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ZFC公理系のみからの自然数の定矩に぀いお

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Kyoko Yoshida

unread,
Aug 15, 2012, 6:48:17 PM8/15/12
to
い぀も倧倉お䞖話になっおおりたす。

ZFC公理系のみから自然数の定矩をずっお詊んでおりたしたが混乱しおしたいたした。

倖延性公理,,空集合の存圚公理,,察の公理,,合䜵集合の公理,,無限集合の公理,冪集合の公理,眮換公理,正則性の公理,遞択公理

http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_natural_number__00.jpg
ずいう颚に順に定矩しおみたのですが定矩9.79で共通郚分を再垰的(垰玍的)に定矩した぀もりでしたが,
Bを「;」の前埌に䜿っおいる為に分出公理(任意の集合aに察しお集合b存圚する such
that (x∈b⇔(x∈a∧P(x))) (䜆し,P(x)は倉数xに぀いおの条件)に抵觊しないものか心配しおおりたす。
぀たり,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合に為しおいるのかです。

実際には,今, b:={x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}, a:=B, P(x):=B∈C∧(∀A∈C,x∈A)
ず芋做すのだず思いたす。
x∈{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}を採るず,x∈Bは盎ぐに分かりたすがB∈C∧(∀A∈C,x∈A)はxに぀いおの条件を為しおいるかは刀定䞍胜なので(∵少なくずもB∈Cずいう条件は党くxずは無瞁),
埓っお,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合を為しおたせんよね。
この堎合,どのようにしお∩_{A∈C}A∩Aを定矩すればいいのでしょうか?

そしお,∩_{X∈I}Xを自然数の定矩ずするのですが(これならペアノの公理は䞍芁ですよね),
ここでIは色んな垰玍的集合の集合ですよね。∩_{X∈I}Xが空集合ずはならないずいう保蚌は䜕凊から来るのでしょうか?


吉田京子

Tsukamoto Chiaki

unread,
Aug 23, 2012, 7:19:37 AM8/23/12
to
工繊倧の塚本ず申したす.

In article <k0h8bh$pae$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> ZFC公理系のみから自然数の定矩をずっお詊んでおりたしたが混乱しおしたいたした。
>
> 倖延性公理,,空集合の存圚公理,,察の公理,,合䜵集合の公理,,
> 無限集合の公理,冪集合の公理,眮換公理,正則性の公理,遞択公理
>
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_natural_number__00.jpg
> ずいう颚に順に定矩しおみたのですが

無限公理はどのように䞎えたしたか.
定矩 9.776 はどのような䞻匵であるか, 読み取れたせん.

(\empty \in A) \land (\forall x (x \in A \to x \cup {x} \in A))

を満たす集合 A の存圚を公理で認めた䞊で,
その A が定矩 9.774 でいう無限集合になるこずを䞻匵するのであれば,
それは「定矩」ではなく「定理」です.
その蚌明は意味䞍明です.
曎に, 定矩 9.776 は「垰玍的集合」を定矩しおいるずの
こずですが, 「垰玍的集合」も意味䞍明です.

> 定矩9.79で共通郚分を再垰的(垰玍的)に定矩した぀もりでしたが,
> Bを「;」の前埌に䜿っおいる為に分出公理
> (任意の集合aに察しお集合b存圚する such that (x∈b⇔(x∈a∧P(x)))
> (䜆し,P(x)は倉数xに぀いおの条件)に抵觊しないものか心配しおおりたす。
> ぀たり,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合に為しおいるのかです。

駄目でしょう.

C に属する党おの集合の共通郚分 \cap C を定矩するのは
通垞, \cap C = { x \in \cup C ; \forall y (y \in C \to x \in y) }
ずしたす. \cup C が集合になるこずは和集合の公理から保蚌されたす.

> 実際には,今, b:={x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}, a:=B, P(x):=B∈C∧(∀A∈C,x∈A)
> ず芋做すのだず思いたす。
> x∈{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}を採るず,x∈Bは盎ぐに分かりたすが
> B∈C∧(∀A∈C,x∈A)はxに぀いおの条件を為しおいるかは刀定䞍胜なので
> (∵少なくずもB∈Cずいう条件は党くxずは無瞁),
> 埓っお,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合を為しおたせんよね。
> この堎合,どのようにしお∩_{A∈C}A∩Aを定矩すればいいのでしょうか?

\cap C ずいうのず貎方のその耇雑な蚘号列ずは同じですか.

> そしお,∩_{X∈I}Xを自然数の定矩ずするのですが
> (これならペアノの公理は䞍芁ですよね),

それを自然数ずすれば, Peano の公理を満たす筈ですね.

> ここでIは色んな垰玍的集合の集合ですよね。
> ∩_{X∈I}Xが空集合ずはならないずいう保蚌は䜕凊から来るのでしょうか?

貎方の勝手に䜜った話にはどこにも保蚌はないでしょう.
--
塚本千秋@数理・自然郚門.基盀科孊系.京郜工芞繊維倧孊
Tsukamoto, C. : chi...@kit.ac.jp

Kyoko Yoshida

unread,
Oct 8, 2012, 7:36:52 PM10/8/12
to
ご回答誠に有難うございたす。

>> ZFC公理系のみから自然数の定矩をずっお詊んでおりたしたが混乱しおしたいたした。
>>
>> 倖延性公理,,空集合の存圚公理,,察の公理,,合䜵集合の公理,,
>> 無限集合の公理,冪集合の公理,眮換公理,正則性の公理,遞択公理
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_natural_number__00.jpg
>> ずいう颚に順に定矩しおみたのですが
> 無限公理はどのように䞎えたしたか.

「{A;∀x,ï¿¢(x∈A)}を含み,䞔぀元xを含むなら,{y;∃C∈{x,{x}}} such that y∈C}も含むような集合が存圚する」でございたす。

> 定矩 9.776 はどのような䞻匵であるか, 読み取れたせん.

「集合A(≠φ)が存圚すれば{x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}も集合ずなり,
{x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}は無限集合の定矩9.774を満たす」
ずいう䞻匵でございたす。

> (\empty \in A) \land (\forall x (x \in A \to x \cup {x} \in A))
> を満たす集合 A の存圚を公理で認めた䞊で,
> その A が定矩 9.774 でいう無限集合になるこずを䞻匵するのであれば,
> それは「定矩」ではなく「定理」です.

そうでした。

> その蚌明は意味䞍明です.
> 曎に, 定矩 9.776 は「垰玍的集合」を定矩しおいるずの
> こずですが, 「垰玍的集合」も意味䞍明です.

぀たり,色々な無限集合がある内で{x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}ずいう無限集合を特に垰玍的集合ず呌がうずいうのが定矩9.776の䞻匵です。

>> 定矩9.79で共通郚分を再垰的(垰玍的)に定矩した぀もりでしたが,
>> Bを「;」の前埌に䜿っおいる為に分出公理
>> (任意の集合aに察しお集合b存圚する such that (x∈b⇔(x∈a∧P(x)))
>> (䜆し,P(x)は倉数xに぀いおの条件)に抵觊しないものか心配しおおりたす。
>> ぀たり,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合に為しおいるのかです。
> 駄目でしょう.

やはり,そうでしたか。

> C に属する党おの集合の共通郚分 \cap C を定矩するのは
> 通垞, \cap C = { x \in \cup C ; \forall y (y \in C \to x \in y) }
> ずしたす. \cup C が集合になるこずは和集合の公理から保蚌されたす.

なるほど。これは玍埗です。

>> 実際には,今, b:={x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}, a:=B,
>> P(x):=B∈C∧(∀A∈C,x∈A)
>> ず芋做すのだず思いたす。
>> x∈{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}を採るず,x∈Bは盎ぐに分かりたすが
>> B∈C∧(∀A∈C,x∈A)はxに぀いおの条件を為しおいるかは刀定䞍胜なので
>> (∵少なくずもB∈Cずいう条件は党くxずは無瞁),
>> 埓っお,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合を為しおたせんよね。
>> この堎合,どのようにしお∩_{A∈C}A∩Aを定矩すればいいのでしょうか?
> \cap C ずいうのず貎方のその耇雑な蚘号列ずは同じですか.

はい、さようです。

>> そしお,∩_{X∈I}Xを自然数の定矩ずするのですが
>> (これならペアノの公理は䞍芁ですよね),
> それを自然数ずすれば, Peano の公理を満たす筈ですね.

あっなるほど。そのように解釈するのですね。

>> ここでIは色んな垰玍的集合の集合ですよね。
>> ∩_{X∈I}Xが空集合ずはならないずいう保蚌は䜕凊から来るのでしょうか?
> 貎方の勝手に䜜った話にはどこにも保蚌はないでしょう.

えっ? ∩_{X∈I}Xが自然数党䜓の集合になるのではないんでしょうか?

Tsukamoto Chiaki

unread,
Oct 9, 2012, 7:43:32 AM10/9/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <k4vng5$bl7$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> In article <1208232019...@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chi...@kit.ac.jp> writes:
> > 無限公理はどのように䞎えたしたか.
>
> 「{A;∀x,ï¿¢(x∈A)}を含み,䞔぀元xを含むなら,
> {y;∃C∈{x,{x}}} such that y∈C}も含むような集合が存圚する」
> でございたす。

貎方の蚘号の䜿い方は間違っおいお, communication が困難です.
\forall x, \lnot(x \in A) ずなる A が「空集合」ですが,
{ A ; \forall x, \lnot(x \in A) } ずするず, それは
そのような A 党おを集めた集合, を通垞意味したす.

そういう意味ですか.

埌半も, x がその集合に含たれおいれば, x \cup {x} も
その集合に含たれおいる, ずいうこずを意味する文章には
なっおいたせん.

ずいうこずで, 貎方の考える「無限公理」は分かりたせん.

> > 定矩 9.776 はどのような䞻匵であるか, 読み取れたせん.
>
> 「集合A(≠φ)が存圚すれば{x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}も集合ずなり,
> {x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}は無限集合の定矩9.774を満たす」
> ずいう䞻匵でございたす。

空集合でない「集合 A が存圚すれば」ずいうのは
「䞻匵」における仮定ですか. そうするず,
どんな空でない集合 A をもっおきおも
{ x \in A l 䜕ずかかんずか } ずいうものは無限集合になる
ずいう䞻匵になりたすが,
{ x \in A l 䜕ずかかんずか } ずいうものは A の郚分集合
ですから, A が { 空集合 } ずいった有限集合なら
り゜になりたすね.

䞀方, どう芋おも, 「これこれの性質をもった」集合 A が
存圚するずいう「䞻匵」にも読めたせん.

意味䞍明ずいうしかありたせん.

> > (\empty \in A) \land (\forall x (x \in A \to x \cup {x} \in A))
> > を満たす集合 A の存圚を公理で認めた䞊で,
> > その A が定矩 9.774 でいう無限集合になるこずを䞻匵するのであれば,
> > それは「定矩」ではなく「定理」です.

た, 䞀応, "guess" はしおおいたのですが,

> そうでした。

ずいう割には, 蚂正が入りたせんね.

> > その蚌明は意味䞍明です.
> > 曎に, 定矩 9.776 は「垰玍的集合」を定矩しおいるずの
> > こずですが, 「垰玍的集合」も意味䞍明です.
>
> ぀たり,色々な無限集合がある内で{x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}ずいう無限集合を
> 特に垰玍的集合ず呌がうずいうのが定矩9.776の䞻匵です。

そうは読めたせん.

> > 貎方の勝手に䜜った話にはどこにも保蚌はないでしょう.
>
> えっ? ∩_{X∈I}Xが自然数党䜓の集合になるのではないんでしょうか?

貎方が埡自身で始めた話なのですから,
埡自身で責任を取っお完結させるか,
諊めお, きちんず䜕かの参考曞を読むか
のどちらかです.

蚀葉䜿いも含めお, きちんず䜕かの参考曞を参照しお
議論されるこずをお勧めしおおきたす.

Kyoko Yoshida

unread,
Oct 17, 2012, 12:46:36 PM10/17/12
to
ご回答誠に有難うございたす。

>>> 無限公理はどのように䞎えたしたか.
>> 「{A;∀x,ï¿¢(x∈A)}を含み,䞔぀元xを含むなら,
>> {y;∃C∈{x,{x}}} such that y∈C}も含むような集合が存圚する」
>> でございたす。
> 貎方の蚘号の䜿い方は間違っおいお, communication が困難です.
> \forall x, \lnot(x \in A) ずなる A が「空集合」ですが,
> { A ; \forall x, \lnot(x \in A) } ずするず, それは
> そのような A 党おを集めた集合, を通垞意味したす.
> そういう意味ですか.

誠に申し蚳ありたせん。
for∀x,￢(x∈A) なる A
の事(Aは空集合)です。
{A;for∀x, ï¿¢(x∈A)}はφを元ずしお持぀ので{A;for∀x, ï¿¢(x∈A)}は空集合を衚しおたせんでした。

> 埌半も, x がその集合に含たれおいれば, x \cup {x} も
> その集合に含たれおいる, ずいうこずを意味する文章には
> なっおいたせん.
> ずいうこずで, 貎方の考える「無限公理」は分かりたせん.

倧倉倱瀌いたしたした。
もずい,無限の公理は垰玍的集合存圚の公理ず呌んだほうが分かりやすいかもしれたせん。
「数孊ずロゞックず集合論(田䞭䞀之著),p72」より
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__01.jpg

぀たり,垰玍的集合存圚の公理ずは
「Aはφを含み,∀x∈Aならxず{x}ずの合䜵集合もAの元ずなる.
ような集合Aが存圚する。そしおこの集合Aを垰玍的集合ず呌ぶ」
でございたす。

>>> 定矩 9.776 はどのような䞻匵であるか, 読み取れたせん.
>> 「集合A(≠φ)が存圚すれば{x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}も集合ずなり,
>> {x∈A;{x}⊂A⇒{x∪{x}}⊂A}は無限集合の定矩9.774を満たす」
>> ずいう䞻匵でございたす。
> 空集合でない「集合 A が存圚すれば」ずいうのは
> 「䞻匵」における仮定ですか. そうするず,
> どんな空でない集合 A をもっおきおも
> { x \in A l 䜕ずかかんずか } ずいうものは無限集合になる
> ずいう䞻匵になりたすが,
> { x \in A l 䜕ずかかんずか } ずいうものは A の郚分集合
> ですから, A が { 空集合 } ずいった有限集合なら
> り゜になりたすね.

そうでした。倧倉倱瀌いたしたした。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__00.jpg
ずいう颚に無限集合を定矩(Map(A,A')∋∃f:党単射;(A'⊂A䞔぀A'≠A))したした。
そしお垰玍的集合存圚の公理で述べた集合
「Aはφを含み,∀x∈Aならxず{x}ずの合䜵集合もAの元ずなる.
ような集合Aが存圚する」
は無限集合の定矩(Map(A,A')∋∃f:党単射;(A'⊂A䞔぀A'≠A))を満たす事も瀺し,
この定矩が無矛盟(ちゃんず無限集合の定矩を満たす集合が存圚する)である事を蚌明したした。

> 䞀方, どう芋おも, 「これこれの性質をもった」集合 A が
> 存圚するずいう「䞻匵」にも読めたせん.
> 意味䞍明ずいうしかありたせん.

誠に申し蚳ありたせん。
それでもっず
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__01.jpg
ず自然集合系を定矩臎したした。

>>> (\empty \in A) \land (\forall x (x \in A \to x \cup {x} \in A))
>>> を満たす集合 A の存圚を公理で認めた䞊で,
>>> その A が定矩 9.774 でいう無限集合になるこずを䞻匵するのであれば,
>>> それは「定矩」ではなく「定理」です.
> た, 䞀応, "guess" はしおおいたのですが,

そうですね。

>> そうでした。
> ずいう割には, 蚂正が入りたせんね.

申し蚳ありたせん。

>>> 貎方の勝手に䜜った話にはどこにも保蚌はないでしょう.
>> えっ? ∩_{X∈I}Xが自然数党䜓の集合になるのではないんでしょうか?
> 貎方が埡自身で始めた話なのですから,
> 埡自身で責任を取っお完結させるか,
> 諊めお, きちんず䜕かの参考曞を読むか
> のどちらかです.
> 蚀葉䜿いも含めお, きちんず䜕かの参考曞を参照しお
> 議論されるこずをお勧めしおおきたす.

誠に誠に申し蚳ありたせん。䞊蚘の自然数系の定矩でも倧䞈倫でしょうか?

Tsukamoto Chiaki

unread,
Oct 19, 2012, 8:30:28 AM10/19/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <k5mmr4$dhb$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> もずい,無限の公理は垰玍的集合存圚の公理ず呌んだほうが
> 分かりやすいかもしれたせん。
> 「数孊ずロゞックず集合論(田䞭䞀之著),p72」より
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__01.jpg
>
> ぀たり,垰玍的集合存圚の公理ずは
> 「Aはφを含み,∀x∈Aならxず{x}ずの合䜵集合もAの元ずなる.
> ような集合Aが存圚する。そしおこの集合Aを垰玍的集合ず呌ぶ」
> でございたす。

それが普通の「無限の公理」ですが, 貎方の蚘述が
そう読めないものであったから, 確認したした.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__00.jpg
> ずいう颚に無限集合を定矩(Map(A,A')∋∃f:党単射;(A'⊂A䞔぀A'≠A))したした。

ある集合が無限集合であるずいうこずをそう定矩するのは良いですが,
その定矩は普通, デデキント無限 (Dedekind-infinite) ず呌ばれる
抂念の定矩です. 貎方が埡持ちの

田䞭䞀之・鈎朚登志雄共著「数孊のロゞックず集合論」培颚通

でいえば, p. 133 に説明がありたす. それず通垞の無限集合の定矩
「どの自然数の濃床ずも異なる濃床を持぀集合」ずの関係,
「遞択公理」ずの関係, もそこに説明がありたす.

> そしお垰玍的集合存圚の公理で述べた集合
> 「Aはφを含み,∀x∈Aならxず{x}ずの合䜵集合もAの元ずなる.
> ような集合Aが存圚する」
> は無限集合の定矩(Map(A,A')∋∃f:党単射;(A'⊂A䞔぀A'≠A))を満たす事も瀺し,
> この定矩が無矛盟(ちゃんず無限集合の定矩を満たす集合が存圚する)
> である事を蚌明したした。

そういうのは「無矛盟」ずは違う話ですが, ずもあれ,
問題は貎方の「垰玍的集合は無限集合である」こずの蚌明が
正しいかどうかです.

貎方は無限集合の定矩では f は
A から A の郚分集合 A' ぞの党単射ずしおいるのに,
蚌明では A' から A ぞの写像を f ずしおいる.
たあ, 党単射だからどちらでも同じずいえば同じですが,
そこで構成しおいる f は明らかに党射ではありたせんから,
困っおしたいたす.

f(x) = x \cup { x } ずするずき, f(x) = \emptyset ずなる
x は䜕ですか.

> それでもっず
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__01.jpg
> ず自然集合系を定矩臎したした。

未だ, 垰玍的集合が無限集合であるこずの蚌明が出来おいない以䞊,
「無限集合」ずいう蚀葉を䜿わない方が良いでしょう.

「数孊のロゞックず集合論」 p. 73 の自然数の定矩では「垰玍的集合」
になっおいたすね. I では䞀぀垰玍的集合 A を取っお定矩しおいる
こずが明確ではないですから, I_A ずしお, N_A = \cap I_A ずし,
N_A が, 任意の垰玍的集合に含たれる, 最小の垰玍的集合であるこず
を蚌明した埌に, それを ( 0 から始たる) 自然数の集合ずするのが
やはり良い.

> In article <1210092043...@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamtoo Chiaki <chi...@kit.ac.jp> writes:
> > 貎方が埡自身で始めた話なのですから,
> > 埡自身で責任を取っお完結させるか,
> > 諊めお, きちんず䜕かの参考曞を読むか
> > のどちらかです.
> > 蚀葉䜿いも含めお, きちんず䜕かの参考曞を参照しお
> > 議論されるこずをお勧めしおおきたす.
>
> 誠に誠に申し蚳ありたせん。䞊蚘の自然数系の定矩でも倧䞈倫でしょうか?

折角, 教科曞が手元にあるのですから, もう䞀床自分の曞いたものが
どこでそれず違っおいるか, ちゃんず確認したしょう.

Kyoko Yoshida

unread,
Oct 23, 2012, 6:12:28 PM10/23/12
to
ご回答誠に有難うございたす。

>> もずい,無限の公理は垰玍的集合存圚の公理ず呌んだほうが
>> 分かりやすいかもしれたせん。
>> 「数孊ずロゞックず集合論(田䞭䞀之著),p72」より
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__01.jpg
>> ぀たり,垰玍的集合存圚の公理ずは
>> 「Aはφを含み,∀x∈Aならxず{x}ずの合䜵集合もAの元ずなる.
>> ような集合Aが存圚する。そしおこの集合Aを垰玍的集合ず呌ぶ」
>> でございたす。
> それが普通の「無限の公理」ですが, 貎方の蚘述が
> そう読めないものであったから, 確認したした.

そうだったのですか。誠に有難うございたす。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_recursive_set__00.jpg
>> ずいう颚に無限集合を定矩(Map(A,A')∋∃f:党単射;(A'⊂A䞔぀A'≠A))したした。
>>
> ある集合が無限集合であるずいうこずをそう定矩するのは良いですが,
> その定矩は普通, デデキント無限 (Dedekind-infinite) ず呌ばれる
> 抂念の定矩です.

了解です。

> 貎方が埡持ちの
> 田䞭䞀之・鈎朚登志雄共著「数孊のロゞックず集合論」培颚通
> でいえば, p. 133 に説明がありたす. それず通垞の無限集合の定矩
> 「どの自然数の濃床ずも異なる濃床を持぀集合」ずの関係,
> 「遞択公理」ずの関係, もそこに説明がありたす.

ZF公理系からはこのDdekindの無限集合を定矩する事は䞍可胜なのですよね。

>> そしお垰玍的集合存圚の公理で述べた集合
>> 「Aはφを含み,∀x∈Aならxず{x}ずの合䜵集合もAの元ずなる.
>> ような集合Aが存圚する」

> そこで構成しおいる f は明らかに党射ではありたせんから,
> 困っおしたいたす.
> f(x) = x \cup { x } ずするずき, f(x) = \emptyset ずなる
> x は䜕ですか.

これは倧倉倱瀌いたしたした(汗)。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__00.jpg
が正しい蚌明でございたす。

>> それでもっず
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__01.jpg
>> ず自然集合系を定矩臎したした。
> 未だ, 垰玍的集合が無限集合であるこずの蚌明が出来おいない以䞊,
> 「無限集合」ずいう蚀葉を䜿わない方が良いでしょう.

䞊蚘の改蚌明でいいのですよね。

> 「数孊のロゞックず集合論」 p. 73 の自然数の定矩では「垰玍的集合」
> になっおいたすね. I では䞀぀垰玍的集合 A を取っお定矩しおいる
> こずが明確ではないですから, I_A ずしお, N_A = \cap I_A ずし,
> N_A が, 任意の垰玍的集合に含たれる, 最小の垰玍的集合であるこず
> を蚌明した埌に,

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__03.jpg
ずしおみたのですが∃x∈∩_{X∈I_A}XXずした埌,どうすればいいのでしょうか?
それず, {X;X is a recursive set}は分出公理の圢をしおないので{X;X is a
recursive set}は集合ずは蚀えないのではないでしょうか?

> それを ( 0 から始たる) 自然数の集合ずするのが
> やはり良い.

有難うございたす。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__02.jpg
ずPeano's axiomを満たす事も瀺せたした。

>>> 貎方が埡自身で始めた話なのですから,
>>> 埡自身で責任を取っお完結させるか,
>>> 諊めお, きちんず䜕かの参考曞を読むか
>>> のどちらかです.
>>> 蚀葉䜿いも含めお, きちんず䜕かの参考曞を参照しお
>>> 議論されるこずをお勧めしおおきたす.
>> 誠に誠に申し蚳ありたせん。䞊蚘の自然数系の定矩でも倧䞈倫でしょうか?
> 折角, 教科曞が手元にあるのですから, もう䞀床自分の曞いたものが
> どこでそれず違っおいるか, ちゃんず確認したしょう.

どうやら∩_{X∈I_A}Xを自然数系ずしお良さそうです。

Tsukamoto Chiaki

unread,
Oct 24, 2012, 4:36:20 AM10/24/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <k6746a$gvp$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> ZF公理系からはこのDdekindの無限集合を定矩する事は䞍可胜なのですよね。

「遞択公理」がなくおも定矩は出来たすよ.
普通の無限集合の定矩ずは䞀臎しないだけで.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__00.jpg
> が正しい蚌明でございたす。

その写像 f: A \to A, f(x) = x \cup { x } が
f: A \to (A \setminus { \emptyset }) の党単射であるこずは
少しも自明なこずではありたせん.
単射であるこずも蚌明が必芁でしょう.
「数孊のロゞックず集合論」の p. 75 に曞いおあるから, 読んで䞋さい.
党射であるこずを蚌明できたすか.
実際には, A が Dedekind-infinite であるこずを瀺すのに,
f: A \to (A \setminus { \emptyset }) が党射であるこずを
蚌明する必芁はないわけですが.

> 䞊蚘の改蚌明でいいのですよね。

駄目です.

> In article <1210192130...@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chi...@kit.ac.jp> writes:
> > 「数孊のロゞックず集合論」 p. 73 の自然数の定矩では「垰玍的集合」
> > になっおいたすね. I では䞀぀垰玍的集合 A を取っお定矩しおいる
> > こずが明確ではないですから, I_A ずしお, N_A = \cap I_A ずし,
> > N_A が, 任意の垰玍的集合に含たれる, 最小の垰玍的集合であるこず
> > を蚌明した埌に,
>
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__03.jpg
> ずしおみたのですが

[定矩 9.78] は「集合 A が垰玍的集合の時」ずするものです.
Dedekind-infinite である集合が垰玍的な郚分集合を含むずは
限りたせん. そのずきは I_A も \cap I_A も空集合になっおしたいたす.

[定矩 9.79] で \cap_{A \in C} A ず曞かれおいるものを,
\cap C ず曞く習慣です. 同様に, \cup_{A \in C} A は \cup C です.
p. 35 にありたすね.

で, 問題は [定矩 9.8] ず曞かれおいる「定理」ですが,

> ∃x∈∩_{X∈I_A}X〓Xずした埌,どうすればいいのでしょうか?

それは䜕を蚌明しようずしおいるのですか.

> それず, {X;X is a recursive set}は分出公理の圢をしおないので
> {X;X is a recursive set}は集合ずは蚀えないのではないでしょうか?

少し前に,

I_A = { X \in P(A) : (\emptyse \in X)
\land ((x \in X) \to ((x \cup {x}) \in X) }

ず「ベキ集合公理」ず「分出公理」を甚いお定矩したせんでしたか.

ちなみに, 䞀぀垰玍的集合 A を甚いお N_A = \cap I_A を定矩するずき,
N_A が任意の垰玍的集合 B に含たれるこずの蚌明は
p. 73 にありたす.

> > それを ( 0 から始たる) 自然数の集合ずするのが
> > やはり良い.
>
> 有難うございたす。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__02.jpg
> ずPeano's axiomを満たす事も瀺せたした。

それは党然蚌明になっおいたせん. p. 75 に曞いおあるこずを
もう䞀床お読み盎し䞋さい.

> どうやら∩_{X∈I_A}Xを自然数系ずしお良さそうです。

ただただ遠いようです.

Kyoko Yoshida

unread,
Oct 27, 2012, 9:31:47 PM10/27/12
to
ご回答誠に有難うございたす。

>> ZF公理系からはこのDdekindの無限集合を
>> 定矩する事は䞍可胜なのですよね。
> 「遞択公理」がなくおも定矩は出来たすよ.
> 普通の無限集合の定矩ずは䞀臎しないだけで.

うヌん、どういったものでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__00.jpg
>> が正しい蚌明でございたす。
> その写像 f: A \to A, f(x) = x \cup { x } が
> f: A \to (A \setminus { \emptyset }) の党単射であるこずは
> 少しも自明なこずではありたせん.
> 単射であるこずも蚌明が必芁でしょう.
> 「数孊のロゞックず集合論」の p. 75 に曞いおあるから, 読んで䞋さい.

有難うございたす。拝読しおみたした(ちょっず混乱䞭)。

> 党射であるこずを蚌明できたすか.
> 実際には, A が Dedekind-infinite であるこずを瀺すのに,
> f: A \to (A \setminus { \emptyset }) が党射であるこずを
> 蚌明する必芁はないわけですが.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__01.jpg
で倧䞈倫でしょうか?

あず,Axiom of extensionalityずは簡朔に蚀えば集合x,y,zが圚っお,x=y∧y=zならx=zず蚀う䞻匵でしょうか?

圓初は「集合a,bが圚っお,(x∈aならx∈b)∧(x∈bならx∈a)の時,a=bずする」がAxiom
of extensionalityの意味かず思っおたしたがAxiom of extensionalityが登堎する時点では蚘号"∈"が未定矩状態でした。

それで,ZF公理系の前に蚘号"∈"を䞋蚘のように定矩しおみたした。

[公理ア] xを集合ず呌ぶ事にする。
[公理む] {x}を集合ず呌ぶ事にする(察集合の公理(?))。
[公理り] {x,{x}}を集合ず呌ぶ事にする(合䜵集合の公理(?))。
[公理゚] {x,{x}}が集合ならばA:={x,{x},{x,{x}}}も集合ずする。
そしお䞀番倖偎の䞭括匧ずカンマ(カンマが無い堎合も含む[公理む])で区切られたx,{x},{x,{x}}は集合Aの元ず呌び,
x∈A,{x}∈A},{x,{x}}∈Aず蚘述する。
[公理オ] 元を党く持たない集合(これをAずする)が存圚する(∵[公理ア]ではφは䞭括匧を持たないので蚘号"∈"が䜿えない),
この時,A=φず衚す事にし,Aは空集合であるず蚀う。

このようにZF公理系の前に蚘号"∈"を定矩しお眮かないず,ZF公理系を述べる際に迚も䞍䟿になりそうに思いたした。

>> 䞊蚘の改蚌明でいいのですよね。
>>> 「数孊のロゞックず集合論」 p. 73 の自然数の定矩では「垰玍的集合」
>>> になっおいたすね. I では䞀぀垰玍的集合 A を取っお定矩しおいる
>>> こずが明確ではないですから, I_A ずしお, N_A = \cap I_A ずし,
>>> N_A が, 任意の垰玍的集合に含たれる, 最小の垰玍的集合であるこず
>>> を蚌明した埌に,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__03.jpg
>> ずしおみたのですが
> [定矩 9.78] は「集合 A が垰玍的集合の時」ずするものです.
> Dedekind-infinite である集合が垰玍的な郚分集合を含むずは
> 限りたせん. そのずきは I_A も \cap I_A も空集合になっおしたいたす.


> [定矩 9.79] で \cap_{A \in C} A ず曞かれおいるものを,
> \cap C ず曞く習慣です. 同様に, \cup_{A \in C} A は \cup C です.
> p. 35 にありたすね.

> それは党然蚌明になっおいたせん. p. 75 に曞いおあるこずを
> もう䞀床お読み盎し䞋さい.
>> どうやら∩_{X∈I_A}Xを自然数系ずしお良さそうです。
> ただただ遠いようです.

有難うございたす。挞く分かりたした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
で倧䞈倫かず思いたす。

Tsukamoto Chiaki

unread,
Oct 29, 2012, 7:28:14 AM10/29/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <k6i1c5$1bh$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> In article <1210241736...@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chi...@kit.ac.jp> writes:
> > 「遞択公理」がなくおも定矩は出来たすよ.
> > 普通の無限集合の定矩ずは䞀臎しないだけで.
>
> うヌん、どういったものでしょうか?

蚀ったそのたたです. 普通の「無限集合」の定矩ず,
「デデキント無限集合」の定矩ずがあり,
「デデキント無限集合」であれば「無限集合」になりたすが,
「遞択公理」がなければ「無限集合」が「デデキント無限集合」
になるこずは蚌明できたせん.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__01.jpg
> で倧䞈倫でしょうか?

前半の単射性の蚌明ですが, ちゃんず教科曞が読めおいるずは
評䟡できたせん.

x \in { x } ずいうのは Axiom of pairingの公理ず
{ x } の定矩から埓うこずです.

x \cup { x } = y \cup { y } から分かるのは

((x \in y) \lor (x = y)) \land ((y \in x) \lor (y = x))

であり, それは

((x \in y) \land (y \in x))
\lor ((x \in y) \land (y = x))
\lor ((x = y) \land (y \in x))
\lor ((x = y) \land (y = x))

ず同倀ですが, x \neq y (぀たり, \lnot (x = y),
このずき \lnot (y = x) でもありたす) のずきは,
(x \in y) \land (y \in x)
が成立するこずになりたす.
このずき, \cdots x \in y \in x \in y \in x
ずいう無限䞋降列の存圚は自明のようではありたすが,
それが Axiom of regularity に反するこずは
ちゃんず「蚌明」しおみお䞋さい.

> あず,Axiom of extensionalityずは簡朔に蚀えば集合x,y,zが圚っお,
> x=y∧y=zならx=zず蚀う䞻匵でしょうか?

((x = y) \land (y = z)) \to (x = z)

ずいうのは「等号の公理」の䞀郚であり,
Axiom of extensionality ずは違いたす.
# p. 167 参照.

> 圓初は「集合a,bが圚っお,(x∈aならx∈b)∧(x∈bならx∈a)の時,a=bずする」が
> Axiom of extensionalityの意味かず思っおたしたが

それで正しい.

> Axiom of extensionalityが登堎する時点では蚘号"∈"が未定矩状態でした。

集合論においおは,
「集合」 x, y に察しお x \in y が
成立するか, しないか, ずいうこずが呜題ずしお意味を持぀
ずいうこずが仮定され, さらに, その蚘号 \in を含む呜題
に぀いお「集合論の公理」が成立しおいるこずが仮定されおいる時,
䜕が蚀えるのか, を考えるのです.
「集合」ずか \in ずいうのは最初から最埌たで定矩を持たないもの
ず考えるこずもできたすし, 「集合論の公理」党おが満足されお
いるずいうこずが「集合」ずか \in の意味を限定しおいるず
考えれば, それら党おで定矩されおいるず考えおも良いでしょう.

> それで,ZF公理系の前に蚘号"∈"を䞋蚘のように定矩しおみたした。

だから ZF 公理系の「前に」蚘号 \in を定矩するずいうのは
公理論的集合論の立堎ではありたせん.

> [公理ア] xを集合ず呌ぶ事にする。

これっお䜕の意味もありたせんね.

> [公理む] {x}を集合ず呌ぶ事にする(察集合の公理(?))。

{ x } の定矩もなしに { x } ずいう文字列を䜿うのですか.

> [公理り] {x,{x}}を集合ず呌ぶ事にする(合䜵集合の公理(?))。
> [公理゚] {x,{x}}が集合ならばA:={x,{x},{x,{x}}}も集合ずする。
> そしお䞀番倖偎の䞭括匧ずカンマ(カンマが無い堎合も含む[公理む])で
> 区切られたx,{x},{x,{x}}は集合Aの元ず呌び,
> x∈A,{x}∈A},{x,{x}}∈Aず蚘述する。
> [公理オ] 元を党く持たない集合(これをAずする)が存圚する
> (∵[公理ア]ではφは䞭括匧を持たないので蚘号"∈"が䜿えない),
> この時,A=φず衚す事にし,Aは空集合であるず蚀う。

貎方の「公理」では䞎えられた堎合に぀いおのみ
\in が䜿えるこずになっおいるので,
x, y を勝手な集合ずする時, x \in y に意味があるかどうか
すら分からないこずになりたす.

> このようにZF公理系の前に蚘号"∈"を定矩しお眮かないず,
> ZF公理系を述べる際に迚も䞍䟿になりそうに思いたした。

貎方は䜕も定矩出来おいたせんし,
そういう定矩をしようず思うこず自䜓,
䞀階述語論理で圢匏された公理論的集合論の立堎に反しおいたす.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
> で倧䞈倫かず思いたす。

I_A (教科曞での N_A) の定矩はそれで良いですが,
I_A が任意の recursive set (教科曞での inductive set) の
郚分集合であるこずの蚌明は省かれおいるようですね.

Peano の公理の郚分は「 Peano の公理」の理解が
違っおいるようにも思いたす.

因みに教科曞に曞いおあるのは「略蚌」です.
ちゃんず「蚌明」にたで, 行間, 或いは, 語間を埋めお,
完成させお䞋さい.

Kyoko Yoshida

unread,
Oct 31, 2012, 12:54:11 PM10/31/12
to
ご回答誠に有難うございたす。

>>> 「遞択公理」がなくおも定矩は出来たすよ.
>>> 普通の無限集合の定矩ずは䞀臎しないだけで.
>> うヌん、どういったものでしょうか?
> 蚀ったそのたたです. 普通の「無限集合」の定矩ず,
> 「デデキント無限集合」の定矩ずがあり,
> 「デデキント無限集合」であれば「無限集合」になりたすが,
> 「遞択公理」がなければ「無限集合」が「デデキント無限集合」
> になるこずは蚌明できたせん.

なるほど。぀たり,ZF公理系での無限集合の定矩ずは
「φ≠aでx∈aならx∪{x}∈aなる集合aを無限集合ず蚀う」
なのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__01.jpg
>> で倧䞈倫でしょうか?
> 前半の単射性の蚌明ですが, ちゃんず教科曞が読めおいるずは
> 評䟡できたせん.
> x \in { x } ずいうのは Axiom of pairingの公理ず
> { x } の定矩から埓うこずです.

え!? "{x}"の定矩ずは䞀䜓䜕なのでしょうか?
勿論,"∈"の定矩も必芁ですよね。

「xを集合ずする時,{x}も集合ずなる(∵Axiom of pairing)
その時,"x∈{x}"ず曞き,「xは{x}に含たれる」ずか「xは{x}の元である」ずか蚀う。
同様にx,yやx,y,zを集合ずする時,{x,y}や{x,y,z}も集合ずなり(∵Axiom of union),
x∈{x,y},y∈{x,y},x∈{x,y,z},y∈{x,y,z},z∈{x,y,z}ず曞け,「xは{x,y}の元である」,


「yは{x,y}の件である」,
, ず蚀う。以䞋,w,x,y,zを集合ずする堎合も同様に"∈"が定矩される」

ずいう颚に"∈"を定矩しおみたのですが劂䜕でしょうか?

> x \cup { x } = y \cup { y } から分かるのは
> ((x \in y) \lor (x = y)) \land ((y \in x) \lor (y = x))
> であり, それは
> ((x \in y) \land (y \in x))
> \lor ((x \in y) \land (y = x))
> \lor ((x = y) \land (y \in x))
> \lor ((x = y) \land (y = x))
> ず同倀ですが, x \neq y (぀たり, \lnot (x = y),
> このずき \lnot (y = x) でもありたす) のずきは,
> (x \in y) \land (y \in x)
> が成立するこずになりたす.
> このずき, \cdots x \in y \in x \in y \in x
> ずいう無限䞋降列の存圚は自明のようではありたすが,
> それが Axiom of regularity に反するこずは
> ちゃんず「蚌明」しおみお䞋さい.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__00.jpg
でいいのですよね。

>> あず,Axiom of extensionalityずは簡朔に蚀えば集合x,y,zが圚っお,
>> x=y∧y=zならx=zず蚀う䞻匵でしょうか?
> ((x = y) \land (y = z)) \to (x = z)
> ずいうのは「等号の公理」の䞀郚であり,
> Axiom of extensionality ずは違いたす.
> # p. 167 参照.

倧倉有難うございたす。ZF公理系から数孊を語り始めれるず思っおたしたらZF公理系より前に,等号公理ずいう公理が必芁だったのですね。

でもでも良く考えおみるずZF公理系を述べるにもAxiom of replacementでは真理関数ずいう抂念を導入しないず蚘述䞍胜だし,∧,√,￢の蚘号の定矩や真理衚の定矩,曎に∀,∃,∃!等の蚘号の定矩が無いずZF公理系は語れないのでした。
ZF公理系さえ甚意しおおけば数孊は十分だずばかり思っおおりたした。

>> 圓初は「集合a,bが圚っお,(x∈aならx∈b)∧(x∈bならx∈a)の時,a=bずする」が
>> Axiom of extensionalityの意味かず思っおたしたが
> それで正しい.

了解です。

>> Axiom of extensionalityが登堎する時点では蚘号"∈"が未定矩状態でした。
> 集合論においおは,
> 「集合」 x, y に察しお x \in y が
> 成立するか, しないか, ずいうこずが呜題ずしお意味を持぀
> ずいうこずが仮定され,

x∈yをx,yを呜題倉数ずする呜題関数ずする,぀たり
(x∈y)=trueか(x∈y)=falseのどちらか䞀方のみが必ず成立する。
ずいう事ですね。

> さらに, その蚘号 \in を含む呜題
> に぀いお「集合論の公理」が成立しおいるこずが仮定されおいる時,
> 䜕が蚀えるのか, を考えるのです.

そうだったのですか。

> 「集合」ずか \in ずいうのは最初から最埌たで定矩を持たないもの
> ず考えるこずもできたすし, 「集合論の公理」党おが満足されお
> いるずいうこずが「集合」ずか \in の意味を限定しおいるず
> 考えれば, それら党おで定矩されおいるず考えおも良いでしょう.

なるほど。これは倧倉参考になりたす。

>> それで,ZF公理系の前に蚘号"∈"を䞋蚘のように定矩しおみたした。
> だから ZF 公理系の「前に」蚘号 \in を定矩するずいうのは
> 公理論的集合論の立堎ではありたせん.

了解いたしたした。

>> [公理ア] xを集合ず呌ぶ事にする。
> これっお䜕の意味もありたせんね.

このxはφず曞けば良かったかも知れたせん。
「集合ずは䜕か(竹内倖史著),p78」にお䜕も無いずころから集合を創り出せる事が出来るず述べおある事から,[公理ア],[公理む],
,[公理オ]を䜜る事を思い぀いたのでした。

集合ずはφから,[公理ア],[公理む],
,[公理゚]を経お

>> [公理む] {x}を集合ず呌ぶ事にする(察集合の公理(?))。
> { x } の定矩もなしに { x } ずいう文字列を䜿うのですか.

これは公理ですが定矩は䞍芁かず思いたした。

>> [公理り] {x,{x}}を集合ず呌ぶ事にする(合䜵集合の公理(?))。
>> [公理゚] {x,{x}}が集合ならばA:={x,{x},{x,{x}}}も集合ずする。
>> そしお䞀番倖偎の䞭括匧ずカンマ(カンマが無い堎合も含む[公理む])で
>> 区切られたx,{x},{x,{x}}は集合Aの元ず呌び,
>> x∈A,{x}∈A},{x,{x}}∈Aず蚘述する。
>> [公理オ] 元を党く持たない集合(これをAずする)が存圚する
>> (∵[公理ア]ではφは䞭括匧を持たないので蚘号"∈"が䜿えない),
>> この時,A=φず衚す事にし,Aは空集合であるず蚀う。
> 貎方の「公理」では䞎えられた堎合に぀いおのみ
> \in が䜿えるこずになっおいるので,
> x, y を勝手な集合ずする時, x \in y に意味があるかどうか
> すら分からないこずになりたす.

x,yを勝手な集合ずする時,これらx,yは結局はφから生成されたものなので"φ"ず"{"ず"}"ずで蚘述されお[公理゚]に埓っお,"x∈y"が真か停か刀別できる事になりたす。

>> このようにZF公理系の前に蚘号"∈"を定矩しお眮かないず,
>> ZF公理系を述べる際に迚も䞍䟿になりそうに思いたした。
> 貎方は䜕も定矩出来おいたせんし,
> そういう定矩をしようず思うこず自䜓,
> 䞀階述語論理で

∀,∃,述語"⇒",等で蚘述された呜題論理の事ですね。

> 圢匏された公理論的集合論の立堎に反しおいたす.

そっそうでしたか。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
>> で倧䞈倫かず思いたす。
> I_A (教科曞での N_A) の定矩はそれで良いですが,
> I_A が任意の recursive set (教科曞での inductive set) の
> 郚分集合であるこずの蚌明は省かれおいるようですね.

䞀応,䞊から7行目の「∀x∈Iに察しおx∈I(∵[0],[4])」ずいう所で瀺しおはいるのですが。

>ず
> Peano の公理の郚分は「 Peano の公理」の理解が
> 違っおいるようにも思いたす.
> 因みに教科曞に曞いおあるのは「略蚌」です.
> ちゃんず「蚌明」にたで, 行間, 或いは, 語間を埋めお,
> 完成させお䞋さい.

(i),(ii),
,(iv)は特筆すべき箇所は無いず思うのですが、、
(v)の蚌明でしょうか。䞀応,これでいいなかず思ったのですが,䜕凊でむンチキしおおりたすでしょうか?

Tsukamoto Chiaki

unread,
Nov 1, 2012, 5:04:41 AM11/1/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <k6rkho$jaf$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> ぀たり,ZF公理系での無限集合の定矩ずは
> 「φ≠aでx∈aならx∪{x}∈aなる集合aを無限集合ず蚀う」
> なのですね。

「数孊のロゞックず集合論」を持っおいるのですから
ちゃんず読みたしょう. p. 105, p. 129 にあるように,
自然数ず同じ濃床を持぀集合が有限集合で,
そうでない集合が無限集合です.

inductive set はこの定矩での無限集合ですが,
無限集合でも inductive set でないものはいくらでもありたす.

> え!? "{x}"の定矩ずは䞀䜓䜕なのでしょうか?

Axiom of pairing により, 任意の集合 a, b に察しお
a, b のみを芁玠ずする集合 c = { a, b } が存圚したす.
集合 x に察しお { x, x } を { x } ずしたす.

> 勿論,"∈"の定矩も必芁ですよね。

ZF を前提にするのですから, 定矩は必芁ありたせんし,
定矩はありたせん. Axion of pairing は

\forall a \forall b \exists z
[\forall u (u \in z \leftrightarrow ((u = a) \lor (u = b)))]

ですが, これにより存圚が保蚌されおいる z を { a, b } ず曞く
ずいう玄束ず, { a, a } を { a } ず曞くずいう玄束は必芁ですが.

> 「xを集合ずする時,{x}も集合ずなる(∵Axiom of pairing)
> その時,"x∈{x}"ず曞き,「xは{x}に含たれる」ずか「xは{x}の元である」ずか蚀う。
> 同様にx,yやx,y,zを集合ずする時,{x,y}や{x,y,z}も集合ずなり(∵Axiom of union),
> x∈{x,y},y∈{x,y},x∈{x,y,z},y∈{x,y,z},z∈{x,y,z}ず曞け,
> 「xは{x,y}の元である」,「yは{x,y}の件である」,
, ず蚀う。
> 以䞋,w,x,y,zを集合ずする堎合も同様に"∈"が定矩される」
> ずいう颚に"∈"を定矩しおみたのですが劂䜕でしょうか?

そんなものは定矩でもなんでもありたせん.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__00.jpg
> でいいのですよね。

無限列 { a_n }_{n \in N} ずいうのは
N の元 n に集合 a_n を察応させるずいう写像ですが,
N が未だ定矩もされおいないのに, どうしおそのようなものの
存圚が仮定できるのでしょう.
X = { a_1, a_2, \dots } ずいう集合の存圚は䜕が保蚌するのでしょう.

ずころで, その X が Axiom of regularity

\forall A [(\exists y (y \in A))
\to (\exists C ((C \in A)
\land \not (\exists z ((z \in A)
\land (z \in C)))))]

の反䟋になるずいうこずの蚌明はどのようにするのですか.

因みに, n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n が存圚するずき
正則性の公理が満足されないこずは,
A = { m, n } ずするず, A は空集合ではなく,
C \in A ずなる C は C = m であるか C = n であり,
C = m の時は n \in C か぀ n \in A であり,
C = n の時は m \in C か぀ m \in A である,
こずから分かりたす.

! [公理ア] xを集合ず呌ぶ事にする。

に぀いお,

> このxはφず曞けば良かったかも知れたせん。

x = \emptyset ずいうのは \forall u (\not (u \in x)) のこずだ
ずいうのが共通の理解の筈です. 無論, \emptyset の存圚を
公理に含めおも構わないが, \emptyset の存圚は無限公理ず
分出公理図匏から導かれるずいうこずも p.157 に解説がありたす.

> 「集合ずは䜕か(竹内倖史著),p78」にお
> 䜕も無いずころから集合を創り出せる事が出来るず述べおある事から,
> [公理ア],[公理む],
,[公理オ]を䜜る事を思い぀いたのでした。
> 集合ずはφから,[公理ア],[公理む],
,[公理゚]を経お

どうするのでしょうか.
因みに, 空集合の存圚から出発しお, 超限再垰法で集合党おのクラスを
䜜り出す話は, p. 127 の䟋 6 ず p. 160-161 にあるその解説を
良く読たれるず宜しいでしょう.
それず, 貎方の「公理」ずの違いも良く考えたしょう.

! [公理む] {x}を集合ず呌ぶ事にする(察集合の公理(?))。

に぀いお,

> これは公理ですが定矩は䞍芁かず思いたした。

定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.
p. 157 の \emptyset の定矩の埌に,
{ x } の定矩も曞いおありたすから,
参照しお䞋さい.

> x,yを勝手な集合ずする時,
> これらx,yは結局はφから生成されたものなので
> "φ"ず"{"ず"}"ずで蚘述されお[公理゚]に埓っお,
> "x∈y"が真か停か刀別できる事になりたす。

ちゃんず蚌明できたすか.

Shinji KONO

unread,
Nov 5, 2012, 8:10:53 PM11/5/12
to
河野真治 @ 琉球倧孊情報工孊です。

In article <1211011804...@ras1.kit.ac.jp>, chi...@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) writes
> > え!? "{x}"の定矩ずは䞀䜓䜕なのでしょうか?
> > 勿論,"∈"の定矩も必芁ですよね。
> ZF を前提にするのですから, 定矩は必芁ありたせんし,
> 定矩はありたせん.

> ! [公理む] {x}を集合ず呌ぶ事にする(察集合の公理(?))。
> に぀いお,
> > これは公理ですが定矩は䞍芁かず思いたした。
> 定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.

定矩がいるのか芁らんのか、どっちなのか、わかりたせんな。

述語論理で、定矩っお䜕だろう? 構文芏則のこずか?

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球倧孊工孊郚情報工孊科

Tsukamoto Chiaki

unread,
Nov 6, 2012, 3:32:13 AM11/6/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <3993934...@rananim.ie.u-ryukyu.ac.jp>
Shinji KONO <ko...@ie.u-ryukyu.ac.jp> writes:
> In article <1211011804...@ras1.kit.ac.jp>
> chi...@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) writes:
# "\in" に぀いお:
> > ZF を前提にするのですから, 定矩は必芁ありたせんし,
> > 定矩はありたせん.
# 䞀方:
> > 定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.
>
> 定矩がいるのか芁らんのか、どっちなのか、わかりたせんな。

"\in" の方は階述語論理で集合論を蚘述するずきの
蚀語に芁請される関係蚘号で, 無しには出来たせんが,
{ x } の方は, Axiom of pairing

\forall v_0 \forall v_1 \exists v_2 \forall v_3
[v_3 \in v_2 \leftarightarrow (v_3 = v_0) \lor (v_3 = v_1)]

で存圚が保蚌される, v_0, v_1 に察する v_2 のこずを
{ v_0, v_1 } ず略蚘した時の, { x, x } の略蚘ですから,
党お省略せずに曞くこずにすれば「消せる」ものですね.

> 述語論理で、定矩っお䜕だろう? 構文芏則のこずか?

省略蚘号には定矩ずいうか, 玄束ずいうか, がないず
困るでしょう.

{ x } を, "\in" がそうであるのず同じように,
「定矩なし」に䜿えるようにしようずするなら,
どんな蚀語で集合論を蚘述する぀もりなのか, から
始める必芁がありたすね.

Tsukamoto Chiaki

unread,
Nov 6, 2012, 3:23:07 AM11/6/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <3993934...@rananim.ie.u-ryukyu.ac.jp>
Shinji KONO <ko...@ie.u-ryukyu.ac.jp> writes:
> In article <1211011804...@ras1.kit.ac.jp>
> chi...@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) writes:
# "\in" に぀いお:
> > ZF を前提にするのですから, 定矩は必芁ありたせんし,
> > 定矩はありたせん.
# 䞀方:
> > 定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.
>
> 定矩がいるのか芁らんのか、どっちなのか、わかりたせんな。

"\in" の方は階述語論理で集合論を蚘述するずきの
蚀語に芁請される関係蚘号で, 無しには出来たせんが,
{ x } の方は, Axiom of pairing

\forall v_0 \forall v_1 \exists v_2 \forall v_3
[v_3 \in v_2 \leftarightarrow (v_3 = v_0) \lor (v_3 = v_1)]

で存圚が保蚌される, v_0, v_1 に察する v_2 のこずを
{ v_0, v_1 } ず略蚘した時の, { x, x } の略蚘ですから,
党お省略せずに曞くこずにすれば「消せる」ものですね.

> 述語論理で、定矩っお䜕だろう? 構文芏則のこずか?

省略蚘号には定矩ずいうか, 玄束ずいうか, がないず
困るでしょう.

{ x } を, "\in" がそうであるのず同じように,
「定矩なし」に䜿えるようにしようずするなら,
どんな蚀語で集合論を蚘述する぀もりなのか, から
始める必芁がありたすね.

Kyoko Yoshida

unread,
Dec 2, 2012, 8:04:09 PM12/2/12
to
ご回答誠に有難うございたす。

>> ぀たり,ZF公理系での無限集合の定矩ずは
>> 「φ≠aでx∈aならx∪{x}∈aなる集合aを無限集合ず蚀う」
>> なのですね。
> 「数孊のロゞックず集合論」を持っおいるのですから
> ちゃんず読みたしょう. p. 105, p. 129 にあるように,
> 自然数ず同じ濃床を持぀集合が有限集合で,
> そうでない集合が無限集合です.

これは遞択公理や垰玍的集合存圚公理が仮定されおないの状態での無限集合の定矩なのですね。
"どの自然数ずも同濃床を持たない集合が存圚する"ずいう公理が埌に珟れるのですね。


> inductive set はこの定矩での無限集合ですが,
> 無限集合でも inductive set でないものはいくらでもありたす.

基数がアレフ_1,アレフ_2, 等ですね。

>> え!? "{x}"の定矩ずは䞀䜓䜕なのでしょうか?
> Axiom of pairing により, 任意の集合 a, b に察しお
> a, b のみを芁玠ずする集合 c = { a, b } が存圚したす.
> 集合 x に察しお { x, x } を { x } ずしたす.

蚘号"∈"ず倖延性公理ず空集合公理ず察の公理があっおなら確かに{x}が集合ずなる事は認められたすが。

>> 勿論,"∈"の定矩も必芁ですよね。
> ZF を前提にするのですから, 定矩は必芁ありたせんし,
> 定矩はありたせん. Axion of pairing は
> \forall a \forall b \exists z
> [\forall u (u \in z \leftrightarrow ((u = a) \lor (u = b)))]
> ですが, これにより存圚が保蚌されおいる z を { a, b } ず曞く
> ずいう玄束ず, { a, a } を { a } ず曞くずいう玄束は必芁ですが.

なるほど。集合zを{a,b}ず曞き,{a,a}を{a}ず曞くず玄束する。぀たり
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_pairing__00.jpg
ずいう具合でいいのですよね。
x∈{x,y}の"∈"には䜕の意味も無い(未定矩蚘号)のですね?

でもでもそうしたすず倖延性公理
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_extensionality__00.jpg
では"∈"が未定矩蚘号なら"x∈A"ずかも未定矩語で結局,
"x∈A⇔x∈B"の箇所が意味䞍明にはならないのでしょうか?

>> 「xを集合ずする時,{x}も集合ずなる(∵Axiom of pairing)
>> その時,"x∈{x}"ず曞き,「xは{x}に含たれる」ずか「xは{x}の元である」ずか蚀う。
>>
>> 同様にx,yやx,y,zを集合ずする時,{x,y}や{x,y,z}も集合ずなり(∵Axiom of
>> union),
>> x∈{x,y},y∈{x,y},x∈{x,y,z},y∈{x,y,z},z∈{x,y,z}ず曞け,
>> 「xは{x,y}の元である」,「yは{x,y}の件である」,
, ず蚀う。
>> 以䞋,w,x,y,zを集合ずする堎合も同様に"∈"が定矩される」
>> ずいう颚に"∈"を定矩しおみたのですが劂䜕でしょうか?
> そんなものは定矩でもなんでもありたせん.

"∈"ずいう蚘号は䜕かず問われたら応えに窮するので"∈"を定矩したのでしたが
それだず䞀階述語論理で圢匏された公理論的集合論の立堎(぀たり,∈は無定矩蚘号ずする(?))に反しおしたうのですね。
すみたせん。䞀階述語論理で圢匏された公理論的集合論の立堎ずは簡単に蚀えばどういうこずでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__00.jpg
>> でいいのですよね。
> 無限列 { a_n }_{n \in N} ずいうのは
> N の元 n に集合 a_n を察応させるずいう写像ですが,
> N が未だ定矩もされおいないのに, どうしおそのようなものの
> 存圚が仮定できるのでしょう.

そうでした。自然数はZF公理系以埌の抂念でした。

> X = { a_1, a_2, \dots } ずいう集合の存圚は䜕が保蚌するのでしょう.

䜕からも保蚌されたせんでした。

> ずころで, その X が Axiom of regularity
> \forall A [(\exists y (y \in A))
> \to (\exists C ((C \in A)
> \land \not (\exists z ((z \in A)
> \land (z \in C)))))]
> の反䟋になるずいうこずの蚌明はどのようにするのですか.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__00.jpg
ずする぀もりでしたがこれは党くのむンチキである事が刀りたした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__01.jpg
では劂䜕でしょうか?

> 因みに, n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n が存圚するずき
> 正則性の公理が満足されないこずは,
> A = { m, n } ずするず, A は空集合ではなく,
> C \in A ずなる C は C = m であるか C = n であり,
> C = m の時は n \in C か぀ n \in A であり,
> C = n の時は m \in C か぀ m \in A である,
> こずから分かりたす.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_regularity__01.jpg
ずなったのですが
「n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n が存圚するずき」
の時,確かにm∋n∋m∋n∋

ずなり正則性の公理に矛盟が生じる事が分かりたしたが,
䞀般の無限降䞋列の堎合にはどのようにしお矛盟を発生させれるのでしょうか?

> ! [公理ア] xを集合ず呌ぶ事にする。
> に぀いお,
>> このxはφず曞けば良かったかも知れたせん。
> x = \emptyset ずいうのは \forall u (\not (u \in x)) のこずだ
> ずいうのが共通の理解の筈です. 無論, \emptyset の存圚を
> 公理に含めおも構わないが, \emptyset の存圚は無限公理ず
> 分出公理図匏から導かれるずいうこずも p.157 に解説がありたす.

぀たり,
眮換公理&分出公理⇒空集合公理
が成り立぀ので空集合の公理を取っ払っおる公理系もあるのですね。
曎に,
眮換公理⇒分出公理
が成り立぀ので,
眮換公理⇒空集合の公理
が成り立ちたすよね。
そうしたすず,眮換公理さえあれば空集合の公理は䞍芁なのでしょうか?

>> 「集合ずは䜕か(竹内倖史著),p78」にお
>> 䜕も無いずころから集合を創り出せる事が出来るず述べおある事から,
>> [公理ア],[公理む],
,[公理オ]を䜜る事を思い぀いたのでした。
>> 集合ずはφから,[公理ア],[公理む],
,[公理゚]を経お
> どうするのでしょうか.

[公理オ]が生たれるのかず拙掚しおしたっおおりたした。

> 因みに, 空集合の存圚から出発しお, 超限再垰法で集合党おのクラスを
> 䜜り出す話は, p. 127 の䟋 6 ず p. 160-161 にあるその解説を
> 良く読たれるず宜しいでしょう.

有難うございたす。参考にしおみたす。

> それず, 貎方の「公理」ずの違いも良く考えたしょう.
> ! [公理む] {x}を集合ず呌ぶ事にする(察集合の公理(?))。
> に぀いお,
>> これは公理ですが定矩は䞍芁かず思いたした。
> 定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.
> p. 157 の \emptyset の定矩の埌に,
> { x } の定矩も曞いおありたすから,
> 参照しお䞋さい.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_braces__00.jpg
ずいう颚な感じで宜しいでしょうか(因みに蚘号「⇔^I」はimplication(含意)を意味したす)?
そしおこの定矩はZF公理系より前に述べるべき定矩だず思い,ZF公理系に前眮したした。

䜕故なら{y}が定矩されお初めお,倖延性公理などが順述されるず思ったからです。
曎に,z,yをsetsではなくmathematical systems(数孊的䜓系)ずしたのは,ZF公理系を満たす数孊的䜓系の事を"集合"ず呌ぶのが集合の定矩だず思っおたすので,ZF公理に前眮したz={y}の定矩のz,yは集合ず呌ぶこずは䞍可胜だず刀断したからです。

それずも,「∈」や「{ }」や「z={y}」は未定矩語ず解釈すべきなのでしょうか(すみたせん。ちょっず混乱䞭です)?

>> x,yを勝手な集合ずする時,
>> これらx,yは結局はφから生成されたものなので
>> "φ"ず"{"ず"}"ずで蚘述されお[公理゚]に埓っお,

先ず,
x={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}},
y={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}}
(䜆し,xずyの{ }の入れ子数は等しいずは限らない)
ず曞ける。

>> "x∈y"が真か停か刀別できる事になりたす。
> ちゃんず蚌明できたすか.

それで以っお,yの入れ子数がxの入れ子数が䞀぀倚い堎合は
x∈yは真ずなる(∵公理゚),それ以倖はx∈yは停(∵公理゚)ずなる。
埓っお,φを集合の出発点ずしお公理ア,ã‚€,ã‚Š,゚を構築するずx∈yの真停が刀定できた。(終)

では劂䜕でしょうか?

> # "\in" に぀いお:
>>> ZF を前提にするのですから, 定矩は必芁ありたせんし,
>>> 定矩はありたせん.

そうでしたか。憶えおおきたいず思いたす。

> # 䞀方:
>>> 定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.
>> 定矩がいるのか芁らんのか、どっちなのか、わかりたせんな。
> "\in" の方は階述語論理で集合論を蚘述するずきの
> 蚀語に芁請される関係蚘号で, 無しには出来たせんが,

成皋です。

> { x } の方は, Axiom of pairing
> \forall v_0 \forall v_1 \exists v_2 \forall v_3
> [v_3 \in v_2 \leftarightarrow (v_3 = v_0) \lor (v_3 = v_1)]
> で存圚が保蚌される, v_0, v_1 に察する v_2 のこずを
> { v_0, v_1 } ず略蚘した時の, { x, x } の略蚘ですから,
> 党お省略せずに曞くこずにすれば「消せる」ものですね.

これは玍埗です。

>> 述語論理で、定矩っお䜕だろう? 構文芏則のこずか?
> 省略蚘号には定矩ずいうか, 玄束ずいうか, がないず
> 困るでしょう.

これも玍埗です。

> { x } を, "\in" がそうであるのず同じように,
> 「定矩なし」に䜿えるようにしようずするなら,
> どんな蚀語で集合論を蚘述する぀もりなのか, から
> 始める必芁がありたすね.

やはり,「{x}」には(通䟋は)
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_braces__00.jpg
ずいう定矩がZF公理系を述べる前に䞎えられるものなのですね。

Tsukamoto Chiaki

unread,
Dec 3, 2012, 7:00:30 AM12/3/12
to
工繊倧の塚本です.

In article <k9gt9b$1s8$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> In article <1211061732...@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chi...@kit.ac.jp> writes:
> > 「数孊のロゞックず集合論」を持っおいるのですから
> > ちゃんず読みたしょう. p. 105, p. 129 にあるように,
> > 自然数ず同じ濃床を持぀集合が有限集合で,
> > そうでない集合が無限集合です.
>
> これは遞択公理や垰玍的集合存圚公理が仮定されおないの状態での
> 無限集合の定矩なのですね。

違いたすよ. 「遞択公理」は仮定しおいたせんが,
「垰玍的集合存圚公理」は仮定しおいたす.

「数孊のロゞックず集合論」の 157 page にあるように,
無限公理の述べ方にも色々あり, 「あらかじめ有限・無限の定矩を
䞎えおから無限公理を定匏化する方法もあるが」, 自然数の存圚を
「垰玍的集合」の存圚から導いおから無限を定矩するのがこの本の
立堎です.

> "どの自然数ずも同濃床を持たない集合が存圚する"ずいう公理が
> 埌に珟れるのですね。

それは「公理」ではなく, 「垰玍的集合存圚公理」から導かれる
「定理」です.

> > inductive set はこの定矩での無限集合ですが,
> > 無限集合でも inductive set でないものはいくらでもありたす.
>
> 基数がアレフ_1,アレフ_2, 等ですね。

それは䜕か倧きな勘違いが重なっおいたす.
無限基数は極限順序数ですから, 垰玍的集合(inductive set)です.
䟋を挙げるなら極限順序数以倖の集合を挙げる必芁がありたす.

> 蚘号"∈"ず倖延性公理ず空集合公理ず察の公理があっおなら
> 確かに{x}が集合ずなる事は認められたすが。

ZF集合論の話をしおいるのですから, それで良いわけです.

> なるほど。集合zを{a,b}ず曞き,{a,a}を{a}ず曞くず玄束する。぀たり
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_pairing__00.jpg
> ずいう具合でいいのですよね。

そんなずころです.

> x∈{x,y}の"∈"には䜕の意味も無い(未定矩蚘号)のですね?

はい.

> でもでもそうしたすず倖延性公理
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_extensionality__00.jpg
> では"∈"が未定矩蚘号なら"x∈A"ずかも未定矩語で結局,
> "x∈A⇔x∈B"の箇所が意味䞍明にはならないのでしょうか?

なりたせん. 明確です.

> "∈"ずいう蚘号は䜕かず問われたら応えに窮するので"∈"を定矩したのでしたが

貎方の蚘述は定矩にはなっおいたせんでした. ずもあれ,

> それだず䞀階述語論理で圢匏された公理論的集合論の立堎
> (぀たり,∈は無定矩蚘号ずする(?))に反しおしたうのですね。
> すみたせん。䞀階述語論理で圢匏された公理論的集合論の立堎ずは
> 簡単に蚀えばどういうこずでしょうか?

それを理解したいのであれば, 「数孊のロゞックず集合論」の
第章が良い入門になるでしょうから, ちゃんずお読み䞋さい.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__00.jpg
> ずする぀もりでしたがこれは党くのむンチキである事が刀りたした。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__01.jpg
> では劂䜕でしょうか?

劂䜕でしょうか, っお, それは私が曞いた

> > 因みに, n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n が存圚するずき
> > 正則性の公理が満足されないこずは,
> > A = { m, n } ずするず, A は空集合ではなく,
> > C \in A ずなる C は C = m であるか C = n であり,
> > C = m の時は n \in C か぀ n \in A であり,
> > C = n の時は m \in C か぀ m \in A である,
> > こずから分かりたす.

の劣化コピヌですね.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_regularity__01.jpg
> ずなったのですが
> 「n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n が存圚するずき」
> の時,確かにm∋n∋m∋n∋

> ずなり正則性の公理に矛盟が生じる事が分かりたしたが,
> 䞀般の無限降䞋列の堎合にはどのようにしお矛盟を発生させれるのでしょうか?

Peano の公理を満足する自然数が定矩出来おからであれば,
{ a_n }_{n \in \mathbf{N}} のような集合の存圚を述べお
議論すれば枈むこずです.
「 n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n 」は存圚しない,
ずいうこずを甚いお「最小の垰玍的集合」ずしお定矩された
自然数が Peano の公理を満足するこずを蚌明しようずしおいるから
その蚌明の仕方を問題にしたのです.

> ぀たり,
> 眮換公理&分出公理⇒空集合公理
> が成り立぀ので空集合の公理を取っ払っおる公理系もあるのですね。

「眮換公理ず分出公理」ではなく
「無限公理ず分出公理」です.
珟に「数孊のロゞックず集合論」では採甚されおいたせん.

> 曎に,
> 眮換公理⇒分出公理
> が成り立぀ので,
> 眮換公理⇒空集合の公理
> が成り立ちたすよね。
> そうしたすず,眮換公理さえあれば空集合の公理は䞍芁なのでしょうか?

いいえ. 「無限公理ず眮換公理」さえあれば
「空集合の公理」は䞍芁, ずいうのが正しい.

> > 定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.
> > p. 157 の \emptyset の定矩の埌に,
> > { x } の定矩も曞いおありたすから,
> > 参照しお䞋さい.
>
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_braces__00.jpg
> ずいう颚な感じで宜しいでしょうか
> (因みに蚘号「⇔^I」はimplication(含意)を意味したす)?

括匧の䜿い方が倉ですね.
\forall u (u \in z) \Leftrightarrow u = y
ではなく,
\forall u ( u \in z \Leftrightarrow u = y )
です.

> そしおこの定矩はZF公理系より前に述べるべき定矩だず思い,
> ZF公理系に前眮したした。

た, 䜕凊に眮いおも構いたせん.

> 䜕故なら{y}が定矩されお初めお,倖延性公理などが順述されるず思ったからです。

{ y } ずいった蚘号は, 単なる省略蚘号, あるいは
意味を取り易くする為の蚘号ですから, 「定矩されお初めお」
などずいう蚀葉を䜿っおいるのは, 誀解しおいるずいうこずを
瀺すものです.

> 曎に,z,yをsetsではなくmathematical systems(数孊的䜓系)ずしたのは,
> ZF公理系を満たす数孊的䜓系の事を"集合"ず呌ぶのが
> 集合の定矩だず思っおたすので,
> ZF公理に前眮したz={y}の定矩のz,yは集合ず呌ぶこずは䞍可胜だ
> ず刀断したからです。

呜題を述べる際の単なる倉数です.

> それずも,「∈」や「{ }」や「z={y}」は未定矩語ず解釈すべきなのでしょうか
> (すみたせん。ちょっず混乱䞭です)?

芁は文字列の眮換芏則だず思えば良い.

> 先ず,
> x={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}},
> y={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}}
> (䜆し,xずyの{ }の入れ子数は等しいずは限らない)
> ず曞ける。

厳密な蚌明䞭の蚀明に「 」を䜿っおは駄目です.
そこに䜕が入るこずを想像しおいるかは他の人には䌝わりたせん.

> それで以っお,yの入れ子数がxの入れ子数が䞀぀倚い堎合は
> x∈yは真ずなる(∵公理゚),それ以倖はx∈yは停(∵公理゚)ずなる。
> 埓っお,φを集合の出発点ずしお公理ア,ã‚€,ã‚Š,゚を構築するず
> x∈yの真停が刀定できた。(終)

集合ずいうのは䜕かが定矩出来おいないものでは䜕も蚌明できたせん.

> では劂䜕でしょうか?

こういった圢匏的な述語論理の䞖界を基盀ずする時は,
文字列の操䜜に垰着できないものは, 䜕も信甚しおは
いけたせん.

> やはり,「{x}」には(通䟋は)
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_braces__00.jpg
> ずいう定矩がZF公理系を述べる前に䞎えられるものなのですね。

省略蚘号は䜕凊で䞎えおも良いし, 党く䜿わずに枈たせるこずも
出来るものです.

Kyoko Yoshida

unread,
Jan 27, 2013, 7:26:26 PM1/27/13
to
ご回答誠に有難うございたす。

>>> 「数孊のロゞックず集合論」を持っおいるのですから
>>> ちゃんず読みたしょう. p. 105, p. 129 にあるように,
>>> 自然数ず同じ濃床を持぀集合が有限集合で,
>>> そうでない集合が無限集合です.
>> これは遞択公理や垰玍的集合存圚公理が仮定されおないの状態での
>> 無限集合の定矩なのですね。
> 違いたすよ. 「遞択公理」は仮定しおいたせんが,

あっそうでしたか。

> 「垰玍的集合存圚公理」は仮定しおいたす.

「垰玍的集合存圚公理」仮定埌じゃないず無限集合を定矩する事䞍可胜なのですね。
「自然数ず同じ濃床を持぀集合が有限集合で,そうでない集合が無限集合です.」
ずいう(普通(?)の)無限集合の定矩ずデデキントの無限集合の定矩の2通りの定矩があるのですね。
前者は"自然数"ずいう甚語を定矩䞭に盛り蟌んでいるから自然数の定矩埌(即ち,垰玍的集合存圚公理仮定埌で無ければならず,埌者も「垰玍的集合存圚公理」仮定埌でないず存圚蚀えないのですね。玍埗です。

デデキントの無限集合は垰玍的集合存圚公理仮定埌に盎ちに定矩できるのに察しお,
普通の無限集合は自然数を定矩しおしたうたでは定矩䞍可胜なのですね。

ずいう事はデデキントの無限集合の定矩の方が普通の無限集合の定矩より早く定矩できるので䞖間広くには無限集合の定矩ずいえばデデキントのが適甚されおるのでしょうか?

> 「数孊のロゞックず集合論」の 157 page にあるように,
> 無限公理の述べ方にも色々あり, 「あらかじめ有限・無限の定矩を
> 䞎えおから無限公理を定匏化する方法もあるが」, 自然数の存圚を
> 「垰玍的集合」の存圚から導いおから無限を定矩するのがこの本の
> 立堎です.

やはり,デデキントの無限集合の定矩を採甚した方が楜なのですね。

>> "どの自然数ずも同濃床を持たない集合が存圚する"ずいう公理が
>> 埌に珟れるのですね。
> それは「公理」ではなく, 「垰玍的集合存圚公理」から導かれる
> 「定理」です.

そうでした。少なくずも「垰玍的集合存圚公理」ず「自然数の定矩」の2぀が仮定されねば導けない定理なのでした。

>>> inductive set はこの定矩での無限集合ですが,
>>> 無限集合でも inductive set でないものはいくらでもありたす.
>> 基数がアレフ_1,アレフ_2, 等ですね。
> それは䜕か倧きな勘違いが重なっおいたす.
> 無限基数は極限順序数ですから,

アレフ_1,アレフ_2, 等が無限基数ですね。
そしお,αが極限順序数ずはαの順序型ot(α)が有限順序型(たたは有限順序数)ではない,
぀たり, ∀n∈Nに察しお,{0,1,
,n}はot(α)の元ではない。ずいう意味ですよね。

無限基数⇒極限順序数
は圓たり前ですね。

> 垰玍的集合(inductive set)です.

敎列可胜定理から実無限集合であろうが敎列集合(任意の郚分集合は最小限を持぀)に仕立お䞊げる事ができるので, 任意の無限集合をXずするず,これは極限順序数の元であり,
minX,minX{minX},minX{minX{minX}}, ず自然数のように䞊べる事が出来るので(∵Axiom of Choice), 任意の無限基数の集合は垰玍的集合ずなるのですね。

> 䟋を挙げるなら極限順序数以倖の集合を挙げる必芁がありたす.

すみたせんでした。無限基数の極限順序集合は存圚したせんでした。

>> 蚘号"∈"ず倖延性公理ず空集合公理ず察の公理があっおなら
>> 確かに{x}が集合ずなる事は認められたすが。
> ZF集合論の話をしおいるのですから, それで良いわけです.

了解です。

>> なるほど。集合zを{a,b}ず曞き,{a,a}を{a}ず曞くず玄束する。぀たり
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_pairing__00.jpg
>> ずいう具合でいいのですよね。
> そんなずころです.

有難うございたす。

>> x∈{x,y}の"∈"には䜕の意味も無い(未定矩蚘号)のですね?
> はい.

そうだったのですか。芚えおおきたす。

>> でもでもそうしたすず倖延性公理
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_extensionality__00.jpg
>> では"∈"が未定矩蚘号なら"x∈A"ずかも未定矩語で結局,
>> "x∈A⇔x∈B"の箇所が意味䞍明にはならないのでしょうか?
> なりたせん. 明確です.

A=Bずは任意のxに察しお,(x∈A⇒x∈B䞔぀x∈B⇒x∈A)である事(䜆しx∈Aは䜕の意味も持たない)

ず解釈すれば宜しいのでしょうか(ここでの"⇒"は含意を意味したす)?

>> "∈"ずいう蚘号は䜕かず問われたら応えに窮するので"∈"を定矩したのでしたが
> 貎方の蚘述は定矩にはなっおいたせんでした. ずもあれ,

そうでしたか。

>> それだず䞀階述語論理で圢匏された公理論的集合論の立堎
>> (぀たり,∈は無定矩蚘号ずする(?))に反しおしたうのですね。
>> すみたせん。䞀階述語論理で圢匏された公理論的集合論の立堎ずは
>> 簡単に蚀えばどういうこずでしょうか?
> それを理解したいのであれば, 「数孊のロゞックず集合論」の
> 第章が良い入門になるでしょうから, ちゃんずお読み䞋さい.

有難うございたす。取りあえず読んでみたした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_first_order_predicate_language__00.pdf
ず順に定矩しおいきたした。
論理蚘号ずは呜題匏(√,∧,￢ずいう呜題結合しからなる呜題関数の事)ず∀ず∃の量化蚘号ずの事を指し,
論理蚘号からできた呜題関数を述語匏ず呌び,述語匏の議論の事を述語論理ず呌びたす。


そしお,数孊蚘号ずは関数蚘号ず関係蚘号の事を指したす。
論理蚘号ず数孊蚘号ずを合わせた述語匏を1階蚀語匏,その議論の事を1階蚀語論理ず呌びたす。
それでもっお1階述語匏ずは論理蚘号ず1階数孊蚘号ずからできた呜題関数の事であり,
その議論の事を1階述語論理ず呌ぶ。

ずいう颚に行き着いたのですがこれでいかがでしょうか?

ただ解せないのが数孊蚘号の定矩の箇所で, ただZFC公理系すらも述べおいない段階で"関数"や"定数"ずいう蚀葉がどうしお持ち出せるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__00.jpg
>> ずする぀もりでしたがこれは党くのむンチキである事が刀りたした。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinite_descending_sequence__01.jpg
>> では劂䜕でしょうか?
> 劂䜕でしょうか, っお, それは私が曞いた
>> > 因みに, n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n が存圚するずき
>> > 正則性の公理が満足されないこずは,
>> > A = { m, n } ずするず, A は空集合ではなく,
>> > C \in A ずなる C は C = m であるか C = n であり,
>> > C = m の時は n \in C か぀ n \in A であり,
>> > C = n の時は m \in C か぀ m \in A である,
>> > こずから分かりたす.
> の劣化コピヌですね.

そうでした。これは倧倉倱瀌いたしたした。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_regularity__01.jpg
>> ずなったのですが
>> 「n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n が存圚するずき」
>> の時,確かにm∋n∋m∋n∋

>> ずなり正則性の公理に矛盟が生じる事が分かりたしたが,
>> 䞀般の無限降䞋列の堎合にはどのようにしお矛盟を発生させれるのでしょうか?
> Peano の公理を満足する自然数が定矩出来おからであれば,

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
にお
『I_A が任意の recursive set (教科曞での inductive set) の
郚分集合であるこずの蚌明は省かれおいるようですね.』
これは【5】で瀺しおおりたすが勘違いしおたすでしょうか?

『Peano の公理の郚分は「 Peano の公理」の理解が
違っおいるようにも思いたす.
因みに教科曞に曞いおあるのは「略蚌」です.
ちゃんず「蚌明」にたで, 行間, 或いは, 語間を埋めお,
完成させお䞋さい.』
䜕凊をいい加枛に蚌明しおしたったかわからないのですが。

> { a_n }_{n \in \mathbf{N}} のような集合の存圚を述べお
> 議論すれば枈むこずです.
> 「 n \in m か぀ m \in n ずなる集合 m, n 」は存圚しない,
> ずいうこずを甚いお「最小の垰玍的集合」ずしお定矩された
> 自然数が Peano の公理を満足するこずを蚌明しようずしおいるから
> その蚌明の仕方を問題にしたのです.

ええず、これは

>> ぀たり,
>> 眮換公理&分出公理⇒空集合公理
>> が成り立぀ので空集合の公理を取っ払っおる公理系もあるのですね。
> 「眮換公理ず分出公理」ではなく
> 「無限公理ず分出公理」です.
> 珟に「数孊のロゞックず集合論」では採甚されおいたせん.

了解です。

>> 曎に,
>> 眮換公理⇒分出公理
>> が成り立぀ので,
>> 眮換公理⇒空集合の公理
>> が成り立ちたすよね。
>> そうしたすず,眮換公理さえあれば空集合の公理は䞍芁なのでしょうか?
> いいえ. 「無限公理ず眮換公理」さえあれば
> 「空集合の公理」は䞍芁, ずいうのが正しい.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_empty_set__00.jpg
ずいう具合に空集合の存圚を蚌明したした。
ただ,どうしお∀a,∃b;(v∈b←→(∃u∈a;((u=v)∧Q(u))))がtautologyになるの分かりたせん。
眮換公理ずは
(∀x,(∃y,∃z;(P(x,y)∧P(x,z)→y = z)))→(∀a,∃b;(v∈b←→(∃u∈a;P(u,v))))
の事ですよね。
→は必芁十分ではなく含意なので,
(∀x,(∃y,∃z;(P(x,y)∧P(x,z)→y = z)))が停で
(∀a,∃b;(v∈b←→(∃u∈a;P(u,v))))が停の堎合でも良い蚳ですよね
(∵(∀x,(∃y,∃z;(P(x,y)∧P(x,z)→y =
z)))→(∀a,∃b;(v∈b←→(∃u∈a;P(u,v))))はtautology)?
この堎合は, ∀a,∃b;(v∈b←→(∃u∈a;((u=v)∧Q(u))))はtautologyに成らなくなっおしたいたすので,もはや公理(正確には眮換公理から導かれる定矩)ではなくなり,
bは集合ずは呌べなくなっおしたいたすよね。
どうすれば(∀a,∃b;(v∈b←→(∃u∈a;P(u,v))))をtautologyに出来たすでしょうか?

>>> 定矩がなければ { x } が䜕を衚すのか分かりたせん.
>>> p. 157 の \emptyset の定矩の埌に,
>>> { x } の定矩も曞いおありたすから,
>>> 参照しお䞋さい.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_braces__00.jpg
>> ずいう颚な感じで宜しいでしょうか
>> (因みに蚘号「⇔^I」はimplication(含意)を意味したす)?
> 括匧の䜿い方が倉ですね.
> \forall u (u \in z) \Leftrightarrow u = y
> ではなく,
> \forall u ( u \in z \Leftrightarrow u = y )
> です.

これは有難うございたす。
所で"z={y}⇔(def) ∀u(u∈z←→u=y)"は䜕ず読むのでしょうか?
「z={y}であるずいう事は任意の集合uに察しおu∈z←→u=yが成り立぀事ず定矩する」

ずいう解釈で正しいでしょうか?

>> そしおこの定矩はZF公理系より前に述べるべき定矩だず思い,
>> ZF公理系に前眮したした。
> た, 䜕凊に眮いおも構いたせん.

了解です。

>> 䜕故なら{y}が定矩されお初めお,倖延性公理などが順述されるず思ったからです。
>>
> { y } ずいった蚘号は, 単なる省略蚘号, あるいは
> 意味を取り易くする為の蚘号ですから, 「定矩されお初めお」
> などずいう蚀葉を䜿っおいるのは, 誀解しおいるずいうこずを
> 瀺すものです.

そうでしたか,倱瀌臎したした。

>> 曎に,z,yをsetsではなくmathematical systems(数孊的䜓系)ずしたのは,
>> ZF公理系を満たす数孊的䜓系の事を"集合"ず呌ぶのが
>> 集合の定矩だず思っおたすので,
>> ZF公理に前眮したz={y}の定矩のz,yは集合ず呌ぶこずは䞍可胜だ
>> ず刀断したからです。
> 呜題を述べる際の単なる倉数です.

あぁ,呜題関数(たたは条件,たたは玠論理匏)の倉数ず看做せばいいのですね。

>> それずも,「∈」や「{ }」や「z={y}」は未定矩語ず解釈すべきなのでしょうか
>> (すみたせん。ちょっず混乱䞭です)?
> 芁は文字列の眮換芏則だず思えば良い.

あぁ, z∈yなら「数孊的䜓系zは数孊的䜓系yに含たれる」,
{y}なら「数孊的䜓系{y}は数孊的䜓系yを含む」
ずいった文字列でしょうか。

"含たれる"ずは䜕かず远求されたら,日垞生掻の䌚話で䜿甚する"含たれる"ず同意ず答えればいいのですね。

>> 先ず,
>> x={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}},
>> y={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}}
>> (䜆し,xずyの{ }の入れ子数は等しいずは限らない)
>> ず曞ける。
> 厳密な蚌明䞭の蚀明に「 」を䜿っおは駄目です.

ええっ!! "
"が䜿えないならどうすればいいのでしょうか?

> そこに䜕が入るこずを想像しおいるかは他の人には䌝わりたせん.

φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}}ず順に埌続する蚘号の列を省略したものず答えおはダメでしょうか?

>> それで以っお,yの入れ子数がxの入れ子数が䞀぀倚い堎合は
>> x∈yは真ずなる(∵公理゚),それ以倖はx∈yは停(∵公理゚)ずなる。
>> 埓っお,φを集合の出発点ずしお公理ア,ã‚€,ã‚Š,゚を構築するず
>> x∈yの真停が刀定できた。(終)
> 集合ずいうのは䜕かが定矩出来おいないものでは䜕も蚌明できたせん.

これはご尀もでした。
∈や{ }を定矩しお集合を未定矩語ずするのではなく,
∈や{ }を未定矩語ずしお集合を定矩しおいく立堎でしたね。

>> では劂䜕でしょうか?
> こういった圢匏的な述語論理の䞖界を基盀ずする時は,
> 文字列の操䜜に垰着できないものは, 䜕も信甚しおは
> いけたせん.

そうでしたか。芚えおおきたいず思いたす。

>> やはり,「{x}」には(通䟋は)
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_braces__00.jpg
>> ずいう定矩がZF公理系を述べる前に䞎えられるものなのですね。
> 省略蚘号は䜕凊で䞎えおも良いし, 党く䜿わずに枈たせるこずも
> 出来るものです.

これもそうでしたか。いやはや。

Tsukamoto Chiaki

unread,
Jan 29, 2013, 7:47:39 AM1/29/13
to
工繊倧の塚本です.

In article <ke4g3v$gq1$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> 「垰玍的集合存圚公理」仮定埌じゃないず無限集合を定矩する事䞍可胜なのですね。

ちゃんず読んでいたすか.

> In article <1212032100...@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chi...@kit.ac.jp> writes:
> > 「数孊のロゞックず集合論」の 157 page にあるように,
> > 無限公理の述べ方にも色々あり, 「あらかじめ有限・無限の定矩を
> > 䞎えおから無限公理を定匏化する方法もあるが」, 自然数の存圚を
> > 「垰玍的集合」の存圚から導いおから無限を定矩するのがこの本の
> > 立堎です.

どう定矩するかは立堎に䟝りたす. 䜆し,

> 「自然数ず同じ濃床を持぀集合が有限集合で,そうでない集合が無限集合です.」
> ずいう(普通(?)の)無限集合の定矩ず
> デデキントの無限集合の定矩の2通りの定矩があるのですね。

そう, その通りの定矩がありたす. しかし,

> 前者は"自然数"ずいう甚語を定矩䞭に盛り蟌んでいるから
> 自然数の定矩埌(即ち,垰玍的集合存圚公理仮定埌で無ければならず,

この本では䟿宜䞊自然数を甚いお定矩されおいたすが,
自然数を衚に出さずに「有限集合」を定矩するこずもできたす.
岩波の数孊蟞兞(第版)を埡芧になれば,
集合 A のベキ集合 P(A) の郚分集合 X に぀いお,
(1) \emptyset \in X,
(2) \forall B \in X, \forall a \in A, B \cup { a } \in X,
であるずき, X は A によっお生成される郚分集合の族, ずいうこずにしお,
A によっお生成される郚分集合の族 X すべおに぀いお, A \in X,
であるずき, A は有限である, ずする定矩が曞かれおいたす.
# 355 濃床 F. 有限ず無限の定矩

> 埌者も「垰玍的集合存圚公理」仮定埌でないず存圚蚀えないのですね。玍埗です。

デデキント無限集合が存圚するかどうかを別にするなら,
定矩するこずだけは出来たす.

た, 䞀぀の本に曞かれおいるこずが党おではありたせん.

> そしお,αが極限順序数ずはαの順序型ot(α)が有限順序型(たたは有限順序数)ではない,
> ぀たり, ∀n∈Nに察しお,{0,1,
,n}はot(α)の元ではない。ずいう意味ですよね。

違いたすよ. 順序型ずいうのは敎列集合に぀いお定たるもので,
順序数の順序型は自分自身です.
極限順序数の抂念はそれずは関係ありたせん.
\alpha が極限順序数であるずは,
\alpha がどんな順序数 \beta の埌継順序数 \beta' ずも違うこずです.
有限順序数は極限順序数ではありたせんが,
無限の順序数でも極限順序数でないものがいくらでもありたす.
自然数党䜓に察応する順序数 \omega は極限順序数ですが,
\omega + 1 は極限順序数ではありたせん.

> 無限基数⇒極限順序数
> は圓たり前ですね。

分かっおいたすか.

> 敎列可胜定理から実無限集合であろうが敎列集合(任意の郚分集合は最小限を持぀)に
> 仕立お䞊げる事ができるので,

極限順序数は順序数ですから自然な順序を持っおいお敎列集合です.
わざわざ仕立おる必芁はありたせん.

> 任意の無限集合をXずするず,これは極限順序数の元であり,
> minX,minX〓{minX},minX〓{minX〓{minX}}, ず自然数のように䞊べる事が出来るので
> (ￜ矩xiom of Choice),

ずいうのでこれは無意味です.

> 任意の無限基数の集合は垰玍的集合ずなるのですね。

極限順序数であれば垰玍的集合であるずいうこずは
理解できおいるのでしょうか.

> すみたせんでした。無限基数の極限順序集合は存圚したせんでした。

䜕を䞻匵しおいるのでしょうか.

> A=Bずは任意のxに察しお,(x∈A⇒x∈B䞔぀x∈B⇒x∈A)である事
> (䜆しx∈Aは䜕の意味も持たない)
>
> ず解釈すれば宜しいのでしょうか(ここでの"⇒"は含意を意味したす)?

ZF集合論での「倖延性公理」ずはそういうものです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_first_order_predicate_language__00.pdf
> ず順に定矩しおいきたした。

最初の方に曞いおあるこずは, 通垞の蚀葉で数孊を述べる立堎からは
圓たり前でしょうが, 階述語論理の䞊に集合論を構築しようずする
立堎からは, 党然駄目です.

先ず, 集合論における論理匏ずは䜕か, ずいうずころから出発する
ものでしょう.

> 論理蚘号ずは呜題匏(√,∧,￢ずいう呜題結合しからなる呜題関数の事)ず
> ∀ず∃の量化蚘号ずの事を指し,
> 論理蚘号からできた呜題関数を述語匏ず呌び,
> 述語匏の議論の事を述語論理ず呌びたす。
>
> そしお,数孊蚘号ずは関数蚘号ず関係蚘号の事を指したす。
> 論理蚘号ず数孊蚘号ずを合わせた述語匏を1階蚀語匏,
> その議論の事を1階蚀語論理ず呌びたす。
> それでもっお1階述語匏ずは論理蚘号ず1階数孊蚘号ずからできた呜題関数の事であり,
> その議論の事を1階述語論理ず呌ぶ。
>
> ずいう颚に行き着いたのですがこれでいかがでしょうか?

貎方の曞いおいるものからは行き付けないでしょう.

ずころで, [定矩 -12] には明らかに勘違いがあるようですね.
普通, P \mathrel{\mathop\Leftrightarrow^{\rm def}} Q ず曞くずきに
「 Q が真である時」などずいう条件は付いおいたせん.

> ただ解せないのが数孊蚘号の定矩の箇所で,
> ただZFC公理系すらも述べおいない段階で
> "関数"や"定数"ずいう蚀葉がどうしお持ち出せるのでしょうか?

その「関数」やら「定数」ずいうのは「集合論における関数」でも
「集合論における定数」でもありたせんよ.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
> にお
> 『I_A が任意の recursive set (教科曞での inductive set) の
> 郚分集合であるこずの蚌明は省かれおいるようですね.』
> これは【5】で瀺しおおりたすが勘違いしおたすでしょうか?

貎方の D が教科曞の N_A であるわけですが,
それは A の郚分集合で垰玍的なものの党䜓であり,
䞖の䞭の党おの垰玍的集合を含んでいるわけではありたせん.
I_A が D の元 I に含たれおいるだけでは䞍十分です.
ちゃんず教科曞には曞いおあるから読みたしょう.

> 『Peano の公理の郚分は「 Peano の公理」の理解が
> 違っおいるようにも思いたす.
> 因みに教科曞に曞いおあるのは「略蚌」です.
> ちゃんず「蚌明」にたで, 行間, 或いは, 語間を埋めお,
> 完成させお䞋さい.』
> 䜕凊をいい加枛に蚌明しおしたったかわからないのですが。

先ず (i) (ii) からしおいい加枛です.
Peano の公理の (1) は 0 \in \mathbf{N},
(2) は n \in \mathbf{N} \rightarrow n' \in \mathbf{N} であるのに,
(i), (ii) あわせお (1) しか述べおいない.
(1), (2), (3), (4), (5) ず察応するように
(i), (ii), (iii), (iv), (v) が曞かれおいないずいうだけでも
論評するに倀したせん.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_empty_set__00.jpg
> ずいう具合に空集合の存圚を蚌明したした。

Axiom of replacement の蚘述が間違っおいるでしょう.
tautology ずいうのも倉ですね.
それが修正されおから議論したしょう.

> 所で"z={y}⇔(def) ∀u(u∈z←→u=y)"は䜕ず読むのでしょうか?
> 「z={y}であるずいう事は任意の集合uに察しおu∈z←→u=yが成り立぀事ず定矩する」
>
> ずいう解釈で正しいでしょうか?

はい.

> あぁ, z∈yなら「数孊的䜓系zは数孊的䜓系yに含たれる」,
> {y}なら「数孊的䜓系{y}は数孊的䜓系yを含む」
> ずいった文字列でしょうか。

どうしお「数孊的䜓系」ずしたのか分かりたせん.
「数孊的察象」なら未だ分かりたす.
「集合論」の䞭ではそれを「集合」ず呌んでいたす.

> "含たれる"ずは䜕かず远求されたら,
> 日垞生掻の䌚話で䜿甚する"含たれる"ず同意ず答えればいいのですね。

玠人さんには, そう考えお良いようになっおいるから安心しなさい, ず答えたす.

> ええっ!! "
"が䜿えないならどうすればいいのでしょうか?

工倫しお䞋さい.

> > そこに䜕が入るこずを想像しおいるかは他の人には䌝わりたせん.
>
> φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}}ず順に埌続する蚘号の列を省略したもの
> ず答えおはダメでしょうか?

駄目です.

Kyoko Yoshida

unread,
Mar 9, 2013, 10:04:39 PM3/9/13
to
ご回答誠に有難うございたす。


>> 「垰玍的集合存圚公理」仮定埌じゃないず無限集合を定矩する事䞍可胜なのですね。
>>
> ちゃんず読んでいたすか.

はい。䞀応読んでおりたすが。

以前に
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
ず順序数(cardinal)を定矩したした。

そしお 「数孊のロゞックず集合論」のp129を読んでたす。
順序数の定矩が私のずだいぶ異なっおるですが,私のは間違っおおりたすでしょうか?

そしおp129の䞋の方に無限集合の定矩が茉っおたすがそこでやはり自然数を甚いおいたすよね。自然数を甚いおいるずいう事は垰玍的集合の抂念を甚いおるのでしょうから「垰玍的集合存圚公理」を仮定せねばならないず感じたのでした。

>>> 「数孊のロゞックず集合論」の 157 page にあるように,
>>> 無限公理の述べ方にも色々あり, 「あらかじめ有限・無限の定矩を
>>> 䞎えおから無限公理を定匏化する方法もあるが」, 自然数の存圚を
>>> 「垰玍的集合」の存圚から導いおから無限を定矩するのがこの本の
>>> 立堎です.
> どう定矩するかは立堎に䟝りたす. 䜆し,

あぁ。そういうこずだったのですね。

>> 「自然数ず同じ濃床を持぀集合が有限集合で,そうでない集合が無限集合です.」
>> ずいう(普通(?)の)無限集合の定矩ず
>> デデキントの無限集合の定矩の2通りの定矩があるのですね。
> そう, その通りの定矩がありたす. しかし,

了解です。ただ,デデキントの無限集合の定矩の方が,ZF公理系の仮定埌,写像ず党単射を定矩さえすれば定矩できるので,手っ取り早いのですね。

>> 前者は"自然数"ずいう甚語を定矩䞭に盛り蟌んでいるから
>> 自然数の定矩埌(即ち,垰玍的集合存圚公理仮定埌で無ければならず,
> この本では䟿宜䞊自然数を甚いお定矩されおいたすが,
> 自然数を衚に出さずに「有限集合」を定矩するこずもできたす.
> 岩波の数孊蟞兞(第版)を埡芧になれば,
> 集合 A のベキ集合 P(A) の郚分集合 X に぀いお,
> (1) \emptyset \in X,
> (2) \forall B \in X, \forall a \in A, B \cup { a } \in X,
> であるずき, X は A によっお生成される郚分集合の族, ずいうこずにしお,
> A によっお生成される郚分集合の族 X すべおに぀いお, A \in X,
> であるずき, A は有限である, ずする定矩が曞かれおいたす.
> # 355 濃床 F. 有限ず無限の定矩

これはベキ集合ず和集合の抂念しか芁らないので曎にシンプルな定矩ですね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__01.jpg
ず二通り定矩いたしたした。

>> 埌者も「垰玍的集合存圚公理」仮定埌でないず存圚蚀えないのですね。玍埗です。
>>
> デデキント無限集合が存圚するかどうかを別にするなら,
> 定矩するこずだけは出来たす.
> た, 䞀぀の本に曞かれおいるこずが党おではありたせん.

有難うございたす。お陰さたで明るくなりたした。

デデキントの無限集合の定矩は"デデキントの"ずいう所有代名詞が付いおたすが

ベキ集合を甚いおの無限集合の定矩
や
「数孊のロゞックず集合論」のp129の無限集合の定矩のように濃床を䜿っおの定矩
には特に所有代名詞や圢容詞などは付かないのですね。

>> そしお,αが極限順序数ずはαの順序型ot(α)が有限順序型(たたは有限順序数)ではない,
>> ぀たり, ∀n∈Nに察しお,{0,1,
,n}はot(α)の元ではない。ずいう意味ですよね。
>>
> 違いたすよ. 順序型ずいうのは敎列集合に぀いお定たるもので,

以前から
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
の定矩で正しいず思っおおりたしたがどう蚂正すれば正しくなるのでしょうか?
それずも党くの間違いなのでしょうか?

> 順序数の順序型は自分自身です.

自分自身類ず考えればあながち
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
のDef 424.99でも間違いではないのでしょうか?

぀たり, (A,≩)が敎列集合の時,順序同型の類ordtyp(A,≩)(:={(A',≩');(A',≩')は(A,≩)ず順序同型})
の代衚元(A,≩)が順序型ordtyp(A,≩)の順序数。
ずいう具合に。

> 極限順序数の抂念はそれずは関係ありたせん.
> \alpha が極限順序数であるずは,
> \alpha がどんな順序数 \beta の埌継順序数 \beta' ずも違うこずです.
> 有限順序数は極限順序数ではありたせんが,
> 無限の順序数でも極限順序数でないものがいくらでもありたす.
> 自然数党䜓に察応する順序数 \omega は極限順序数ですが,
> \omega + 1 は極限順序数ではありたせん.

αが順序数⇔α'∪{α'}=αなる順序数α'が存圚しない堎合ですね。

>> 無限基数⇒極限順序数
>> は圓たり前ですね。
> 分かっおいたすか.

これは倧倉倱瀌いたしたした。
順序数⇒順序型は蚀えるが順序型⇒順序数は䞀般には蚀えないのでしたね。

無限基数ず蚀ったら, 無限集合の順序型の事であっお順序数ではありたせんね。

そしお,N∪{φ}ずか,Rや2^Rずかは極限順序数ずは蚀えないのですね。

>> 敎列可胜定理から実無限集合であろうが敎列集合(任意の郚分集合は最小限を持぀)に
>> 仕立お䞊げる事ができるので,
> 極限順序数は順序数ですから自然な順序を持っおいお敎列集合です.

そうでした。既に敎列集合でした。

> わざわざ仕立おる必芁はありたせん.

了解です。

>> 任意の無限集合をXずするず,これは極限順序数の元であり,
>> minX,minX〓{minX},minX〓{minX〓{minX}}, ず自然数のように䞊べる事が出来るので
>> (瘋矩xiom of Choice),
> ずいうのでこれは無意味です.

これは単に任意の無限集合は垰玍的集合にできるずいうだけの話でした。

>> 任意の無限基数の集合は垰玍的集合ずなるのですね。
> 極限順序数であれば垰玍的集合であるずいうこずは
> 理解できおいるのでしょうか.

非零の極限順序数の堎合ですね。
ωはNですから垰玍的集合ですね。

ω+1=N∪{N},ω+2=(ω+1)+1=N∪{N}∪{N∪{N}},
,ω+ω.
぀たり,{ω+1,ω+2,
}=ω+ωは明らかに垰玍的集合ですね。
䜕故なら, φ∈ω+ωで,任意のx∈ω+ωに察しお,x∪{x}∈ω+ωずなるのでω+ωも垰玍的集合ですね。

>> すみたせんでした。無限基数の極限順序集合は存圚したせんでした。
> 䜕を䞻匵しおいるのでしょうか.

これは党くの勘違いでした。

>> A=Bずは任意のxに察しお,(x∈A⇒x∈B䞔぀x∈B⇒x∈A)である事
>> (䜆しx∈Aは䜕の意味も持たない)
>> ず解釈すれば宜しいのでしょうか(ここでの"⇒"は含意を意味したす)?
> ZF集合論での「倖延性公理」ずはそういうものです.

了解です。そのように芚えおおきたいず思いたす。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_first_order_predicate_language__00.pdf
>> ず順に定矩しおいきたした。
> 最初の方に曞いおあるこずは, 通垞の蚀葉で数孊を述べる立堎からは
> 圓たり前でしょうが, 階述語論理の䞊に集合論を構築しようずする
> 立堎からは, 党然駄目です.
> 先ず, 集合論における論理匏ずは䜕か, ずいうずころから出発する
> ものでしょう.

集合論における論理匏ずは
http://www.sdi-net.co.jp/sdi_148.htm
で述べおあるような,"∈"ずいう蚘号を䜿った論理匏の事ですね。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_zf_axiom__00.jpg
では䞀階述語論理ず"∈"を䜿っお,ZF公理系を構築しおおりたすが。。

>> 論理蚘号ずは呜題匏(√,∧,￢ずいう呜題結合しからなる呜題関数の事)ず
>> ∀ず∃の量化蚘号ずの事を指し,
>> 論理蚘号からできた呜題関数を述語匏ず呌び,
>> 述語匏の議論の事を述語論理ず呌びたす。
>> そしお,数孊蚘号ずは関数蚘号ず関係蚘号の事を指したす。
>> 論理蚘号ず数孊蚘号ずを合わせた述語匏を1階蚀語匏,
>> その議論の事を1階蚀語論理ず呌びたす。
>> それでもっお1階述語匏ずは論理蚘号ず1階数孊蚘号ずからできた呜題関数の事であり,
>> その議論の事を1階述語論理ず呌ぶ。
>> ずいう颚に行き着いたのですがこれでいかがでしょうか?
> 貎方の曞いおいるものからは行き付けないでしょう.

えっA!?䜕故ですかっ。。
ではどうすればZF公理系に行き぀けれるのでしょうか?

> ずころで, [定矩 -12] には明らかに勘違いがあるようですね.
> 普通, P \mathrel{\mathop\Leftrightarrow^{\rm def}} Q ず曞くずきに
> 「 Q が真である時」などずいう条件は付いおいたせん.

これは仰る通りですね。
然も,"呜題"の定矩は[定矩-12]より埌の[定矩-10]に述べおおりたした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_definition__00.jpg
ず蚂正臎したした。これなら倧䞈倫でしょうか?0

>> ただ解せないのが数孊蚘号の定矩の箇所で,
>> ただZFC公理系すらも述べおいない段階で
>> "関数"や"定数"ずいう蚀葉がどうしお持ち出せるのでしょうか?
> その「関数」やら「定数」ずいうのは「集合論における関数」でも
> 「集合論における定数」でもありたせんよ.

そのようです。p149の関数蚘号ずは
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_first_order_predicate_language__00.pdf
での[定矩-8]の呜題関数(玠論理匏)の事ず解釈すればいいでしょうか?
倉数が䞀぀の呜題関数,倉数が二぀の呜題関数, を倫々,1倉数関数蚘号,2倉数関数蚘号, ず蚀うのですね。
どんな倉数xでも垞に呜題関数PがP(x)=true(か若しくはP(x)=false)の時は,0倉数関数蚘号(定関数蚘号)ず呌ぶのですね。
そうしたすず,
関係蚘号も所詮は倉数によっお真停が決たっおしたう呜題関数の䞀皮ですよね。どうしお関数蚘号ず分けおあるのでしょうか?
関数蚘号ず関係蚘号の違いずは䜕なのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
>> にお
>> 『I_A が任意の recursive set (教科曞での inductive set) の
>> 郚分集合であるこずの蚌明は省かれおいるようですね.』
>> これは【5】で瀺しおおりたすが勘違いしおたすでしょうか?
> 貎方の D が教科曞の N_A であるわけですが,
> それは A の郚分集合で垰玍的なものの党䜓であり,
> 䞖の䞭の党おの垰玍的集合を含んでいるわけではありたせん.
> I_A が D の元 I に含たれおいるだけでは䞍十分です.
> ちゃんず教科曞には曞いおあるから読みたしょう.

有難うございたす。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_recursive_set__00.jpg
ずお蔭様で䞊手くいきたした。

>> 『Peano の公理の郚分は「 Peano の公理」の理解が
>> 違っおいるようにも思いたす.
>> 因みに教科曞に曞いおあるのは「略蚌」です.
>> ちゃんず「蚌明」にたで, 行間, 或いは, 語間を埋めお,
>> 完成させお䞋さい.』
>> 䜕凊をいい加枛に蚌明しおしたったかわからないのですが。
> 先ず (i) (ii) からしおいい加枛です.
> Peano の公理の (1) は 0 \in \mathbf{N},
> (2) は n \in \mathbf{N} \rightarrow n' \in \mathbf{N} であるのに,
> (i), (ii) あわせお (1) しか述べおいない.
> (1), (2), (3), (4), (5) ず察応するように
> (i), (ii), (iii), (iv), (v) が曞かれおいないずいうだけでも
> 論評するに倀したせん.

すいたせん。たた混乱しおしたいたした。教科曞のp75,p76を参考にすべく
先ず呜題論理匏を定矩を詊みたした(P75䞋の定理2.4にお"集合論の論理匏"ず断っおあるので).
呜題論理匏の定矩は教科曞のp142の定矩4.1に茉っおおりたしたが,
"論理匏"を定矩するのに(1)にお"論理匏"ずいう甚語が䜿っおあり,意味がよくわかりたせんでしたので
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_logical_formula_propositional_formula__00.pdf
ずいう具合に呜題論理匏の定矩をしたしたがこれででも倧䞈倫でしょうか?

そしお,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set__00.pdf
ずいう具合に集合の定矩を再チェックしたした。
[定矩1.65]で初めお集合の定矩が完了するので
ZF公理系を述べおる間は[定矩1.595]䞭では集合ずいう蚀葉を䜿わずに"数孊的䜓系"ずいう甚語を甚いたしたがやはり䞍味いでしょうか?

それでもっお晎れお
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_logical_formula_of_Set_theory__00.jpg
ずいう颚に集合論での論理匏が定矩できたしたが,これも倧䞈倫でしょうか?

そしお,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Peano_s_postulate__00.jpg
ずいう具合にNがPeanoの公理が蚌明できたした。
Theorem9.807の(v)でm∈m∪{m}ずなる理由はAxiom of extensionalityよりずいう事で間違いないでしょうか?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Axiom_of_extensionality__00.jpg

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_empty_set__00.jpg
>> ずいう具合に空集合の存圚を蚌明したした。
> Axiom of replacement の蚘述が間違っおいるでしょう.
> tautology ずいうのも倉ですね.
> それが修正されおから議論したしょう.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_comprehension__00.jpg
ず蚂正臎したした。"is a tautology"ずいう衚珟も倉ですね。
公理だから,
"(∀x,∀y,∀z, (P(x,y)∧P(x,z)→y = z))) → (∀a ,∃b;(v∈b→(∃u∈
;P(u,v))))"
ず決めるのでしたね。

そしお眮換公理に぀いおQ&A 数孊基瀎論入門からの質問です。

そしお,p112の末行で「yが存圚しない堎合には"それでもよい"ずいう事である」
ず蚘茉されおるのですが"それでもよい"ずはy=zは真ず考えおもよい。ずいう意味なのでしょうか?
でも今,yは存圚しおないので,y=zは明らかに停だず思うのですが。。。

そしお, p113なのですがここでは眮換公理の解説にいたっおたす。
「これを分りやすく曞けば曞けば
b={y;∃x∈aA(x,y)}
ずいう事になる」
ず説明しおありたすが,今,aは任意の集合ですよね,その時,A(x,y)を真ず出来るような元xがaに存圚しない時はbは空集合ずなっおしたう蚳ですが
集合眮換公理の埌に空集合を定矩できるのですから, bが空集合ずなっおは矛盟になりたすよね。
それずもここの段階(眮換公理を述べる以前)では集合ずいったら必ず元を持぀ものずいう蚭定になっおいるのでしょうか?

もしそうなら,
倖延性の公理,察の公理,和集合の公理,無限の公理,冪集合の公理のどれが任意の集合は必ず元を持぀事を保蚌しおいるのでしょうか?

>> 所で"z={y}⇔(def) ∀u(u∈z←→u=y)"は䜕ず読むのでしょうか?
>> 「z={y}であるずいう事は任意の集合uに察しおu∈z←→u=yが成り立぀事ず定矩する」
>>
>> ずいう解釈で正しいでしょうか?
> はい.

有難うございたす。

>> あぁ, z∈yなら「数孊的䜓系zは数孊的䜓系yに含たれる」,
>> {y}なら「数孊的䜓系{y}は数孊的䜓系yを含む」
>> ずいった文字列でしょうか。
> どうしお「数孊的䜓系」ずしたのか分かりたせん.
> 「数孊的察象」なら未だ分かりたす.
> 「集合論」の䞭ではそれを「集合」ず呌んでいたす.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set__00.pdf
[Def-0.37]にお数孊的䜓系ずいう蚀葉を䜿いたした。これは完党に間違いでしょうか?

>> "含たれる"ずは䜕かず远求されたら,
>> 日垞生掻の䌚話で䜿甚する"含たれる"ず同意ず答えればいいのですね。
> 玠人さんには, そう考えお良いようになっおいるから安心しなさい, ず答えたす.

玄人さんには䜕ず応えればいいのでしょうか?

>> ええっ!! "
"が䜿えないならどうすればいいのでしょうか?
> 工倫しお䞋さい.
>>> そこに䜕が入るこずを想像しおいるかは他の人には䌝わりたせん.
>> φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}}ず順に埌続する蚘号の列を省略したもの
>> ず答えおはダメでしょうか?
> 駄目です.

すみたせん。くっ工倫っお䞀䜓どうすればいいのでしょうか?

Kyoko Yoshida

unread,
Mar 10, 2013, 10:08:30 AM3/10/13
to
たびたびすみたせん。

>>> 任意の無限集合をXずするず,これは極限順序数の元であり,
>>> minX,minX〓{minX},minX〓{minX〓{minX}}, ず自然数のように䞊べる事が出来るので
>>> (瘋矩xiom of Choice),
>> ずいうのでこれは無意味です.
> これは単に任意の無限集合は垰玍的集合にできるずいうだけの話でした。

以前に
「minX,minX{minX},minX{minX{minX}}, ず自然数のように䞊べる事が出来るので(∵Axiom of Choice),」
ず述べおおりたせんでしたがこれはAxiom of Choiceは党く関係ありたせんでしたね
(敎列化する時には芁りたすが)。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop10__00.jpg
の蚌明は実数䜓の時にも,敎列化しお順番を付けれる事を蚀っおるので実数䜓は可算集合ずなっお実数の非可算性に矛盟するのですが䜕凊を勘違いしおたすでしょうか?

>>> ええっ!! "
"が䜿えないならどうすればいいのでしょうか?
>> 工倫しお䞋さい.
>>>> そこに䜕が入るこずを想像しおいるかは他の人には䌝わりたせん.
>>> φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}}ず順に埌続する蚘号の列を省略したもの
>>> ず答えおはダメでしょうか?
>> 駄目です.
> すみたせん。くっ工倫っお䞀䜓どうすればいいのでしょうか?

これは
x={φ{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}},
y={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}}
を垰玍的集合のように衚珟するのかず思いたしたが,それでもどう曞けるか分かりたせんでした。

Tsukamoto Chiaki

unread,
Mar 13, 2013, 6:04:24 AM3/13/13
to
工繊倧の塚本です.

In article <khgsmu$snr$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> 以前に
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
> ず順序数(cardinal)を定矩したした。

貎方が定矩しようずしおいるのは cardinal で, 「基数」です.
曎に, そこに曞かれおいるのは, 「定矩」ずいうより,
䞀般連続䜓仮説を仮定したずきに成り立぀「結果」です.

> そしお 「数孊のロゞックず集合論」のp129を読んでたす。
> 順序数の定矩が私のずだいぶ異なっおるですが,
> 私のは間違っおおりたすでしょうか?

「基数」のこずを「順序数」ず間違えおいるずいう意味で
党く間違っおいたす.

> そしおp129の䞋の方に無限集合の定矩が茉っおたすが
> そこでやはり自然数を甚いおいたすよね。
> 自然数を甚いおいるずいう事は垰玍的集合の抂念を甚いおるのでしょうから
> 「垰玍的集合存圚公理」を仮定せねばならないず感じたのでした。

そういう導入の順序をこの本は遞んでいたす.

> In article <1301292147...@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chi...@kit.ac.jp> writes:
> > この本では䟿宜䞊自然数を甚いお定矩されおいたすが,
> > 自然数を衚に出さずに「有限集合」を定矩するこずもできたす.
> > 岩波の数孊蟞兞(第版)を埡芧になれば,
> > 集合 A のベキ集合 P(A) の郚分集合 X に぀いお,
> > (1) \emptyset \in X,
> > (2) \forall B \in X, \forall a \in A, B \cup { a } \in X,
> > であるずき, X は A によっお生成される郚分集合の族, ずいうこずにしお,
> > A によっお生成される郚分集合の族 X すべおに぀いお, A \in X,
> > であるずき, A は有限である, ずする定矩が曞かれおいたす.
> > # 355 濃床 F. 有限ず無限の定矩
>
> これはベキ集合ず和集合の抂念しか芁らないので曎にシンプルな定矩ですね。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__01.jpg
> ず二通り定矩いたしたした。

先ず, 岩波数孊蟞兞の定矩を「無限集合」の定矩ずしお採甚するなら,
「垰玍的集合」は「無限集合」であるこずを瀺しお埡芧なさい.

次に, 「垰玍的集合」が「デデキント無限集合」であるこずの
「蚌明」ですが, 蚌明になっおいたせん.
垰玍的集合 A から A 自身の䞭ぞの写像 f: A \to A を
f(x) = x \cup { x } で定めるずき, その像 f(A) は
A から { \emptyset } を \setminus したものずなるずは
限りたせん.
# A が最小の垰玍的集合 N であればそうなりたすが.
぀たり, f が A から A \setminus { \emptyset } ぞの
bijection であるこずの「蚌明」ずしお曞かれおいる以䞊,
どこか間違っおいるこずになりたす.

> 自分自身類ず考えればあながち
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
> のDef 424.99でも間違いではないのでしょうか?

䜕が蚀いたいのか良く分かりたせんが,
先ず, Def424.98 においお考えるべきは
ordered set ではなく, well-ordered set でなければなりたせん.
同倀な well-ordered set の代衚ずしお遞ばれるのが順序数です.

> ぀たり, (A,≩)が敎列集合の時,
> 順序同型の類ordtyp(A,≩)(:={(A',≩');(A',≩')は(A,≩)ず順序同型})
> の代衚元(A,≩)が順序型ordtyp(A,≩)の順序数。
> ずいう具合に。

その代衚元が具䜓的に䞎えられおいるこずが重芁です.

> 順序数⇒順序型は蚀えるが順序型⇒順序数は䞀般には蚀えないのでしたね。

敎列集合の順序型を衚す順序数は䞀意に決たりたすし,
順序数自身も \in に぀いおの順序で敎列集合であり,
その敎列集合ずしおの順序型はその順序数自身です.

> 無限基数ず蚀ったら, 無限集合の順序型の事であっお順序数ではありたせんね。

集合の基数ずいうのは
それず濃床を等しくする順序数の䞭で最小の順序数のこずです.
無限集合には
それを敎列集合ずする順序で順序型が同じでないもの
が䜕通りも入りたすが,
䞀番小さな順序型をも぀ように順序を入れた時の順序型が
その基数です.

> そしお,N∪{φ}ずか,Rや2^Rずかは極限順序数ずは蚀えないのですね。

N \cup { \emptyset } = N でしょう. ( 0 = \emptyset.)
R ずか 2^R 自身はただの集合でしかありたせんから,
順序数ですらありたせん.
R ずか 2^R の基数は極限順序数です.
䞀般に無限基数は極限順序数です.

> 集合論における論理匏ずは
> http://www.sdi-net.co.jp/sdi_148.htm
> で述べおあるような,"∈"ずいう蚘号を䜿った論理匏の事ですね。

で, 「論理匏」ずは䜕か, 定矩出来おいたすか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_zf_axiom__00.jpg
> では䞀階述語論理ず"∈"を䜿っお,ZF公理系を構築しおおりたすが。。

正確にいえば, そこでは「論理匏」ではなく,
くだけた圢での衚珟が䜿われおいたす.
「数孊のロゞックず集合論」の 4.5 集合論の圢匏化 の途䞭,
p. 157 の 問 4.5 を考えおみるず良いでしょう.

> ではどうすればZF公理系に行き぀けれるのでしょうか?

䞊の問題を考えおいけば, 「集合論の圢匏化」では
䜕が必芁ずされおいるか分かっおくるでしょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_definition__00.jpg
> ず蚂正臎したした。これなら倧䞈倫でしょうか?0

そこだけ蚂正しおもあたり意味はないでしょう.

> そのようです。p149の関数蚘号ずは
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_first_order_predicate_language__00.pdf
> での[定矩-8]の呜題関数(玠論理匏)の事ず解釈すればいいでしょうか?

党然違いたすよ.

貎方が組み立おおいるず思っおいる naive な「論理孊」ず
数理論理孊における「階の述語論理」の䜓系ずは
党く違うものです.

> 倉数が䞀぀の呜題関数,倉数が二぀の呜題関数, を倫々,1倉数関数蚘号,2倉数関数蚘号, ず蚀うのですね。

違いたす.

> どんな倉数xでも垞に呜題関数PがP(x)=true(か若しくはP(x)=false)の時は,
> 0倉数関数蚘号(定関数蚘号)ず呌ぶのですね。

違いたす.

関数蚘号は䜕かの数孊的察象を衚すものです.

> そうしたすず,
> 関係蚘号も所詮は倉数によっお真停が決たっおしたう呜題関数の䞀皮ですよね。

関係蚘号は真停倀を䞎えるものです.

> どうしお関数蚘号ず分けおあるのでしょうか?
> 関数蚘号ず関係蚘号の違いずは䜕なのでしょうか?

䞎えられるものが「数孊的察象」であるか「真停倀」であるかの
違いがありたす,

> すいたせん。たた混乱しおしたいたした。教科曞のp75,p76を参考にすべく
> 先ず呜題論理匏を定矩を詊みたした
> (P75䞋の定理2.4にお"集合論の論理匏"ず断っおあるので).
> 呜題論理匏の定矩は教科曞のp142の定矩4.1に茉っおおりたしたが,
> "論理匏"を定矩するのに(1)にお"論理匏"ずいう甚語が䜿っおあり,

(1) は「各々の呜題蚘号 \simga_n は論理匏である」ですが,
どんなものが「論理匏」であるか, を定矩するずきに,
これこれは「論理匏」である, ずいう文章が出お来るのは
圓たり前だず思いたすが,

> 意味がよくわかりたせんでしたので

分かりたせんか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_logical_formula_propositional_formula__00.pdf
> ずいう具合に呜題論理匏の定矩をしたしたがこれででも倧䞈倫でしょうか?

それでは駄目だずいう話です.

! 貎方が組み立おおいるず思っおいる naive な「論理孊」ず
! 数理論理孊における「階の述語論理」の䜓系ずは
! 党く違うものです.

> そしお,
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set__00.pdf
> ずいう具合に集合の定矩を再チェックしたした。
> [定矩1.65]で初めお集合の定矩が完了するので
> ZF公理系を述べおる間は[定矩1.595]䞭では集合ずいう蚀葉を䜿わずに
> "数孊的䜓系"ずいう甚語を甚いたしたがやはり䞍味いでしょうか?

駄目に決たっおいたす.
集合論の公理が集合を定めなくおどうするのですか.
たあ, そんなこずは枝葉末節のこずで, 芁するに
「圢匏的な数孊的䜓系」ずはどのようなもので,
そこにおける「掚論」ずは䜕をするこずか,
ずいうこずがお分かりではない.

> それでもっお晎れお
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_logical_formula_of_Set_theory__00.jpg
> ずいう颚に集合論での論理匏が定矩できたしたが,これも倧䞈倫でしょうか?

その「文章もどき」には䜕の意味もないでしょう.

> そしお,
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Peano_s_postulate__00.jpg
> ずいう具合にNがPeanoの公理が蚌明できたした。

こういう基本的なこずの蚌明では,
m \in m \cup { m } のような基本的なこずも
どの公理を䜿っおそのように蚌明するかを述べるものです.

> Theorem9.807の(v)でm∈m∪{m}ずなる理由は
> Axiom of extensionalityよりずいう事で間違いないでしょうか?
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Axiom_of_extensionality__00.jpg

Axiom of extensionality をどう䜿うずいうのです.
他の公理は䜿わないのですか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_comprehension__00.jpg
> ず蚂正臎したした。

axiom of comprehension ずいう蚀い方は階の時に䜿われるので,
階述語論理に基づく集合論では axiom (shema) of separation
ずしおおくのが良いでしょう.
それは axiom (shema) of replacement (ず axiom of extensionality)
から導くこずができるわけですが, parameter の入っおいない圢ずしおは,
そんなものでしょう.

> そしお眮換公理に぀いおQ&A 数孊基瀎論入門からの質問です。

久銬栄道著の共立出版からの本ですか.
本孊の図曞通には入っおいないようです.

> そしお,p112の末行で「yが存圚しない堎合には"それでもよい"ずいう事である」
> ず蚘茉されおるのですが"それでもよい"ずはy=zは真ず考えおもよい。
> ずいう意味なのでしょうか?

参照できないので, お答えのしようがありたせん.

> でも今,yは存圚しおないので,y=zは明らかに停だず思うのですが。。。

たあ, 䜕ずなく, どういう誀解か分かるような気もしたすが.

> そしお, p113なのですがここでは眮換公理の解説にいたっおたす。

以䞋も本文を芋た䞊でお答えするのでないず,
䞍正確になるでしょうから, 差し控えたす.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set__00.pdf
> [Def-0.37]にお数孊的䜓系ずいう蚀葉を䜿いたした。これは完党に間違いでしょうか?

その蚀葉が䜿われおいる状況ず貎方が前の投皿で䜿った状況ずは同じですか.
もっずも, あなたには axiom system が分かっおいないようだから,
間違いであるず述べおおいた方が良いかも知れたせん.

> 玄人さんには䜕ず応えればいいのでしょうか?

そういう「間違った質問の仕方」をするのは玠人です.

> すみたせん。くっ工倫っお䞀䜓どうすればいいのでしょうか?

出来ないなら止めるこずです.

Tsukamoto Chiaki

unread,
Mar 13, 2013, 6:07:19 AM3/13/13
to
工繊倧の塚本です.

In article <khi3jp$2hk$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> 以前に
> 「minX,minX〓{minX},minX〓{minX〓{minX}}, ず自然数のように
> 䞊べる事が出来るので(∵Axiom of Choice),」
> ず述べおおりたせんでしたがこれはAxiom of Choiceは党く関係ありたせんでしたね
> (敎列化する時には芁りたすが)。

X が無限集合でも, X の元 x で x \cup { x } が X の元でない
ものがあるこずは圓然ありうるこずですから, X は必ずしも垰玍的集合
ではありたせん. X = \omega + 1 は垰玍的集合ではないのです.

X ず垰玍的集合ずの 1 察 1 察応は付けるこずができたす.
X の基数を取れば良い.

䜆し, 貎方の蚌明ではそう述べられおいない.
無限集合 X に䞎えうる敎列順序には色々なものがありたす.
その順序型が極限順序数にならないような敎列順序もあり,
そのような順序では, inductive set ずの察応にはなりたせん.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop10__00.jpg
> の蚌明は実数䜓の時にも,敎列化しお順番を付けれる事を蚀っおるので
> 実数䜓は可算集合ずなっお実数の非可算性に矛盟するのですが
> 䜕凊を勘違いしおたすでしょうか?

点点点で X を取り぀くすこずができる思っおいるずころでしょう.

> これは
> x={φ{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}},
> y={φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}},
,{φ,{φ,{φ,
,{φ,{φ}}
}}
> を垰玍的集合のように衚珟するのかず思いたしたが,
> それでもどう曞けるか分かりたせんでした。

䜕を衚したいのか, こちらずしおも理解できたせんから,
もう止めたら, ずいう忠告が劥圓であるかず思いたす.

Kyoko Yoshida

unread,
May 8, 2013, 12:53:20 PM5/8/13
to
ご回答誠に有難うございたす。ちょっず混乱䞭でしお,残りの返答に関したしおは少しお時間を戎けたしたら幞いでございたす。


>> 以前に
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
>> ず順序数(cardinal)を定矩したした。
> 貎方が定矩しようずしおいるのは cardinal で, 「基数」です.
> 曎に, そこに曞かれおいるのは, 「定矩」ずいうより,
> 䞀般連続䜓仮説を仮定したずきに成り立぀「結果」です.

そうでした。通垞の集合・䜍盞の曞籍では'集合党䜓の集たり'を党単射に関する同倀類に類別しお,その代衚元を濃床ず呌ぶのでしたが'集合党䜓の集たり'ずいう蚀葉を避けたかった為,
ただ, 集合Aが䞎えられた時のAの濃床は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
のDef233.1("Let X be a region"ずいう郚分は䜙蚈でした)にお,
φ,{{1,2,
,n}∈2^N;n∈N},N,R,2^R,2^(2^R),

のいずれかに党単射を持぀時,Aの濃床を倫々
0,n,アレフ_0,アレフ_1,アレフ_2,

ずするず定矩したのですが,任意の集合Aは
φ,{{1,2,
,n}∈2^N;n∈N},N,R,2^R,2^(2^R),

のどれずも党単射をなさないずいう事は有り埗ないずいうのを保蚌する為
に,General continuum hypothesisを仮定しおその結果の利甚しおしたったのでした。


>> そしお 「数孊のロゞックず集合論」のp129を読んでたす。
>> 順序数の定矩が私のずだいぶ異なっおるですが,
>> 私のは間違っおおりたすでしょうか?
> 「基数」のこずを「順序数」ず間違えおいるずいう意味で
> 党く間違っおいたす.

すみたせん。倧幅に䜜戊倉曎したした。いかなる(æ•°å­Šçš„)察象の集たりを真クラスず領域(公理的集合論「レモン著」p9,p10)ずし,"領域⊃クラス⊃集合"ずいう䜍眮づけにしたした。領域での"集たり"の数孊的な厳密定矩はなく,日垞䌚話での"含む"ずいう意に解釈する事にしたした。そしお,
集合的蚀語(Set theory language)は公理的集合論「田䞭尚倫著」p35、
classに斌けるZFC公理系や無限クラス,有限クラス,真クラス空クラス,郚分クラス,盎積クラス,補クラス,積クラス,和クラス,冪クラス,宇宙,クラス関数(クラス写像)等々は,
珟代集合論「竹内倖史著」p158ず,公理的集合論「レモン著」序論,公理的集合論「䞊江掲忠匘著」p27,
公理的集合論「倉田什二郎著」p13, を参考にいたしたした。
垰玍的クラスの定矩は
http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Inductive_Class
等も参考にいたしたした。
集合の定矩はシンプルな,公理的集合論「レモン著」p4の『集合ずはそれ自身がクラスのメンバヌずなっおいるようなクラスのこずである』を䜿わせお戎きたした。

ずころでクラスの䞖界ではクラス党䜓のクラスや{x;xはクラス,x\not\in x}はカントヌルやラッセルのパラドクスをどのように回避しおあるのでしょうか?

因みに公理的集合論「レモン著」p29にお党クラスを定矩しおありたすがこれは公理的集合論「田䞭尚倫著」p52の宇宙の事だず思いたす,そしお公理的集合論「田䞭尚倫著」p52定理2.8.9にお宇宙(党クラス)は真クラスだず述べおありたすが,公理的集合論「レモン著」p30冒頭で党クラス(宇宙)は真クラスか吊かは䞍明だず述べおありたす。埓っお,公理的集合論「レモン著」(1969幎)の出版埌に党クラス(宇宙)が真クラスである事が蚌明されお公理的集合論「田䞭尚倫著」p52定理2.8.9が掲茉されたずいう理解で倧䞈倫でしょうか?
もしそうなら公理的集合論「レモン著」p30の『少なくずもU∈Uの時,か぀その時に限り,Uは集合であるずいえる』ずいう集合の定矩は意味をなさないのですね(∵珟圚ではUは真クラスずいう事が刀明しおいるので真クラスの定矩から"U∈U"ずいうケヌスはもはや有り埗ない)

曎に,公理的集合論「田䞭尚倫著」p52では真クラスの定矩ずしお『集合でないクラスを真クラスずいう』が茉っおたすが定理2.8.7ではVは党おの集合の集たりなので,『Vは党おの集合たちからなる真クラスである』ず衚蚘しおあるのでここでの"クラス"は"真"ずいう接頭語が省略されおるのかず思いきや,定理2.8.8や定理2.8.9では接頭語無しの"クラス"になったり接頭語付きの"真クラス"になったりしおたす。したがっお,クラス⇔集合,　真クラス⇔非集合　ずいう構図になっおる(぀たり,真クラスず集合の2぀の抂念しか存圚しない)のかず思いきや,p54では定矩2.9.7ではクラスFの䞀意的察応を"クラス関数"ず呌び,特にFが集合の時は"関数"ず呌ぶず述べおありたす。
以䞊より, "真クラス","真クラスでもない非集合なクラス","集合ず呌ばれるクラス"の3皮類があるのだず掚枬できたす。
それで,䞭間に䜍眮する"真クラスでもない非集合なクラス"の簡単な具䜓䟋を知りたいのですが䞀䜓どのようなものが挙げれたすでしょうか?

もし,真クラスず集合の2぀の抂念しか存圚しないのであれば真クラスの事をクラスず呌び,クラスの事を集合ず呌べばすっきりするず思うのですが,どの曞籍でも真クラス,クラス,集合ずいう3語が氟濫しおる為に,あたかも公理的集合論には真クラス,クラス,集合ずいう3぀の抂念が混圚しおるような錯芚に陥りたす。

>> そしおp129の䞋の方に無限集合の定矩が茉っおたすが
>> そこでやはり自然数を甚いおいたすよね。
>> 自然数を甚いおいるずいう事は垰玍的集合の抂念を甚いおるのでしょうから
>> 「垰玍的集合存圚公理」を仮定せねばならないず感じたのでした。
> そういう導入の順序をこの本は遞んでいたす.

第二章で自然数ず垰玍的集合を定矩しおからp129にお有限集合を定矩し,無限集合を定矩しおあるのですね。

Tsukamoto Chiaki

unread,
May 10, 2013, 6:03:20 AM5/10/13
to
工繊倧の塚本です.

In article <kmdvat$76t$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> 集合の定矩はシンプルな,公理的集合論「レモン著」p4の
> 『集合ずはそれ自身がクラスのメンバヌずなっおいるようなクラスのこずである』
> を䜿わせお戎きたした。

その文では意味が通じたせんね.
貎方が前埌関係を無芖した匕甚をしおいるか,
そもそも蚳文がたずいかのどちらかでしょう.

> ずころでクラスの䞖界ではクラス党䜓のクラスや{x;xはクラス,x\not\in x}は
> カントヌルやラッセルのパラドクスをどのように回避しおあるのでしょうか?

そのようなものが意味のある数孊的察象ずなるこずはない,
ず考えるわけです.

> 因みに公理的集合論「レモン著」p29にお党クラスを定矩しおありたすが
> これは公理的集合論「田䞭尚倫著」p52の宇宙の事だず思いたす,

それは貎方がそう思っおいるだけではありたせんか.
もう少し文脈を取らないず䜕ずも刀定できたせん.

> そしお公理的集合論「田䞭尚倫著」p52定理2.8.9にお宇宙(党クラス)は
> 真クラスだず述べおありたすが,
> 公理的集合論「レモン著」p30冒頭で党クラス(宇宙)は真クラスか吊かは䞍明だ
> ず述べおありたす。

そうでしょうか. どうも違うこずが曞いおあるのではないかず思いたすが.

> 埓っお,公理的集合論「レモン著」(1969幎)の出版埌に
> 党クラス(宇宙)が真クラスである事が蚌明されお
> 公理的集合論「田䞭尚倫著」p52定理2.8.9が掲茉されたずいう理解で
> 倧䞈倫でしょうか?

そんなこずはないでしょう.

> もしそうなら公理的集合論「レモン著」p30の
> 『少なくずもU∈Uの時,か぀その時に限り,Uは集合であるずいえる』

これも意味が通じたせんね.
貎方が前埌関係を無芖した匕甚をしおいるか,
そもそも蚳文がたずいかのどちらかでしょう.

> ずいう集合の定矩は意味をなさないのですね
> (∵珟圚ではUは真クラスずいう事が刀明しおいるので
> 真クラスの定矩から"U∈U"ずいうケヌスはもはや有り埗ない)

少なくずも貎方の述べおいるこずは意味を為したせん.

> 曎に,公理的集合論「田䞭尚倫著」p52では真クラスの定矩ずしお
> 『集合でないクラスを真クラスずいう』が茉っおたすが

これは普通の定矩ですね.

> 定理2.8.7ではVは党おの集合の集たりなので,
> 『Vは党おの集合たちからなる真クラスである』ず衚蚘しおあるので
> ここでの"クラス"は"真"ずいう接頭語が省略されおるのかず思いきや,
> 定理2.8.8や定理2.8.9では接頭語無しの"クラス"になったり
> 接頭語付きの"真クラス"になったりしおたす。
> したがっお,クラス⇔集合,　真クラス⇔非集合　ずいう構図になっおる
> (぀たり,真クラスず集合の2぀の抂念しか存圚しない)のかず思いきや,

それは倉な解釈ですね.
普通, クラスずいえば, 集合であるこずもあるし,
非集合真クラスであるこずもあるわけです.

> p54では定矩2.9.7ではクラスFの䞀意的察応を"クラス関数"ず呌び,
> 特にFが集合の時は"関数"ず呌ぶず述べおありたす。

そうでしょうね.

> 以䞊より, "真クラス","真クラスでもない非集合なクラス",
> "集合ず呌ばれるクラス"の3皮類があるのだず掚枬できたす。

その掚枬は間違っおいたす.
クラスの䞭に集合であるものず真クラスであるものがあるのです.

> それで,䞭間に䜍眮する"真クラスでもない非集合なクラス"の
> 簡単な具䜓䟋を知りたいのですが䞀䜓どのようなものが挙げれたすでしょうか?

ですからそんなものはありたせん.

> もし,真クラスず集合の2぀の抂念しか存圚しないのであれば
> 真クラスの事をクラスず呌び,クラスの事を集合ず呌べばすっきりする
> ず思うのですが,

どうしお, 集合ず真クラスを合わせたものをクラスずしお
考えるこずをしないのですか.

> どの曞籍でも真クラス,クラス,集合ずいう3語が氟濫しおる為に,
> あたかも公理的集合論には真クラス,クラス,集合ずいう3぀の抂念が
> 混圚しおるような錯芚に陥りたす。

぀の抂念は存圚したす.
「混圚」ずはどういうこずでしょうか.
そこに貎方の錯芚があるのでしょう.

Kyoko Yoshida

unread,
May 10, 2013, 11:25:25 PM5/10/13
to
ご回答誠に有難うございたす。

>> 集合の定矩はシンプルな,公理的集合論「レモン著」p4の
>> 『集合ずはそれ自身がクラスのメンバヌずなっおいるようなクラスのこずである』
>>
>> を䜿わせお戎きたした。
> その文では意味が通じたせんね.
> 貎方が前埌関係を無芖した匕甚をしおいるか,
> そもそも蚳文がたずいかのどちらかでしょう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon__00.jpg
から匕甚させおいただきたした。

>> ずころでクラスの䞖界ではクラス党䜓のクラスや{x;xはクラス,x\not\in x}は
>> カントヌルやラッセルのパラドクスをどのように回避しおあるのでしょうか?
> そのようなものが意味のある数孊的察象ずなるこずはない,
> ず考えるわけです.

了解です。

>> 因みに公理的集合論「レモン著」p29にお党クラスを定矩しおありたすが
>> これは公理的集合論「田䞭尚倫著」p52の宇宙の事だず思いたす,
> それは貎方がそう思っおいるだけではありたせんか.
> もう少し文脈を取らないず䜕ずも刀定できたせん.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmom_p29.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon_p30.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/ast_by_tanaka_p52.jpg
ずなっおおりたす。

>> そしお公理的集合論「田䞭尚倫著」p52定理2.8.9にお宇宙(党クラス)は
>> 真クラスだず述べおありたすが,
>> 公理的集合論「レモン著」p30冒頭で党クラス(宇宙)は真クラスか吊かは䞍明だ
>> ず述べおありたす。
> そうでしょうか. どうも違うこずが曞いおあるのではないかず思いたすが.

そっそうですか。

>> 埓っお,公理的集合論「レモン著」(1969幎)の出版埌に
>> 党クラス(宇宙)が真クラスである事が蚌明されお
>> 公理的集合論「田䞭尚倫著」p52定理2.8.9が掲茉されたずいう理解で
>> 倧䞈倫でしょうか?
> そんなこずはないでしょう.

これもそうでしょうね。。(汗)

>> もしそうなら公理的集合論「レモン著」p30の
>> 『少なくずもU∈Uの時,か぀その時に限り,Uは集合であるずいえる』
> これも意味が通じたせんね.
> 貎方が前埌関係を無芖した匕甚をしおいるか,
> そもそも蚳文がたずいかのどちらかでしょう.

これも
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmom_p29.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon_p30.jpg
からでございたす。

>> ずいう集合の定矩は意味をなさないのですね
>> (∵珟圚ではUは真クラスずいう事が刀明しおいるので
>> 真クラスの定矩から"U∈U"ずいうケヌスはもはや有り埗ない)
> 少なくずも貎方の述べおいるこずは意味を為したせん.

了解です。

>> 曎に,公理的集合論「田䞭尚倫著」p52では真クラスの定矩ずしお
>> 『集合でないクラスを真クラスずいう』が茉っおたすが
> これは普通の定矩ですね.

これは分かりたした。

>> 定理2.8.7ではVは党おの集合の集たりなので,
>> 『Vは党おの集合たちからなる真クラスである』ず衚蚘しおあるので
>> ここでの"クラス"は"真"ずいう接頭語が省略されおるのかず思いきや,
>> 定理2.8.8や定理2.8.9では接頭語無しの"クラス"になったり

> ぀の抂念は存圚したす.
> 「混圚」ずはどういうこずでしょうか.
> そこに貎方の錯芚があるのでしょう.

ここら蟺は倧幅に勘違いしおおりたした。

クラスずいったら,集合も指すし真クラスも指すのですね。

数孊的察象を議論する時に先ず`党おの数孊的察象物の集たり`(これは領域(?))ずいうものがあっお(ここでの'集たり'ずは日垞䌚話で䜿う'集たり'ず同じ意味ず考えお構わない),それから集合ず真クラスの二぀に分類されるのかず思っおたしたが,そうするず真クラスは領域ずいう集たりに含たれたすからもはや"真"ではなくなっおしたいたすので(∵真クラスの定矩),領域ずいうものも考えず,議論の䞀番䞀番起点ずなるものは集合ず真クラスずいう2皮類の数孊的察象物から出発するのですね。
そしお晎れお集合にはZF公理系ずいうものが定矩されうる。。
通垞の数孊の䞖界では
数孊的察象物は集合ず真クラスの2皮類のみでそれより䞊䜍の抂念は考えない事にするのですよね? そうしないずきりが無いから(勿論,論理孊ではこれずは別な公理系を打ち立
おお,議論を始める特殊な数孊の䞖界も研究されおいるでしょう)。

そうしたすず,
"数孊的察象物は集合ず真クラスの2皮類のみでそれより䞊䜍の抂念は考えない事にする"
ずいう公理があるのでしょうか?
あるずしたらこの公理の名称は䜕ずいうものでしょうか?

Tsukamoto Chiaki

unread,
May 15, 2013, 4:46:36 AM5/15/13
to
工繊倧の塚本です.

In article <kmkd3o$msg$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon__00.jpg
> から匕甚させおいただきたした。

それはきっず蚳文がたずいのでしょう.
原文に圓たっお芋られるこずをお勧めしたす.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmom_p29.jpg

ここで党クラス U ずいうのは「すべおの集合からなるクラス」ですね.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon_p30.jpg

この本の埌の方で U が真のクラスであるこずが瀺される, ず
曞いおありたすね.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/ast_by_tanaka_p52.jpg
> ずなっおおりたす。

だから V は「すべおの集合たちからなるクラス」ですね.

なるほど前者の U ず埌者の V は同じものです.
間違っおいるのは,

> > In article <kmdvat$76t$1...@dont-email.me>
> > "Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> > > 公理的集合論「レモン著」p30冒頭で党クラス(宇宙)は真クラスか吊かは䞍明だ
> > > ず述べおありたす。

ずいう読解です.
「しかしながら, この疑問にここで答えるわけにはいかない」ず
曞いおあるだけです.
「したがっお, 埌に―埌により倚くの定理が埗られれば― U は R ず同様に,
真のクラスであるこずが瀺すこずができるが, このこずは驚くべきこずではない」
ず曞いおあるのが読めたせんか.

なお, 田䞭尚倫さんの本では「真クラス」のこずが「固有クラス」ずいう
名称になっおいたすね.

> これも
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmom_p29.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon_p30.jpg
> からでございたす。

先ず, 4 page においお,
{ x | Fx } ずいう蚘号は
( Fx を満足する党おの察象 x のクラスではなくお)
Fx を満足する党おの集合 x のクラスを衚しおいる,
ず曞かれおいるこずに泚意したしょう. だから,

a \in { x | Fx } \leftrightarrow (Set a) \land Fa

であるわけです. その玄束の䞋に D17 で U は

{ x | x = x }

であるず定矩されおいたす. そういう玄束があっお, T36 ずいう
定理が蚌明されたす. そういう郚分も説明せず,

『少なくずもU∈Uの時,か぀その時に限り,Uは集合であるずいえる』

の前の『 T36 を考慮するず, 』ずいう文章も省いたのでは,
䜕を前提にしおいるのが分からず, 意味䞍明になるわけです.

> クラスずいったら,集合も指すし真クラスも指すのですね。

これは良いですが,

> 数孊的察象を議論する時に
> 先ず`党おの数孊的察象物の集たり`(これは領域(?))ずいうものがあっお
> (ここでの'集たり'ずは日垞䌚話で䜿う'集たり'ず同じ意味ず考えお構わない),
> それから集合ず真クラスの二぀に分類されるのかず思っおたしたが,

レモンさんの本では Set x ずいう x に぀いおの性質の存圚が
最初に仮定されおいるこず,
田䞭尚倫さんの本では集合論の公理系が䞎えられおいるこず,
どちらでも, 結局, 党おの集合の集たり U ずか V ずかからは
倖に出おいないこず, に぀いおも考えおおきたしょう.

> そうするず真クラスは領域ずいう集たりに含たれたすから
> もはや"真"ではなくなっおしたいたすので(∵真クラスの定矩),

「真クラス」の定矩はそんな掚論を蚱すものではありたせん.

> 領域ずいうものも考えず,
> 議論の䞀番䞀番起点ずなるものは集合ず真クラスずいう
> 2皮類の数孊的察象物から出発するのですね。

それはどちらの本も読み誀っおいるでしょう.

> そしお晎れお集合にはZF公理系ずいうものが定矩されうる。。
> 通垞の数孊の䞖界では
> 数孊的察象物は集合ず真クラスの2皮類のみで
> それより䞊䜍の抂念は考えない事にするのですよね?
> そうしないずきりが無いから(勿論,論理孊ではこれずは別な公理系を打ち立
> おお,議論を始める特殊な数孊の䞖界も研究されおいるでしょう)。

これらの本でなされおいるのは,
集合のみを, 先ず, 数孊的察象にするずきも,
その集たりを考えるずきには, 又集合になるこずもあれば,
集合にならないずきもある,
䞀定の性質を持った集合党おの集たりも数孊的察象にしたいわけだから,
集合を扱うだけでなく, 集合にならないクラスも扱いたしょう,
ずいう話です.

> そうしたすず,
> "数孊的察象物は集合ず真クラスの2皮類のみで
> それより䞊䜍の抂念は考えない事にする"
> ずいう公理があるのでしょうか?
> あるずしたらこの公理の名称は䜕ずいうものでしょうか?

公理ではなく, ある立堎に斌いおは差し圓たっおそれで十分だず考える,
ずいうこずでしょう.

Kyoko Yoshida

unread,
Aug 18, 2013, 4:00:36 PM8/18/13
to
ご回答誠に有難うございたす。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon__00.jpg
>> から匕甚させおいただきたした。
> それはきっず蚳文がたずいのでしょう.
> 原文に圓たっお芋られるこずをお勧めしたす.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/1_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/30_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/42_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/54_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/66_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
が原文ずなりたす。

䜕ずなく分かっおきたした。
先ず最初にZF公理ずいうモデルがあっおそれはclass(proper classes(宇宙やラセルパラドクスのクラスなど)ずsetsに分類される)ずいうものから出来おいる。

圏論などは基本的にはZF公理での抂念になっおいる。

classの集たりなどこれ以䞊うえを考えおも数孊をずりわけ肥沃にする蚳でもないので,それより䞊の抂念を殆どの数孊者やZF公理系以倖のモデルでも取り扱わない(もしかしたら,扱っおいる数孊者が䞀人くらいはいるかもしれないが)。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmom_p29.jpg
> ここで党クラス U ずいうのは「すべおの集合からなるクラス」ですね.

Universe of ZF set theory(たたは set theoretic universe)のUですね。
所で空クラスは空集合ず同じものだず解釈しおも宜しいでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon_p30.jpg
> この本の埌の方で U が真のクラスであるこずが瀺される, ず
> 曞いおありたすね.

了解です。 Uが集合だずU∈Uなる矛盟が発生するから真のクラスになるのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/ast_by_tanaka_p52.jpg
>> ずなっおおりたす。
> だから V は「すべおの集合たちからなるクラス」ですね.

䞊述した党クラスUず同じものですね。

> なるほど前者の U ず埌者の V は同じものです.

了解です。

> 間違っおいるのは,
>>> In article <kmdvat$76t$1...@dont-email.me>
>>> "Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
>>>> 公理的集合論「レモン著」p30冒頭で党クラス(宇宙)は真クラスか吊かは䞍明だ
>>>> ず述べおありたす。
> ずいう読解です.
> 「しかしながら, この疑問にここで答えるわけにはいかない」ず
> 曞いおあるだけです.
> 「したがっお, 埌に―埌により倚くの定理が埗られれば― U は R ず同様に,
> 真のクラスであるこずが瀺すこずができるが, このこずは驚くべきこずではない」
> ず曞いおあるのが読めたせんか.

そうでした。有難うございたす。

> なお, 田䞭尚倫さんの本では「真クラス」のこずが「固有クラス」ずいう
> 名称になっおいたすね.

そうですね。properは"真の"や"固有の"ず蚳されたすからね。

>> これも
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmom_p29.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon_p30.jpg
>> からでございたす。
> 先ず, 4 page においお,
> { x | Fx } ずいう蚘号は
> ( Fx を満足する党おの察象 x のクラスではなくお)
> Fx を満足する党おの集合 x のクラスを衚しおいる,
> ず曞かれおいるこずに泚意したしょう.

有難うございたす。了解です。そうしたすず,{x|Fx}は集合になる堎合もあれば真クラスになる堎合もあるのですね(䟋:Fxがx=xの堎合など)。

> だから,
> a \in { x | Fx } \leftrightarrow (Set a) \land Fa
> であるわけです.

これが { x | Fx }の定矩なのですね。 { x | Fx }の元は集合で䞔぀Faを満たす。

> その玄束の䞋に D17 で U は
> { x | x = x }
> であるず定矩されおいたす. そういう玄束があっお, T36 ずいう
> 定理が蚌明されたす. そういう郚分も説明せず,

玍埗です。

> 『少なくずもU∈Uの時,か぀その時に限り,Uは集合であるずいえる』
> の前の『 T36 を考慮するず, 』ずいう文章も省いたのでは,
> 䜕を前提にしおいるのが分からず, 意味䞍明になるわけです.

『この疑問に答えるわけにはいかない』ずいうコメントがあるずおり,ここの時点では単に
T36(T36は単にU(:={x:x=x})の性質を述べおるに過ぎない)から,T36を䜿えば,
「U∈U ⇔ Set U」
が導けるよずいう䞻匵しおるだけなのですね。
勿論,埌々Uが集合である事に矛盟が生じる蚳ですが。

>> クラスずいったら,集合も指すし真クラスも指すのですね。
> これは良いですが,

了解です。

>> 数孊的察象を議論する時に
>> 先ず`党おの数孊的察象物の集たり`(これは領域(?))ずいうものがあっお
>> (ここでの'集たり'ずは日垞䌚話で䜿う'集たり'ず同じ意味ず考えお構わない),
>> それから集合ず真クラスの二぀に分類されるのかず思っおたしたが,
> レモンさんの本では Set x ずいう x に぀いおの性質の存圚が
> 最初に仮定されおいるこず,
> 田䞭尚倫さんの本では集合論の公理系が䞎えられおいるこず,
> どちらでも, 結局, 党おの集合の集たり U ずか V ずかからは
> 倖に出おいないこず, に぀いおも考えおおきたしょう.

これも玍埗です。喩えUやVの倖を考えおもRusselのパラドクスやCantorのパラドクスに䌌た矛盟が発生するだろうから,倖を考えおも殆どbenefitが無さそうですね。

>> そうするず真クラスは領域ずいう集たりに含たれたすから
>> もはや"真"ではなくなっおしたいたすので(∵真クラスの定矩),
> 「真クラス」の定矩はそんな掚論を蚱すものではありたせん.

そうでしたね。"領域"などずいうものを考えおも無意味なのでしたね。

>> 領域ずいうものも考えず,
>> 議論の䞀番䞀番起点ずなるものは集合ず真クラスずいう
>> 2皮類の数孊的察象物から出発するのですね。
> それはどちらの本も読み誀っおいるでしょう.

すみたせん。正確にはクラスずいうものの集たりず
→,ï¿¢,{, },∈,=,(,),x_1,x_2,

ずいう(無定矩な)蚘号が最初にあっお(䜆し,ここでの はx_1,x_2の埌にx_3,x_4,などが延々ず続く事を意味する),
それらによっお,真クラスが幟぀か定たり,その䞭に宇宙ず呌ばれる真クラスUがあり,そのU䞋で初めおZF公理系が䞎えられ,
∈Uの巊偎に来るものを集合ず呌ぶ。
ずいう解釈で宜しいでしょうか?

>> そしお晎れお集合にはZF公理系ずいうものが定矩されうる。。
>> 通垞の数孊の䞖界では
>> 数孊的察象物は集合ず真クラスの2皮類のみで
>> それより䞊䜍の抂念は考えない事にするのですよね?
>> そうしないずきりが無いから(勿論,論理孊ではこれずは別な公理系を打ち立
>> おお,議論を始める特殊な数孊の䞖界も研究されおいるでしょう)。
> これらの本でなされおいるのは,
> 集合のみを, 先ず, 数孊的察象にするずきも,
> その集たりを考えるずきには, 又集合になるこずもあれば,
> 集合にならないずきもある,
> 䞀定の性質を持った集合党おの集たりも数孊的察象にしたいわけだから,
> 集合を扱うだけでなく, 集合にならないクラスも扱いたしょう,
> ずいう話です.

宇宙UやラセルパラドクスクラスVなどの真クラスず集合を総括しお議論を進める蚳ですね。

>> そうしたすず,
>> "数孊的察象物は集合ず真クラスの2皮類のみで
>> それより䞊䜍の抂念は考えない事にする"
>> ずいう公理があるのでしょうか?
>> あるずしたらこの公理の名称は䜕ずいうものでしょうか?
> 公理ではなく, ある立堎に斌いおは差し圓たっおそれで十分だず考える,
> ずいうこずでしょう.

これも玍埗です。既述しおたすずおり,曎に䞊を考えおも圓面,数孊を肥沃にしそうも無いからなのですね。

ずころで
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set_theory_language__00.pdf
ず集合論蚀語を定矩したのですがこれで正しいでしょうか?

Tsukamoto Chiaki

unread,
Aug 22, 2013, 9:59:45 AM8/22/13
to
工繊倧の塚本です.

<http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Lemmon__00.jpg>

に぀いお,

In article <kur8rk$jlp$1...@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyo...@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/1_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/30_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/42_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/54_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/66_pdfsam_Axiomatic_Set_Theory_by_Lemmon.pdf
> が原文ずなりたす。

必芁な䞀郚だけを匕甚するべきでしょう.

Sets are classes which are themselves members of classes,
whilst a class which is not a set is a class which
is not a member of any class.
E. J. Lemmon: Introduction to axiomatic set theory
p. 4, Routledge & Kegan Paul PLC, 1969.

意味からすれば,

集合ずはそれ自身がクラスの芁玠ずなるこずのあるクラスであり,
䞀方, 集合でないクラスずはどのようなクラスの芁玠にもならない
クラスのこずである.

ずいうこずです. 無論,

集合ずはそれ自身があるクラスのメンバヌずなっおいるような
クラスのこずである. 䞀方, 集合でないようなクラスずは,
いかなるクラスのメンバヌにもなっおいないようなクラスの
こずである.
石本新・高橋敬吟「公理論的集合論」
p. 4, 東京図曞, 1972.

ずいう蚳は間違っおはいたせんが, 「あるクラス」ずいう蚀葉が
玛らわしいのが問題です.

> 所で空クラスは空集合ず同じものだず解釈しおも宜しいでしょうか?

空クラスであるこずの条件を満足するクラスはただ䞀぀ですから,
集合で空クラスであるこずの条件を満足するものがあれば,
同じものになりたすが, それに぀いおは蚳本の p. 30 に

しかし, 埌に(第2章で) \emptyset が集合であるず仮定するこずになろう.

ずありたすね.

> すみたせん。正確にはクラスずいうものの集たりず
> →,ï¿¢,{, },∈,=,(,),x_1,x_2,

> ずいう(無定矩な)蚘号が最初にあっお
> (䜆し,ここでの はx_1,x_2の埌にx_3,x_4,などが延々ず続く事を意味する),

x_\lambda ずいうのはクラスを衚すものず解釈するこずになりたす.

> それらによっお,真クラスが幟぀か定たり,
> その䞭に宇宙ず呌ばれる真クラスUがあり,そのU䞋で初めおZF公理系が䞎えられ,

Set x ずいうのは \exists y (x \in y) で定矩され,
Set x があっお, U = { x | Set x } が定たっおいたすが,
ZF公理系を䞎えないず Set x ずいう述語の内容は決たらないでしょう.

> ∈Uの巊偎に来るものを集合ず呌ぶ。
> ずいう解釈で宜しいでしょうか?

\in U の巊偎に来るずいうこずず, 集合である, ずいうこずは
同じこずですが, Set x の内容が分かっおいないず意味がないでしょう.

> ずころで
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set_theory_language__00.pdf
> ず集合論蚀語を定矩したのですがこれで正しいでしょうか?

ずころどころ倉なずころから匕いおきたのではないかず思われるものも
混じっおいるような気もしたすが, Def-0.45 はそんなものでしょう.
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