Rang de la transposée d'une matrice

[CHRISTIAN DRABOWITCH]

Si M est une matrice de M p;n (K) ,elle comporte p lignes
et n colonnes. Elle représente une application linéaire
de R^n vers R^p.
Dans mes résumés de cours ,on dit que le rang de M
est égal au rang de t M sa transposée.
Je ne retrouve pas la démonstration.
Merci d'avance de votre aide
Christian D.

[Joel Riou]

In article <7v7alp$6js$1...@wanadoo.fr>,

"CHRISTIAN DRABOWITCH" <CHRISTIAN....@wanadoo.fr> writes:
> Si M est une matrice de M p;n (K) ,elle comporte p lignes
> et n colonnes. Elle représente une application linéaire
> de R^n vers R^p.
> Dans mes résumés de cours ,on dit que le rang de M
> est égal au rang de t M sa transposée.
> Je ne retrouve pas la démonstration.

Je suis presque certain que la façon la plus simple (et la plus
convainquante) de prouver ce résultat est d'utiliser le théorème des
matrices équivalentes. M = PRQ avec P et Q inversibles (donc tP et tQ
inversibles car le déterminant est conservé), et avec R de la forme

1 0 ..
. 0 .. avec rg(M) égal au nombre de 1 dans cette matrice
. 0 ..
10 ..
00000 ..
........

En transposant, tM=tQ tR tP, on obtient bien que le rang de tM est le même
que le rang de M.

--
Joël RIOU - Joel...@ens.fr - jr...@clipper.ens.fr