'il existe effectivement a=2,b,c,d
mais la dernière question de Cam prouve que cette conjecture de a=2 ne
lui est pas si immédiate que cela
Par contre conjecturer les autres sans calcul...
>Par contre ce qu'on ne montre pas en formulant ce genre de conjecture
>c'est l'unicité de la solution (mais ce n'était peut-être pas demandé)
ca c'est sûr l'unicité n'est pas demandée , vu qu'il y a pas le
théorème
Pichereau Alain
wrote:
>Comment avez vous trouvez que a serait très certainement égal a 2 ?
il faut que
(2x^3 + 3x² - 7x + 3) / (x² + 2x - 3)=ax+b+(cx+d)/(x^2+2x-3)
or tu dois connaître le principe de réduction au même dénominateur
A+B/D=(AD+B)/D
avec A=ax+b, B=cx+d, D=x^2+2x-3
les deux farctions étant égales et ayant le même dénomi D
c'est qu'on doit avoir
2x^3 + 3x² - 7x + 3=AD+B
or dans AD+B le seul terme de degré 3 ne peut provenir que de AD et ce
temre sera ax^3 , comme à gauche c'est 2x^3
il y a "des chances" que a=2 (et tu ne peux dire donc a=2 ,puisque tu
n'as pas de théorème adéquat)
mais maintenant ayant "deviné" a=2, tu vas prouver qu'effectivement on
peut prendre a=2 (en arrangeant f(x)-2x)
note : a=2 est en fait la seule possibilité mais on ne te le demande
pas de prouver que a,b,cd sont uniques
ast
"YBM" <ybm...@nooos.fr> a écrit dans le message de news: 4818f32e$0$677$426a...@news.free.fr...
>
> tu vas trouver un zoli système de quatre équations en les
> inconnues a,b,c,d
>
C'est la méthode bourin ça !
La division de polynome, c'est plus au programme de S ?
ast
"Pichereau Alain" <alainpi...@wanadoo.fr.inv> a écrit dans le message de news: 2lsi14dso56a533bs...@4ax.com...
> On Thu, 01 May 2008 00:37:33 +0200, YBM <ybm...@nooos.fr> wrote:
>
>
>>Tu arrives à une égalité entre deux polynômes en x pour une infinité
>>(sauf deux valeurs sans intérêt) de valeurs de x. On a du vous dire
>>(voire vous le démontrer) que ça n'arrive que si les coefficients sont
>>égaux terme à terme.
> non, je ne crois pas : ce résultat a disparu de la 1ère S
Qu'est qu'il reste au programme de maths en S ?
YBM
En 1986 ça ne l'était déjà plus, on l'a bien fait en term C
mais je crois bien que c'était sur l'initiative du prof et
que ça n'était pas au programme de term non plus...