超弦理論の現状は？

[redram]

数年前まで「究極の理論」としてもてはやされた「超弦理論」は
いまどうなっているのでしょうか？　発展しているのでしょうか？
その現状と可能性をわかりやすく説明していただければ幸いです。
（過去のログをすべてフォローしているわけではないので、
もし話題が重複していたらご了承ください）

[kig...@rist.kindai.ac.jp]

"redram" <red...@clubaa.com>さんwrites:

| 数年前まで「究極の理論」としてもてはやされた「超弦理論」は
| いまどうなっているのでしょうか？　発展しているのでしょうか？

M-theory, the theory formerly known as Strings

とか、K-Theory とか、いろいろと聞こえて来ますが。確かに変化していますが、
何をもって発展というのかは分かりません。

発展しているかどうかしらないけれど、理論に魅いられてしまって、一生を棒に
振っている秀才がたくさんいることだけは確かです。他の仕事をしたらよい地位
が得られたはずなのに (超越的な話にしか興味を持てないできそこない人間が古
い大学システムという失業対策事業で救われているという説もあるが)。

重要な概念を結実させるには長い長い年月がかかるので、もてはやして忘れ去るっ
てのが一番の破壊行為だと思う。もっとも、こういう学問は、もはや、一世代で
は解決できない時間スパンの長いものたから、忙しい現在の状況下でどう扱えば
いいか、難しい問題だとは思う。

なにを計算しても発散する状況で、量子数という離散的な構造が現われるメカニ
ズムを探求するってのはリーマン以来、すでに 100年以上やっていることじゃな
いかな。

Kiguchi,

[kig...@rist.kindai.ac.jp]

前の記事になんの情報もないみたいなので追加。

M-Theory については
E. Witten, "Duality, spacetime and Quantum Mechanics",
Physics Today vol.50, p. 28-33, 1997
が一般向けのよい解説だと思います。Physics Today とパリティ誌は提携してい
るので、半年遅れくらいで翻訳されていると思います。

M は Membrance とか Matrix とか Mirror とか Mother とか Mystery とか、い
ろんなものの頭文字だという人がいます。

Witten の解説の結びは、

重力が新しい対称性(一般共変性、等価原理)を持っていることに気付いたことに
より新しい物事の考え方の中で重力の役割が理解できた。21世紀が近付くにつれ
て、量子力学でも同じようなプロセスが始まっているように思える。

となっています。場の量子論が何を記述しているのか、まだ、なにも分かってい
ないということです。ゲージ理論の摂動論での無限大の対処法ですら、去年のノー
ベル賞なんだから、一般論なんて遥か彼方。

朝永-Fyenman-Schwinger もノーベル賞まで時間がかかったけれど、
Veltman-t'Hooft も時間がかかった。場の理論の一般論は50年後にノーベル賞を
とっているか、それとも一般相対論のようにノーベル賞を超越しているか。それ
とも完全な失敗に終っているか。50年は短いかもしれないとは思いたくない。

Kiguchi,

[Ken-ichi Ohshima]

redram wrote:
>
> 数年前まで「究極の理論」としてもてはやされた「超弦理論」は
> いまどうなっているのでしょうか？　発展しているのでしょうか？

> その現状と可能性をわかりやすく説明していただければ幸いです。
> （過去のログをすべてフォローしているわけではないので、
> もし話題が重複していたらご了承ください）

理論自体の発展と言えるかどうかわかりませんが、
いろんなことがわかってきているようです。

＃かなり大ざっぱな説明なのですが、ご容赦を(^^;;。。
＃ちと長いです(^^;。ゆっくりよみませう(^^;。

ほとんどご存知かもしれませんが、まず、一応
超弦理論について、、、、（あとの説明の
ためにいろいろな用語が必要になりますので、
概略的に(^^;;、、）

普通の量子場の理論では、相互作用（たとえば、
電磁的な力とか核力のようなものとか）は方程式の
上で非線形になってしまっているので、相互作用の
効果をそのまま厳密に一発で計算できません。

このため、散乱振幅（これは簡単に言うと粒子同士を
接近させて相互作用を起こさせたときの状況や
いろんな粒子が現われる確率など）の計算は
「摂動計算」という逐次計算法で計算します。

「摂動計算」では、仮想的に、ありうる相互作用のパターン
をすべて足しあわせる、という計算をやります。
粒子Ａと粒子Ｂがあって、こう相互作用させた
ときはこうなる、とか、いろいろなパターンを
計算してすべて足しあわせる計算です。

もちろん、無限に足しあわせる計算は人間には
できませんから、だいたい最初の数項でOKとします。
しかし、これはもちろん、「あとのほうの項の効果が
どんどん小さくなっていくため無視できる」という
場合のみです。そういう場合を「弱結合」などといいます。

逆に、あとのほうの項がどんどん大きくなってほんとうに
無限に足しあわせないとどうしようもない場合あります。
そういう場合を「強結合」などと呼びます。

しかし、弱結合の場合でも、摂動計算では、計算上で
無限大の発散が現われて困ってしまうのです。特に、
粒子が現われて消えるというようなパターンを計算すると
無限大の発散になってしまいます。しかし、それは、
「くりこみ」という方法で、とりあえず解決できます。

「くりこみ」は、質量とか電荷とかそういうパラメータが
元々は無限大である、として（ ってデタラメですが(^^;）
そういった値に無限大を吸収させてしまうということです。

これはかなりデタラメな操作のように見えますが、
一般的に、「非常に小さななにかの構造を持っているのだが、
マクロ的には”なめらかな波”のように見える」（たとえば、
水は分子でできていますが、波に見えますよね）というような
ものをほんとうに波だと思って単純に計算すると、たいてい
そういう発散が現われてしまうことが今では知られているので、
そうデタラメなものでもないのです（こういう考え方を
くりこみ群とかいいます）。

しかし、重力に関しては、くりこみという方法が使えません。
無限大がアチコチででてきてしまい、質量と電荷くらいでは
とても手が付けられないためです。くりこみ群的に言うと、
重力という力を知るには、より小さなミクロの構造がわからないと
ちゃんと計算できないということです。

超弦理論は、そういった困難を避けるため、散乱振幅の
摂動計算で「粒子」のかわりにとりあえず「弦」で計算するという
ものです。つまり、弦が飛んでいって、他の弦と相互作用し、
また飛び去っていくというようなパターンを足しあわせます。

そういう理論にはいろいろと問題があるのですが、ある種の
弦（超対称性という性質もっている、”超弦”）で計算すると、
重力の計算において、問題が現われないことがわかり、
重力も統一的に理解できる可能性があるとして大ブームと
なりました。これが１９８０年代終わりのころのことです。

しかし、上にも書きましたとおり、弦で計算したとしても摂動計算
ですから弱結合の議論しかできません。量子的効果が現われるのは
高いエネルギーのときですので、弱結合の計算しかできないのでは
ほとんど役に立ちません。というわけで、ブームは一度去りました。

しかし、１９９０年代前半に、強結合の世界と弱結合の世界を
結び付ける「S-Duality」というような考えが、ある種の場の
理論に適用されて成果をあげました。それをきっかけに、超弦理論でも
S-Dualityが適用され、超弦理論の強結合の世界が記述され
はじめました。これで再び大ブームとなりました。

強結合の世界では、「弦」ではなく、「D-brane」とよばれるn次元物体
が現れました（これはソリトンのようなものです）。

それにより、いままでいくつか種類があった超弦理論が
ある種の変換操作によってすべて等価なものであることが
示されました。いくつもあった超弦理論がすべて等価なの
ですから、それらの親玉である究極の一つの理論がある
はずだ、ということで、それは今では「M理論」と呼ばれて
います。しかしM理論の実体はまだよくわかっていません。
この辺までが１９９０年代後半ごろの話です。

と、こう書くとすごいように見えますが、実は根本的問題が
いくつもあります(^^;;;;。それは、

1. 超弦理論は、時空が１０次元でないと矛盾してしまう。
M理論においては、さらに１１次元だと言われている。
しかし、我々の住んでいる世界は時間も含めて４次元
なので、１０次元というのがなんなのかよくわからん(^^;。

2. １０次元のうち６次元は小さくまるまってるとして（これを
「時空のコンパクト化」といいます）、４次元に帰着させ、
現在の、素粒子論の標準模型を導ける方法があります。
しかし、D-braneが登場してわかったことは、４次元に帰着させる
方法は唯一ではなく、いくらでもあり、また、標準模型以外の
ものがでてこない理由もありません。つまり、超弦理論では
４次元の特定物理（たとえば、クォークやレプトンが３世代である、とか）
が一つだけでてくる必然性がなく、また、その方法も唯一ではなく、
いまのところ４次元の物理に対する予言能力がまったくありません。

3. また、そもそも、一般相対論においては、重力と時空の構造は
不可分のものです。しかし、超弦理論においては、弦が飛び交う「時空」
を最初に仮定します。 一般相対論では、「長さ」という
概念が重力そのものと不可分なのですが、超弦理論においては
「長さをもつ弦」なるものが時空に存在していることになり、
その「長さ」はいったい何で測るのだ？という問題があります。
超弦理論では、時空に弦がウヨウヨしていて、そのために
時空が弦の重力の効果で曲がっていたりする、ということをちゃんと
考慮には入れているのですが、やはり最初になめらかな古典的時空を
仮定するのは重力の量子論として妥当ではないと考えられています。
たとえD-braneを導入してもこの状況はかわりません。丁度、磁性体の
物性を計算するときの「分子場近似」のようなものと考えられているのです
が、
やはりちゃんと定式化する必要があると考えられています。

4. 上に書いたように現在の超弦理論では、弱結合と強結合の極限はいろいろと
計算できるのですが、中間的な部分はぜんぜん計算できません。弦や
D-braneをつかっての計算も所詮、摂動計算の方法を与えただけであって、
理論の根本がよくわかりません。
たとえば、普通の量子場の理論では、「場の理論」というものがまずあ
って、
場の理論の摂動計算で「粒子」を使うのですが、超弦理論には、「弦」はあ
っても、
それがでてくる「場の理論」のようなものがありません。したがって、計算
法だけは
あるが、いったいどんな理論なのかさっぱりわからん(^^;というのが実態で
す。
最も単純には「弦の場の理論」を考えりゃいいじゃないか、というのがあ
りますが、
これはなかなかうまくいきません。そもそも「場」として記述されるものな
のかどうか
もわかりません。

というような状態だと思います。現在のところ、D-braneなどをつかって、
いろいろなケースについて計算を行い、なんとか上のような問題を
解決する糸口を見つけだそうと大勢の研究者が躍起になっているようですが、
そう簡単にはいかないようです。この分野の一級の研究者であるWittenによれ
ば、
あと５０年以上はつづくのだそうです（笑）。

なんといっても、実験で確認できるようなものが少ないというのが
最大のネックです。ある種のブラックホールについて、「ブラックホールの
エントロピー」という量がきっちり超弦理論で計算できた、という成果は
あるのですが、観測できるようなものはそれくらいしかない、という
問題がありますね。量子力学ができたとき、いろいろと実験しながら
理論とつきあわせて悩んで作っていったのと比べると、超弦理論は
非常に危なっかしいものではあります。

つまり、人間の頭の中でどんどん理論を構築していっても、
現実の物理とぜんぜんちがう方向に行ってしまう可能性
があるからです。

---------------------------------------------------
* 予欲無言。 天何言哉、四時行焉、百物生焉。 (^^) *

大島 健一
e-mail: ohsh...@din.or.jp

[Nakagawa]

中川＠つくば　です

超弦理論は、解説からの知識しかないのですが…

Ken-ichi Ohshima wrote in message <397F240B...@din.or.jp>...

>
> 超弦理論は、そういった困難を避けるため、散乱振幅の
>摂動計算で「粒子」のかわりにとりあえず「弦」で計算するという
>ものです。つまり、弦が飛んでいって、他の弦と相互作用し、
>また飛び去っていくというようなパターンを足しあわせます。

何故、素粒子は点粒子であるか、の質問に対して、
点でなければ構造がある、構造があれば構成部分に分解できる、
構成部分に分解できれば、それは素粒子とは言わない、
という説明を受けたことがあります。
構造があれば更に構成部分に分解できることの根拠は、
相対性原理でした。
つまり、(光速で飛ぶ）良く切れる包丁でスパッと切られると、
逃げようがないからです。

「弦」を基本粒子に据えることは、
この説明と、どう整合しているのでしょうか？

>なんといっても、実験で確認できるようなものが少ないというのが
>最大のネックです。ある種のブラックホールについて、「ブラックホールの
>エントロピー」という量がきっちり超弦理論で計算できた、という成果は
>あるのですが、観測できるようなものはそれくらいしかない、という
>問題がありますね。量子力学ができたとき、いろいろと実験しながら
>理論とつきあわせて悩んで作っていったのと比べると、超弦理論は
>非常に危なっかしいものではあります。

逆にいうと、何も分かっていないのに等しい現在の超弦理論で、
何故「ブラックホールのエントロピー」とか、
発散が無いこととか、任意パラメータが無いこととかが、
自信をもって言えるのかがよく分かりません。
特に、任意パラメータがない、ということは、
これから理論が具体化する過程において、
任意パラメータが登場する場面がない、と
主張しているようなものですが、
そこまで道筋がわかっていながら、
なんで具体化できないの、という素朴な疑問が出てきます。

どれも、とうに解決済みなんでしょうけれど、
そういう疑問に対する解説を見掛けません。

教えていただけますでしょうか？

[Ken-ichi Ohshima]

中川さん、こんにちは。

Nakagawa wrote:
>
> 「弦」を基本粒子に据えることは、
> この説明と、どう整合しているのでしょうか？
>

ご指摘の通り、弦になると”内部自由度”ができますので、
弦の振動モードによっていろんな粒子になってしまいます。
また、超対称性がありますから、その時点でフェルミオン
とボソンを含んでいます。さらに、時空コンパクト化によっても、
いろんな粒子が現われたりします。

というわけで、いろんな粒子が重なっているというような状態
になっているようです。規約表現などで状態を分類すると、
フェルミオンやゲージ粒子を含むという感じだと思います。

今の標準模型でも、ゲージ自由度のところだけをみると、
どの粒子であるか、がゲージ自由度になっています。
もちろんその上で対称性がやぶれてるわけですが、
もっと高エネルギーになると上のようなことになる
だろう、ということみたいです。

ただ、弦の第一励起モード以外は非常に大きな質量を
持ってしまうので、仮想過程にしかあらわれません。

そこがインチキくさいところで(^^;、つまり、非常に高い
エネルギーになってくると、無限個の未知の粒子が
現われて、散乱振幅の計算に寄与するようになり、
それが発散を打ち消すというようになっているという
わけです。弦ですから、この場合の「無限個の粒子」
というのは、「非局所性」と関係しています。

>
> 逆にいうと、何も分かっていないのに等しい現在の超弦理論で、
> 何故「ブラックホールのエントロピー」とか、
> 発散が無いこととか、任意パラメータが無いこととかが、
> 自信をもって言えるのかがよく分かりません。
> 特に、任意パラメータがない、ということは、
> これから理論が具体化する過程において、
> 任意パラメータが登場する場面がない、と
> 主張しているようなものですが、
> そこまで道筋がわかっていながら、
> なんで具体化できないの、という素朴な疑問が出てきます。
>

ブラックホールのエントロピーについては、
極限ブラックホールという特殊なブラックホール
（わたしもあまり詳しくありませんが(^^;）について
最初計算されたようです。前の記事でも書きましたが、
強結合の極限ではD-braneをつかっていろいろなものが
計算できるので、そういった計算を行ったようです。
極限でない場合も、極限からちょっとゆるめた場合、
というような感じで計算したようです。

発散がないというのは、弦で摂動計算ですれば発散が
ないということだと思います。強結合の部分では、弦ではなくて
D-braneで、ということです。いづれにせよ、摂動的な計算法
が与えられただけですから、摂動論上の話しにすぎないと
思います。もちろん、ちゃんと弦理論を定式化するときには、
発散がないという性質が壊れず、「弱と強の中間」でも
その性質が保持されていなければならないということなの
でしょう。

普通、根本的に発散を打ち消すにはなにか「最小の
長さ」的なパラメータを入れなければいけないのですが、
発散を打ち消そうとして有限な大きさの物体を使うと
ユニタリティーが破れたり、ローレンツ不変性が破れたり、
さらに、そもそも、重力を量子化するとアノマリーがでたり
します。また、２次元以上の物体は、自由度が大きすぎて
まともに量子化できません。

弦の場合でも、普通はアノマリーがボコボコでてしまい、
タキオンなども現われて、どうにもならなくなってしまうの
ですが、そのうち、ある種の弦理論では、全部の問題が
クリアされた摂動計算ができる、ということです。

そういう意味では、摂動計算の上で発散もアノマリーも
現われず、ユニタリティーとローレンツ不変性が成り立ち、
かつ、Einstein重力とその他のフェルミオンやゲージ場を
含む理論というのは、いまのところ超弦理論しかない、
というのがあります。

任意パラメータがないというのは、とりあえず
現在の弦理論では、ということだと思います。
すくなくとも、弱結合と強結合の極限における
摂動計算においては必要ないということでしょう。

発散の問題と同様、超弦理論をちゃんと別の
理論から定式化できた場合、その理論が
任意パラメータを含んでいるようでは本末転倒、
ということになると思います。

発散やアノマリーをを含まず、「弦の長さ」
みたいな一つのパラメータしかないという
理論があり、そこから今の超弦理論がでてくる、
というような理論を構築しようと研究者が懸命に
なっているということだと思います。また、その
理論によって、４次元の特定の物理が必然的に
でてきたり、「４次元」という次元が必然的に
でてきたりする、ということを期待しているようです。

場の理論でも、摂動的には多くの真空があるように
見えるが、非摂動的には真空は一つしかないという
ようなケースがあります（対称性がやぶれている
場合など）。弦理論でも同じようなことが起っていて、
非摂動的に定式化できたあかつきには、必然的に
４次元の標準模型がでてくる、発散がなく、パラメータが
一つしかない理論になるであろう、と思っている、
ということだと思います。

＃間違ってたらどなたでも指摘してください(^^;;;。。

[Nakagawa]

中川＠つくば　です

実に分かりやすい解説を、ありがとうございます。

Ken-ichi Ohshima wrote in message <3981A10B...@din.or.jp>...

>ただ、弦の第一励起モード以外は非常に大きな質量を
>持ってしまうので、仮想過程にしかあらわれません。
>
>そこがインチキくさいところで(^^;、つまり、非常に高い
>エネルギーになってくると、無限個の未知の粒子が
>現われて、散乱振幅の計算に寄与するようになり、
>それが発散を打ち消すというようになっているという
>わけです。弦ですから、この場合の「無限個の粒子」
>というのは、「非局所性」と関係しています。

そこが超弦理論の美しいところなのでしょうが、

>発散を打ち消そうとして有限な大きさの物体を使うと
>ユニタリティーが破れたり、ローレンツ不変性が破れたり、

という困難をどう解消しているのかが、良く分からないんです。
量子論の散乱振幅については「足し合わせるとゼロ」
みたいな芸当は出来るにせよ、ローレンツ不変性は、
大きさを持った物体なら、駄目なものは駄目、
とはならない理由付けが分かりません。
恐らく、弦は長さを持っているといっても、
古典的な意味での長さとはちょっと違うのでしょうが、
どうにもイメージがつかめません。
それとも、
「理論ではとりあえずラグランジアンだけを仮定している、
そのラグランジアンは、
有限の長さを持った弦にたまたま対応するが、
だからといって、
有限な長さを持った弦を仮定しているわけではない」
みたいな、ちょっとずるい（？）立場から出発しているのでしょうか？

そういえば晩年の湯川秀樹が提唱していた
「素領域の理論」は、弦理論と近いものなのでしょうか？
学生の間では、「点が駄目なら2点てだけだよな」と
えらくけなす人もいました(どっちも私の理解の彼方でした）。

>発散やアノマリーをを含まず、「弦の長さ」
>みたいな一つのパラメータしかないという
>理論があり、そこから今の超弦理論がでてくる、
>というような理論を構築しようと研究者が懸命に
>なっているということだと思います。また、その
>理論によって、４次元の特定の物理が必然的に
>でてきたり、「４次元」という次元が必然的に
>でてきたりする、ということを期待しているようです。

とすると、超弦理論は究極の物理理論というより、
究極の物理理論の母体となるにふさわしい純粋さを持った、
究極の現象論である、と言ったほうが良いのでしょうか。
これは面白い。
そういえば、超弦理論を論じるような立場では、
「４」次元というのが、「任意パラメータ」なんですね。
ついにそこまできたのか、という感じです。

[Ken-ichi Ohshima]

Nakagawa wrote:
>
> 中川＠つくば　です
>
> 実に分かりやすい解説を、ありがとうございます。
>

いいえ。おおざっぱ、かつ、ちと不正確かもしれません(^^;。

そういう意味では、わたしの稚拙な解説などより、
超弦理論に関する日本での第一人者、米谷氏が
最近出した非専門家向けレビュー、

http://xxx.yukawa.kyoto-u.ac.jp/abs/hep-th/0004075

のほうがいいと思います。歴史と現状、問題、などが
わかりやすくまとめられています。まあ、非専門家
向けとは書いてはありますが、「非string屋向け」くらい
の感じですね(^^;。

> 量子論の散乱振幅については「足し合わせるとゼロ」
> みたいな芸当は出来るにせよ、ローレンツ不変性は、
> 大きさを持った物体なら、駄目なものは駄目、
> とはならない理由付けが分かりません。

ご存知のように、相対論のせいで
剛体的なものはまずダメです。しかし、
フニャフニャしたものなら、まず古典的には
OKです。

量子フニャフニャ物体を量子化すると
普通はローレンツ不変でかつユニタリーな
理論はつくれないのですが、有限な長さの
一次元的な物体の場合は、振動モードが
きれいにならんでるおかげでちょうどマズイ
部分が打ち消しあってしまい、ローレンツ不変で
ユニタリー性が確保できるという感じのよう
です。しかし、そのかわり、時空の次元を
２６次元とか１０次元とかにしないとダメという
ことみたいです。

> 恐らく、弦は長さを持っているといっても、
> 古典的な意味での長さとはちょっと違うのでしょうが、
> どうにもイメージがつかめません。
> それとも、
> 「理論ではとりあえずラグランジアンだけを仮定している、
> そのラグランジアンは、
> 有限の長さを持った弦にたまたま対応するが、
> だからといって、
> 有限な長さを持った弦を仮定しているわけではない」
> みたいな、ちょっとずるい（？）立場から出発しているのでしょうか？
>

ご推察の通りですね。ラグランジアンには弦の長さが
入っているわけですが、振動によって弦の長さは伸びたり
します。というより、振動のエネルギーで弦としての
形を保っている、というのが正しいかと思います。
もし、振動がなくなると、ちぢんで消え失せてしまう
ということですね。

ですから、量子化すると長さは違ってきます。
詳しい人に聞くと、弦の長さの期待値は「無限」
だそうで、思わず「なにそれ(^^;？」と聞き返して
しまいました（笑）。

まあ実際には、弦が長いということは振動がはげしいという
ことで、質量が非常に重く、日常生活で「あ！Super Stringが
飛んでいる！」ってことにはならないんだと思いますが、
それにしてもヘンな話だと個人的には思ってます。

> そういえば晩年の湯川秀樹が提唱していた
> 「素領域の理論」は、弦理論と近いものなのでしょうか？
> 学生の間では、「点が駄目なら2点てだけだよな」と
> えらくけなす人もいました(どっちも私の理解の彼方でした）。
>

湯川秀樹の「素領域」は、場の理論に、ある大きさ
を持ち込んだという感じのようです。超弦理論の場合、
場の理論以前の量子力学の粒子に大きさを持たせた
という感じなので、その辺がちがうところだと思います。

上の「２点で定まる」というのは「素領域」というより、
「bi-localな場」のことだと思います。湯川氏としては、
「 bi-local場」を「素領域」への第一歩にしたかった
みたいです が、どうもうまくいかなかったみたいですね。

そういうものも含め、場の理論になにか有限な大きさを
導入しようというのを非局所場理論(non-local field theory）
とか言うようです。非局所場理論は、やはりローレンツ不変性と
ユニタリティーを保つことが非常に難しく、ゲージ不変性を
保つことはもっと難しく、それらが成り立つようにすると、
今度は発散が現われてしまって元のモクアミ(^^;というような
ことの繰り返しだったようです。 あまりにもうまくいかないので、
そのうちやる人がだれもいなくなってしまった(^^;ようですね。

QCDなどででてくる格子ゲージ理論（空間が結晶のような
”原子のあつまり”なっていて、各”原子”にしか自由度がなく、
”原子間”はスカスカ、とするもの。おおざっぱな説明ですが(^^;）
などでも、発散問題なども含め、いろいろとうまい性質があります。
しかし、なんといっても「空間が格子だ」と思うわけですから、
回転対称性が壊れてる(^^;;｡ そのため、今のところ単にregularize
の方法と考える向きもあります。

というわけで、非局所的な場の理論というのは、とにかく
時空の対称性とユニタリティーを保つということが難しすぎて
ほとんどアウト！みたいですね。それらを保つとまた
発散がでてくる、というような。

ただ、最近、超弦理論のいろいろなケースから、「非可換幾何学」
という妙な幾何学がでてくるようになっていて、それを用いると、
たとえば「対称性を保ちながら最小の大きさのある世界」とかいう
妙な世界を記述できるようです。最近名が知れてきたばかりみたいですし、
将来性も未知数なので、研究者はまだ少ないようですが。

それがうまくいくと、「素領域」的なものの復活ということに
なるのかもしれません。

>
> とすると、超弦理論は究極の物理理論というより、
> 究極の物理理論の母体となるにふさわしい純粋さを持った、
> 究極の現象論である、と言ったほうが良いのでしょうか。
> これは面白い。

うーん、まあ現象論と言ってしまうと超弦屋さんは
怒るかもしれないのですが(^^;、せいぜい散乱振幅
や摂動的に弦がつくる場の理論を見てみることや
ソリトンの状況の計算法なんかがあるだけなんでしょ、
ということではそう言えるのかもしれません。

> そういえば、超弦理論を論じるような立場では、
> 「４」次元というのが、「任意パラメータ」なんですね。
> ついにそこまできたのか、という感じです。

「超弦」が矛盾なく定式化できる次元は、
１０次元ですが、これは任意パラメータではなく、
１０次元じゃないとまともな量子論にならない
ということですから、あとは、１０から４になる原理が
みつかれば、「４は必然である」ということになる
ということみたいです。

なんというか、任意パラメータを入れるかわりに、
「１０がビルトインされている超弦というモデル」
を使った、というような感じかもしれません。

こう見てみると、超弦理論というのは、いろいろな場とか
次元の数とかそういうものがモデルの構造の中に
組み込まれていて、任意パラメータが少なくなっている
ものかもしれません。

でも、個人的感想としては、やっぱり「４」は任意
パラメータなんじゃないのかな(^^;と思います。
１０次元というのは単にそう書けるだけで、やっぱり
４から出発しなきゃならなかった！ってなことになる
んではないか、、、と。

超弦理論の批判者に言わせると、「恣意的モデルで
１０から４が導けたとしても、それは任意パラメータを
入れたのと変わらんではないか」ということだそうです（笑）。

[kig...@rist.kindai.ac.jp]

Ken-ichi Ohshima <ohsh...@din.or.jp> さん

| ただ、最近、超弦理論のいろいろなケースから、「非可換幾何学」
| という妙な幾何学がでてくるようになっていて、それを用いると、
| たとえば「対称性を保ちながら最小の大きさのある世界」とかいう
| 妙な世界を記述できるようです。最近名が知れてきたばかりみたいですし、
| 将来性も未知数なので、研究者はまだ少ないようですが。
|
| それがうまくいくと、「素領域」的なものの復活ということに
| なるのかもしれません。

「非可換幾何学」ってまったく知りませんが、非常に自然な概念に聞こえます。

空間の形を決めようとしたら、まず正則関数とか微分形式とかを考えて、いろん
な開集合で両立するように解析接続のようなことをして、逆に空間の形を決める
わけで、それを非可換にして何が悪いって気がします。とくに重力を量子化しよ
うと思ったら、空間の各点で不確定性原理を満たさないといけないので、空間の
各点の上にある曲率テンソルのようなものは必然的に非可換になるって気がしま
すが。

というわけで、研究者の数が少ないってのは解せないのだが。

Kiguchi,

[Nakagawa]

中川＠つくば　です

Ken-ichi Ohshima wrote in message <3982AEC0...@din.or.jp>...

>
>http://xxx.yukawa.kyoto-u.ac.jp/abs/hep-th/0004075
>
>のほうがいいと思います。歴史と現状、問題、などが
>わかりやすくまとめられています。まあ、非専門家
>向けとは書いてはありますが、「非string屋向け」くらい
>の感じですね(^^;。

見てみましたが…「非string屋向け」ねえ…

>QCDなどででてくる格子ゲージ理論（空間が結晶のような
>”原子のあつまり”なっていて、各”原子”にしか自由度がなく、
>”原子間”はスカスカ、とするもの。おおざっぱな説明ですが(^^;）
>などでも、発散問題なども含め、いろいろとうまい性質があります。
>しかし、なんといっても「空間が格子だ」と思うわけですから、
>回転対称性が壊れてる(^^;;。 そのため、今のところ単にregularize
>の方法と考える向きもあります。

やっぱり壊れているんですか。
結晶の物理をかじった物理屋（つまり大抵の物理屋）は
真っ先に回転対称性を心配するし、
回転対称性もないモデリングでうまく行くのかしらと気にしますが、
不思議と解説には書いてなんです。

その手法に習って、格子ストリング理論は成立するのですか？

>ただ、最近、超弦理論のいろいろなケースから、「非可換幾何学」
>という妙な幾何学がでてくるようになっていて、それを用いると、
>たとえば「対称性を保ちながら最小の大きさのある世界」とかいう
>妙な世界を記述できるようです。最近名が知れてきたばかりみたいですし、
>将来性も未知数なので、研究者はまだ少ないようですが。

「非可換幾何学」も分からないものの一つです。
座標が非可換（！）なんて、何事だ…
座標が非可換な幾何学などと言われると、
逆に座標が可換なら一安心してしまうけれど、
本来、座標は可換ですらありませんよね？
（そうゆう性質を云々するものではない）
「座標が可換」とか「座標が非可換」とかいう言葉は、
演算子的な意味以外の形で座標が理論に入ることがない、と、
宣言しているようなものですが、それがどういうことなのか、良くわかりません。

まあ、それはそれで目をつぶるとして、
交換関係のために広がってしまった座標は、どう理解するのでしょう？
あれは確率的に広がっているのですか？
すると、たとえば電子の波動関数などは
2重の意味で確率的に広がっているのですか？
(第二量子化も考えると三重の意味だ）
それとも、位置座標の広がりは、
最終的に物質波的な広がりを与えるのですか？
つまり、粒子＝プランク距離で広がった物質波の確率的広がり？
で、その物質波が、超弦であると…いやいや話がうますぎる。

>> とすると、超弦理論は究極の物理理論というより、
>> 究極の物理理論の母体となるにふさわしい純粋さを持った、
>> 究極の現象論である、と言ったほうが良いのでしょうか。
>> これは面白い。
>
>うーん、まあ現象論と言ってしまうと超弦屋さんは
>怒るかもしれないのですが(^^;、せいぜい散乱振幅
>や摂動的に弦がつくる場の理論を見てみることや
>ソリトンの状況の計算法なんかがあるだけなんでしょ、
>ということではそう言えるのかもしれません。

量子重力を含んで、発散のない数学形式として、
超弦理論がほぼ唯一のものならば、
いずれそこにたどり着くだろうという意味で、
「量子重力を含んで発散がない」特徴だけから書き下した、
一種の現象論、という割り切りも有りなのかなあ、
と思ったのですが、その意味では、いつか役立つ理論ですね。

ただ、ここまで抽象化された理論を見ていると、
そこまでやるなら…と、いろんな妄想が思い浮かびます。

たとえば…
発散が問題になるのは、計算すると無限大が出るからですね。
何故無限大が出るかというと、いろいろ理由はあるけれど、
なによりも、使っている数学に無限大という概念があるからですね。
というわけで、使っている数学から
無限大とか無限小の概念を追い出しちゃうのはどうでしょう。
まず、時間も空間もサイコロのように切っちゃう、
回転対称性はこの際気にしない。
そして、確率振幅のようなものも有限個の状態にしてしまう。
つまり、物理の基礎方程式を全部超離散化してしまう…
ひょっとして、誰かがすでに試しているんでしょうか？

[SATO Tatsuya]

佐藤@SEGです。stringの話はよく知りませんが…

"Nakagawa" <nak...@silk.plala.or.jp> writes:
>
> 「非可換幾何学」も分からないものの一つです。
> 座標が非可換（！）なんて、何事だ…
> 座標が非可換な幾何学などと言われると、
> 逆に座標が可換なら一安心してしまうけれど、
> 本来、座標は可換ですらありませんよね？
> （そうゆう性質を云々するものではない）

いえ、そういう性質を云々するものなのです。

代数幾何的な観点では、幾何学というのはおおざっぱに言って環論です。
図形の上で定義された関数の全体の作る可換環(加減乗は、各点での関数値
の加減乗)がわかれば、その図形の構造がわかる。そして座標というのは
おおざっぱに言うと(少くとも局所的には)その環の生成元なのです。

簡単な例として、ハミルトン系の phase pace Ω = { (q,p) | q,p∈R }
を考えましょう。座標というものを「数値の組によって位置を指定するもの」
と捉えている限りは (q,p) というのは (1,2) だの (3,4) だのの一般形に
しか見えません。しかし座標は

Q(q,p) = q,
P(q,p) = p

というような Ωから実数への写像Q,Pとも考えられます。Ω上の連続関数は
QとPの多項式関数で近似できますから、Ω上の関数(即ち物理量)の作る環の
生成元と思えます。

# ちなみに、古典的物理量を c-number と呼ぶのは誤解の元です。
# 古典的物理量は「数」ではなく「Ω上の関数」です。関数の値
# の方は数ですが、それは量子力学で言えば観測値に相当し、量子
# 論でも数です。

で量子力学というのは、下にあった点達 (q,p) ってのが考えられない代り
に物理量としての Q,P は生き残り、それが QP-PQ=i という関係で非可換環
を作るわけですよね。ここでも Q,P は物理量の全体を生成する生成元になっ
ています。

このように、「可換環論は幾何学である」という数学的立場から見れば、
量子力学は幾何学の拡張なわけです。上にあげた例は普通の量子力学で、空間
座標の値などは古典的な時空で測定されるのですが、時空そのものが非可換環
で記述される、という妄想もアリではないでしょうか(無責任モード)。

--
**************************************
佐藤達也, E-mail: statuya @ seg.co.jp
**************************************

[Nakagawa]

中川＠つくば　です

量子力学を例に説明してもらうと、たしかにkiguchiさんのように、

kig...@rist.kindai.ac.jp wrote in message
<8m3ck8$bja$1...@ccpower01.cc.kindai.ac.jp>...
>「非可換幾何学」ってまったく知りませんが、非常に自然な概念に聞こえます。

という気分に、*一瞬*なれるのですが…

SATO Tatsuya wrote in message ...
>佐藤@SEGです。stringの話はよく知りませんが…

詳しい解説をありがとうございます。

>
>"Nakagawa" <nak...@silk.plala.or.jp> writes:
[...]

>> 本来、座標は可換ですらありませんよね？
>> （そうゆう性質を云々するものではない）
>
>いえ、そういう性質を云々するものなのです。
>
> 代数幾何的な観点では、幾何学というのはおおざっぱに言って環論です。
>図形の上で定義された関数の全体の作る可換環(加減乗は、各点での関数値
>の加減乗)がわかれば、その図形の構造がわかる。そして座標というのは
>おおざっぱに言うと(少くとも局所的には)その環の生成元なのです。
>
> 簡単な例として、ハミルトン系の phase pace Ω = { (q,p) | q,p∈R }
>を考えましょう。座標というものを「数値の組によって位置を指定するもの」
>と捉えている限りは (q,p) というのは (1,2) だの (3,4) だのの一般形に
>しか見えません。しかし座標は
>
> Q(q,p) = q,
> P(q,p) = p
>
>というような Ωから実数への写像Q,Pとも考えられます。Ω上の連続関数は
>QとPの多項式関数で近似できますから、Ω上の関数(即ち物理量)の作る環の
>生成元と思えます。

この場合、p,qにはR上のベクトル空間として自然に位相が導入されていて、
一方、Ω上の連続関数もまたR上のベクトル空間であって、
p,qの作るベクトル空間と一対一同相写像が成り立ち、その意味で同一視できる、
ということですよね？

> で量子力学というのは、下にあった点達 (q,p) ってのが考えられない代り
>に物理量としての Q,P は生き残り、それが QP-PQ=i という関係で非可換環
>を作るわけですよね。ここでも Q,P は物理量の全体を生成する生成元になっ
>ています。

この場合、元の空間は位相空間でなくて配位空間であり、
その上の連続関数が作る(R上の)ベクトル空間と、
その上の微分演算子が作る(R上の)ベクトル空間の直積(？)が、
古典力学の位相空間と、
量子力学と古典力学の対応原理に基づいて対応するのではないですか？

次元が倍になるけれども、
それは波動関数がC上の連続関数であることに関係していて、
古典力学とは、波動関数を振幅×位相の形に分解して、
微分演算子は位相側にだけ作用する(アイコナール)として、
対応をとるのだったと思います。
#　随分不正確な書き方のような気がしてきた。それに
#　>Nakagawa wrote in message <8m40sd$fna$1...@pin2.tky.plala.or.jp>...
#　>演算子的な意味以外の形で座標が理論に入ることがない、と、
#　>宣言しているようなものですが、それがどういうことなのか、良くわかりませ
ん。
#　は、アホな発言でしたね。
逆に、古典物理との対応を考えない限り、pに対応する微分演算子が、
qに対応するなんて話はないんだと思います。

このような幾何学構成法は、それなりに理解できるし、

> このように、「可換環論は幾何学である」という数学的立場から見れば、
>量子力学は幾何学の拡張なわけです。

ということで、非可換環の例としても分かるのですが、
共役変数の非可換性自体は数式的には自明なことも含め、
量子力学の特殊事情ばかりに目が行って、

>上にあげた例は普通の量子力学で、空間
>座標の値などは古典的な時空で測定されるのですが、時空そのものが非可換環
>で記述される、という妄想もアリではないでしょうか(無責任モード)。

時空座標が非可換とは何事だぁ～　の気分が抜けません。

[SATO Tatsuya]

佐藤@SEGです。

"Nakagawa" <nak...@silk.plala.or.jp> writes:
>
> この場合、p,qにはR上のベクトル空間として自然に位相が導入されていて、
> 一方、Ω上の連続関数もまたR上のベクトル空間であって、
> p,qの作るベクトル空間と一対一同相写像が成り立ち、その意味で同一視できる、
> ということですよね？

今の例でΩは2次元ベクトル空間ですが、Ω上の連続関数の全体は
無限次元空間です。その部分環としての「P,Qの多項式の全体」も
無限次元空間です。更にその部分集合としての「P,Qの張る線型空間」
は確かに2次元で、今の場合偶然Ωと同相になります。

しかしΩがベクトル空間である事は本質ではありません。Ωの例と
してR^2を選んだ理由は、R^2なら局所座標を考えなくてよいからです。
Ωが球面などの場合、複数の開集合に分割してその上で座標を考える
事になります。この場合に座標を「Ω上の関数」と見る為には、座標
関数をΩ全体に拡張する必要があります。可微分多様体の世界で議論
しているなら、遠くで0にしてやれば済みます。

前の私の投稿では、「関数環の構造を知れば元の図形がわかる」と
いう事に対する説明が不十分でした。これは

「可換環さえ与えられれば、それが図形上の関数環である事を知らなく
ても、環の構造だけから図形を定義する事が出来て、その上の関数環
として元の可換環を把握できる」

というものです。

# ただし元の可換環と構成された関数環が同型となるには、環のクラス
# を制限せねばなりませんが。

中川さんのフォローにはベクトル空間としての構造しか出てきていま
せんが、図形の構成の際には環の積構造が本質的に用いられます。

# だからこそ「座標は可換性を云々するもんだ」というフォローを
# しているわけです。

たとえば、Q,Pを単なる記号とし、抽象的な可換環

Alg = 「P,Qの複素係数多項式の集合」

を考えましょう。これに通常の加減乗と
スカラー倍、複素共役演算
*: Σa_{m,n}P^mQ^n ----> Σ{a_{m,n}^*}P^mQ^n
を入れておきます。(Q^*=Q,P^*=P)

さて、複素数の全体Cも加減乗とスカラー倍、複素共役演算 を
持つ環です。 Alg から C への(*を保存する)準同型の全体を Ω
と書くことにしましょう。すなわち ω∈Ω とは

(1) ω(aX+bY) = aω(X)+bω(Y) (X,Y∈Alg)
(2) ω(XY) = ω(X)ω(Y) (X,Y∈Alg)
(3) ω(X^*) = ω(X)^* (X∈Alg)

を満たす Alg 上の複素数値関数です。これより、ω∈Ωは実は
Q,P∈Alg での値で決まってしまいます。実際、 ω(Q)=q,ω(P)=p
と書くと (1),(2) より

ω(Σa_{m,n}P^mQ^n) = Σa_{m,n}p^mq^n

となりますから。更に Q^*=Q,P^*=P と (3) から p,q は実数とわかり
ます。この対応により、Ωと R^2={(q,p)| q,p∈R} は一対一に対応し
ます。以下これを同一視して ω=(q,p) などと書きます。

最後に、元の可換環 Alg を Ω上の関数環と看倣す方法を説明します。
各 X∈Alg に対して、Ω上の関数 X~ を X~(ω) = ω(X) で定義します。
ω=(q,p) に対しては、例えば

Q~(q,p) = Q~(ω) = ω(Q) = q
P~(q,p) = P~(ω) = ω(P) = p

となっており、Alg の生成元 Q,P はこの対応でΩ上の座標関数に対応
します。

以上の話だけだと、別に Alg に積の構造を入れる必要は無いように
見えますが、Alg の生成元 Q,P が Q^2+P^2=1 という関係式を持って
いる場合に上と同様の話をすれば、構成されるΩは R^2 内の円 q^2+p^2=1
と一対一に対応します。

# Ωにどんな位相を入れれば 同相写像になるか、という話は省略。

積まで考える事によって、ベクトル空間とは限らない、もっと一般の
図形を扱えるわけです。

可換環の代りに QP-PQ=i で生成される非可換環を考え、更に生成元が
Q^2+P^2=1 という関係式を満たしていたら「円の量子化」の出来上がり!
と言いたい所ですが、残念ながらこの二つの関係式は両立しません。
でもまあ、似たような発想によって「量子トーラス」だの「量子球面」
だの「量子Lie群」だのが構成されていますし(かなりイイカゲンな説明)、
その周辺は 90年の Fields賞の中心的な話題でした。

> このような幾何学構成法は、それなりに理解できるし、
>
> > このように、「可換環論は幾何学である」という数学的立場から見れば、
> >量子力学は幾何学の拡張なわけです。
>
> ということで、非可換環の例としても分かるのですが、
> 共役変数の非可換性自体は数式的には自明なことも含め、
> 量子力学の特殊事情ばかりに目が行って、

逆に数学にとって見れば、量子力学という長年の成果を、非可換環に対する
幾何学的な解釈の手段に用いる事が出来るのでしょうね。

> 時空座標が非可換とは何事だぁ～　の気分が抜けません。

それは私も同感です。でもそれは、量子力学が登場した時に発生した
悩みと似たようなものですから、そのうちわかった気になるような説明
が現れるのかも知れません。

[Ken-ichi Ohshima]

すいません、元記事がこちらのサーバーにきてない
ようなので、ヘンなところにフォローつけてしまいますが。。。

in article <8m40sd$fna$1...@pin2.tky.plala.or.jp>
"Nakagawa" <nak...@silk.plala.or.jp> wrote:
>
> 見てみましたが…「非string屋向け」ねえ…
>

まあ、よくみるとstring屋さんの専門用語が
注釈なしにたくさん(^^;でございますね。
abstractにはたしかに非専門家向けって
書いてあるんですが(^^;。

>
> やっぱり壊れているんですか。
> 結晶の物理をかじった物理屋（つまり大抵の物理屋）は
> 真っ先に回転対称性を心配するし、
> 回転対称性もないモデリングでうまく行くのかしらと気にしますが、
> 不思議と解説には書いてなんです。
>

そうなんですよね。一番重大な問題点なのですが。
単に正則化の方法として使うときは、最終的に
格子の大きさをゼロにしてしまうので関係ないから、
ということなのかもしれませんが。。。。

> その手法に習って、格子ストリング理論は成立するのですか？
>

時空が格子になってしまうと、弦という連続なものは
存在できなくなるのでそれはないと思いますが、
そういう格子っぽいものと弦理論の関係というのは
いろいろと取りざたされるみたいですね。

>
> 「非可換幾何学」も分からないものの一つです。
> 座標が非可換（！）なんて、何事だ…
> 座標が非可換な幾何学などと言われると、
> 逆に座標が可換なら一安心してしまうけれど、
> 本来、座標は可換ですらありませんよね？
> （そうゆう性質を云々するものではない）

> 「座標が可換」とか「座標が非可換」とかいう言葉は、
> 演算子的な意味以外の形で座標が理論に入ることがない、と、
> 宣言しているようなものですが、それがどういうことなのか、良くわかりません。
>

これについては佐藤さんの非常にクリアでちゃんとした
説明がすでに投稿されているのでそちらを参照して
いただいたほうがいいと思うのですが、まず、
非可換幾何学では、座標自体の非可換性だけとは
かぎらないというところがあります。

どちらかというと、「関数の積」に非可換性を持ち込む
ことによって、ボヤっとした空間を間接的に表そうという
ことのようです。ですから、場合によっては、「そもそも
座標などというもの自体が幻想だ！(^^;」ってな世界になり
ますね。

たとえば、波数 k1 と 波数 k2の平面波があったとき、
その平面波の積からは k1+k2 の平面波が現われて
しまいます。したがって、ある波数以上が存在しない
世界というのを考えると、関数の積の構造や
微分演算子の構造などが違ってくるわけです。

そういう意味では、一番わかりやすいのは、「非可換球面」
です。 普通の（可換）球面上の関数空間は、球面調和関数が
基底になっているベクトル空間です。それを、上の平面波
の話と同様に、ある”波数”以上のものがないとして切って
しまうと、「有限個の基底で張られる空間」になってしまいます。

有限個の基底で張られていて、かつ、積の結果も
その有限個の基底で表せる、ということになると、
これはもう「行列」なわけですよね。つまり、普通の
連続空間（可換空間）上の関数というのは、この場合、
行列を大きくしていった極限のように見えるわけです。

球ではなくてnon-compactな空間の場合にはもっと
ヤヤコシイようですし、また、非可換性の入れかたにも
任意性があるので、上のように、ある波数で切れてる
とかいう単純なものだけとは限らないようですが、とにかく
関数環を非可換にすることによってどうにかならないか
というものが非可換幾何学ですね。

> まあ、それはそれで目をつぶるとして、
> 交換関係のために広がってしまった座標は、どう理解するのでしょう？
> あれは確率的に広がっているのですか？
> すると、たとえば電子の波動関数などは
> 2重の意味で確率的に広がっているのですか？
> (第二量子化も考えると三重の意味だ）
> それとも、位置座標の広がりは、
> 最終的に物質波的な広がりを与えるのですか？
> つまり、粒子＝プランク距離で広がった物質波の確率的広がり？
> で、その物質波が、超弦であると…いやいや話がうますぎる。
>

「非可換幾何学」はなんとかおぼろげながらあるのですが、
「非可換幾何学上の場の理論」とかなるとあまりやられていない
という感じのようです。したがって、実際に広がりがどうなるのか
というような話になるとよくわからないのだと思います。

ちなみに、stringとの関係で、単に座標が非可換性をもつ
（[x,y]=iθとか）例についてはいろいろと研究されていて、
場の理論もつくられています。 が、少なくとも、スカラー場
の理論の場合、

- 理論によってはやっぱり発散が現われて
しまう

- もっとヒドイものでは、質量があっても”低エネルギーで”
発散が現われてしまう（なんと(^^;）

- 空間座標同士ではなく、時間座標にも非可換性を持たせると
ユニタリティーが壊れてしまうことが多い

などがわかってきたようです。これをみると、なにか
昔の非局所場理論と同じ道をたどっているのかも(^^;
という気がしますが、一番のポイントは、ローレンツ不変性
とか回転対称性とかを確保するのは非可換幾何学の場合
しごく簡単だということですね。座標が非可換という
アイデア自体は、すでに1947年くらいにスナイダーという
人が提案してて、そこではローレンツ不変なものである
ということを強調してました。

ですから、問題は、発散とユニタリティーだけに限られている
というところが単なる非局所場理論との違いかもしれません。

でも、これもなかなかうまくいかないばかりか、今のところ、
弦理論のダイナミクスを記述するときの特殊な例として
現われているだけで、非可換幾何学が弦理論の母体
と言える証拠もなにもありませんし、まあ、どうなるのでしょう(^^;、
という感じみたですね。

>
> たとえば…
> 発散が問題になるのは、計算すると無限大が出るからですね。
> 何故無限大が出るかというと、いろいろ理由はあるけれど、
> なによりも、使っている数学に無限大という概念があるからですね。
> というわけで、使っている数学から
> 無限大とか無限小の概念を追い出しちゃうのはどうでしょう。

ちょっとちがうのですが、昔、「公理的場の理論」というがあって、
無限大というのがあってもよいのだ、というように、公理から
出発して議論するというのがあったようです。しかし、やっぱり
構成的に議論していくほうがよくて、以後、たとえば、QCDとか
構成的議論でいろいろ新しい発展したのもあって、公理的な
やり方は捨てられてしまったという経緯があります。

そういう意味では、苦しみながらもとことんやっていくしか
方法がないのか、という感じなんですかね(^^;;。

[Nakagawa]

中川＠つくば　です

SATO Tatsuya wrote in message ...

>佐藤@SEGです。
>
>"Nakagawa" <nak...@silk.plala.or.jp> writes:
>>
>> この場合、p,qにはR上のベクトル空間として自然に位相が導入されていて、
>> 一方、Ω上の連続関数もまたR上のベクトル空間であって、
>> p,qの作るベクトル空間と一対一同相写像が成り立ち、その意味で同一視できる、
>> ということですよね？
>
> 今の例でΩは2次元ベクトル空間ですが、Ω上の連続関数の全体は
>無限次元空間です。その部分環としての「P,Qの多項式の全体」も
>無限次元空間です。更にその部分集合としての「P,Qの張る線型空間」
>は確かに2次元で、今の場合偶然Ωと同相になります。

前の投稿で私が書いたのも、
連続関数の生成元の張る線形空間のつもりだったのですが、
こういう言い違いをする原因は、
「関数環が分かると図形が分かる」の言葉を私が勘違いしていたからで、
正確な意味は

>
> しかしΩがベクトル空間である事は本質ではありません。Ωの例と

以下で、佐藤さんが丁寧に説明してくださいました。

#　本当にｆｊは勉強になると痛感しました。
#　社会人になると、こういうことは「独学」に頼るしかなく、
#　このような解説がとても貴重になります。

ありがとうございました。

[Nakagawa]

中川＠つくば　です

Ken-ichi Ohshima wrote in message <39893B77...@din.or.jp>...

>非可換幾何学では、座標自体の非可換性だけとは
>かぎらないというところがあります。
>
> どちらかというと、「関数の積」に非可換性を持ち込む
>ことによって、ボヤっとした空間を間接的に表そうという
>ことのようです。ですから、場合によっては、「そもそも
>座標などというもの自体が幻想だ！(^^;」ってな世界になり
>ますね。
>
>たとえば、波数 k1 と 波数 k2の平面波があったとき、
>その平面波の積からは k1+k2 の平面波が現われて
>しまいます。したがって、ある波数以上が存在しない
>世界というのを考えると、関数の積の構造や
>微分演算子の構造などが違ってくるわけです。

単純に波数上限を設定するにせよ、
他の方法でやんわりと短波長を排除するにせよ、
空間に貼りついた長さスケールを持ち込むわけですから、
そのような理論がローレンツ不変性と相性がよいというのも、
不思議な感じがします。
（まさか、イベントの概念が揺らぐことはないですよね？）

>- 空間座標同士ではなく、時間座標にも非可換性を持たせると
> ユニタリティーが壊れてしまうことが多い

とのことですが、空間座標同士の非可換性だけで、
ローレンツ不変なものが構成できるのでしょうか？

それとも、ローレンツ不変性は、
プランク距離以上では漸近的に正確に成り立つ、
マクロ理論として取り扱われるのでしょうか？

>ですから、問題は、発散とユニタリティーだけに限られている
>というところが単なる非局所場理論との違いかもしれません。

超弦理論にせよ、時空非可換の考えにせよ、
あくまで、量子力学と相対性理論の温存を考えているようですが、
発散の不存在とユニタリティーは、理論が破綻していないための
絶対最低条件であるのに対して、
相対性原理は、一歩下がって、
現在の(非プラン久スケール）マクロ物理に対する要請という、
醒めた見方も出来ますよね？

実際、真空のエネルギーという考えが出てきた段階で、
真空のエネルギーが現実のエネルギーに転化したときの、
運動量期待値がゼロになる座標系という意味で、
（局所)絶対座標の概念は導入されているように思えるのですが。
従って、（特殊)相対性理論は、
方程式の対称性の理論ではあっても、
究極の時空対称性の理論である必要性は、
そう高くないのではないですか？

>ちょっとちがうのですが、昔、「公理的場の理論」というがあって、
>無限大というのがあってもよいのだ、というように、公理から
>出発して議論するというのがあったようです。しかし、やっぱり

ここまで手を尽くしていたんですか…
超弦理論がどんなに奇妙なものであっても、
多くの研究者が飛びついた理由が分かる気がします。

[Ken-ichi Ohshima]

ちと浦島ぎみですが(^^;...。

Nakagawa wrote:
>
>
> 単純に波数上限を設定するにせよ、
> 他の方法でやんわりと短波長を排除するにせよ、
> 空間に貼りついた長さスケールを持ち込むわけですから、
> そのような理論がローレンツ不変性と相性がよいというのも、
> 不思議な感じがします。
> （まさか、イベントの概念が揺らぐことはないですよね？）
>

（中略）

> >- 空間座標同士ではなく、時間座標にも非可換性を持たせると
> > ユニタリティーが壊れてしまうことが多い
>
> とのことですが、空間座標同士の非可換性だけで、
> ローレンツ不変なものが構成できるのでしょうか？
>

これは私の勘違いでした。

超弦理論などででてくる非可換性というのは、
外場などに伴ってでてくるので、
ローレンツ不変性はありません。

したがって、ほんとうにローレンツ不変に
しようと思ったら、時間と空間の両方を
非可換にするしかないようです。が、
普通の場の理論でそんなことをすると
前にも書いたように、ユニタリ性とかが
ダメになるみたいです。基本的に
非局所場と同じですね。

>
> 超弦理論にせよ、時空非可換の考えにせよ、
> あくまで、量子力学ﾆ相対性理論の温存を考えているようですが、

> 発散の不存在とユニタリティーは、理論が破綻していないための
> 絶対最低条件であるのに対して、
> 相対性原理は、一歩下がって、
> 現在の(非プラン久スケール）マクロ物理に対する要請という、
> 醒めた見方も出来ますよね？
>

そうなんですよ。スルドイですね(^^;。
というかスルドすぎというか(^^;。。。。

相対性原理と量子力学の原理はどんなスケールにいっても
成り立つと考えて理論を構成しているのが超弦理論ですね。

弦という実体を考えているのだから、座標系の
取り方に対する不変性という面で、相対性原理
のほうは自然だと思うのですが、不確定性原理とか
そういうのを、プランクスケールの弦に要求するのは
ホンマかいな、という気がしますよね。

まあ、「座標系」とかいうのものも、そんな小さなスケールで
意味があるのかどうかもよくわかりません。。。

> 実際、真空のエネルギーという考えが出てきた段階で、
> 真空のエネルギーが現実のエネルギーに転化したときの、
> 運動量期待値がゼロになる座標系という意味で、
> （局所)絶対座標の概念は導入されているように思えるのですが。
> 従って、（特殊)相対性理論は、
> 方程式の対称性の理論ではあっても、
> 究極の時空対称性の理論である必要性は、
> そう高くないのではないですか？
>

弦理論では、一般相対論的宇宙論で問題の
宇宙定数がうまく観測に合うよういでてこないようですね。
他の場の理論でもそうなんですが。
その辺のことと絡んでるのかもしれないですね。

特殊相対性は少なくとも、座標の取り方の任意性
という面ではあるような気がしますが、一般相対性
のようにグニャグニャの座標系をとってもOKという
ことになるとどうも、、という気もたしかにします。
しかし、グニャグニャというのはゲージ理論なんかでも
ありますから、なにか特別な意味があるのかも
しれません。その辺も、とりあえず原理としている
だけでよくわからないですよね。

いづれにせよ、おっしゃるようなことが問題になって
くるのはエネルギーと質量と重力の関係が
クセモノだからでしょうね。電荷が大きくても
別になんてことはないけど、質量が大きいと
時空曲がっちゃいますからね。。。

[kig...@rist.kindai.ac.jp]

SATO Tatsuya さん

| 可換環の代りに QP-PQ=i で生成される非可換環を考え、更に生成元が
| Q^2+P^2=1 という関係式を満たしていたら「円の量子化」の出来上がり!
| と言いたい所ですが、残念ながらこの二つの関係式は両立しません。
| でもまあ、似たような発想によって「量子トーラス」だの「量子球面」
| だの「量子Lie群」だのが構成されていますし(かなりイイカゲンな説明)、
| その周辺は 90年の Fields賞の中心的な話題でした。

90年というと京都で国際数学会があった年で、フィールズ賞は、Drinfeld,
Jones、森、Witten。で、量子群ってのは Drinfeld の仕事でしたっけ。

数学をよく知らないから、フィールズ賞の業績の位置付けすらできない。
ノーベル物理学賞ならどうだと言われても困るけれど。

最近、非可換幾何でよく聞く名前は Alain Connes で、1982年の Fields
Medalですね、この年には Calabi-Yau の Yau も受賞している。で、非可換幾何
を勉強するには Connes のフィールズ賞の C*代数を勉強しないといけないのか
な。

非可換幾何の物理屋向けの入門書って何かありますか？数学はまったく知らなく
て、空間ってのは素イデアルを要素とする集合だ、座標ってのは素イデアルによ
る商だ、閉集合とは素イデアルを要素とする部分集合だ、といわれて像を結べな
くて困っているレベルの素人が読める程度のものが。(要するに環も層もコホモ
ロジーも勉強したことがないのです。みんな耳学問。なんで環は環と名付けられ
たのだろう？)

相対論と量子論の統一は老後の楽しみのために今から準備しておきたいものの一
つで、その準備に非可換幾何の理解ってのは避けて通れないもののように思えま
す。超弦理論には(バックグラウンドが陽に入っているから)まったく興味は湧か
ないけれど、非可換幾何なら一般座標変換との整合性が保てそうだし。まあ、こ
ういう問題はキャリアが重要な若い人には勧められないけれど、考え続けて野垂
れ死にってのは理想の死に方だな。数学的な道具立てが揃った所で、もう一度、
非局所場ってのもいいんじゃないかなと思っています。

Kiguchi,

[GON]

<kig...@rist.kindai.ac.jp> wrote in message news:8olc6a$9g0$1...@ccpower01.cc.kindai.ac.jp...
> 非可換幾何の物理屋向けの入門書って何かありますか？

A.コンヌ著、丸山文網訳　「非可換幾何学入門」　岩波書店、２４７ｐ、１９９９年８月２７日第１版

ってのがありますよ。

第１章　序論
第２章　非可換幾何学入門
第３章　作用素環
第４章　量子ホール効果
第５章　素粒子物理学と非可換幾何

第２章によるとペンローズタイリングは量子空間の例だそうです。

ちょっと読んでみましたが非可換幾何による標準理論において
Higgs場が自然に現れるってのが何かKaluza-Klein型の高次元モデル
でのdimension reductionからHiggs場が出てくるアイデアに似てる気が
するんですけど気のせい？

[Ken-ichi Ohshima]

GON wrote:
>
> A.コンヌ著、丸山文網訳　「非可換幾何学入門」　岩波書店、２４７ｐ、１９９９年８月２７日第１版
>
> ってのがありますよ。
>
> 第１章　序論
> 第２章　非可換幾何学入門
> 第３章　作用素環
> 第４章　量子ホール効果
> 第５章　素粒子物理学と非可換幾何
>

これって、最初と最後の章はともかく、まんなか辺
死にませんか(^^;？ わたしゃー沈没しましたです（笑）。

hep-th あたりにあるレクチャーを読むとか、、、、うーん、、
この分野はあまりいい文献が今のところないみたいですね。

> ちょっと読んでみましたが非可換幾何による標準理論において
> Higgs場が自然に現れるってのが何かKaluza-Klein型の高次元モデル
> でのdimension reductionからHiggs場が出てくるアイデアに似てる気が
> するんですけど気のせい？

最後のやつですよね。Kaluza-Keinの場合は
高次元分がコンパクトになってますが、コンヌのやつは
もう一個の次元が短くブっちぎれてる感じですよね。
あのモデルは、おっというところがあるみたいですが、
いろいろ問題もあるみたいです。

[GON]

"Ken-ichi Ohshima" <ohsh...@din.or.jp> wrote in message news:39AEA425...@din.or.jp...

> GON wrote:
> >
> > A.コンヌ著、丸山文網訳　「非可換幾何学入門」　岩波書店、２４７ｐ、１９９９年８月２７日第１版
> >
> > ってのがありますよ。
> >
> > 第１章　序論
> > 第２章　非可換幾何学入門
> > 第３章　作用素環
> > 第４章　量子ホール効果
> > 第５章　素粒子物理学と非可換幾何
> >
>
> これって、最初と最後の章はともかく、まんなか辺
> 死にませんか(^^;？ わたしゃー沈没しましたです（笑）。

いやぁ、わたしは数学科じゃなかったもんで数学的に厳密に書かれると
ちょっと読んだだけでは理解不能です。ハイ。

じっくり読めばわかるのかもしれないけどそんな余裕はありません。

[SATO Tatsuya]

佐藤@SEGです。

kig...@rist.kindai.ac.jp writes:
>
> 90年というと京都で国際数学会があった年で、フィールズ賞は、Drinfeld,
> Jones、森、Witten。で、量子群ってのは Drinfeld の仕事でしたっけ。

Jones: von Neumann環の部分環の指数理論と knotの新不変量
指数理論の研究の産物として Jones多項式という knot の新不変量が
発見されました。Knotの不変量というのは、その外側の多様体を考えると
3次元多様体の不変量にもなるので重要です。

Witten: 数学者に対する諸々の預言(笑)
例えば Topological Quantum Field Theory では上記の Jones多項式が
経路積分で表せたりするようです。

Drinfeld: 量子群やら数論やら、色々。
量子群の表現もまた knotの不変量と関連しています。

というわけで、この三人の研究は knotの不変量という点で
オーバラップしており、様々な異なる分野がいろいろ関連を
持つ事がわかって来た当時は大いに盛り上がっていました。

> 最近、非可換幾何でよく聞く名前は Alain Connes で、1982年の Fields
> Medalですね、この年には Calabi-Yau の Yau も受賞している。

この時のConnesの受賞業績は 1970年代の「von Neumann環の構造理論」
です。彼は「富田-竹崎 理論」という強力な道具を用いて因子環の構造
をあらかた分類・解明してしまいました。

# ちなみに 「富田-竹崎 理論」は1960年代末の業績で、統計力学や
# 場の量子論とも関連しており、当時も「数学と物理の邂逅」として
# 話題になったようです。

Connesが非可換幾何を提唱し始めたのは、この Fields賞受賞の頃から
だと思います。1970年代の末期から葉層構造の分析に作用素環論を
応用する研究を始めていましたが、「非可換幾何」という呼び方は
1982年くらいからじゃないかな。大々的な提唱は

A.Connes, Non-Commutative Differential Geometry, Publ. I.H.E.S 62 (1986)

でしょうか。

> で、非可換幾何を勉強するには Connes のフィールズ賞の C*代数を勉強
> しないといけないのかな。

Connesの非可換幾何は上記の量子群などとは興味の方向が違いますが、
物理学への応用の可能性は確かに Connesの非可換幾何の方が豊富だと
思います。C*代数については、やはり基本的な用語くらいは知らないと
いけないでしょうね。物理の人に向けた「楽しい読物」として

渡辺澄夫, 超娯楽大作「すぴんはころぶ」, 素粒子論研究 71-1, (1985-4)

てのがありますが、さすがにこれだけでは勉強した事になりません。
しかし作用素代数を一から勉強するよりも、下に紹介する非可換幾何
の入門書をとりあえず読んでみるのが良いのではないでしょうか。

> 非可換幾何の物理屋向けの入門書って何かありますか？

既に他の人も言及しているように、 Connesの本は入門者に対する配慮が
「全く」無いので、勉強するには不向きです。しかし開拓者の思想を知る
上では大事な書物ではないかと思います。

A.Connes, GEOMETRIE NON COMMUTATIVE, InterEditions, 1990.
日本語訳: 丸山文綱 訳, 非可換幾何学入門, 岩波書店, 1999.
英訳: Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994.

英訳は内容が4倍に増大しており、事実上の「第二版」です。

さて入門書としてもっと適切なのは

Giovanni Landi, An Introduction to Noncommutative Spaces and Their Geometries,
Lecture Notes in Physics m-51, Springer, 1997.

でしょう。C*環の定義などから書かれており、物理の人に配慮されて
います。ファイバーバンドルなど微分幾何の数学に慣れている人なら

J.Madore, An Introduction to Noncommutative Differential Geometry and
its Physical Applications (Second Edition),
London Mathematical Society Lecture Note Series 257,
Cambridge University Press, 1999.

というのがあります。

> 数学はまったく知らなく
> て、空間ってのは素イデアルを要素とする集合だ、座標ってのは素イデアルによ
> る商だ、閉集合とは素イデアルを要素とする部分集合だ、といわれて像を結べな
> くて困っているレベルの素人が読める程度のものが。

私も「点 = 素イデアル」という純代数幾何的なイメージは把めていません。
でも非可換微分幾何の勉強をする上では「点 = 極大イデアル」で十分です。
私の <y6asnso...@piloo.seg.co.jp> では

> さて、複素数の全体Cも加減乗とスカラー倍、複素共役演算 を
> 持つ環です。 Alg から C への(*を保存する)準同型の全体を Ω
> と書くことにしましょう。すなわち ω∈Ω とは

のように「点ω」を「AlgからCへの準同型」と定義しましたが、これは
Algの極大イデアルと一対一に対応しています。
( ker(ω) がAlg の極大イデアルになっています。)

集合Ω上の関数の作る代数 Alg においては、
「極大イデアルI」と「点ω∈Ω」とは大ざっぱに

I = { f∈Alg | f(ω)=0 }

で対応しています。状況によっては、Iに対応する点ωがΩに見付から
なかったりする場合もありますが、そんな時にも

「実はΩの彼方に理想的な点ωがあるのだ」

などと考えたりします。だからイデアルはイデアルって言うのです。

[SATO Tatsuya]

佐藤@SEGです。訂正です。

SATO Tatsuya <sta...@seg.co.jp> writes:

>
> 私も「点 = 素イデアル」という純代数幾何的なイメージは把めていません。
> でも非可換微分幾何の勉強をする上では「点 = 極大イデアル」で十分です。

これは「非可換」ではなく「『可換』微分幾何を理解するためには」
とすべきでした。