théorème de cantor
nicolas aunai
voilà, pour un énnoncé court on peut pas faire mieux (ou difficilement)
soit E un ensemble, démontrer qu'il n'existe pas d'application surjective de
E sur P(E)
raisonnement par l'absurde ??
Mike
nicolas aunai a écrit :
Oui par l'absurde :
Soit f une application quelconque de E dans P(E).
A = { x | x appartient a E et x n'appartient pas a f (x)}
A est une partie de E.
Si f était surjective, il existerait un element x de E tel que f (x) =
A.
Si x appartenait a A, on aurait, par définition de A, x n'appartient pas
a f (x), donc x n'appartient pas a A, ce qui serait contradictoire.
Si x n'appartient pas a A, on a x n'appartient pas a f (x), donc x
appartient a A, ce qui est encore contradictoire.
L'element x ne peut ni appartenir a A, ni ne pas y appartenir : c'est
qu'il n'existe pas d'element x de E tel que f (x) = A.
Donc f ne peut pas être surjective.
Voila
a+
Mike
Pierre-Vigneron
nicolas aunai <nicola...@wanadoo.fr> a écrit dans le message :
9ot15n$bgh$1...@wanadoo.fr...
Hello,
je suis tombé sur un exo similaire lors de ma dernière kholle de maths...
Il me semble en effet qu'un raisonnement par l'absurde soit interessant
Supposons donc qu'il existe une une surjection f de E dans P(E) et
considerons la partie A de E définie par
A={x appartenant à E tq x n'appartienne pas à f(x)}
Posons B={x appartenant à E tq A(x) }
On a alors B appartient à P(E)
Or si f surjective alors B a un antecedent b
disjonction des cas :
1er cas : b appartient à B --> contradiction (cf définition de A)
2eme cas : b n'appartient pas à B --> contradiction (comme je n'ai pas
encore bien démontré cette partie, je prefere ne rien écrire mais je crois
que ça doit aboutir aussi à une contradiction)
D'où f ne peut pas être surjective
Il n'existe donc pas de surjection de E sur P(E)
Voilà
sur ce, @+ ! ;o)
Pierre
pierre-capdevila
Card E = n => Card P(E) 2^n
Donc Card P(E) > Card E
S'il existait une surjection de E sur P(E)
cela prouverait que Card E >= Car P(E)
C'est un théorème.
C'est ce théorème que tu veux démontrer ?
Amicalement, Pierre
nicolas aunai
"pierre-capdevila" <pierre-c...@wanadoo.fr> a écrit dans le message
news: 9ot9iu$dsl$1...@wanadoo.fr...
bah je dois montrer que c'est impossible qu'une telle surjection existe.
en supposant l'application de E dans P(E) surjective on doit aboutir à une
contradiction. le tout est de savoir avec quoi démarrer.
> Amicalement, Pierre
>
>
>
GM
On suppose que f est une telle surjection.
On pose A = {x élément de E / x non élément de f(x)}
Alors A est élément de P(E) et écrire A = f(a) pose une petit problème (*)
qui règle la question
(*)Envisager les 2 cas : a élément de A et a non élément de f(a)
G.M.
"nicolas aunai" <nicola...@wanadoo.fr> a écrit dans le message news:
9ot15n$bgh$1...@wanadoo.fr...
Romain Joly
"pierre-capdevila" <pierre-c...@wanadoo.fr> writes:
>> voilà, pour un énnoncé court on peut pas faire mieux (ou difficilement)
>>
>> soit E un ensemble, démontrer qu'il n'existe pas d'application surjective
> de
>> E sur P(E)
> Card E = n => Card P(E) 2^n
> Donc Card P(E) > Card E
>
Qui parle d'ensemble fini ??
La bonne demo est celle de Mike.
Romain
Pierre
> A = { x | x appartient a E et x n'appartient pas a f (x)}
> A est une partie de E.
> Si f était surjective, il existerait un element x de E tel que f (x) =
>A.
> Si x appartenait a A, on aurait, par définition de A, x n'appartient pas
> a f (x), donc x n'appartient pas a A, ce qui serait contradictoire.
> Si x n'appartient pas a A, on a x n'appartient pas a f (x), donc x
> appartient a A, ce qui est encore contradictoire.
> L'element x ne peut ni appartenir a A, ni ne pas y appartenir : c'est
> qu'il n'existe pas d'element x de E tel que f (x) = A.
> Donc f ne peut pas être surjective.
Belle démonstration.
Par pure forme ne faudrait-il pas préciser que A est non vide (et dire
pourquoi) ?
Je crains qu'il y un problème de formalisation à ce niveau...
Amicalement, Pierre.
Francois Dahmani
> > Soit f une application quelconque de E dans P(E).
> > A = { x | x appartient a E et x n'appartient pas a f (x)}
> > A est une partie de E.
> > Si f était surjective, il existerait un element x de E tel que f (x) =
> >A.
> > Si x appartenait a A, on aurait, par définition de A, x n'appartient pas
> > a f (x), donc x n'appartient pas a A, ce qui serait contradictoire.
> > Si x n'appartient pas a A, on a x n'appartient pas a f (x), donc x
> > appartient a A, ce qui est encore contradictoire.
> > L'element x ne peut ni appartenir a A, ni ne pas y appartenir : c'est
> > qu'il n'existe pas d'element x de E tel que f (x) = A.
> > Donc f ne peut pas être surjective.
>
> Belle démonstration.
> Par pure forme ne faudrait-il pas préciser que A est non vide
pourquoi ? l'ensemble vide est une partie de E de toute maniere.
--
François Dahmani
Mike
Pierre a écrit :
En fait ce n'est pas important si A est vide, ce qu'il faut c'est que A
soit une partie de E.
L'ensemble vide est une partie de E donc il n'y a aucun probleme.
a+
Amicalement, Mike