3×3正値エルミート行列の正値性

[Kyoko Yoshida]

塚本千秋先生。大変お久しぶりです。長期間の音信不通お許しください。
また質問なのですが宜しくお願い致します。


A=(a_ij),B=(b_ij)を3×3正値エルミート行列とする。

d_11:=
|a22,a32~|
|b32,b33|
+
|b22,b32~|
|a32,a33|

d_21:=
|a21~,a31~|
|b32,b33|
+
|b21~,b31~|
|a32,a33|

d_31:=
|a21~,a31~|
|b22,b32~|
+
|b21~,b31~|
|a22,a32~|

d_22:=
|a11,a31~|
|b31,b33|
+
|b11,b31~|
|a31,a33|

d_32:=
|a11,a31~|
|b21,b32~|
+
|b11,b31~|
|a21,a32~|

d_33:=
|a11,a21~|
|b21,b22|
+
|b11,b21~|
|a21,a22|

と置いた時, (但し,~は余因子の記号で,| |は行列式の記号)

d_11,d_21~,d_31~
d_21,d_22,d_32~
d_31,d_32,d_33

も3×3正値エルミート行列になる事を示すにはどうすればいいでしょうか?

d_11>0,d_22>0,d_33>0になる事は分かったのですがそれから全く先に進めません。

吉田京子


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[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

~は「余因子」ではなくて, 「複素共役」を表すのでしょう.
C^3 の標準基底を e_1, e_2, e_3 として,
Λ^2 C^3 の基底を u_1 = e_2Λe_3, u_2 = e_1Λe_3, u_3 = e_1Λe_2 とし,
C e_iΛe_j = A e_iΛB e_j + B e_iΛA e_j で C を定義すると,
C u_1 = A e_2ΛB e_3 + B e_2ΛA e_3
= (a12 e_1 + a22 e_2 + a32 e_3)Λ(b13 e_1 + b23 e_2 + b33 e_3)
+ (b12 e_1 + b22 e_2 + b32 e_3)Λ(a13 e_1 + a23 e_2 + a33 e_3)
= (a22b33 - a32b23 + b22a33 - b32a23) u_1
+ (a12b33 - a32b13 + b12a33 - b32a13) u_2
+ (a12b23 - a22b13 + b12a23 - b22a13) u_3,
C u_2 = A e_1ΛB e_3 + B e_1ΛA e_3
= (a11 e_1 + a21 e_2 + a31 e_3)Λ(b13 e_1 + b23 e_2 + b33 e_3)
+ (b11 e_1 + b_21 e_2 + b31 e_3)Λ(a13 e_1 + a23 e_2 + a33 e_3)
= (a21b33 - a31b23 + b21a33 - b31a23) u_1
+ (a11b33 - a31b13 + b11a33 - b31a13) u_2
+ (a11b23 - a21b13 + b11a23 - b21a13) u_3
C u_3 = A e_1ΛB e_2 + B e_1ΛA e_2
= (a11 e_1 + a21 e_2 + a31 e_3)Λ(b12 e_1 + b22 e_2 + b32 e_3)
+ (b11 e_1 + b21 e_2 + b31 e_3)Λ(a12 e_1 + a22 e_2 + a32 e_3)
= (a21b32 - a31b22 + b21a32 - b31a22) u_1
+ (a11b32 - a31b12 + b11a32 - b31a12) u_2
+ (a11b22 - a21b12 + b11a22 - b21a12) u_3
となり,
c11 = a22b33 - a32b23 + b22a33 - b32a23 = d11
c21 = a12b33 - a32b13 + b12a33 - b32a13 = d21
c31 = a12b23 - a22b13 + b12a23 - b22a13 = d31
c12 = a21b33 - a31b23 + b21a33 - b31a23 = c21~ = d21~
c22 = a11b33 - a31b13 + b11a33 - b31a13 = d22
c32 = a11b23 - a21b13 + b11a23 - b21a13 = d32
c13 = a21b32 - a31b22 + b21a32 - b31a22 = c31~ = d31~
c23 = a11b32 - a31b12 + b11a32 - b31a12 = c32~ = d32~
c33 = a11b22 - a21b12 + b11a22 - b21a12 = d33
ですから, C の基底 u_1, u_2, u_3 に関する表現行列が
あなたの考えているエルミート対称行列です.
# A, B がエルミート対称行列であることに注意.

なお, 任意の C^3 のベクトル v, w について
C vΛw = A vΛB w + B v ΛA w
であることも容易に証明できます.

さて, Λ^2 C^3 の任意の 0 でないベクトル w は,
C^3 のある正規直交基底 v_1, v_2, v_3 を用いて,
w = k v_2Λv_3 (k \neq 0)
と表せます.
C が正定値であることを示すには,
0 でないベクトル w について常に (C w, w) > 0
を示せば良いわけですが, それには任意の正規直交基底
v_1, v_2, v_3 について, (C v_2Λv_3, v_2Λv_3) > 0
を示せば良い. Λ^2 C^3 でのエルミート内積の行列式表示を用いると,
(C v_2Λv_3, v_2Λv_3) = (A v_2ΛB v_3, v_2Λv_3) + (B v_2ΛA v_3, v_2Λv_3)
= |(Av_2, v_2) (Av_2, v_3)| + |(Bv_2, v_2) (Bv_2, v_3)|
|(Bv_3, v_2) (Bv_3, v_3)| |(Av_3, v_2) (Av_3, v_3)|
= (Av_2, v_2)(Bv_3, v_3) - (Bv_3, v_2)(Av_2, v_3)
+ (Bv_2, v_2)(Av_3, v_3) - (Av_3, v_2)(Bv_2, v_3)
= a22b33 - b23a32 + b22a33 - a23b32
= d11
となります. 但し, aij, bij はここでは v_1, v_2, v_3 に関する
A, B の表現行列の成分であり, d11 もそれに対応する量です.
しかし, エルミート作用素のどんな表現行列についての話も皆同じですから,
貴方が d11 > 0 を標準基底について証明できているなら,
この d11 > 0 も同じようにして証明できるわけです.
# 私は面倒なのでここまでにします.

2015年10月3日土曜日 3時12分34秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

--
塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@kit.ac.jp

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

> ~は「余因子」ではなくて, 「複素共役」を表すのでしょう.

あっとそうでした。失礼致しました。

Λ^2 C^3の∧は外積の記号でしょうか?

すいません。定義をお教え下さい。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本千秋です.

2015年10月13日火曜日 3時01分12秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> Λ^2 C^3の∧は外積の記号でしょうか?

はい.

> すいません。定義をお教え下さい。

C^3 の標準基底を e_1, e_2, e_3 とするとき,
e_iΛe_j (i < j) を基底として持つベクトル空間です.
C^3 の2つのベクトル u, v に対して,
Λ^2 C^3 のベクトル uΛv を双線形に, 交代的に,
uΛu = 0, vΛu = - uΛv を満たすように
定めることができます.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

Λ^2 C^3 はC^3∧C^3∧C^3の事ですよね。
そして,Cの正値性を示すには,正値性の定義から
(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3を示せばいいのでしょうが
なぜ代わりに(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3を示すだけでいいのでしょうか?

もしかして,Λ^2 C^3=C^3が言えるのでしょうか?

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年10月18日日曜日 9時41分38秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> ご回答誠に有難うございます。
>
> Λ^2 C^3 はC^3∧C^3∧C^3の事ですよね。

Λ^2 C^3 は (C^3)Λ(C^3) のことですから, 違います.

A: C^3 → C^3 が C^3 のエルミート内積について
正定値エルミートな写像であるとき,
Λ^2 A: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 を
(Λ^2 A)(x Λ y) = (A x)Λ(A y) で定めると,
Λ^2 A は Λ^2 C^3 のエルミート内積について
正定値エルミートな写像となることが知られています.
C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は
A, B: C^3 → C^3 から
C = Λ^2 (A+B) - Λ^2 A - Λ^2 B
により定義されています.

> そして,Cの正値性を示すには,正値性の定義から
> (Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3を示せばいいのでしょうが

C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.

> なぜ代わりに(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3を示すだけでいいのでしょうか?

代わりではなく, 元々それを示さないといけないわけです.

> もしかして,Λ^2 C^3=C^3が言えるのでしょうか?

勿論, Λ^2 C^3 は C^3 と同型です. だから, 行列での表示では
区別しなくて良いわけです.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> Λ^2 C^3 はC^3∧C^3∧C^3の事ですよね。
> Λ^2 C^3 は (C^3)Λ(C^3) のことですから, 違います.

そうでしたか。これには何か呼び方があるのでしょうか? C^3とC^3の外積空間?

> A: C^3 → C^3 が C^3 のエルミート内積について
> 正定値エルミートな写像であるとき,

(A(x),x):=(A(x))^*x>0 for 0≠∀x∈C^3.という事ですね。^*は随伴の意味

> Λ^2 A: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 を
> (Λ^2 A)(x Λ y) = (A x)Λ(A y) で定めると,
> Λ^2 A は Λ^2 C^3 のエルミート内積について

Λ^2 C^3 のエルミート内積とはどのように定義された内積なのでしょうか?

> 正定値エルミートな写像となることが知られています.

((∧^2A)(v),v):=((∧^2A)(v))^*v>0 for 0≠∀v∈∧^2C^3.という事ですね。

"知られている"とは何か定理があるのでしょうか? 定理名をお教え下さい。

> C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は
> A, B: C^3 → C^3 から
> C = Λ^2 (A+B) - Λ^2 A - Λ^2 B
> により定義されています.

Λ^2 C^3∋v∧w→Λ^2
C^3(v∧w):=(Λ^2(A+B))(v∧w)-(Λ^2A)(v∧w)-(Λ^2B)(v∧w)
=(A+B)(v)∧(A+B)(w)-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
=(A(v)+B(v))∧(A(w)+B(w))-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
ですね。

>> そして,Cの正値性を示すには,正値性の定義から
>> (Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3を示せばいいのでしょうが
> C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.

えっ? でも最終的には行列Cは(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3が成り立つ筈なんですよね?

>> なぜ代わりに(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3を示すだけでいいのでしょうか?
> 代わりではなく, 元々それを示さないといけないわけです.
>> もしかして,Λ^2 C^3=C^3が言えるのでしょうか?
> 勿論, Λ^2 C^3 は C^3 と同型です. だから, 行列での表示では
> 区別しなくて良いわけです.

線型空間同型とは,h:Λ^2 C^3→C^3なる全単射な線形写像hが存在するという事ですよね。
Λ^2 C^3⊂C^3は明らかなので同型ならΛ^2 C^3=C^3が言えるのですね。

とりあえず自分なりに纏めると
D:=
d_11,d_21~,d_31~
d_21,d_22,d_32~
d_31,d_32,d_33
と置くと,
Cは複素線型空間Λ^2 C^3の正規直交基底{u_1:=e_2Λe_3,u_2:=e_1Λe_3,u_3:=e_1Λe_}での表現行列なので,
CU=UD (但し,U:=(u_1 u_2 u_3)の3×3ユニタリ行列)
と書け, C=UDU^*=(UV)diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)(UV)^* (但し,Vは3×3ユニタリ行列)
と対角化できるので
C>0ならdiag(λ_1,λ_2,…,λ_n)>0が言えて,D>0が言えるのですね。

よって,(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3が言えれば,今Λ^2 C^3=C^3である事が分かったので,(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈C^3を言った事になるのですね。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年10月22日木曜日 3時15分59秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> > Λ^2 C^3 は (C^3)Λ(C^3) のことですから, 違います.
>
> そうでしたか。これには何か呼び方があるのでしょうか? C^3とC^3の外積空間?

(2重)外積ベキ空間などと呼ばれます.

> Λ^2 C^3 のエルミート内積とはどのように定義された内積なのでしょうか?

C^3 の正規直交基底 e_1, e_2, e_3 に対して,
e_iΛe_j (i < j) が正規直交基底となるエルミート内積です.

> > 正定値エルミートな写像となることが知られています.
>
> ((∧^2A)(v),v):=((∧^2A)(v))^*v>0 for 0≠∀v∈∧^2C^3.という事ですね。
>
> "知られている"とは何か定理があるのでしょうか? 定理名をお教え下さい。

名前は付いていないでしょうが,
手元にある文献で証明が書いてあるものとしては,
山本哲朗「行列解析の基礎」SGCライブラリ79, サイエンス社, 2010.
があります.
第11章の「Grassmann積と複合行列」を御覧下さい.

> > C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は
> > A, B: C^3 → C^3 から
> > C = Λ^2 (A+B) - Λ^2 A - Λ^2 B
> > により定義されています.
>
> Λ^2 C^3∋v∧w→Λ^2
> C^3(v∧w):=(Λ^2(A+B))(v∧w)-(Λ^2A)(v∧w)-(Λ^2B)(v∧w)
> =(A+B)(v)∧(A+B)(w)-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
> =(A(v)+B(v))∧(A(w)+B(w))-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
> ですね。

= A v Λ B w + B v Λ A w

です.

> > C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.
>
> えっ? でも最終的には行列Cは(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3が成り立つ筈なんですよね?

「行列として読み替えれば」ですね.

> 線型空間同型とは,h:Λ^2 C^3→C^3なる全単射な線形写像hが存在するという事ですよね。

それはそうですが,

> Λ^2 C^3⊂C^3は明らかなので同型ならΛ^2 C^3=C^3が言えるのですね。

Λ^2 C^3 は C^3 の一部ではありません.
h(Λ^2 C^3) のことであれば, 「 h が同型」で話は終わっています.

> とりあえず自分なりに纏めると
> D:=
> d_11,d_21~,d_31~
> d_21,d_22,d_32~
> d_31,d_32,d_33
> と置くと,
> Cは複素線型空間Λ^2 C^3の正規直交基底{u_1:=e_2Λe_3,u_2:=e_1Λe_3,u_3:=e_1Λe_}での表現行列なので,
> CU=UD (但し,U:=(u_1 u_2 u_3)の3×3ユニタリ行列)
> と書け, C=UDU^*=(UV)diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)(UV)^* (但し,Vは3×3ユニタリ行列)
> と対角化できるので
> C>0ならdiag(λ_1,λ_2,…,λ_n)>0が言えて,D>0が言えるのですね。
>
> よって,(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3が言えれば,
> 今Λ^2 C^3=C^3である事が分かったので,
> (Cw,w)>0 for 0≠∀w∈C^3を言った事になるのですね。

それはそうですが,
私が述べたことの要点は,
任意の正定値エルミート行列 A, B について,

d_11 = a_22 b_33 - a_23 b_32 + b_22 a_33 - b_23 a_32 > 0

であることが示せるならば,
A, B から定義された C の正定値性はそれから従うということです.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> そうでしたか。これには何か呼び方があるのでしょうか? C^3とC^3の外積空間?
> (2重)外積ベキ空間などと呼ばれます.

有難うございます。

>> Λ^2 C^3 のエルミート内積とはどのように定義された内積なのでしょうか?
> C^3 の正規直交基底 e_1, e_2, e_3 に対して,
> e_iΛe_j (i < j) が正規直交基底となるエルミート内積です.

なるほど。u_1 = e_2Λe_3, u_2 = e_1Λe_3, u_3 = e_1Λe_2の時,C^3でのエルミート内積(,)で
(u_i,u_j)=δ_ijとなりますね。

因みに線型空間Vの基底{b_1,b_2,…,b_n}でのエルミート内積と言ったら,
(b_i,b_j)=δ_ijとなるようなエルミート内積の事なのですね。

>>> 正定値エルミートな写像となることが知られています.
>> ((∧^2A)(v),v):=((∧^2A)(v))^*v>0 for 0≠∀v∈∧^2C^3.という事ですね。
>> "知られている"とは何か定理があるのでしょうか? 定理名をお教え下さい。
> 名前は付いていないでしょうが,
> 手元にある文献で証明が書いてあるものとしては,
> 山本哲朗「行列解析の基礎」SGCライブラリ79, サイエンス社, 2010.
> があります.
> 第11章の「Grassmann積と複合行列」を御覧下さい.

有難うございます。取り寄せてみたいと思います。

>>> C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は
>>> A, B: C^3 → C^3 から
>>> C = Λ^2 (A+B) - Λ^2 A - Λ^2 B
>>> により定義されています.
>> Λ^2 C^3∋v∧w→Λ^2
>> C^3(v∧w):=(Λ^2(A+B))(v∧w)-(Λ^2A)(v∧w)-(Λ^2B)(v∧w)
>> =(A+B)(v)∧(A+B)(w)-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
>> =(A(v)+B(v))∧(A(w)+B(w))-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
>> ですね。
> = A v Λ B w + B v Λ A w
> です.

(A(v)+B(v))∧(A(w)+B(w))-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
=Av∧Aw+Av∧Bw+Bv∧Aw+Bv∧Bw-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
=AvΛBw+BvΛAw
でしたね。失礼致しました。

>>> C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.
>> えっ? でも最終的には行列Cは(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3が成り立つ筈なんですよね?
> 「行列として読み替えれば」ですね.

すっすいません。 「行列として読み替えれば」とは具体的にどういう意味でしょうか?

>> 線型空間同型とは,h:Λ^2 C^3→C^3なる

>> 全単射な線形写像hが存在するという事ですよね。
> それはそうですが,
>> Λ^2 C^3⊂C^3は明らかなので同型ならΛ^2 C^3=C^3が言えるのですね。
> Λ^2 C^3 は C^3 の一部ではありません.

えっ? Λ^2 C^3={x∧y∈C^3;x,y∈C^3}ではないのでしょうか?

> h(Λ^2 C^3) のことであれば, 「 h が同型」で話は終わっています.

Λ^2 C^3の正規直交基底{u_1,u_2,u_3}でのエルミート内積を(,)'と表す事にすると
(実際には(,)'とC^3でのエルミート内積(,)は一致してますが)
0≠∀w∈Λ^2 C^3に対して,
0<(Cw,w)'=(Ch(v),h(v))' (但し,v∈C^3)なら(Cv,v)>0と正値性が保存される
(つまり,同型なら,(Cw,w)'>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3 ⇔ (Cv,v)>0 0≠∀w∈C^3)
というのが上記でご紹介いただいた定理なのですね。

>> とりあえず自分なりに纏めると
>> D:=
>> d_11,d_21~,d_31~
:

>> (Cw,w)>0 for 0≠∀w∈C^3を言った事になるのですね。
> それはそうですが,
> 私が述べたことの要点は,
> 任意の正定値エルミート行列 A, B について,
> d_11 = a_22 b_33 - a_23 b_32 + b_22 a_33 - b_23 a_32 > 0
> であることが示せるならば,
> A, B から定義された C の正定値性はそれから従うということです.

d_11=(Cv_2Λv_3,v_2Λv_3)' for 0≠∀v_2Λv_3∈Λ^2 C^3だから
d_11>0を言えばいいのですね。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年10月23日金曜日 4時33分26秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> >>> C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.
> >> えっ? でも最終的には行列Cは(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3が成り立つ筈なんですよね?
> > 「行列として読み替えれば」ですね.
>
> すっすいません。 「行列として読み替えれば」とは具体的にどういう意味でしょうか?

C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は線形写像と考えています.
任意の Λ^2 C^3 の 0 でないベクトル w について,
(C w, w) > 0 となることが正定値の条件です.
C に対応する行列は,
Λ^2 C^3 の正規直交基底, 例えば u_1, u_2, u_3, を選ぶごとに定まります.
C u_j = \sum_{i=1}^3 C_{ij} u_i で決まる行列 (C_{ij}) を
C と同一視するなら,
w = x_1 u_1 + x_2 u_2 + x_3 u_3 で決まる C^3 のベクトル x を用いて
(C w, w) = (C x, x) と考えることもできますが,
それは「正規直交基底を選ぶごとに」そうなるということを忘れてはいけません.

> えっ? Λ^2 C^3={x∧y∈C^3;x,y∈C^3}ではないのでしょうか?

xΛy は C^3 の元ではありませんね.
外積 Λ と R^3 でのベクトル積 × (あるいはその C^3 への拡張) とは違います.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>>>> C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.
>>>> えっ? でも最終的には行列Cは(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3が成り立つ筈なんですよね?
>>> 「行列として読み替えれば」ですね.
>> すっすいません。 「行列として読み替えれば」とは具体的にどういう意味でしょうか?
> C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は線形写像と考えています.
> 任意の Λ^2 C^3 の 0 でないベクトル w について,
> (C w, w) > 0 となることが正定値の条件です.

これはそうですね。

> C に対応する行列は,
> Λ^2 C^3 の正規直交基底, 例えば u_1, u_2, u_3, を選ぶごとに定まります.
> C u_j = \sum_{i=1}^3 C_{ij} u_i で決まる行列 (C_{ij}) を
> C と同一視するなら,

CU=U(C_{ij})の関係があるのですね。但し,U:=(u_1 u_2 u_3).

> w = x_1 u_1 + x_2 u_2 + x_3 u_3 で決まる C^3 のベクトル x を用いて
> (C w, w) = (C x, x) と考えることもできますが,

ええと,
(Cw,w)=(C(x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3),x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3)
=(x_1Cu_1+x_2Cu_2+x_3Cu_3,x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3) (∵線形性)
=Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}(Cu_i,u_j)
=Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}u_i*C^*,u_j)
=(C(x_1 x_2 x_3)^T,(x_1 x_2 x_3)) (∵??)
=(Cx,x)

となるんですよね。最後の変形はどうれすば導けるのでしょうか?

> それは「正規直交基底を選ぶごとに」そうなるということを忘れてはいけません.

了解です。

>> えっ? Λ^2 C^3={x∧y∈C^3;x,y∈C^3}ではないのでしょうか?
> xΛy は C^3 の元ではありませんね.
> 外積 Λ と R^3 でのベクトル積 × (あるいはその C^3 への拡張) とは違います.

え゛っ!? そうだったのですかっ!
x∧y=(x_2y_3-y_2x_-(3,x_1y_3-y_1x_3),x_1y_2-y_1x_2)^T
ではないんですか?

すみません。x∧yの定義は一体何なのでしょうか?

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年10月24日土曜日 3時54分48秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> (Cw,w)=(C(x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3),x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3)
> =(x_1Cu_1+x_2Cu_2+x_3Cu_3,x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3) (∵線形性)
> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}(Cu_i,u_j)

x_j の方を \bar{x_j} としているのであれば,
前について線形, 後ろについて反線形ですね.

> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}u_i*C^*,u_j)

意味不明な式ですね.
C u_i = \sum_{k=1}^3 C_{ki} u_k ですから,

= \sum_{i,j,k=1}^3 C_{ki} x_i \bar{x_j} (u_k, u_j)
= \sum_{j,k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_j} \delta_{kj}
= \sum_{k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_k}

> =(C(x_1 x_2 x_3)^T,(x_1 x_2 x_3)) (∵??)
> =(Cx,x)
>
> となるんですよね。最後の変形はどうれすば導けるのでしょうか?

上の最後の式は C を行列と読み直して, C^3 のベクトル x についての
エルミート内積 (C x, x) を計算する式になっています.

> x∧y=(x_2y_3-y_2x_-(3,x_1y_3-y_1x_3),x_1y_2-y_1x_2)^T
> ではないんですか?

違います.

> すみません。x∧yの定義は一体何なのでしょうか?

Λ での積が双線形, 交代的になるように C^3 の基底 e_1, e_2, e_3
に対する積から決めた Λ^2 C^3 の元です.
e_iΛe_i = 0, e_jΛe_i = - e_iΛe_j ですから,

(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)Λ(y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3)
= x_1 y_1 e_1Λe_1 + x_1 y_2 e_1Λe_2 + x_1 y_3 e_1Λe_3
+ x_2 y_1 e_2Λe_1 + x_2 y_2 e_2Λe_2 + x_2 y_3 e_2Λe_3
+ x_3 y_1 e_3Λe_1 + x_3 y_2 e_3Λe_2 + x_3 y_3 e_3Λe_3
= (x_2 y_3 - x_3 y_2) e_2Λe_3
+ (x_1 y_3 - x_3 y_1) e_1Λe_3
+ (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1Λe_2

という e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 の1次結合になります.
e_1, e_2, e_3 の1次結合ではありません.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> (Cw,w)=(C(x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3),x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3)
>> =(x_1Cu_1+x_2Cu_2+x_3Cu_3,x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3) (∵線形性)
>> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}(Cu_i,u_j)
> x_j の方を \bar{x_j} としているのであれば,
> 前について線形, 後ろについて反線形ですね.

これはそうですね。

>> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}u_i*C^*,u_j)
> 意味不明な式ですね.
> C u_i = \sum_{k=1}^3 C_{ki} u_k ですから,
> = \sum_{i,j,k=1}^3 C_{ki} x_i \bar{x_j} (u_k, u_j)
> = \sum_{j,k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_j} \delta_{kj}
> = \sum_{k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_k}

有難うございます。

>> =(C(x_1 x_2 x_3)^T,(x_1 x_2 x_3)) (∵??)
>> =(Cx,x)
>> となるんですよね。最後の変形はどうれすば導けるのでしょうか?
> 上の最後の式は C を行列と読み直して, C^3 のベクトル x についての
> エルミート内積 (C x, x) を計算する式になっています.

なるほどです。一般論で言えば
V,WをF線型空間(但しF:=RかF:=C)とし,
b:={b_1,b_2,…,b_n},b':={b'_1,b'_2,…,b'_n}をそれぞれVとWの基底とすると,f:V→Wが線型同型なら,
h:V×V→Rをエルミート内積とすると,fが正値であるとは,
h(f(v),v)>0 for 0≠∀v∈V…(ア)という事であり,
(ア)の定義は,fのbとb'とに於ける表現行列を[f]と書く事にすれば,
0≠∀v∈Vに対してv=c_1b_1+c_2b_2+…c_nb_nなるc:=(c_1,c_2,…,c_n)^T∈F^nに於いて,
エルミート内積h':F×F→Rにて,h'([f]c,c)>0という事ですね。

で今,
n=3,
V:=W:=∧^2C^3,
C:=f (具体的にA,B:C^3 → C^3からΛ^2 A:Λ^2C^3→Λ^2C^3; (Λ^2A)(xΛy)=(A
x)Λ(A y)を定めて,更にC:=Λ^2(A+B)-Λ^2A-Λ^2 B)と定めた)
b:=b':={u_1,u_2,u_3}(但し,u_1:=e_2Λe_3,u_2:=e_1Λe_3,u_3:=e_1Λe_2)
と採られたのですね。この正規直交基底を採った時,
[C]=D が成立するという事なのですね。

>> x∧y=(x_2y_3-y_2x_-(3,x_1y_3-y_1x_3),x_1y_2-y_1x_2)^T
>> ではないんですか?
> 違います.

そうでしたか。

>> すみません。x∧yの定義は一体何なのでしょうか?
> Λ での積が双線形, 交代的になるように C^3 の基底 e_1, e_2, e_3
> に対する積から決めた Λ^2 C^3 の元です.
> e_iΛe_i = 0, e_jΛe_i = - e_iΛe_j ですから,
> (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)Λ(y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3)
> = x_1 y_1 e_1Λe_1 + x_1 y_2 e_1Λe_2 + x_1 y_3 e_1Λe_3
> + x_2 y_1 e_2Λe_1 + x_2 y_2 e_2Λe_2 + x_2 y_3 e_2Λe_3
> + x_3 y_1 e_3Λe_1 + x_3 y_2 e_3Λe_2 + x_3 y_3 e_3Λe_3
> = (x_2 y_3 - x_3 y_2) e_2Λe_3
> + (x_1 y_3 - x_3 y_1) e_1Λe_3
> + (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1Λe_2
> という e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 の1次結合になります.
> e_1, e_2, e_3 の1次結合ではありません.

了解いたしました。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年10月27日火曜日 4時08分40秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> 一般論で言えば
> V,WをF線型空間(但しF:=RかF:=C)とし,
> b:={b_1,b_2,…,b_n},b':={b'_1,b'_2,…,b'_n}をそれぞれVとWの基底とすると,
> f:V→Wが線型同型なら,
> h:V×V→Rをエルミート内積とすると,fが正値であるとは,

エルミート内積を考えているのですから,
V はC線形空間です.
エルミート内積の値域は C です.
h: V \times V \to C
f を V でのエルミート対称な写像とするなら,
W = V です.
今, f: V \to V がエルミート対称な写像であるとして,
f が正定値であるとは,

> h(f(v),v)>0 for 0≠∀v∈V…(ア)という事であり,
> (ア)の定義は,fのbとb'とに於ける表現行列を[f]と書く事にすれば,

[f] は正規直交基底 b で決まるものとします.

> 0≠∀v∈Vに対してv=c_1b_1+c_2b_2+…c_nb_nなるc:=(c_1,c_2,…,c_n)^T∈F^nに於いて,
> エルミート内積h':F×F→Rにて,h'([f]c,c)>0という事ですね。

h' は C^n \times C^n \to C です.
後は良いでしょう.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> 一般論で言えば
>> V,WをF線型空間(但しF:=RかF:=C)とし,
>> b:={b_1,b_2,…,b_n},b':={b'_1,b'_2,…,b'_n}をそれぞれVとWの基底とすると,
>> f:V→Wが線型同型なら,
>> h:V×V→Rをエルミート内積とすると,fが正値であるとは,
> エルミート内積を考えているのですから,
> V はC線形空間です.
> エルミート内積の値域は C です.

内積の値域は複素数も在り得るんですね。参考になります。

> h: V \times V \to C
> f を V でのエルミート対称な写像とするなら,

エルミート対称な写像とは表現行列がエルミート行列になる写像の事でしょうか?

> [f] は正規直交基底 b で決まるものとします.

了解です。

>> 0≠∀v∈Vに対してv=c_1b_1+c_2b_2+…c_nb_nなるc:=(c_1,c_2,…,c_n)^T∈F^nに於いて,
>> エルミート内積h':F×F→Rにて,h'([f]c,c)>0という事ですね。
> h' は C^n \times C^n \to C です.

おっと失礼致しました。

ところで∧^2C^3はC上の線型空間になるんですよね。
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Wedge_Product
でウェッジ積を見ました。
∧^2C^3=C^3∧C^3=C^{3+3}=C^6.
という解釈でいいのでしょうか?

v∧v=0は∧^2C^3の零ベクトルなのでしょうか

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本千秋です.

2015年10月29日木曜日 4時46分15秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> > エルミート内積の値域は C です.
>
> 内積の値域は複素数も在り得るんですね。参考になります。

エルミート内積が何か分かっていますか.

> > f を V でのエルミート対称な写像とするなら,
>
> エルミート対称な写像とは表現行列がエルミート行列になる写像の事でしょうか?

V の任意の元 v, w について (f v, w) = (v, f w) となるものです.
正規直交基底についての表現行列はエルミート対称行列になります.

> ところで∧^2C^3はC上の線型空間になるんですよね。

はい.

> https://proofwiki.org/wiki/Definition:Wedge_Product
> でウェッジ積を見ました。

そこでは p-form の話をしているので, 少し場合が違いますが,

> ∧^2C^3=C^3∧C^3=C^{3+3}=C^6.
> という解釈でいいのでしょうか?

そこでの記号に合わせると C^3 = F = Λ^1 F = F^1 ですから,
F^1 Λ F^1 = F^{1+1} = F^2 = Λ^2 F = Λ^2 C^3 という話で,
C^6 ではありません. 既に Λ^2 C^3 は C^3 と同型であると
いう話はしました.

> v∧v=0は∧^2C^3の零ベクトルなのでしょうか

はい.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>> エルミート内積の値域は C です.
>> 内積の値域は複素数も在り得るんですね。参考になります。
> エルミート内積が何か分かっていますか.

なかなかエルミート内積の定義が見当たらなかったので,
h:C^n×C^n→C;h(u,v)=u^*v (但し,^*は随伴(転置&複素共役)の意味)で定義される内積の事だと思います。

>>> f を V でのエルミート対称な写像とするなら,
>> エルミート対称な写像とは表現行列がエルミート行列になる写像の事でしょうか?
> V の任意の元 v, w について (f v, w) = (v, f w) となるものです.

任意のVの基底に対するfの表現行列[f]について([f]v)^*w=v^*[f]wが成り立つのですね。


> 正規直交基底についての表現行列はエルミート対称行列になります.

有難うございます。

>> https://proofwiki.org/wiki/Definition:Wedge_Product
>> でウェッジ積を見ました。
> そこでは p-form の話をしているので, 少し場合が違いますが,

そうでしたか。

>> ∧^2C^3=C^3∧C^3=C^{3+3}=C^6.
>> という解釈でいいのでしょうか?
> そこでの記号に合わせると C^3 = F = Λ^1 F = F^1 ですから,
> F^1 Λ F^1 = F^{1+1} = F^2 = Λ^2 F = Λ^2 C^3 という話で,
> C^6 ではありません. 既に Λ^2 C^3 は C^3 と同型であると
> いう話はしました.

有難うございます。

線型同型h:Λ^2C^3→C^3はΛ^2C^3∋∀x∧y=α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)→h(u∧v):=(α,β,γ)∈C^3で定義されるのですよね?


まず,線型同型である前に∧^2C^3がC上の線形空間になっている事を確かめないといけませんよね。
まず,集合Λ^2C^3が足し算に関してabelianになる事を示したいですが,
∀u∧v,u'∧v'∈Λ^2C^3に対して,u∧v+u'∧v'=u'∧v'+u∧vはどうすればいえるのでしょうか?
そもそも∧^2C^3の足し算はどのように定義されてるんでしょうか?

>> v∧v=0は∧^2C^3の零ベクトルなのでしょうか
> はい.

了解です。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年10月30日金曜日 3時14分58秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> なかなかエルミート内積の定義が見当たらなかったので,
> h:C^n×C^n→C;h(u,v)=u^*v (但し,^*は随伴(転置&複素共役)の意味)で定義される
> 内積の事だと思います。

貴方は先に, (C w, w) の計算において,
(C w, w) = \sum_{i,j=1}^3 x_i \bar{x_j} (C u_i, u_j)
としていましたから, 前について線形, 後ろについて反線形な
エルミート内積を使うことにしていた筈です.
前について反線形, 後ろについて線形にする定義も良く使わますが,
一つの話の中ではそれらを混合して使ってはいけません.

C^n の標準的なエルミート内積 h(u, v) は
h(u, v) = \sum_{i=1}^n \bar{u_i} v_i
（或いは, h(u, v) = \sum_{i=1}^n u_i \bar{v_i}）
で与えられますが, 一般の C 上のベクトル空間 V 上の
エルミート内積 h: V \times V \to C がどのようなものであるか,
はきちんと復習されますように.

エルミート対称な線形変換とは,

> > V の任意の元 v, w について (f v, w) = (v, f w) となるものです.

> 任意のVの基底に対するfの表現行列[f]について([f]v)^*w=v^*[f]wが成り立つのですね。

V の「正規直交基底」についての表現行列 [f] についてはそうです.
ところで f^* とか [f]^* の定義も復習されますように.

> 線型同型h:Λ^2C^3→C^3は

> Λ^2C^3∋∀x∧y=α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)
> →h(u∧v):=(α,β,γ)∈C^3で定義されるのですよね?

Λ^2 C^3 の元とは α e_2Λe_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2 の
形のものであり, 外積 Λ: C^3 \times C^3 \to Λ^2 C^3 と
3 次元であることの特殊性を用いると,
Λ^2 C^3 の元がある x, y \in C^3 の元を用いて xΛy と書ける
ことも言えますが, 後者はここでは必要ないでしょう.
h(uΛv) は意味不明.
h(α e_2Λ e_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2) = (α, β, γ)
とだけ書けば良いでしょう.

> まず,線型同型である前に∧^2C^3がC上の線形空間になっている事を
> 確かめないといけませんよね。

h が同型であるように, Λ^2 C^3 の線形空間としての構造は
入れれば良い.

> まず,集合Λ^2C^3が足し算に関してabelianになる事を示したいですが,
> ∀u∧v,u'∧v'∈Λ^2C^3に対して,u∧v+u'∧v'=u'∧v'+u∧vは
> どうすればいえるのでしょうか?

そんなことは h が同型であるように Λ^2 C^3 の線形空間としての
構造を入れれば当たり前です.

> そもそも∧^2C^3の足し算はどのように定義されてるんでしょうか?

h が同型であるように定義されています.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> なかなかエルミート内積の定義が見当たらなかったので,
>> h:C^n×C^n→C;h(u,v)=u^*v (但し,^*は随伴(転置&複素共役)の意味)で定義される
>>
>> 内積の事だと思います。
> 貴方は先に, (C w, w) の計算において,
> (C w, w) = \sum_{i,j=1}^3 x_i \bar{x_j} (C u_i, u_j)
> としていましたから, 前について線形, 後ろについて反線形な
> エルミート内積を使うことにしていた筈です.
> 前について反線形, 後ろについて線形にする定義も良く使わますが,
> 一つの話の中ではそれらを混合して使ってはいけません.

これは失礼致しました。
前が反線形,後が線形を採用されてたのでしたね。

> C^n の標準的なエルミート内積 h(u, v) は
> h(u, v) = \sum_{i=1}^n \bar{u_i} v_i
> （或いは, h(u, v) = \sum_{i=1}^n u_i \bar{v_i}）
> で与えられますが, 一般の C 上のベクトル空間 V 上の
> エルミート内積 h: V \times V \to C がどのようなものであるか,
> はきちんと復習されますように.

エルミート内積の定義は
(i) (x,x)≧0∈C, (x,x)=0⇔x=0∈V
(ii) (x,y)=\bar(y,x)
(iii) (x,αy_1+βy_2)=α(x,y_1)+β(x,y_2) (後での線形性)
なのですね。

> エルミート対称な線形変換とは,
>>> V の任意の元 v, w について (f v, w) = (v, f w) となるものです.
>> 任意のVの基底に対するfの表現行列[f]について([f]v)^*w=v^*[f]wが成り立つのですね。
> V の「正規直交基底」についての表現行列 [f] についてはそうです.

(f(v),w)=(v,f(w))⇔([f]v)^*w=v^*[f]w (但し,[f]は正規直交基底についてのfの表現行列)
が必要十分条件なのですね。

> ところで f^* とか [f]^* の定義も復習されますように.

F,F'を体としV-FをF上の線形空間とする時,V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F')をVとF'の双対空間といい,D(V,F,F')と表す事にする。
この時,f∈Hom(V-F,V'-F)を採ると,∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,
∃!g∈Hom(D(V',F,F'),D(V,F,F')); y(f(x))=(g(y))(x)が成り立つ時,このgをf^*と表して,左随伴写像と呼びます。
これはyとf(x)間の演算を内積(,)、g(y)とx間の演算を内積(,)'、即ち
(,);V'×D(V',F,F')→Cと(,)':V×D(V,F,F')→Cとすると,
∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,(f(x),y)=(x,g(y))'が成り立つ事を意味します。

>> 線型同型h:Λ^2C^3→C^3は
>> Λ^2C^3∋∀x∧y=α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)
>> →h(u∧v):=(α,β,γ)∈C^3で定義されるのですよね?
> Λ^2 C^3 の元とは α e_2Λe_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2 の
> 形のものであり,

α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)ではなく
(αe_2)Λe_3+(βe_1)Λe_3+(γe_1)Λe_2だったのですね。

> 外積 Λ: C^3 \times C^3 \to Λ^2 C^3 と
> 3 次元であることの特殊性を用いると,
> Λ^2 C^3 の元がある x, y \in C^3 の元を用いて xΛy と書ける
> ことも言えますが, 後者はここでは必要ないでしょう.
> h(uΛv) は意味不明.

おっとh(x∧y)の書きたかったのでした。失礼致しました。

> h(α e_2Λ e_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2) = (α, β, γ)
> とだけ書けば良いでしょう.

有難うございます。

>> まず,線型同型である前に∧^2C^3がC上の線形空間になっている事を
>> 確かめないといけませんよね。
> h が同型であるように, Λ^2 C^3 の線形空間としての構造は
> 入れれば良い.
>> まず,集合Λ^2C^3が足し算に関してabelianになる事を示したいですが,
>> ∀u∧v,u'∧v'∈Λ^2C^3に対して,u∧v+u'∧v'=u'∧v'+u∧vは
>> どうすればいえるのでしょうか?
> そんなことは h が同型であるように Λ^2 C^3 の線形空間としての
> 構造を入れれば当たり前です.
>> そもそも∧^2C^3の足し算はどのように定義されてるんでしょうか?
> h が同型であるように定義されています.

前記事で∧^2C^3の定義は∧^2C^3:={x×y∈C^3;x,y∈C^3} (但し,×はベクトル積)の意味ではないと仰ってますが,
ご紹介いただいた山本哲朗「行列解析の基礎」SGCライブラリ79, サイエンス社,
2010.第11章の「Grassmann積と複合行列」のp175のGrassmann積∧の定義を見ましたら,この∧はベクトル積そのものだと思うのですが,勘違いしてますでしょうか?

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年11月7日土曜日 5時11分52秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> > 貴方は先に, (C w, w) の計算において,
> > (C w, w) = \sum_{i,j=1}^3 x_i \bar{x_j} (C u_i, u_j)
> > としていましたから, 前について線形, 後ろについて反線形な
> > エルミート内積を使うことにしていた筈です.
> > 前について反線形, 後ろについて線形にする定義も良く使わますが,
> > 一つの話の中ではそれらを混合して使ってはいけません.
>
> これは失礼致しました。
> 前が反線形,後が線形を採用されてたのでしたね。

私が採用したかどうかではなく, 貴方が一つの話の中で
両者を混合して使ったことを咎めているのです.

以下では前が反線形, 後が線形で話を進めます.

> エルミート内積の定義は
> (i) (x,x)≧0∈C, (x,x)=0⇔x=0∈V
> (ii) (x,y)=\bar(y,x)
> (iii) (x,αy_1+βy_2)=α(x,y_1)+β(x,y_2) (後での線形性)
> なのですね。

(ii) から (x, x) \in R には注意しましょう.

> (f(v),w)=(v,f(w))⇔([f]v)^*w=v^*[f]w
> (但し,[f]は正規直交基底についてのfの表現行列)
> が必要十分条件なのですね。

* が, 転置を取り, 更に, 複素共役を取る, 操作を表すものとして
そうです.

> > ところで f^* とか [f]^* の定義も復習されますように.
>
> F,F'を体としV-FをF上の線形空間とする時,
> V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F')をVとF'の双対空間といい,
> D(V,F,F')と表す事にする。

双対空間の概念を2つの体 F, F' が関係する場合に一般化しようと
しているようですが, F 上の線形空間 V から F' 上の線形空間 F' への
「線形準同型」とは何か, が定義されていなければ無意味です.
普通, 双対空間を考えるときには, F 上の線形空間 V から F 自身への
F-線形準同型全体 Hom_F(V, F) を考えます. V^* としましょう.

> この時,f∈Hom(V-F,V'-F)を採ると,∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,
> ∃!g∈Hom(D(V',F,F'),D(V,F,F')); y(f(x))=(g(y))(x)が成り立つ時,
> このgをf^*と表して,左随伴写像と呼びます。

F 上のベクトル空間 V, V' と線形写像 f \in Hom_F(V, V') について,
f の双対写像 f^* \in Hom_F(V'^*. V^*) を
h \in V'^* = Hom_F(V', F) に対して,
(f^*(h))(v) = h(f(v)) (v \in V) で定義される f^*(h) \in Hom_F(V, F) を
対応させることによる線形写像とすることはそのとおりですが,
これは今考えているエルミート双対写像とは違います.
F = C としても違います.
双対ベクトル空間の間の双対写像を考えるときには,
内積もエルミート内積も出てきません.

> これはyとf(x)間の演算を内積(,)、g(y)とx間の演算を内積(,)'、即ち
> (,);V'×D(V',F,F')→Cと(,)':V×D(V,F,F')→Cとすると,
> ∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,(f(x),y)=(x,g(y))'が成り立つ事を意味します。

F は止めて, C にしても, 内積を考えるのと, エルミート内積を考えるのでは
話が違います.
C 上の有限次元ベクトル空間 V にエルミート内積 ( , ) が与えられているとき,
V の線形変換 f \in Hom_C(V, V) に対して,
(f^*(v), w) = (v, f(w)) (v, w \in V) が成立するような
f^* \in Hom_C(V, V) が存在して f のエルミート双対と呼ばれることを
知っているか, という問いであったわけですが,
V の双対空間 V^* や f の双対写像 f^* \in Hom_C(V^*, V^*) とは
どう関係するか, は預けておきましょう.

> > Λ^2 C^3 の元とは α e_2Λe_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2 の
> > 形のものであり,
>
> α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)ではなく
> (αe_2)Λe_3+(βe_1)Λe_3+(γe_1)Λe_2だったのですね。

いいえ. 前者であることは文脈から明らかだと思います.

> 前記事で∧^2C^3の定義は∧^2C^3:={x×y∈C^3;x,y∈C^3}
> (但し,×はベクトル積)の意味ではないと仰ってますが,
> ご紹介いただいた山本哲朗「行列解析の基礎」SGCライブラリ79, サイエンス社,
> 2010.第11章の「Grassmann積と複合行列」のp175のGrassmann積∧の定義を見ましたら,
> この∧はベクトル積そのものだと思うのですが,勘違いしてますでしょうか?

山本さんの本では, Λ^p C^n を定義するのに, 正規直交基底を固定して
C^{ n \choose p } と同型になることを利用して書いていますが,
固定された正規直交基底と組にして考えないと間違えます.

(a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)Λ(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
= (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_2Λe_3
+ (a_1 b_3 - a_3 b_1) e_1Λe_3
+ (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1Λe_2

と e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 が基底となっているのが
山本さんの定義です. ですから, 正しくは基底付きで考えて下さい.

(a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)×(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
= (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_1
+ (a_3 b_1 - a_1 b_3) e_2
+ (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_3

というベクトル積 × は, C^3 の(非退化双線形形式である)内積と
(3重線形交代形式で正規化条件を満たすものである)行列式から
定義される, C^3×C^3 \to C^3 なる写像ですが,
Λ^2 C^3 の基底として, e_1Λe_3 の代わりに e_3Λe_1 を取って,
Λ^2 C^3 と C^3 の同一視を行うのでなければ,
外積 Λ と一致しません.
# 外積における e_1Λe_3 の係数は (a_1 b_3 - a_3 b_1) で
# ベクトル積における e_2 の係数 (a_3 b_1 - a_1 b_3) の(-1)倍です.
外積に対しては, 内積などなくても, 自然な定義を与えることができます.
それは少し議論が高級になるので, ここでは省略します.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> 前が反線形,後が線形を採用されてたのでしたね。
> 私が採用したかどうかではなく, 貴方が一つの話の中で
> 両者を混合して使ったことを咎めているのです.

そうでしたね。失礼致しました。

> 以下では前が反線形, 後が線形で話を進めます.

はい、宜しくお願い致します。

>> エルミート内積の定義は
>> (i) (x,x)≧0∈C, (x,x)=0⇔x=0∈V
>> (ii) (x,y)=\bar(y,x)
>> (iii) (x,αy_1+βy_2)=α(x,y_1)+β(x,y_2) (後での線形性)
>> なのですね。
> (ii) から (x, x) \in R には注意しましょう.

おっと,(i) (x,x)≧0∈R, (x,x)=0⇔x=0∈V でしたね。

>> (f(v),w)=(v,f(w))⇔([f]v)^*w=v^*[f]w
>> (但し,[f]は正規直交基底についてのfの表現行列)
>> が必要十分条件なのですね。
> * が, 転置を取り, 更に, 複素共役を取る, 操作を表すものとして
> そうです.

有難うございます。

>>> ところで f^* とか [f]^* の定義も復習されますように.
>> F,F'を体としV-FをF上の線形空間とする時,
>> V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F')をVとF'の双対空間といい,
>> D(V,F,F')と表す事にする。
> 双対空間の概念を2つの体 F, F' が関係する場合に一般化しようと
> しているようですが, F 上の線形空間 V から F' 上の線形空間 F' への
> 「線形準同型」とは何か, が定義されていなければ無意味です.

なるほど,そうでしたね。
F,F'は体でFからF'への環準同型φが存在し,V-FをF上の線形空間とする時,
V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F',φ)をVとF'とφの双対空間といい,
D(V,F,F',φ)と表す事にする。と言えばいいのですね。

> 普通, 双対空間を考えるときには, F 上の線形空間 V から F 自身への
> F-線形準同型全体 Hom_F(V, F) を考えます. V^* としましょう.

了解です。F':=Fとします。

>> この時,f∈Hom(V-F,V'-F)を採ると,∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,
>> ∃!g∈Hom(D(V',F,F'),D(V,F,F')); y(f(x))=(g(y))(x)が成り立つ時,
>> このgをf^*と表して,左随伴写像と呼びます。
> F 上のベクトル空間 V, V' と線形写像 f \in Hom_F(V, V') について,
> f の双対写像 f^* \in Hom_F(V'^*. V^*) を
> h \in V'^* = Hom_F(V', F) に対して,
> (f^*(h))(v) = h(f(v)) (v \in V) で定義される f^*(h) \in Hom_F(V, F) を
> 対応させることによる線形写像とすることはそのとおりですが,
> これは今考えているエルミート双対写像とは違います.

えっ? エルミート双対写像は双対写像の特殊な例ではなく全く別の概念だったのですね。

> F = C としても違います.
> 双対ベクトル空間の間の双対写像を考えるときには,
> 内積もエルミート内積も出てきません.

失礼致しました。そうでした。双対ベクトル空間の定義には内積の概念は使いませんでした。

>> これはyとf(x)間の演算を内積(,)、g(y)とx間の演算を内積(,)'、即ち
>> (,);V'×D(V',F,F')→Cと(,)':V×D(V,F,F')→Cとすると,
>> ∀x∈V,∀y∈D(V',F,F')に対して,(f(x),y)=(x,g(y))'が成り立つ事を意味します。
>>
> F は止めて, C にしても, 内積を考えるのと, エルミート内積を考えるのでは
> 話が違います.
> C 上の有限次元ベクトル空間 V にエルミート内積 ( , ) が与えられているとき,
> V の線形変換 f \in Hom_C(V, V) に対して,
> (f^*(v), w) = (v, f(w)) (v, w \in V) が成立するような
> f^* \in Hom_C(V, V) が存在して f のエルミート双対と呼ばれることを
> 知っているか, という問いであったわけですが,

そうでしたか。

> V の双対空間 V^* や f の双対写像 f^* \in Hom_C(V^*, V^*) とは
> どう関係するか, は預けておきましょう.

前記事で述べた左随伴写像の定義でちょっとします。


[Def(随伴,汎,内積)] F,F_iを体(i=1,2,3,4),V_iをF_i上の線形空間とし,
f∈vHom(V_1,V_2),h∈Map(V_3×V_2,F), k∈Map(V_4×V_1,F)とする。

���
この時,(vHom(V_3,V_4)∋)gがfのhとkについての左随伴写像
⇔(def)
x∈V_1,∀y∈V_3,∃!g∈vHom(V_3,V_4); h(y,f(x))=k(g(y),x)(∈F)。 そしてL_adj(f,h,k):=g.と表記する。

そして特に,V_1=V_2=V_3=V_4でh=kの時,
fはhについての自己随伴写像(エルミート写像)
⇔(def)
f=L_adj(f,h,k)。 そしてL_adj(f,h,k)をadj(f,h)略記する。


②
そして特に V_3=D(V_2),V_4=D(V_1),k(g(y),x):=x(g(y)),k(g(y),x):=x(g(y))の時,gはfのhとkについての左随伴汎関数といい,L-f_adj(f,h):=g.と表記する。

そして特にV_1=V_2=V_3=V_4でh=kの時,
fはhについての自己随伴汎写像(またはエルミート汎写像,エルミート双対写像)
⇔(def)
f=L-f_adj(f,h)。 そしてL-f_adj(f,h)をf_adj(f,h)と略記する。


③
そして特にV_1=V_4,V_2=V_3,Fが1次元ユークリッド空間の時, V_1とV_2がh,kに於いて内積空間(hとkはsesquilinearityをなす)なら,gはhとkについての左随伴内積写像と呼ばれる。
そして, L-i_adj(f,h):=g.と表記する。

そして特にV_1=V_2=V_3=V_4でh=kの時,
fはhについての自己随伴内積写像(またはエルミート内積写像)
⇔(def)
f=L-i_adj(f,h,k)。 そしてL-i_adj(f,h,k)をi_adj(f,h)と略記する。

[Def(正規写像)] V_1,V_3,V_4を1次元ユークリッド空間Fとし,V_2をhとkについての内積空間とする(hはベクトルのスカラー倍,kはスカラー同士の掛け算)。
V_2の線形自己準同型写像fがhとkについての正規写像
⇔(def)
f(L-i_adj(f,h,k))=(L-i_adj(f,h,k))f.

と定義しました。これでいかがでしょうか?

>>> Λ^2 C^3 の元とは α e_2Λe_3 + β e_1Λe_3 + γ e_1Λe_2 の
>>> 形のものであり,
>> α(e_2∧e_3)+β(e_1∧e_3)+γ(e_1∧e_2)ではなく
>> (αe_2)Λe_3+(βe_1)Λe_3+(γe_1)Λe_2だったのですね。
> いいえ. 前者であることは文脈から明らかだと思います.

そうでしたか。失礼致しました。

>> 前記事で∧^2C^3の定義は∧^2C^3:={x×y∈C^3;x,y∈C^3}
>> (但し,×はベクトル積)の意味ではないと仰ってますが,
>> ご紹介いただいた山本哲朗「行列解析の基礎」SGCライブラリ79, サイエンス社,
>> 2010.第11章の「Grassmann積と複合行列」のp175のGrassmann積∧の定義を見ましたら,
>> この∧はベクトル積そのものだと思うのですが,勘違いしてますでしょうか?
> 山本さんの本では, Λ^p C^n を定義するのに, 正規直交基底を固定して
> C^{ n \choose p } と同型になることを利用して書いていますが,
> 固定された正規直交基底と組にして考えないと間違えます.
> (a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)Λ(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
> = (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_2Λe_3
> + (a_1 b_3 - a_3 b_1) e_1Λe_3
> + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1Λe_2
> と e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 が基底となっているのが
> 山本さんの定義です. ですから, 正しくは基底付きで考えて下さい.

つまりp175の定義をF^nで読み替えてみると,
p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの正規直交基底として集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。この時,一次結合を用いて
(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k
=Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}
但し,F^{n×p}∋A:=
a_{1_1},a_{2_1},…,a_{p_1}
a_{1_2},a_{2_2},…,a_{p_2}
:
a_{1_n},a_{2_n},…,a_{p_n}
でA[i_1,i_2,…,i_p]はAからi_1,i_2,…,i_p行を取り出して作ったp次の小行列) (∵定理11.2)

が山本さんの定義ですよね。

それで
(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3)Λ(b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3)=(a_2b_3-a_3b_2)e_2Λe_3+(a_1b_3-a_3b_1)e_1Λe_3+(a_1b_2-a_2b_1)e_1Λe_2

はn=3,p=2の場合の外積ですね。

> (a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)×(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
> = (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_1
> + (a_3 b_1 - a_1 b_3) e_2
> + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_3
> というベクトル積 × は, C^3 の(非退化双線形形式である)内積と

非退化双線形形式とは,∀x∈C^3に対して(x,y)=0ならy=0∈C^3
且つ,∀y∈C^3に対して(x,y)=0ならx=0∈C^3という意味ですね。

> (3重線形交代形式で正規化条件を満たすものである)行列式から
> 定義される, C^3×C^3 \to C^3 なる写像ですが,
> Λ^2 C^3 の基底として, e_1Λe_3 の代わりに e_3Λe_1 を取って,
> Λ^2 C^3 と C^3 の同一視を行うのでなければ,
> 外積 Λ と一致しません.
> # 外積における e_1Λe_3 の係数は (a_1 b_3 - a_3 b_1) で
> # ベクトル積における e_2 の係数 (a_3 b_1 - a_1 b_3) の(-1)倍です.

なるほど, こちらは
p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの標準基底(F:=CかF:=R)として集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。この
(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k
=Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A【i_1,i_2,…,i_p】)e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}
但し,F^{n×p}∋A:=

a_{1_1},a_{2_1},…,a_{p_1}
a_{1_2},a_{2_2},…,a_{p_2}
:
a_{1_n},a_{2_n},…,a_{p_n}
でA【i_1,i_2,…,i_p】:=(e_{j_1},e_{j_2},…,e_{j_{n-p}},A)∈F^{n×n}という拡大行列
(但し,{j_1,j_2,…,j_{n-p}}={1,2,…,n}\setminus{i_1,i_2,…,i_p},
j_1<j_2<…<j_{n-p})
で
n=3,p=2の時,特にベクトル積と呼んでるのですね。ベクトル積の一般の定義はこれで正しいでしょうか?

> 外積に対しては, 内積などなくても, 自然な定義を与えることができます.
> それは少し議論が高級になるので, ここでは省略します.

x:=x_1∧x_2∧…∧x_p=Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}
y:=y_1∧y_2∧…∧y_p=Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(B[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}
の時,
足し算x+yをΣ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p]+B[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}

スカラー倍cx (c∈F)をΣ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]cdet(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}

とすればF^{nCp}はF上の線形空間になるのですね。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年11月21日土曜日 6時27分03秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> > 双対空間の概念を2つの体 F, F' が関係する場合に一般化しようと
> > しているようですが, F 上の線形空間 V から F' 上の線形空間 F' への
> > 「線形準同型」とは何か, が定義されていなければ無意味です.
>
> なるほど,そうでしたね。
> F,F'は体でFからF'への環準同型φが存在し,V-FをF上の線形空間とする時,
> V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F',φ)をVとF'とφの双対空間といい,
> D(V,F,F',φ)と表す事にする。と言えばいいのですね。

何をしようとしているか想像は付きますが,
貴方は未だ何が「線形準同型」であるかの定義を与えていません.

> 了解です。F':=Fとします。

全て体 F 上での話とするのなら良い.

> えっ? エルミート双対写像は双対写像の特殊な例ではなく全く別の概念だったのですね。

関係はありますが, 別の概念です.

> 前記事で述べた左随伴写像の定義でちょっとします。
>
> [Def(随伴,汎,内積)] F,F_iを体(i=1,2,3,4),V_iをF_i上の線形空間とし,
> f∈vHom(V_1,V_2),h∈Map(V_3×V_2,F), k∈Map(V_4×V_1,F)とする。

又 F_i などとしている.
差し当たり, ここでの議論には関係しないでしょうから,
以下無視します.

> > 山本さんの本では, Λ^p C^n を定義するのに, 正規直交基底を固定して
> > C^{ n \choose p } と同型になることを利用して書いていますが,
> > 固定された正規直交基底と組にして考えないと間違えます.
> > (a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)Λ(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
> > = (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_2Λe_3
> > + (a_1 b_3 - a_3 b_1) e_1Λe_3
> > + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1Λe_2
> > と e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 が基底となっているのが
> > 山本さんの定義です. ですから, 正しくは基底付きで考えて下さい.
>
> つまりp175の定義をF^nで読み替えてみると,
> p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの正規直交基底として
> 集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。

それを Λ^p F^n の基底として, Λ^p F^n を F^{n \choose p} と同一視するのです.

> この時,一次結合を用いて
> (Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k
> =Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}
> 但し,F^{n×p}∋A:=

F^{n \times p} というよりは, A \in (F^n)^p であるわけですが,

> a_{1_1},a_{2_1},…,a_{p_1}
> a_{1_2},a_{2_2},…,a_{p_2}
> :
> a_{1_n},a_{2_n},…,a_{p_n}
> でA[i_1,i_2,…,i_p]はAからi_1,i_2,…,i_p行を取り出して作ったp次の小行列)
> (∵定理11.2)
>
> が山本さんの定義ですよね。

F^n の元 p 個の外積はそうなります.

> それで
> (a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3)Λ(b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3)
> =(a_2b_3-a_3b_2)e_2Λe_3+(a_1b_3-a_3b_1)e_1Λe_3+(a_1b_2-a_2b_1)e_1Λe_2
>
> はn=3,p=2の場合の外積ですね。

はい.

> > (a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)×(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
> > = (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_1
> > + (a_3 b_1 - a_1 b_3) e_2
> > + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_3
> > というベクトル積 × は, C^3 の(非退化双線形形式である)内積と

失礼. 「対称」が抜けていました.

> 非退化双線形形式とは,∀x∈C^3に対して(x,y)=0ならy=0∈C^3
> 且つ,∀y∈C^3に対して(x,y)=0ならx=0∈C^3という意味ですね。

内積は, そういう性質を持つ, 対称双線形形式です.

> > (3重線形交代形式で正規化条件を満たすものである)行列式から
> > 定義される, C^3×C^3 \to C^3 なる写像ですが,
> > Λ^2 C^3 の基底として, e_1Λe_3 の代わりに e_3Λe_1 を取って,
> > Λ^2 C^3 と C^3 の同一視を行うのでなければ,
> > 外積 Λ と一致しません.
> > # 外積における e_1Λe_3 の係数は (a_1 b_3 - a_3 b_1) で
> > # ベクトル積における e_2 の係数 (a_3 b_1 - a_1 b_3) の(-1)倍です.
>
> なるほど, こちらは
> p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの標準基底(F:=CかF:=R)として

> 集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。

そういう話をするのは「外積」の場合.

> この
> (Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k
> =Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A【i_1,i_2,…,i_p】)e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}
> 但し,F^{n×p}∋A:=
>
> a_{1_1},a_{2_1},…,a_{p_1}
> a_{1_2},a_{2_2},…,a_{p_2}
> :
> a_{1_n},a_{2_n},…,a_{p_n}
> でA【i_1,i_2,…,i_p】:=(e_{j_1},e_{j_2},…,e_{j_{n-p}},A)∈F^{n×n}という拡大行列
> (但し,{j_1,j_2,…,j_{n-p}}={1,2,…,n}\setminus{i_1,i_2,…,i_p},
> j_1<j_2<…<j_{n-p})
> で n=3,p=2の時,特にベクトル積と呼んでるのですね。

違います. Λ^p F^n と Λ^{n-p} F^n とを同一視する方法には
*-operator というものがあり, それは上とは符号が違います.

> ベクトル積の一般の定義はこれで正しいでしょうか?

だから, 上のものでは n = 3, p = 2 の場合でも
通常のベクトル積と符号が違っているところがあると指摘したでしょう.
正しくありません.

> > 外積に対しては, 内積などなくても, 自然な定義を与えることができます.
> > それは少し議論が高級になるので, ここでは省略します.

ということで省略します.
--

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>> 双対空間の概念を2つの体 F, F' が関係する場合に一般化しようと
>>> しているようですが, F 上の線形空間 V から F' 上の線形空間 F' への
>>> 「線形準同型」とは何か, が定義されていなければ無意味です.
>> なるほど,そうでしたね。
>> F,F'は体でFからF'への環準同型φが存在し,V-FをF上の線形空間とする時,
>> V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F',φ)をVとF'とφの双対空間といい,
>> D(V,F,F',φ)と表す事にする。と言えばいいのですね。
> 何をしようとしているか想像は付きますが,
> 貴方は未だ何が「線形準同型」であるかの定義を与えていません.

線形写像の事です。

>> 了解です。F':=Fとします。
> 全て体 F 上での話とするのなら良い.

了解です。


>> えっ? エルミート双対写像は双対写像の特殊な例ではなく全く別の概念だったのですね。
> 関係はありますが, 別の概念です.

エルミート双対写像は自己随伴汎写像の事でしたね。

>>> 山本さんの本では, Λ^p C^n を定義するのに, 正規直交基底を固定して
>>> C^{ n \choose p } と同型になることを利用して書いていますが,
>>> 固定された正規直交基底と組にして考えないと間違えます.
>>> (a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)Λ(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
>>> = (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_2Λe_3
>>> + (a_1 b_3 - a_3 b_1) e_1Λe_3
>>> + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1Λe_2
>>> と e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 が基底となっているのが
>>> 山本さんの定義です. ですから, 正しくは基底付きで考えて下さい.
>> つまりp175の定義をF^nで読み替えてみると,
>> p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの正規直交基底として
>> 集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。
> それを Λ^p F^n の基底として, Λ^p F^n を F^{n \choose p} と同一視するのです.

Λ^p F^n:=(F^n)^pですね。
∧・∧・…・∧;Λ^p
F^n∋∀(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k,Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k,…,Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k)
→(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧(Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k)
:=Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1,i_2,…,i_p}∈F^{nCp}.
但し,e_{i_1,i_2,…,i_p}は下記のような基本ベクトル
e_{1,2,…,p}=(1,0,…,0)^T∈F^{nCp},
e_{1,2,…,p-1,p+1}=(0,1,0…,0)^T∈F^{nCp},
:
e_{p+1,…,n-1,n}=(0,…,0,1)^T∈F^{nCp}.

>> この時,一次結合を用いて
>> (Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k
>> =Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p}
>> 但し,F^{n×p}∋A:=
> F^{n \times p} というよりは, A \in (F^n)^p であるわけですが,

あっと厳密にはそうでした。失礼いたしました。

>>> (a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3)×(b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)
>>> = (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_1
>>> + (a_3 b_1 - a_1 b_3) e_2
>>> + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_3
>>> というベクトル積 × は, C^3 の(非退化双線形形式である)内積と
> 失礼. 「対称」が抜けていました.

了解です。

>> 非退化双線形形式とは,∀x∈C^3に対して(x,y)=0ならy=0∈C^3
>> 且つ,∀y∈C^3に対して(x,y)=0ならx=0∈C^3という意味ですね。
> 内積は, そういう性質を持つ, 対称双線形形式です.

了解いたしました。n=3,p=2の時,F^3の外積(Grassman積やWedge積とも呼ばれる)は対称双線形形式を満たし,
更にF:=Cなら,非退化性も満たすのですね。

>>> (3重線形交代形式で正規化条件を満たすものである)行列式から
>>> 定義される, C^3×C^3 \to C^3 なる写像ですが,
>>> Λ^2 C^3 の基底として, e_1Λe_3 の代わりに e_3Λe_1 を取って,
>>> Λ^2 C^3 と C^3 の同一視を行うのでなければ,
>>> 外積 Λ と一致しません.
>>> # 外積における e_1Λe_3 の係数は (a_1 b_3 - a_3 b_1) で
>>> # ベクトル積における e_2 の係数 (a_3 b_1 - a_1 b_3) の(-1)倍です.
>> なるほど, こちらは
>> p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの標準基底(F:=CかF:=R)として
>> 集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。
> そういう話をするのは「外積」の場合.

なるほど,ベクトル積の定義では基底は不要なのですね。

>> で n=3,p=2の時,特にベクトル積と呼んでるのですね。
> 違います. Λ^p F^n と Λ^{n-p} F^n とを同一視する方法には
> *-operator というものがあり, それは上とは符号が違います.

そうでしたか。すいみません。*-operatorとはどのようなものなのでしょうか?

>> ベクトル積の一般の定義はこれで正しいでしょうか?
> だから, 上のものでは n = 3, p = 2 の場合でも
> 通常のベクトル積と符号が違っているところがあると指摘したでしょう.
> 正しくありません.

申し訳ありません。ベクトル積の一般の定義とはどのようになるのでしょうか?
探してみたのですが見つけれませんでした。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年12月3日木曜日 9時47分30秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> >> F,F'は体でFからF'への環準同型φが存在し,V-FをF上の線形空間とする時,
> >> V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F',φ)をVとF'とφの双対空間といい,
> >> D(V,F,F',φ)と表す事にする。と言えばいいのですね。
> > 何をしようとしているか想像は付きますが,
> > 貴方は未だ何が「線形準同型」であるかの定義を与えていません.
>
> 線形写像の事です。

その「線形写像」であるための条件をきちんと書き下すことができますか.

> >> つまりp175の定義をF^nで読み替えてみると,
> >> p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの正規直交基底として
> >> 集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。
> > それを Λ^p F^n の基底として, Λ^p F^n を F^{n \choose p} と同一視するのです.
>
> Λ^p F^n:=(F^n)^pですね。

違いますよ. \dim Λ^p F^n = { n \choose p }, \dim (F^n)^p = np.
もっとも, (F^n)^p は F^n の元 p 個の組として扱っています.
外積という (F^n)^p から Λ^p F^n への交代多重線形写像は存在します.
(F^n)^{\otimes p} という n^p 次元の線形空間からであれば,
Λ^p F^n の上への線形写像も存在しますが,
それは { 0 } でない Kernel を持ちます.
Kernel の生成元を記述して Λ^p F^n を定義する方法もありますが,
省略します.

> ∧・∧・…・∧;Λ^p
> F^n∋∀(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k,Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k,…,Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k)
> →(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧(Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k)
> :=Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1,i_2,…,i_p}∈F^{nCp}.
> 但し,e_{i_1,i_2,…,i_p}は下記のような基本ベクトル
> e_{1,2,…,p}=(1,0,…,0)^T∈F^{nCp},
> e_{1,2,…,p-1,p+1}=(0,1,0…,0)^T∈F^{nCp},
> :
> e_{p+1,…,n-1,n}=(0,…,0,1)^T∈F^{nCp}.

外積のことを言っているようですが, Λ^p F^n の基底と
F^{ n \choose p } の標準基底との対応を考えることに
こだわっても仕方がない.
両者は次元が同じでも扱いが違うとお考え下さい.

> > 内積は, そういう性質を持つ, 対称双線形形式です.
>
> 了解いたしました。

後ろを見るとお分かりではないようです.

> n=3,p=2の時,F^3の外積(Grassman積やWedge積とも呼ばれる)は対称双線形形式を満たし,
> 更にF:=Cなら,非退化性も満たすのですね。

外積は (F^3)^2 から Λ^2 F^3 への交代双線形写像です.
Λ: (F^3)^2 \to Λ^2 F^3.
ベクトル積は (F^3)^2 から F^3 への交代双線形写像
\times: (F^3)^2 \to F^3
で,
行列式 \det: (F^3)^3 \to F という交代３重線形形式と
内積 ( , ): (F^3)^2 \to F という対称非退化双線形形式から
(u \times v, w) = \det(u, v, w)
を満たすように定められるものです.

> > そういう話をするのは「外積」の場合.
>
> なるほど,ベクトル積の定義では基底は不要なのですね。

違いが分かっていますか.

> そうでしたか。すいみません。*-operatorとはどのようなものなのでしょうか?

Hodge の star operator でお探し下さい.

> 申し訳ありません。ベクトル積の一般の定義とはどのようになるのでしょうか?
> 探してみたのですが見つけれませんでした。

上に掲げた通り. \times: (F^3)^2 \to F^3 しか考えません.

[Kyoko Yoshida]

遅くなりまして大変申し訳ありません。

だいぶ分かってきました。

かなり前の記事で
「さて, Λ^2 C^3 の任意の 0 でないベクトル w は,

C^3 のある正規直交基底 v_1, v_2, v_3 を用いて,
w = k v_2Λv_3 (k \neq 0)

と表せます.」

と仰ってますが,
v_2:=e_2,v_3:=e_3の場合は,kv_2∧v_3=ke_2∧e_3=k(0,1,0)^T=(0,k,0)^Tとなりますよね。

何故なら
e_2∧e_3=(0,1,0)^T(0,0,1)^T
|0,0|
|1,0|

|1,0|
|0,1|

|0,0|
|0,1|

となるので。

従って,この場合のkv_2∧v_3は任意のv∧w∈C^3∧C^3を表せないと思うのですが。。
勘違いしておりますでしょうか?


あと,
「xΛy は C^3 の元ではありませんね.
外積 Λ と R^3 でのベクトル積 × (あるいはその C^3 への拡張) とは違います.」
についてですが,山本氏の定義では,
x=(x_1,x_2,x_3)^T,y:=(y_1,y_2,y_3)^T∈C^3に於いて,
x∧y=
|x_11,y_12|
|x_21,y_22|

|x_21,y_22|
|x_31,y_32|

|x_11,y_12|
|x_31,y_32|

だからやはりどう見てもC^3(=C^(3C2))の元だと思うのですが、、これも勘違いでしょうか?

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年12月18日金曜日 12時48分56秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> だいぶ分かってきました。

そうでしょうか.

> かなり前の記事で
> 「さて, Λ^2 C^3 の任意の 0 でないベクトル w は,
> C^3 のある正規直交基底 v_1, v_2, v_3 を用いて,
> w = k v_2Λv_3 (k \neq 0)
> と表せます.」
>
> と仰ってますが,
> v_2:=e_2,v_3:=e_3の場合は,kv_2∧v_3=ke_2∧e_3=k(0,1,0)^T=(0,k,0)^Tとなりますよね。

w に対応して v_1, v_2, v_3 を選ぼうという話であるのに,
先に v_2, v_3 を固定する話をするのは,
初っ端から間違っています.

> 従って,この場合のkv_2∧v_3は任意のv∧w∈C^3∧C^3を表せないと思うのですが。。
> 勘違いしておりますでしょうか?

全くの勘違いです.

> あと,
> 「xΛy は C^3 の元ではありませんね.
> 外積 Λ と R^3 でのベクトル積 × (あるいはその C^3 への拡張) とは違います.」
> についてですが,山本氏の定義では,
> x=(x_1,x_2,x_3)^T,y:=(y_1,y_2,y_3)^T∈C^3に於いて,
> x∧y=
> |x_11,y_12|
> |x_21,y_22|
>
> |x_21,y_22|
> |x_31,y_32|
>
> |x_11,y_12|
> |x_31,y_32|

これは出鱈目ですね. 1 と 2 が余計です.
山本さんの定義とも違っています.

> だからやはりどう見てもC^3(=C^(3C2))の元だと思うのですが、、これも勘違いでしょうか?

はい.
常に, 基底 e_{j_1}Λe_{j_2}Λ…Λe_{j_p} (1 \leq j_1 < j_2 < … < j_p \leq n)
((j_1, j_2, … , j_p) には辞書式順序が入っていることにも注意)
についての表示であることを意識しなければなりません.
だから,

(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)Λ(y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3)

= (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1Λe_2

+ (x_1 y_3 - x_3 y_1) e_1Λe_3

+ (x_2 y_3 - x_3 y_2) e_2Λe_3

と書くのが正しいのです.

数ベクトル空間 C^3 の標準基底 e_1, e_2, e_3 を固定するとき,
Λ^2 C^3 は e_1Λe_2, e_1Λe_3, e_2Λe_3 を基底とするベクトル空間です.
それは C^3 と同じ次元を持っていますから,
C^3 と同型ではありますが,
同じベクトル空間とは考えません.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> だいぶ分かってきました。
> そうでしょうか.

まだまだのようです。

>> かなり前の記事で
>> 「さて, Λ^2 C^3 の任意の 0 でないベクトル w は,
>> C^3 のある正規直交基底 v_1, v_2, v_3 を用いて,
>> w = k v_2Λv_3 (k \neq 0)
>> と表せます.」
>> と仰ってますが,
>> v_2:=e_2,v_3:=e_3の場合は,kv_2∧v_3=ke_2∧e_3=k(0,1,0)^T=(0,k,0)^Tとなりますよね。
> w に対応して v_1, v_2, v_3 を選ぼうという話であるのに,
> 先に v_2, v_3 を固定する話をするのは,
> 初っ端から間違っています.

そうでした。
0≠∀w∈C^3はw=k v_i∧v_j (i,j∈{1,2,3})と表されるのでしたね。

>> あと,
>> 「xΛy は C^3 の元ではありませんね.
>> 外積 Λ と R^3 でのベクトル積 × (あるいはその C^3 への拡張) とは違います.」
>>
>> についてですが,山本氏の定義では,
>> x=(x_1,x_2,x_3)^T,y:=(y_1,y_2,y_3)^T∈C^3に於いて,
>> x∧y=
>> |x_11,y_12|
>> |x_21,y_22|
>>
>> |x_21,y_22|
>> |x_31,y_32|
>>
>> |x_11,y_12|
>> |x_31,y_32|
>
> これは出鱈目ですね. 1 と 2 が余計です.
> 山本さんの定義とも違っています.

x∧y=
|x_1,y_1|
|x_2,y_2|

|x_1,y_1|
|x_3,y_3|

|x_2,y_2|
|x_3,y_3|

でしたね。失礼致しました。

>> だからやはりどう見てもC^3(=C^(3C2))の元だと思うのですが、、
>> これも勘違いでしょうか?
> はい.
> 常に, 基底 e_{j_1}Λe_{j_2}Λ…Λe_{j_p} (1 \leq j_1 < j_2 < … < j_p \leq
> n)
> ((j_1, j_2, … , j_p) には辞書式順序が入っていることにも注意)
> についての表示であることを意識しなければなりません.
> だから,
> (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)Λ(y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3)
> = (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1Λe_2
> + (x_1 y_3 - x_3 y_1) e_1Λe_3
> + (x_2 y_3 - x_3 y_2) e_2Λe_3
> と書くのが正しいのです.

勿論,
e_1Λe_2=(0,1,0)^T
e_1Λe_3=(0,0,1)^T
e_2Λe_3=(1,0,0)^T
ですよね。

> 数ベクトル空間 C^3 の標準基底 e_1, e_2, e_3 を固定するとき,
> Λ^2 C^3 は e_1Λe_2, e_1Λe_3, e_2Λe_3 を基底とするベクトル空間です.
> それは C^3 と同じ次元を持っていますから,
> C^3 と同型ではありますが,
> 同じベクトル空間とは考えません.

集合的にはΛ^2 C^3=C^3ですが,別々の線形写像と見るのですね。

D:=
d_11,d_21~,d_31~
d_21,d_22,d_32~
d_31,d_32,d_33

の時,
(Dx,y)=(D(v∧w),v∧w) (但し,x,y,v,w∈C^3)
=((u_1 u_2 u_3)^*[C]_{u_1,u_2,u_3}(v∧w),v∧w)
(但し,[C]_{u_1,u_2,u_3}は写像Cの正規直交基底{u_1:=e_2Λe_3,u_2:=e_1Λe_3,u_3:=e_1Λe_2}に於ける表現行列)
=(C(α_1u_1+α_2u_2+α_3u_3),α_1u_1+α_2u_2+α_3u_3)
=Σ[i,j=1..3]α_i\bar{α_j}(C(u_i),u_j)
=Σ[i=1..3]|α_i|^2d_ii>0 (∵d_ii>0)
となるのですよね。
そこで,(C(u_i),u_j)=0 (i≠j)を言わねばならないのですがどうすれば言えるのでしょうか?

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2015年12月26日土曜日 3時15分59秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> 集合的にはΛ^2 C^3=C^3ですが,別々の線形写像と見るのですね。

ベクトル空間（線形空間）としても同形ですが,
別々の線形空間と見ます.

> D:=
> d_11,d_21~,d_31~
> d_21,d_22,d_32~
> d_31,d_32,d_33
> の時,

D は正定値エルミート行列 A, B から 定められたものでした.
それを C^3 上の線形変換の表現行列ではなく,
Λ^2 C^3 上の線形変換の表現行列と考えると,
C(vΛw) = A(v)ΛB(w) + B(v)ΛA(w)
で定義される線形写像の表現行列であることを注意しました.
(但し, A, B を線形写像として考えるときの基底と,
C の表現行列としての D を考えるときの基底には
注意が必要です.)
従って, 任意の正定値エルミート行列 A, B に対して
D が正定値エルミート行列であることを証明するには,
任意の正定値エルミート線形変換 E, F に対して
C(vΛw) = E(v)ΛF(w) + E(v)ΛF(w)
で定義される Λ^2 C^3 の線形変換が正定値エルミートであることを
証明すれば良い.
それには任意の x \in Λ^2 C^3, x \neq 0 に対して
(C(x), x) > 0 を示せば良い.
ところが, C^3 のある正規直交基底 u_1, u_2, u_3 に対して,
x = k u_2Λu_3 (k \neq 0) と表せますから,
(C(u_2Λu_3), u_2Λu_3) > 0 を示せば良い.
ここまでは理解されましたか.

> (Dx,y)=(D(v∧w),v∧w) (但し,x,y,v,w∈C^3)

この計算を持ち出しているのはどうも誤解があるようです.

> =((u_1 u_2 u_3)^*[C]_{u_1,u_2,u_3}(v∧w),v∧w)
> (但し,[C]_{u_1,u_2,u_3}は写像Cの
> 正規直交基底{u_1:=e_2Λe_3,u_2:=e_1Λe_3,u_3:=e_1Λe_2}に於ける表現行列)
> =(C(α_1u_1+α_2u_2+α_3u_3),α_1u_1+α_2u_2+α_3u_3)
> =Σ[i,j=1..3]α_i\bar{α_j}(C(u_i),u_j)
> =Σ[i=1..3]|α_i|^2d_ii>0 (∵d_ii>0)
> となるのですよね。
> そこで,(C(u_i),u_j)=0 (i≠j)を言わねばならないのですが
> どうすれば言えるのでしょうか?

全く誤解されているようです.

(C(u_2Λu_3), u_2Λu_3)
= (E(u_2)ΛF(u_3) + F(u_2)ΛE(u_3), u_2Λu_3)
= (E(u_2)ΛF(u_3), u_2Λu_3) + (F(u_2)ΛE(u_3), u_2Λu_3)
= ((E(u_2), u_2)(F(u_3), u_3) - (E(u_2), u_3)(F(u_3), u_2))
+ ((F(u_2), u_2)(E(u_3), u_3) - (F(u_2), u_3)(E(u_3), u_2))
= (e_{22} f_{33} - e_{23} f_{32}) + (f_{22} e_{33} - f_{23} e_{32})

となります. ここで, e_{ij} = (E(u_i), u_j), f_{ij} = (F(u_i), u_j)
はいずれも正定値エルミート行列の成分です.

一方, 貴方は, 正定値エルミート行列 A, B に対して,

d_{11} = a_{22} b_{33} + a_{33} b_{22} - a_{23} b_{32} - a_{32} b_{23}

が正であることは示せたとおっしゃっていたのですから,
上の (C(u_2Λu_3), u_2Λu_3) も正であることは分かったことになります.
それで証明終わりです.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

> ベクトル空間（線形空間）としても同形ですが,
> 別々の線形空間と見ます.

了解です。

> それには任意の x \in Λ^2 C^3, x \neq 0 に対して
> (C(x), x) > 0 を示せば良い.
> ところが, C^3 のある正規直交基底 u_1, u_2, u_3 に対して,
> x = k u_2Λu_3 (k \neq 0) と表せますから,
> (C(u_2Λu_3), u_2Λu_3) > 0 を示せば良い.
> ここまでは理解されましたか.

ここは xは任意なのだから,x=ku_i∧u_j 但し,i,j∈{1,2,3},i<j.
ではないのでしょうか?

>> (Dx,y)=(D(v∧w),v∧w) (但し,x,y,v,w∈C^3)
> この計算を持ち出しているのはどうも誤解があるようです.
:
>> =((u_1 u_2 u_3)^*[C]_{u_1,u_2,u_3}(v∧w),v∧w)

> 上の (C(u_2Λu_3), u_2Λu_3) も正であることは分かったことになります.
> それで証明終わりです.

有難うございます。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年1月3日日曜日 5時37分51秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> > ところが, C^3 のある正規直交基底 u_1, u_2, u_3 に対して,
> > x = k u_2Λu_3 (k \neq 0) と表せますから,
> > (C(u_2Λu_3), u_2Λu_3) > 0 を示せば良い.
> > ここまでは理解されましたか.
>
> ここは xは任意なのだから,x=ku_i∧u_j 但し,i,j∈{1,2,3},i<j.
> ではないのでしょうか?

正規直交基底はその並び方の順序にはよりませんから,
x = k u_2Λu_3 となるように, u_1, u_2, u_3 を
取ることができます.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>> ところが, C^3 のある正規直交基底 u_1, u_2, u_3 に対して,
>>> x = k u_2Λu_3 (k \neq 0) と表せますから,
>>> (C(u_2Λu_3), u_2Λu_3) > 0 を示せば良い.
>>> ここまでは理解されましたか.
>> ここは xは任意なのだから,x=ku_i∧u_j 但し,i,j∈{1,2,3},i<j.
>> ではないのでしょうか?
> 正規直交基底はその並び方の順序にはよりませんから,
> x = k u_2Λu_3 となるように, u_1, u_2, u_3 を
> 取ることができます.

つまり, U:={{u_2,u_3}∈2^{C^3};{u_1,u_2,u_3}は∧^2C^3の正規直交基底}とすると,
∀x∈∧^2C^3に対して,{u_2,u_3}∈Uと複素数k(≠0)が存在して,x=ku_2∧u_3となるという事ですね?

[Kyoko Yoshida]

たびたびすみません。

u_1:=e_2Λe_3, u_2 := e_1Λe_3, u_3 := e_1Λe_2の時,
e_1Λe_2=(0,1,0)^T
e_1Λe_3=(0,0,1)^T
e_2Λe_3=(1,0,0)^T
だから
u_1∧u_2=(0,1,0)^T∧(0,0,1)^T=(0,0,1)^T
u_2∧u_3=(0,0,1)^T∧(1,0,0)^T=(0,0,-1)^T
u_1∧u_3=(0,1,0)^T∧(1,0,0)^T=(-1,0,0)^T
であるので
0≠∀x∈Λ^2 C^3はx=ku_2∧u_3では不十分で
x=k_1u_1∧u_2+k_2u_2∧u_3+k_3u_1∧u_3 但し,(0,0,0)≠(k_1,k_2,k_3)∈C^3.
と書かれねばならないと思うのですが。。　如何でしょうか?

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年1月5日火曜日 12時40分06秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> u_1:=e_2Λe_3, u_2 := e_1Λe_3, u_3 := e_1Λe_2の時,

今議論している文脈での u_1, u_2, u_3 は
C^3 の正規直交基底ですよ.

x = k_1 e_1Λe_2 + k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3
= e_1Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3) + k_3 e_2Λe_3

において, k_1 \neq 0 とすると,

= e_1Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3) + (k_3/k_1) (k_1 e_2 + k_2 e_3)Λe_3
= (e_1 - (k_3/k_1) e_3)Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3)

ですが, e_1 - (k_3/k_1) e_3, k_1 e_2 + k_2 e_3 に
Schmidt の直交化を加えて u_2, u_3 を作り,
それに u_1 を合わせて u_1, u_2, u_3 が C^3 の正規直交基底と
なるようにすれば, x = k u_2Λu_3 となります.
k_2 \neq 0, k_1 = k_2 = 0 の場合はお考え下さい.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> u_1:=e_2Λe_3, u_2 := e_1Λe_3, u_3 := e_1Λe_2の時,
> 今議論している文脈での u_1, u_2, u_3 は
> C^3 の正規直交基底ですよ.

:

> なるようにすれば, x = k u_2Λu_3 となります.
> k_2 \neq 0, k_1 = k_2 = 0 の場合はお考え下さい.

漸く分かりました。
Γ:={(u_2,u_3)∈C^3;∃u_1∈C^3 such that {u_1,u_2,u_3}はC^3の正規直交基底}と置くと,
0≠∀x∈∧^2C^3に対して,∃(u_2,u_3)∈Γ,0≠k∈C;x=ku_2∧u_3という事,
つまり,u_2とu_3とkはxに依存して定まるという事なのですね。

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> u_1:=e_2Λe_3, u_2 := e_1Λe_3, u_3 := e_1Λe_2の時,
> 今議論している文脈での u_1, u_2, u_3 は
> C^3 の正規直交基底ですよ.

失礼致しました。

> x = k_1 e_1Λe_2 + k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3
> = e_1Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3) + k_3 e_2Λe_3
> において, k_1 \neq 0 とすると,
> = e_1Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3) + (k_3/k_1) (k_1 e_2 + k_2 e_3)Λe_3
> = (e_1 - (k_3/k_1) e_3)Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3)
> ですが, e_1 - (k_3/k_1) e_3, k_1 e_2 + k_2 e_3 に
> Schmidt の直交化を加えて u_2, u_3 を作り,
> それに u_1 を合わせて u_1, u_2, u_3 が C^3 の正規直交基底と
> なるようにすれば, x = k u_2Λu_3 となります.
> k_2 \neq 0, k_1 = k_2 = 0 の場合はお考え下さい.

採りあえず,k_1≠0の時を計算してみました。
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/u2.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/u3.jpg
よって,0≠∃k∈C;x=ku_2∧u_3が言えるのですね。

k_1=0,k_2k_3≠0の時は
x = k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3
=(k_2e_1+k_3e_2)∧e_3.
なので,{k_2e_1+k_3e_2,e_3}を正規直交化してそれらをu_2,u_3∈C^3とすればいいのですね。

k_1=k_2=0,k_3≠0の時は
x=k_3e_2∧e_3なのでu_2:=e_2,u_3:=e_3と採ればいいのですね。

k_1=k_3=0,k_2≠0の時は
x=k_2 e_1Λe_3なのでu_2:=e_1,u_3:=e_3と採ればいいのですね。

[Kyoko Yoshida]

たびたび申し訳ありません。

「0≠∀w∈∧^2C^3に対して,0≠∃k∈C,∃u_2,u_3∈C^3 such that
∃u_1∈C^3;{u_1,u_2,u_3}はC^3の正規直交基底」の理解に難儀しております。
k_1≠0の時と,k_1=0且つ(k_2,k_3)≠(0,0)の時について計算してみました(下記の(iii)の箇所です)。
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/GrassmannProduct.pdf
双方ともk=1となってしまったのですがこれでいいのでしょうか?

ご回答賜れれば幸いでございます。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年2月5日金曜日 9時09分14秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> 「0≠∀w∈∧^2C^3に対して,0≠∃k∈C,∃u_2,u_3∈C^3 such that
> ∃u_1∈C^3;{u_1,u_2,u_3}はC^3の正規直交基底」の理解に難儀しております。
> k_1≠0の時と,k_1=0且つ(k_2,k_3)≠(0,0)の時について計算してみました
> (下記の(iii)の箇所です)。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/GrassmannProduct.pdf
> 双方ともk=1となってしまったのですがこれでいいのでしょうか?

k_1 \neq 0 のとき,

k_1 e_1Λe_2 + k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3

= (e_1 - (k_3/k_1) e_3)Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3)

であり, v_1 = e_1 - (k_3/k_1) e_3, v_2 = k_1 e_2 + k_2 e_3 とおくと,
= v_1Λv_2
ですが, v_1, v_2 を正規直交化して得られる
u_2 = (1/\sqrt{1 + |k_3/k_1|^2})(e_1 - (k_3/k_1) e_3),
u_3 = (1/\sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1+|k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2})
\times (k_2\bar{k_3}/\bar{k_1} e_1 + (1+|k_3/k_1|^2)k_1 e_2 + k_2 e_3)
について,
v_1 = \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2,
v_2 = (- k_2\bar{k_3}/\bar{k_1}) \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2
+ \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2}
\times(1/\sqrt{1+|k_3/k_1|^2}) u_3
ですから,
v_1Λv_2
= \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2} u_2Λu_3
となり,
k = \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2}
でしょう.

k_1 = 0 の場合はお考え下さい.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> 「0≠∀w∈∧^2C^3に対して,0≠∃k∈C,∃u_2,u_3∈C^3 such that
>> ∃u_1∈C^3;{u_1,u_2,u_3}はC^3の正規直交基底」の理解に難儀しております。
>> k_1≠0の時と,k_1=0且つ(k_2,k_3)≠(0,0)の時について計算してみました
>> (下記の(iii)の箇所です)。
>> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/GrassmannProduct.pdf
>> 双方ともk=1となってしまったのですがこれでいいのでしょうか?
> k_1 \neq 0 のとき,
> k_1 e_1Λe_2 + k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3
> = (e_1 - (k_3/k_1) e_3)Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3)
> であり, v_1 = e_1 - (k_3/k_1) e_3, v_2 = k_1 e_2 + k_2 e_3 とおくと,
> = v_1Λv_2
> ですが, v_1, v_2 を正規直交化して得られる
> u_2 = (1/\sqrt{1 + |k_3/k_1|^2})(e_1 - (k_3/k_1) e_3),
> u_3 = (1/\sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1+|k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 +
> |k_2|^2})
> \times (k_2\bar{k_3}/\bar{k_1} e_1 + (1+|k_3/k_1|^2)k_1 e_2 + k_2
> e_3)
> について,
> v_1 = \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2,
> v_2 = (- k_2\bar{k_3}/\bar{k_1}) \sqrt{1 + |k_3/k_1|^2} u_2
> + \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 +
> |k_2|^2}
> \times(1/\sqrt{1+|k_3/k_1|^2}) u_3
> ですから,

有難うございます! 正規直交後のベクトルは正規直交前のベクトルの定数倍に成っているのですね。これは知りませんでした。

> v_1Λv_2
> = \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2}
> u_2Λu_3
> となり,
> k = \sqrt{|k_2|^2|k_3|^2/|k_1|^2 + (1 + |k_3/k_1|^2)^2|k_1|^2 + |k_2|^2}
> でしょう.

なるほど納得です。


> k_1 = 0 の場合はお考え下さい.

http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/GrassmannProduct.pdf
より,
v_1=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3,
v_2=u_2
だから,w=(k_2e_1+k_3e_2∧e_3)=(∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3)∧u_2=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3∧u_2で,

k=∥k_2e_1+k_3e_2∥となるのですね。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年2月9日火曜日 9時23分23秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> 正規直交後のベクトルは正規直交前のベクトルの定数倍に成っているのですね。

正規直交化の過程で, それらの張る部分空間は同一に保たれます.

> v_1=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3,
> v_2=u_2
> だから,w=(k_2e_1+k_3e_2∧e_3)=(∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3)∧u_2=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3∧u_2で,
>
> k=∥k_2e_1+k_3e_2∥となるのですね。

u_2Λu_3 の係数ですから, その(-1)倍です.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。


>> 正規直交後のベクトルは正規直交前のベクトルの定数倍に成っているのですね。
> 正規直交化の過程で, それらの張る部分空間は同一に保たれます.

どういう事ですか?
元のベクトルはv_1とv_2は直交してないのに,それらを定数倍(v_1とv_2の夫々の長さが変化するだけですよね)したものは直交するようになる...というのは,一体どう解釈したらいいのでしょうか?

>> v_1=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3,
>> v_2=u_2
>> だから,w=(k_2e_1+k_3e_2∧e_3)=(∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3)∧u_2=∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3∧u_2で,
>>
>> k=∥k_2e_1+k_3e_2∥となるのですね。
> u_2Λu_3 の係数ですから, その(-1)倍です.

おっとそうでした。どうも有難うございます。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年2月13日土曜日 3時53分24秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> > 正規直交化の過程で, それらの張る部分空間は同一に保たれます.
>
> どういう事ですか?
> 元のベクトルはv_1とv_2は直交してないのに,
> それらを定数倍(v_1とv_2の夫々の長さが変化するだけですよね)したものは
> 直交するようになる...というのは,一体どう解釈したらいいのでしょうか?

誰もそんなことは言っていません.
一次独立なベクトル v_1, v_2 から正規直交なベクトル u_1, u_2 を作るとき,
u_1 は v_1 のスカラー倍ですが,
u_2 は v_2 から u_1 方向の成分を引き去った w_2 = v_2 - <v_2, u_1> u_1
のスカラー倍です.
v_1 の張る部分ベクトル空間と u_1 の張る部分ベクトル空間は一致しますし,
v_1, v_2 の張る部分ベクトル空間と u_1, u_2 の張る部分ベクトル空間も
一致します.
任意の自然数 n について,
一次独立なベクトル v_1, v_2, \dots, v_n から
正規直交なベクトル u_1, u_2, \dots, u_n を構成する際に
その途中の 1 \leq k \leq n において
v_1, v_2, \dots, v_k で張られる部分ベクトル空間と
u_1, u_2, \dots, u_k で張られる部分ベクトル空間とが
一致することも, 常に成立していることです.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>> 正規直交化の過程で, それらの張る部分空間は同一に保たれます.
>> どういう事ですか?
>> 元のベクトルはv_1とv_2は直交してないのに,
>> それらを定数倍(v_1とv_2の夫々の長さが変化するだけですよね)したものは
>> 直交するようになる...というのは,一体どう解釈したらいいのでしょうか?
> 誰もそんなことは言っていません.
> 一次独立なベクトル v_1, v_2 から正規直交なベクトル u_1, u_2 を作るとき,
> u_1 は v_1 のスカラー倍ですが,
> u_2 は v_2 から u_1 方向の成分を引き去った w_2 = v_2 - <v_2, u_1> u_1
> のスカラー倍です.

これは
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/gram_schmidt.jpg
のように\overrightarrow{AD}がw_2に相当しその定数倍がu_2になる.
という解釈でよろしかったでしょうか?

この図からやはりu_2はv_2のスラカー倍(平行関係)にはなってませんよね。

でも,前記事で求めたv_1=-∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3では-∥k_2e_1+k_3e_2∥はスカラーですよね。
故にv_1とu_3は平行関係にありますよね?

どういうからくりなのでしょうか?

> v_1 の張る部分ベクトル空間と u_1 の張る部分ベクトル空間は一致しますし,
> v_1, v_2 の張る部分ベクトル空間と u_1, u_2 の張る部分ベクトル空間も
> 一致します.

これは上の図からも納得です。

> 任意の自然数 n について,
> 一次独立なベクトル v_1, v_2, \dots, v_n から
> 正規直交なベクトル u_1, u_2, \dots, u_n を構成する際に
> その途中の 1 \leq k \leq n において
> v_1, v_2, \dots, v_k で張られる部分ベクトル空間と
> u_1, u_2, \dots, u_k で張られる部分ベクトル空間とが
> 一致することも, 常に成立していることです.

有難うございます。これは参考になります。

[Kyoko Yoshida]

たびたび申し訳ありません。

> これは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/gram_schmidt.jpg
> のように\overrightarrow{AD}がw_2に相当しその定数倍がu_2になる.
> という解釈でよろしかったでしょうか?
> この図からやはりu_2はv_2のスラカー倍(平行関係)にはなってませんよね。
> でも,前記事で求めたv_1=-∥k_2e_1+k_3e_2∥u_3では-∥k_2e_1+k_3e_2∥はスカラーですよね。
> 故にv_1とu_3は平行関係にありますよね?
> どういうからくりなのでしょうか?

これはk_1=0の場合でしたね。勘違いしておりました。ご説明納得できました。

[Kyoko Yoshida]

更に分かりました。

> 任意の自然数 n について,
> 一次独立なベクトル v_1, v_2, \dots, v_n から
> 正規直交なベクトル u_1, u_2, \dots, u_n を構成する際に
> その途中の 1 \leq k \leq n において
> v_1, v_2, \dots, v_k で張られる部分ベクトル空間と
> u_1, u_2, \dots, u_k で張られる部分ベクトル空間とが
> 一致することも, 常に成立していることです.

これを知っていれば
0≠∀k_1v_1∧k_2v_2∈C^3∧C^3に対して,0≠∃k∈C;ku_2∧u_3が直ちに言えたのですね。

[Kyoko Yoshida]

いつも大変お世話になっております。

あれからグラスマン積についてhttp://www.rainbowseeker.jp/xoops/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=401&forum=12&post_id=2970&noreadjump=1
や
第 6 回 ベクトル代数 - TOKYO TECH OCW
といったサイトで調べてみました。

グラスマン積は交代積とも呼ばれるのですね。
山本哲朗氏の著書ではグラスマン積はnCp次の列ベクトルになってますが,
サイトでは(3次の場合)
Alt(a,b):=
0, a_1b_2-a_2b_1,a_1b_3-a_3b_1
-(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
-(a_1b_3-a_3b_1),-(a_2b_3-a_3b_2),0
という3×3行列になってるのですがこれはどう解釈したらいいのでしょうか?

3次のグラスマン積の定義は著書では,
Grs(a,b):=(a_1b_2-b_1a_2,a_1b_3-b_1a_3,a_2b_3-b_2a_3)∈F^3
という3次元ベクトルですよね?

あと,グラスマン積とベクトル積との違いですが,
ベクトル積とはグラスマン積の特別な場合で,p:=n-1の時且つ下(第n成分)から符号が+,-,+,-,…と交互になっているものの事ですね?

4次の場合だと
Vct(a,b,c):=diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)と書けるのですね?

最後に外積とはグラスマン積やベクトル積とも異なる概念で,3次の場合の外積とは
Ext(a,b):=
0, a_1b_2-a_2b_1,-(a_1b_3-a_3b_1)
-(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
a_1b_3-a_3b_1,-(a_2b_3-a_3b_2),0
という3×3行列の事だと解釈したのですがこれで宜しいでしょうか?

[Kyoko Yoshida]

再度失礼致します。

今議論は3×3の場合でしたが,下記のように一般の場合n×nに拡張してみました。
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/Grassman_product0.pdf

これで大丈夫でしょうか?

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年2月24日水曜日 20時32分22秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> あれからグラスマン積についてhttp://www.rainbowseeker.jp/xoops/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=401&forum=12&post_id=2970&noreadjump=1
> や

余り参考になることは書かれていないように思います.

> 第 6 回 ベクトル代数 - TOKYO TECH OCW
> といったサイトで調べてみました。

こちらは東工大が講義録を公開しているものの中の「材料数理科学」の
ものでしょうか.

> グラスマン積は交代積とも呼ばれるのですね。

基底を固定して, 外積を { n \choose p }-次元の数ベクトルとして表し,
Grassman 積と呼ぶのは, 一部での習慣でしょう.
ベクトル空間の外積を交代なテンソル積と考えるときに
外積を交対積と呼ぶこともまああるでしょう.

> 山本哲朗氏の著書ではグラスマン積はnCp次の列ベクトルになってますが,
> サイトでは(3次の場合)
> Alt(a,b):=
> 0, a_1b_2-a_2b_1,a_1b_3-a_3b_1
> -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
> -(a_1b_3-a_3b_1),-(a_2b_3-a_3b_2),0
> という3×3行列になってるのですがこれはどう解釈したらいいのでしょうか?

ベクトル空間 V に内積が入っていて,
V とその双対ベクトル空間 V^* とを同一視できるとき,
V \otimes V と V \otimes V^* を同一視することができます.
V = R^3 なら, u \in R^3 に対して {}^t u \in (R^3)^* が対応しますから,
u \otimes v には u \otimes {}^t v が, また, u {}^t v という行列が
対応します.
# V \otimes V^* は Hom(V, V) と同型です.
u_1, u_2, \dots, u_p に対して,
その外積 u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p を交代テンソルとして
考えることは,
\sum_{\sigma \in S_p} \sgn(p) u_{\sigma(1)} \otimes u_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes u_{\sigma(p)} を対応させることですから,
u \wedge v = u \otimes v - v \otimes u であり,
= u {}^t v - v {}^t u を作ることです.

> 3次のグラスマン積の定義は著書では,
> Grs(a,b):=(a_1b_2-b_1a_2,a_1b_3-b_1a_3,a_2b_3-b_2a_3)∈F^3
> という3次元ベクトルですよね?

3 次の交代行列全体は 3 次元のベクトル空間であり,
上の対応を保つ同型が存在します.

> あと,グラスマン積とベクトル積との違いですが,
> ベクトル積とはグラスマン積の特別な場合で,
> p:=n-1の時且つ下(第n成分)から符号が+,-,+,-,…と交互になっているものの事ですね?

n = 3 の場合でなければ, 普通ベクトル積は考えません.
因みに, 「符号が」「交互」というのは,
1-vector u と (n-1)-vector \alpha の外積 u \wedge \alpha が
標準的な n-vector \omega の k 倍であるとき, 即ち,
u \wedge \alpha = k \omega のとき,
\alpha(u) = k として, \alpha を V^* の元と考えて,
更に, V と V^* とを同一視して, (n-1)個のベクトルの外積に
一つのベクトルを対応させるということであれば,
基底をとって考えるのでも, 順序を逆にする必要があるでしょう.

> 4次の場合だと
> Vct(a,b,c):=diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)と
> 書けるのですね?

山本さんの定義で a \wedge b \wedge c が
順に \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 の成分を持つとき,
(\times(a, b, c), d) = \det(a, b, c, d) とするには,
= \Delta_4 d_1 - \Delta_3 d_2 + \Delta_2 d_3 - \Delta_1 d4
ですから, \times(a, b, c) の成分は
順に \Delta_4, - \Delta_3, \Delta_2, - \Delta_1 とする必要があります.
だから, 貴方の式は違います.

> 最後に外積とはグラスマン積やベクトル積とも異なる概念で,3次の場合の外積とは
> Ext(a,b):=
> 0, a_1b_2-a_2b_1,-(a_1b_3-a_3b_1)
> -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
> a_1b_3-a_3b_1,-(a_2b_3-a_3b_2),0
> という3×3行列の事だと解釈したのですがこれで宜しいでしょうか?

だから, それも違います.

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本千秋です.

2016年3月4日金曜日 8時31分18秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> 今議論は3×3の場合でしたが,下記のように一般の場合n×nに拡張してみました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/Grassman_product0.pdf
>
> これで大丈夫でしょうか?

良く読み取れませんが, V = C^n, V には標準的なエルミート内積を入れ,
A_1, A_2, \dots, A_{n-1}: V \to V を正定値エルミート対称な一次変換,
W = Λ^{n-1} V とするとき, (i) は
D(A_1, A_2, \dots, A_{n-1}): W \to W を
D(A_1, A_2, \dots, A_{n-1})(u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_{n-1})
= \sum_{\sigma \in S_{n-1}} A_{\sigma(1)}(u_1) \wedge A_{\sigma(2)}(u_2) \wedge \cdots \wedge A_{\sigma(n-1)}(u_{n-1})
で定めると, D(A_1, A_2, \dots, A_{n-1}) は正定値エルミート対称である,
との主張でしょうか.
少しも obvious ではないと思いますよ.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。
先ずこちらの方から回答させて下さい。

>> 今議論は3×3の場合でしたが,下記のように一般の場合n×nに拡張してみました。
>> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/Grassman_product0.pdf
>> これで大丈夫でしょうか?
> 良く読み取れませんが, V = C^n, V には標準的なエルミート内積を入れ,
> A_1, A_2, \dots, A_{n-1}: V \to V を正定値エルミート対称な一次変換,
> W = Λ^{n-1} V とするとき, (i) は
> D(A_1, A_2, \dots, A_{n-1}): W \to W を
> D(A_1, A_2, \dots, A_{n-1})(u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_{n-1})
> = \sum_{\sigma \in S_{n-1}} A_{\sigma(1)}(u_1) \wedge A_{\sigma(2)}(u_2)
> \wedge \cdots \wedge A_{\sigma(n-1)}(u_{n-1})
> で定めると, D(A_1, A_2, \dots, A_{n-1}) は正定値エルミート対称である,
> との主張でしょうか.
> 少しも obvious ではないと思いますよ.

そっそうですか。。

一応,下記のように示してみましたが勘違いしてますでしょうか? (H_nは全てのn×nエルミート行列の集合を表してます)
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/mixed_matrix0.pdf.jpg

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年3月15日火曜日 3時32分07秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> 一応,下記のように示してみましたが勘違いしてますでしょうか?
> (H_nは全てのn×nエルミート行列の集合を表してます)
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/mixed_matrix0.pdf.jpg

ああ,
> (H_nは全てのn×nエルミート行列の集合を表してます)
分かりました.

> >> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/Grassman_product0.pdf

これの１行目の "positive definite" が間違っているわけですね.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>>> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/Grassman_product0.pdf
> これの１行目の "positive definite" が間違っているわけですね.

ん? どういう事でしょうか?

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

> 余り参考になることは書かれていないように思います.

そうでしたか。

>> 第 6 回 ベクトル代数 - TOKYO TECH OCW
>> といったサイトで調べてみました。
> こちらは東工大が講義録を公開しているものの中の「材料数理科学」の
> ものでしょうか.

はいさようです。pdfのリンクがなぜか貼れませんでした。

>> グラスマン積は交代積とも呼ばれるのですね。
> 基底を固定して, 外積を { n \choose p }-次元の数ベクトルとして表し,
> Grassman 積と呼ぶのは, 一部での習慣でしょう.

山本氏のようにnCp次の縦ベクトルと表したものをGrassmanと呼ぶ方もいるのですね。




> ベクトル空間の外積を交代なテンソル積と考えるときに
> 外積を交対積と呼ぶこともまああるでしょう.

Grassmann積という対称テンソル積を外積と呼ぶ人もいれば交代積を外積と呼ぶ人もいるのですね。

>> 山本哲朗氏の著書ではグラスマン積はnCp次の列ベクトルになってますが,
>> サイトでは(3次の場合)
>> Alt(a,b):=
>> 0, a_1b_2-a_2b_1,a_1b_3-a_3b_1
>> -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
>> -(a_1b_3-a_3b_1),-(a_2b_3-a_3b_2),0
>> という3×3行列になってるのですがこれはどう解釈したらいいのでしょうか?
> ベクトル空間 V に内積が入っていて,
> V とその双対ベクトル空間 V^* とを同一視できるとき,

ええと,これはFベクトル空間Vの順序を込めた基底をB:=(b_1,b_2,…,b_n)^T
(n:=dimV)と表して
({b_1,b_2,…,b_n}はVの基底),
g:V→V^*;V∋∀(x_1,x_2,…,x_n)B:=XB → g(XB):V→Fを(g(XB))(b_1):=x_1,(g(XB))(b_2):=x_2,…,(g(XB))(b_n):=x_nを満たすF線形形式(線形汎写像)とするとこのgは線形同型(この時gは自然な同型若しくは標準的同型と呼ばれる)となるのですね。

> V \otimes V と V \otimes V^* を同一視することができます.
> V = R^3 なら, u \in R^3 に対して {}^t u \in (R^3)^* が対応しますから,
> u \otimes v には u \otimes {}^t v が, また, u {}^t v という行列が
> 対応します.

この場合は基底BはB:=(I_{11},I_{21},…,I_{33}) (但し,{I_{11},I_{21},…,I_{33}}はR^3(×)R^3の基底I_{ij}=e_i(×)e_j)を採ると,
g:R^3(×)R^3→R^3(×)(R^3)^*;R^3(×)R^3∋∀XB→g(XB)=u {}^t
v∈R^3(×)(R^3)^*

但し,{}^t(u_1,u_2,u_3):=u,{}^t(v_1,v_2,v_3):=v,
X:=
u_1v_1,u_1v_2,u_1v_3
u_2v_1,u_2v_2,u_2v_3
u_3v_1,u_3v_2,u_3v_3
∈R^{3×3}.

XB=
u_1v_1,u_1v_2,u_1v_3
u_2v_1,u_2v_2,u_2v_3
u_3v_1,u_3v_2,u_3v_3

と書けるのですね。

> # V \otimes V^* は Hom(V, V) と同型です.

これについては,B:=(b_1,b_2,…,b_n),D:=(d_1,d_2,…,d_n)
(n:=dimV,{b_1,b_2,…,b_n}と{d_1,d_2,…,d_n}は夫々VとV^*の基底)と置くと,
g:V(×)V^*→Hom(V,V);V(×)V^*∋∀Σ_{k=1..n}x_kb_k (×)Σ_{k=1..n}y_kd_k
:= BX (×) DY (但し,x_k,y_k∈F,k=1,2,…,n,
X:={}^t(x_1,x_2,…,x_n),Y:={}^t(y_1,y_2,…,y_n))
→g(BX (×)DY)∈Hom(V,V)となりますね。
このベクトル準同型写像g(BX (×)DY)は∀w∈Vを何に写す様な写像なのでしょうか?

とりあえずこのg(BX (×)DY)がV(×)V^*とHom(V,V)とのベクトル同型写像になるのですね。

> u_1, u_2, \dots, u_p に対して,
> その外積 u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p を交代テンソルとして
> 考えることは,
> \sum_{\sigma \in S_p} \sgn(p) u_{\sigma(1)} \otimes u_{\sigma(2)} \otimes

\sgn(\sigma)ではなく\sgn(p)なのですか。

> \cdots \otimes u_{\sigma(p)} を対応させることですから,

グラスマン積の記号∧と区別する為に,Exp(,,...,)という記号を使わせていただきますと,
Ext(,,...,):V^p→F
;V^p∋∀(u_1,u_2,…,u_p)
→Ext(u_1,u_2,…,u_p):=Σ_{σ∈Sym(p)}sgn(σ) u_σ(1) (×) u_σ(2) (×) …
(×) u_σ(p)
という事ですね。そして,
u_σ(1) (×) u_σ(2) (×) … (×) u_σ(p):V^p→F
はV上のp階テンソルを意味してるのですね。

> u \wedge v = u \otimes v - v \otimes u であり,
> = u {}^t v - v {}^t u を作ることです.

Ext(,)=u(×)v-v(×)uという事ですね。この時,a,b∈Vに対して(VはF線形空間),
Ext(a,b)=(u(×)v)(a,b)-(v(×)u)(a,b)
=(ua)(×)(vb)-(va)(×)(ub)
∈F
と計算されるのですね。

>> 3次のグラスマン積の定義は著書では,
>> Grs(a,b):=(a_1b_2-b_1a_2,a_1b_3-b_1a_3,a_2b_3-b_2a_3)∈F^3
>> という3次元ベクトルですよね?
> 3 次の交代行列全体は 3 次元のベクトル空間であり,

∀S∈SS(F;3):={A∈F^{3×3};{}^tA=-A}に対しS=a_{21}I_{21}+a_{31}I_{31}+a_{23}I_{23}
(a_{21},a_{32},a_{23}∈F)と書けるので
({I_{21},I_{32},I_{23}}がSS(F;3)の基底として採れますね)　dimSS(F;3)=3ですね。



> 上の対応を保つ同型が存在します

ええと,。φ:∧_{k=1..2}F^3→SS(F;3)を
∧_{k=1..2}F^3∋∀a∧b(=Grs(a,b)) → φ(a∧b):=
0,a_1b_2-a_2b_1,-(a_3b_1-a_1b_3)
-(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
a_3b_1-a_1b_3,-(a_2b_3-a_3b_2),0
∈SS(F;3)
と定義すればこのφはベクトル同型となるのですね。

>> あと,グラスマン積とベクトル積との違いですが,
>> ベクトル積とはグラスマン積の特別な場合で,
>> p:=n-1の時且つ下(第n成分)から符号が+,-,+,-,…と交互になっているものの事ですね?
> n = 3 の場合でなければ, 普通ベクトル積は考えません.

3<nの場合には,Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})とはベクトル空間C^n内のn-1 個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}が作るn-1次元立体Qに直交し,Qの体積(n-1次元複素ルベーグ測度)にそのノルム ∥Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})∥に等しくなるよう
なn次複素ベクトルの事です。

> 因みに, 「符号が」「交互」というのは,
> 1-vector u と (n-1)-vector \alpha の外積 u \wedge \alpha が
> 標準的な n-vector \omega の k 倍であるとき, 即ち,
> u \wedge \alpha = k \omega のとき,

ええと, u∈F^1, α∈F^{n-1}, ω∈F^nで, Ext(u,α)=kωの時という意味でしょうか?

すいません。異なる行数のベクトルuとαの外積Ext(u,α)はどのように定義してあるのでしょうか?

> \alpha(u) = k として, \alpha を V^* の元と考えて,
> 更に, V と V^* とを同一視して, (n-1)個のベクトルの外積に
> 一つのベクトルを対応させるということであれば,

同一視させる...?
つまり,仰ってる事はg:V→V^*をV(=F^1)∋∀u=ke_1→g(ke_1):=α ({e_1}はF^1の基底)で,
α:V(=F^1)→F;F^1∋∀u=ke_1→α(u)=kとαを定義してやればα∈V^*(=(F^1)^*)となり,
このgはベクトル同型写像になっているという内容でしょうか?


>> 基底をとって考えるのでも, 順序を逆にする必要があるでしょう.

すみません。 ちょっと混乱してます。ここでの順序って具体的にどのように換えるのでしょうか?

4次元以上のベクトル空間でのベクトル積についてググってみましたら,最下行から+,-,+,…となってるようでしたので上述致しました。

>> 4次の場合だと
>> Vct(a,b,c):=diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)と
>>
>> 書けるのですね?
> 山本さんの定義で a \wedge b \wedge c が
> 順に \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 の成分を持つとき,
> (\times(a, b, c), d) = \det(a, b, c, d) とするには,
> = \Delta_4 d_1 - \Delta_3 d_2 + \Delta_2 d_3 - \Delta_1 d4

意味がよく分かりません。このdってなんでしょうか?

> ですから, \times(a, b, c) の成分は
> 順に \Delta_4, - \Delta_3, \Delta_2, - \Delta_1 とする必要があります.
> だから, 貴方の式は違います.

つまり,
Vct(a,b,c)={}^t(-⊿_1,⊿_2,-⊿_3,⊿_4)ですね。
私のも

diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)

=diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1}){}^t(⊿_1,⊿_2,⊿_3,⊿_4)
={}^t(-⊿_1,⊿_2,-⊿_3,⊿_4)
という風に一致するのですが。

>> 最後に外積とはグラスマン積やベクトル積とも異なる概念で,3次の場合の外積とは
>>
>> Ext(a,b):=
>> 0, a_1b_2-a_2b_1,-(a_1b_3-a_3b_1)
>> -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
>> a_1b_3-a_3b_1,-(a_2b_3-a_3b_2),0
>> という3×3行列の事だと解釈したのですがこれで宜しいでしょうか?
> だから, それも違います.

えーと,
VとWはF上のベクトル空間で
f:V^m→F,g:W^n→Fを夫々m階,n階の交代テンソルとすれば
Ext(f,g):V^m×W^n→Fを
V^m×W^n∋∀(a_1,a_2,…,a_m,b_1,b_2,…,b_n)
→(Ext(f,g))((a_1,a_2,…,a_m,b_1,b_2,…,b_n))
:=1/(m!n!)Σ_{σ∈Sym(m)}sgn(σ)f(a_σ(1),a_σ(2),…,a_σ(m))g(b_σ(1),b_σ(2),…,b_σ(n))
∈F
が定義かと思いましたが,
a,bが縦ベクトルの場合は何と書けるのでしょうか?
Ext(a,b):=??

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年3月19日土曜日 3時32分52秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> >>>> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/Grassman_product0.pdf
> > これの１行目の "positive definite" が間違っているわけですね.
>
> ん? どういう事でしょうか?

何故か薄くて見落としましたが, １行目には + が肩についているのですね.
そうすると + が付いていないものの定義がないことになります.
一応了解しました.
(ii)以下の解読は困難なので, 暫く措きます.

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年3月19日土曜日 11時56分50秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> > ベクトル空間の外積を交代なテンソル積と考えるときに
> > 外積を交対積と呼ぶこともまああるでしょう.
>
> Grassmann積という対称テンソル積を外積と呼ぶ人もいれば

対称テンソル積ではなく, 交代テンソル積.

> 交代積を外積と呼ぶ人もいるのですね。

私はどちらでも構いません.

> > ベクトル空間 V に内積が入っていて,
> > V とその双対ベクトル空間 V^* とを同一視できるとき,
>
> ええと,これはFベクトル空間Vの順序を込めた基底をB:=(b_1,b_2,…,b_n)^T
> (n:=dimV)と表して
> ({b_1,b_2,…,b_n}はVの基底),

基底なら, ベクトルをヨコに並べることが多いでしょう.

> g:V→V^*;V∋∀(x_1,x_2,…,x_n)B:=XB → g(XB):V→Fを

基底をヨコに並べておけば X はタテベクトルになって,
普通の数ベクトルの表示になります.
そのときは BX \in V ですね.
ともあれ,

> (g(XB))(b_1):=x_1,(g(XB))(b_2):=x_2,…,(g(XB))(b_n):=x_nを満たす
> F線形形式(線形汎写像)とすると

V の基底 b_1, b_2, \dots, b_n に対して,
V^* には双対基底 b^*_1, b^*_2, \dots, b^*_n が
b^*_i(b_j) = \delta_{ij}
により定まりますが,
b^*_i と b_i とは普通同一視されません.
V の内積について b_1, b_2, \dots, b_n が正規直交基底であれば,
x \mapsto (b_i, x) を b_i と同一視して,
V と V^* の同一視が可能になります.

> このgは線形同型(この時gは自然な同型若しくは標準的同型と呼ばれる)となるのですね。

V と V^* には「自然な同型」「標準的な同型」はありません.
貴方の g は無理やり V に b_1, b_2, \dots, b_n が正規直交基底となる
内積を導入したことに対応します.

> > V \otimes V と V \otimes V^* を同一視することができます.
> > V = R^3 なら, u \in R^3 に対して {}^t u \in (R^3)^* が対応しますから,
> > u \otimes v には u \otimes {}^t v が, また, u {}^t v という行列が
> > 対応します.
>
> この場合は基底BはB:=(I_{11},I_{21},…,I_{33})
> (但し,{I_{11},I_{21},…,I_{33}}はR^3(×)R^3の基底I_{ij}=e_i(×)e_j)を採ると,

なるべく V にも V \otimes V にも基底を入れない話をしているのですが,
V が数ベクトル空間 R^3 で, 標準基底 e_1, e_2, e_3 が正規直交基底となる
内積が入った場合を考えるとするなら,
u = u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3,
v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + v_3 e_3 に対して,

> g:R^3(×)R^3→R^3(×)(R^3)^*;
> R^3(×)R^3∋∀XB→g(XB)=u {}^t v∈R^3(×)(R^3)^*

XB ではなく, u \otimes v に対してです.

> 但し,{}^t(u_1,u_2,u_3):=u,{}^t(v_1,v_2,v_3):=v,
> X:=
> u_1v_1,u_1v_2,u_1v_3
> u_2v_1,u_2v_2,u_2v_3
> u_3v_1,u_3v_2,u_3v_3
> ∈R^{3×3}.

u \otimes v = \sum_{i, j=1}^n u_i v_j e_i \otimes e_j
であるのは良い.

> XB=
> u_1v_1,u_1v_2,u_1v_3
> u_2v_1,u_2v_2,u_2v_3
> u_3v_1,u_3v_2,u_3v_3
>
> と書けるのですね。

それに対応する行列が
\pmatrix{
u_1 v_1& u_1 v_2& u_1 v_3\cr
u_2 v_1& u_2 v_2& u_2 v_3\cr
u_3 v_1& u_3 v_2& u_3 v_3\cr
}
であるのも良い.

> > # V \otimes V^* は Hom(V, V) と同型です.
>
> これについては,B:=(b_1,b_2,…,b_n),D:=(d_1,d_2,…,d_n)
> (n:=dimV,{b_1,b_2,…,b_n}と{d_1,d_2,…,d_n}は夫々VとV^*の基底)と置くと,
> g:V(×)V^*→Hom(V,V);V(×)V^*∋∀Σ_{k=1..n}x_kb_k (×)Σ_{k=1..n}y_kd_k
> := BX (×) DY (但し,x_k,y_k∈F,k=1,2,…,n,
> X:={}^t(x_1,x_2,…,x_n),Y:={}^t(y_1,y_2,…,y_n))
> →g(BX (×)DY)∈Hom(V,V)となりますね。
> このベクトル準同型写像g(BX (×)DY)は∀w∈Vを何に写す様な写像なのでしょうか?

g(b_i \otimes d_j)(w) = (d_j(w)) b_i
です.

> とりあえずこのg(BX (×)DY)がV(×)V^*とHom(V,V)とのベクトル同型写像になるのですね。

V \otimes V^* は BX \otimes DY の形の元の一次結合全体であり,
\sum_{i, j=1}^n c_{ij} b_i \otimes d_j の形の元全体であることには注意しましょう.

> > u_1, u_2, \dots, u_p に対して,
> > その外積 u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p を交代テンソルとして
> > 考えることは,
> > \sum_{\sigma \in S_p} \sgn(p) u_{\sigma(1)} \otimes u_{\sigma(2)} \otimes
>
> \sgn(\sigma)ではなく\sgn(p)なのですか。

おっと, \sgn(\sigma) です.

> > \cdots \otimes u_{\sigma(p)} を対応させることですから,
>
> グラスマン積の記号∧と区別する為に,Exp(,,...,)という記号を使わせていただきますと,

何故区別する必要があるのでしょうか.
Exp は通常別の意味で使われますから, 使ってはいけません.

> Ext(,,...,):V^p→F

Ext は通常別の意味で使われますから, 使ってはいけません.
なお, いま V^p の元, 即ち, V の元 p 個の組 (u_1, u_2, \dots, u_p) に
対応させようとしているのは, F の元ではなくて,
V の p 個のテンソル積 V \otimes V \otimes \cdots \otimes V = V^{\otimes p}
の元です.

> ;V^p∋∀(u_1,u_2,…,u_p)
> →Ext(u_1,u_2,…,u_p):=Σ_{σ∈Sym(p)}sgn(σ) u_σ(1) (×) u_σ(2) (×) …
> (×) u_σ(p)
> という事ですね。

これは良いですが,

> そして,
> u_σ(1) (×) u_σ(2) (×) … (×) u_σ(p):V^p→F
> はV上のp階テンソルを意味してるのですね。

u_{\sigma(1)} \otimes u_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes u_{\sigma(p)}
は V のテンソル積 p 乗 V^{\otimes p} の元です.

> > u \wedge v = u \otimes v - v \otimes u であり,
> > = u {}^t v - v {}^t u を作ることです.
>
> Ext(,)=u(×)v-v(×)uという事ですね。

違いますよ.

> この時,a,b∈Vに対して(VはF線形空間),
> Ext(a,b)=(u(×)v)(a,b)-(v(×)u)(a,b)
> =(ua)(×)(vb)-(va)(×)(ub)
> ∈F
> と計算されるのですね。

違いますよ.
a \wedge b = a \otimes b - b \otimes a であると言っているだけです.

> > 3 次の交代行列全体は 3 次元のベクトル空間であり,
>
> ∀S∈SS(F;3):={A∈F^{3×3};{}^tA=-A}に対しS=a_{21}I_{21}+a_{31}I_{31}+a_{23}I_{23}
> (a_{21},a_{32},a_{23}∈F)と書けるので
> ({I_{21},I_{32},I_{23}}がSS(F;3)の基底として採れますね)　dimSS(F;3)=3ですね。

I_{21}
= \pmatrix{
0& -1& 0\cr
1& 0& 0\cr
0& 0& 0\cr
}
I_{31}
= \pmatrix{
0& 0& -1\cr
0& 0& 0\cr
1& 0& 0\cr
}
I_{23}
= \pmatrix{
0& 0& 0\cr
0& 0& 1\cr
0& -1& 0\cr
}
であるなら, そうです.

> > 上の対応を保つ同型が存在します
>
> ええと,。φ:∧_{k=1..2}F^3→SS(F;3)を

Λ_{k=1..2}F^3 は意味不明です.

> ∧_{k=1..2}F^3∋∀a∧b(=Grs(a,b)) → φ(a∧b):=
> 0,a_1b_2-a_2b_1,-(a_3b_1-a_1b_3)
> -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
> a_3b_1-a_1b_3,-(a_2b_3-a_3b_2),0
> ∈SS(F;3)
> と定義すればこのφはベクトル同型となるのですね。

a = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3,
b = b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3 に対して,
\phi(aΛb)
= \phi(a \otimes b - b \otimes a)
= \pmatrix{
a_1 b_1& a_1 b_2& a_1 b_3\cr
a_2 b_1& a_2 b_2& a_2 b_3\cr
a_3 b_1& a_3 b_2& a_3 b_3\cr
}
-
\pmatrix{
b_1 a_1& b_1 a_2& b_1 a_3\cr
b_2 a_1& b_2 a_2& b_2 a_3\cr
b_3 a_1& b_3 a_2& b_3 a_3\cr
}
= \pmatrix{
0& a_1 b_2 - a_2 b_1& a_1 b_3 - a_3 b_1\cr
a_2 b_1 - a_1 b_2& 0& a_2 b_3 - a_3 b_2\cr
a_3 b_1 - a_1 b_3& a_3 b_2 - a_3 b_2& 0\cr
}
ですから, そうです.

> > n = 3 の場合でなければ, 普通ベクトル積は考えません.
>
> 3<nの場合には,Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})とは

だから, 普通考えません. 因みに,

> ベクトル空間C^n内のn-1 個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}が作るn-1次元立体Qに直交し,

Q は複素 n-1 次元の部分空間内のものでしょうが, それは何?
それに直交するベクトルは複素1次元の部分空間内にありますが,

> Qの体積(n-1次元複素ルベーグ測度)にそのノルム ∥Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})∥に

> 等しくなるようなn次複素ベクトルの事です。

n 次ではなく, 1次でしょうか.
その長さを決めても, 長さ 1 の複素数倍を除いてしかそれは決まりません.
R^3 のときでも, その記述では1意に定まりませんよ.

> > 因みに, 「符号が」「交互」というのは,
> > 1-vector u と (n-1)-vector \alpha の外積 u \wedge \alpha が
> > 標準的な n-vector \omega の k 倍であるとき, 即ち,
> > u \wedge \alpha = k \omega のとき,
>
> ええと, u∈F^1, α∈F^{n-1}, ω∈F^nで, Ext(u,α)=kωの時という意味でしょうか?

いいえ. u \in V = F^n, \alpha \in Λ^{n-1} V, \omega \in Λ^n V で,
u \wedge \alpha = k \omega のときです.

> すいません。異なる行数のベクトルuとαの外積Ext(u,α)は
> どのように定義してあるのでしょうか?

p-vector \alpha \in Λ^p V と
q-vector \beta \in Λ^q V との外積
\alpha \wedge \beta \in Λ^{p+q} V の話は
外積代数について書いてある本を探してください.
\alpha = u_1 \wedge \cdots \wedge u_p,
\beta = w_1 \wedge \cdots \wedge w_q と decomposable であれば,
\alpha \wedge \beta
= u_1 \wedge \cdots \wedge u_p \wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_q です.

> > \alpha(u) = k として, \alpha を V^* の元と考えて,
> > 更に, V と V^* とを同一視して, (n-1)個のベクトルの外積に
> > 一つのベクトルを対応させるということであれば,
>
> 同一視させる...?
> つまり,仰ってる事はg:V→V^*をV(=F^1)∋∀u=ke_1→g(ke_1):=α ({e_1}はF^1の基底)で,

F は R とか C とかだとして, V = F^n ですよ.

> α:V(=F^1)→F;F^1∋∀u=ke_1→α(u)=kとαを定義してやればα∈V^*(=(F^1)^*)となり,
> このgはベクトル同型写像になっているという内容でしょうか?

\omega \in Λ^n F^n が与えられていれば (\omega \neq 0),
\alpha \in Λ^{n-1} F^n を (F^n)^* の元と, また (内積があるとして)
F^n の元と対応させて, Λ^{n-1} F^n と F^n との同型写像を考えても良い,
という内容です.

> >> 基底をとって考えるのでも, 順序を逆にする必要があるでしょう.
>
> すみません。 ちょっと混乱してます。
> ここでの順序って具体的にどのように換えるのでしょうか?
>
> 4次元以上のベクトル空間でのベクトル積についてググってみましたら,
> 最下行から+,-,+,…となってるようでしたので上述致しました。

そのとき, 成分はどう並べられていましたか.

> >> 4次の場合だと
> >> Vct(a,b,c):=diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)と
> >>
> >> 書けるのですね?
> > 山本さんの定義で a \wedge b \wedge c が
> > 順に \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 の成分を持つとき,
> > (\times(a, b, c), d) = \det(a, b, c, d) とするには,
> > = \Delta_4 d_1 - \Delta_3 d_2 + \Delta_2 d_3 - \Delta_1 d4
>
> 意味がよく分かりません。このdってなんでしょうか?

d は d_1, d_2, d_3, d_4 を成分とする F^4 のベクトル.

> > ですから, \times(a, b, c) の成分は
> > 順に \Delta_4, - \Delta_3, \Delta_2, - \Delta_1 とする必要があります.
> > だから, 貴方の式は違います.
>
> つまり,
> Vct(a,b,c)={}^t(-⊿_1,⊿_2,-⊿_3,⊿_4)ですね。

違いますよ,
\pmatrix{
\Delta_4\cr
- \Delta_3\cr
\Delta_2\cr
- \Delta_1\cr
}
です.

> 私のも
> diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)
> =diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1}){}^t(⊿_1,⊿_2,⊿_3,⊿_4)
> ={}^t(-⊿_1,⊿_2,-⊿_3,⊿_4)
> という風に一致するのですが。

だから, 並べている順番が違います.
貴方は (1, 2, 3, 4) と (4, 3, 2, 1) が同じだと思いますか.

> VとWはF上のベクトル空間で

異なるベクトル空間 V, W については
(テンソル積 V \otimes W は考えますが)
対称積とか交代積とかは考えません.

[Kyoko Yoshida]

>> ん? どういう事でしょうか?
> 何故か薄くて見落としましたが, １行目には + が肩についているのですね.
> そうすると + が付いていないものの定義がないことになります.
> 一応了解しました.

有難うございます。


> (ii)以下の解読は困難なので, 暫く措きます.

失礼致しました。下記ならいかがでしょうか?

http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product00.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product01.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product02.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product03.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product04.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product05.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product06.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product07.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product08.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product09.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product10.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product11.jpg
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product12.jpg

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>> ベクトル空間の外積を交代なテンソル積と考えるときに
>>> 外積を交対積と呼ぶこともまああるでしょう.
>> Grassmann積という対称テンソル積を外積と呼ぶ人もいれば
> 対称テンソル積ではなく, 交代テンソル積.

え? Grassmann積の各成分⊿_{w_1},⊿_{w_2},⊿_{w_3},⊿_{w_4}は
-⊿_{w_1},⊿_{w_2},-⊿_{w_3},⊿_{w_4}のように符号が交互に入れ替わってなく,常に正になってるではありませんか?


>> 交代積を外積と呼ぶ人もいるのですね。
> 私はどちらでも構いません.

書物によって,交代積(ベクトル積)=外積だったり,Grassman積=外積となってたりしますね。

>>> ベクトル空間 V に内積が入っていて,
>>> V とその双対ベクトル空間 V^* とを同一視できるとき,
>> ええと,これはFベクトル空間Vの順序を込めた基底をB:=(b_1,b_2,…,b_n)^T
>> (n:=dimV)と表して
>> ({b_1,b_2,…,b_n}はVの基底),
> 基底なら, ベクトルをヨコに並べることが多いでしょう.

そうでしたね。

>> g:V→V^*;V∋∀(x_1,x_2,…,x_n)B:=XB → g(XB):V→Fを
> 基底をヨコに並べておけば X はタテベクトルになって,
> 普通の数ベクトルの表示になります.
> そのときは BX \in V ですね.
> ともあれ,

はい。

>> (g(XB))(b_1):=x_1,(g(XB))(b_2):=x_2,…,(g(XB))(b_n):=x_nを満たす
>> F線形形式(線形汎写像)とすると
> V の基底 b_1, b_2, \dots, b_n に対して,
> V^* には双対基底 b^*_1, b^*_2, \dots, b^*_n が
> b^*_i(b_j) = \delta_{ij}
> により定まりますが,
> b^*_i と b_i とは普通同一視されません.
> V の内積について b_1, b_2, \dots, b_n が正規直交基底であれば,
> x \mapsto (b_i, x) を b_i と同一視して,
> V と V^* の同一視が可能になります.

つまり,{b_1,b_2,…,b_n}がVの正規直交基底である時.
g(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F, j=1,2,…,n とする訳ですね。
この写像g(BX)が全射になる事は∀y∈Fに対して,y=0の時は,(V∋)v=0と採ればいいですね。
この時,g(BX)(0)=g(BX)(Σ_{j=1..n}0b_j)=0Σ_{j=1..n}(g(BX))(b_j)=0Σ_{j=1..n}<X,b_j>=0.


y≠0なら∃j∈{1,2,…,n};<X,b_j>≠0で,<X,b_1>≠0とすると,
y=y<X,b_1>^{-1}<X,b_1>+0<X,b_2>+0<X,b_3>+…+0<X,b_n>なので
v=y<X,b_1>^{-1}b_1と採ればいいですね。
この時,
(g(BX))(v)=(g(BX))(y<X,b_1>^{-1}b_1)
=y<X,b_1>^{-1}(g(BX))(b_1)
=y<X,b_1>^{-1}<X,b_1>
=y.

単射である事は
0≠y=y'∈F…(ラ)とすると,<X,b_1>≠0なら,
g(BX)^{-1}(y)=g(BX)^{-1}(y<X,b_1>^{-1}<X,b_1>)
=y<X,b_1>^{-1}b_1.
同様に,
g(BX)^{-1}(y')=y'<X,b_1>^{-1}b_1
を得る。
この時,y<X,b_1>^{-1}b_1=y'<X,b_1>^{-1}b_1となる
(∵もし,≠なら,(y-y')<X,b_1>^{-1}b_1≠0で,今b_1≠0なので,(F∋)(y-y')<X,b_1>^{-1}≠0で,
体Fは整域且つ<X,b_1>^{-1}≠0なので,y≠y'で(ラ)に矛盾)。
故に,g(BX)は単射で結果としてg(BX)は全単射,即ち,ベクトル同型。

>> このgは線形同型(この時gは自然な同型若しくは標準的同型と呼ばれる)となるのですね。
> V と V^* には「自然な同型」「標準的な同型」はありません.
> 貴方の g は無理やり V に b_1, b_2, \dots, b_n が正規直交基底となる
> 内積を導入したことに対応します.

ご紹介頂いた様にg(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F, j=1,2,…,n とすれば,
このg(BX)はVからV^*へのベクトル同型となるのですね。

>>> V \otimes V と V \otimes V^* を同一視することができます.
>>> V = R^3 なら, u \in R^3 に対して {}^t u \in (R^3)^* が対応しますから,
>>> u \otimes v には u \otimes {}^t v が, また, u {}^t v という行列が
>>> 対応します.

:

> それに対応する行列が
> \pmatrix{
> u_1 v_1& u_1 v_2& u_1 v_3\cr
> u_2 v_1& u_2 v_2& u_2 v_3\cr
> u_3 v_1& u_3 v_2& u_3 v_3\cr
> }
> であるのも良い.

纏めると
g: V (×) V → V (×) V^*
をV (×) V ∋ ∀ u (×) v := u_1e_1+u_2e_2+u_3e_3 (×) v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3
→ g(u (×) v) := u (×) v
=u_1 v_1& u_1 v_2& u_1 v_3\cr

u_2 v_1& u_2 v_2& u_2 v_3\cr
u_3 v_1& u_3 v_2& u_3 v_3\cr

の時,このgはベクトル同型となるのですね。

>>> # V \otimes V^* は Hom(V, V) と同型です.
>> これについては,B:=(b_1,b_2,…,b_n),D:=(d_1,d_2,…,d_n)
>> (n:=dimV,{b_1,b_2,…,b_n}と{d_1,d_2,…,d_n}は夫々VとV^*の基底)と置くと,
>> g:V(×)V^*→Hom(V,V);V(×)V^*∋∀Σ_{k=1..n}x_kb_k (×)Σ_{k=1..n}y_kd_k
>> := BX (×) DY (但し,x_k,y_k∈F,k=1,2,…,n,
>> X:={}^t(x_1,x_2,…,x_n),Y:={}^t(y_1,y_2,…,y_n))
>> →g(BX (×)DY)∈Hom(V,V)となりますね。
>> このベクトル準同型写像g(BX (×)DY)は∀w∈Vを何に写す様な写像なのでしょうか?
> g(b_i \otimes d_j)(w) = (d_j(w)) b_i
> です.

(g(b_i (×) d_j))(w):=d_j(w) b_jですね。了解です。

>> とりあえずこのg(BX (×)DY)がV(×)V^*とHom(V,V)とのベクトル同型写像になるのですね。
> V \otimes V^* は BX \otimes DY の形の元の一次結合全体であり,
> \sum_{i, j=1}^n c_{ij} b_i \otimes d_j の形の元全体であることには注意しましょう.

V (×) V^* ∋∀x(×)y:=Σ_{j=1..n}β_ib_j (×) Σ_{j=1..n}δ_id_j (但し,β_j,δ_j∈F)


= Σ_{i, j=1}^n c_{ij} b_i (×) d_j (但し,c_{ij}∈F)
→ g(Σ_{i, j=1}^n c_{ij} b_i (×) d_j)∈Hom(V,V);
V∋∀w→(g(Σ_{i, j=1}^n c_{ij} b_i (×) d_j)))(w):=d_j(w) b_j ∈V
の時,このg(Σ_{i, j=1}^n c_{ij} b_i (×) d_j)が V (×) V^* から Hom(V,V) へのベクトル同型となるのですね。

>>> u_1, u_2, \dots, u_p に対して,
>>> その外積 u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p を交代テンソルとして
>>> 考えることは,
>>> \sum_{\sigma \in S_p} \sgn(p) u_{\sigma(1)} \otimes u_{\sigma(2)}
>>> \otimes
>> \sgn(\sigma)ではなく\sgn(p)なのですか。
> おっと, \sgn(\sigma) です.

了解です。

>>> \cdots \otimes u_{\sigma(p)} を対応させることですから,
>> グラスマン積の記号∧と区別する為に,Exp(,,...,)という記号を使わせていただきますと,
> 何故区別する必要があるのでしょうか.
> Exp は通常別の意味で使われますから, 使ってはいけません.

おっとすみません。Ext(,,…,)と書きたかったのでした。Expならexponentialの意味と混同されてしまいますね。

>> Ext(,,...,):V^p→F
> Ext は通常別の意味で使われますから, 使ってはいけません.

Extもでしたか! それでは,Gai(,,…,)を使う事にします。

> なお, いま V^p の元, 即ち, V の元 p 個の組 (u_1, u_2, \dots, u_p) に
> 対応させようとしているのは, F の元ではなくて,
> V の p 個のテンソル積 V \otimes V \otimes \cdots \otimes V = V^{\otimes p}
> の元です.

テンソル積の冪はV^{(×)p}と表記するのですね。
Gai(u_1,u_2,…,u_p):=(×)_{j=1..p}u_j (p≦n:=dimV)は
もし,V:=F^nなら,
Gai(,,…,) : (F^n)^p → F^{n^p} というテンソル積になるのですね。

>> ;V^p∋∀(u_1,u_2,…,u_p)
>> →Ext(u_1,u_2,…,u_p):=Σ_{σ∈Sym(p)}sgn(σ) u_σ(1) (×) u_σ(2)
>> (×) …
>> (×) u_σ(p)
>> という事ですね。
> これは良いですが,

はい。

>> そして,
>> u_σ(1) (×) u_σ(2) (×) … (×) u_σ(p):V^p→F
>> はV上のp階テンソルを意味してるのですね。
> u_{\sigma(1)} \otimes u_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes u_{\sigma(p)}
> は V のテンソル積 p 乗 V^{\otimes p} の元です.

テンソル(多重線形汎写像)ではなくテンソル積(多重線形写像)でした。しかも,p階のテンソル積という言い方はしなくて,V上のテンソル積p乗というのですね。

>>> u \wedge v = u \otimes v - v \otimes u であり,
>>> = u {}^t v - v {}^t u を作ることです.
>> Ext(,)=u(×)v-v(×)uという事ですね。
> 違いますよ.

Gai(u,v):=u(×)v-v(×)uと書けるのですね。

>> この時,a,b∈Vに対して(VはF線形空間),
>> Ext(a,b)=(u(×)v)(a,b)-(v(×)u)(a,b)
>> =(ua)(×)(vb)-(va)(×)(ub)
>> ∈F
>> と計算されるのですね。
> 違いますよ.
> a \wedge b = a \otimes b - b \otimes a であると言っているだけです.

そうですね。V上の2階交代テンソル(外積)がGai(a,b)=a(×)b-a(×)bと書けるというだけの事ですね。

>>> 3 次の交代行列全体は 3 次元のベクトル空間であり,
>> ∀S∈SS(F;3):={A∈F^{3×3};{}^tA=-A}に対しS=a_{21}I_{21}+a_{31}I_{31}+a_{23}I_{23}
>> (a_{21},a_{32},a_{23}∈F)と書けるので
>> ({I_{21},I_{32},I_{23}}がSS(F;3)の基底として採れますね)　dimSS(F;3)=3ですね。
>>
> I_{21}
> = \pmatrix{
> 0& -1& 0\cr
> 1& 0& 0\cr
> 0& 0& 0\cr
> }
> I_{31}
> = \pmatrix{
> 0& 0& -1\cr
> 0& 0& 0\cr
> 1& 0& 0\cr
> }
> I_{23}
> = \pmatrix{
> 0& 0& 0\cr
> 0& 0& 1\cr
> 0& -1& 0\cr
> }
> であるなら, そうです.

あっと,そうでした。

交代行列って
0,a,b
-a,0,c
-b,-c,0
という形でしたね。

>>> 上の対応を保つ同型が存在します
>> ええと,。φ:∧_{k=1..2}F^3→SS(F;3)を
> Λ_{k=1..2}F^3 は意味不明です.

F^3∧F^3と書きたかったのでした。

>> ∧_{k=1..2}F^3∋∀a∧b(=Grs(a,b)) → φ(a∧b):=
>> 0,a_1b_2-a_2b_1,-(a_3b_1-a_1b_3)
>> -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2
>> a_3b_1-a_1b_3,-(a_2b_3-a_3b_2),0
>> ∈SS(F;3)
>> と定義すればこのφはベクトル同型となるのですね。
> a = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3,
> b = b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3 に対して,
> \phi(aΛb)
> = \phi(a \otimes b - b \otimes a)
> = \pmatrix{
> a_1 b_1& a_1 b_2& a_1 b_3\cr
> a_2 b_1& a_2 b_2& a_2 b_3\cr
> a_3 b_1& a_3 b_2& a_3 b_3\cr
> }
> -
> \pmatrix{
> b_1 a_1& b_1 a_2& b_1 a_3\cr
> b_2 a_1& b_2 a_2& b_2 a_3\cr
> b_3 a_1& b_3 a_2& b_3 a_3\cr
> }
> = \pmatrix{
> 0& a_1 b_2 - a_2 b_1& a_1 b_3 - a_3 b_1\cr
> a_2 b_1 - a_1 b_2& 0& a_2 b_3 - a_3 b_2\cr
> a_3 b_1 - a_1 b_3& a_3 b_2 - a_3 b_2& 0\cr
> }
> ですから, そうです.

有難うございます。これでφがF^3∧F^3からSS(3;F)へのベクトル同型になりますね。

>>> n = 3 の場合でなければ, 普通ベクトル積は考えません.
>> 3<nの場合には,Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})とは
> だから, 普通考えません. 因みに,

そ,そうですか。n=3の時,Vct(v_1,v_2,v_3)は

>> ベクトル空間C^n内のn-1 個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}が作るn-1次元立体Qに直交し,
> Q は複素 n-1 次元の部分空間内のものでしょうが, それは何?

Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})が右手系に並んでいるn-1個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}に直交していて,
∥Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})∥= (v_1,v_2,…,v_{n-1}が張る図形Qの超面積)
になっているという事です。

C^3の場合では,Vct(a,b)とは2つのベクトルa,bに直交しているC^3内のベクトルで,
∥Vct(a,b)∥=(a,bの張る平行四辺形の面積)
という関係が成り立ちますよね。


> それに直交するベクトルは複素1次元の部分空間内にありますが,

え? それは複素n次元空間内にあるのでは。。?

a,b∈C^3の場合はVct(a,b)というベクトルはC^3の中にありますよね?

n=3の時はa,b∈C^3が右手系に並んでいる場合,Vct(a,b)=
|a_2,a_3|
|b_2,b_3|

-|a_1,a_3|
|b_1,b_3|

|a_1,a_2|
|b_1,b_2|

という風に3つの行列式を成分に持つ3次ベクトルとなりますよね。

これに習うと,n=4の時は,a,b,c∈C^4が右手系の場合,
Vct(a,b,c)=

-|a_2,a_3,a_4|
|b_2,b_3,b_4|
|c_2,c_3,c_4|

|a_1,a_3,a_4|
|b_1,b_3,b_4|
|c_1,c_3,c_4|

-|a_1,a_2,a_4|
|b_1,b_2,b_4|
|c_1,c_2,c_4|

|a_1,a_2,a_3|
|b_1,b_2,b_3|
|c_1,c_2,c_3|

という4つの行列式を成分に持つ4次ベクトルかなと予想しました。

これはn=4,p=3の時のGrassman積で各行列式の符号を-,+,-,+(交代的)から+,+,+,+(対称的?)にしたものですよね。

それでベクトル積を交代積,Grassman積を対称積と呼んだのでした。

因みにn=7の時は,
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/
のようになるのですよね。
これはn=7,p=6の時のGrassman積に交代的な符号を付記したものと一致しますよね。

>> Qの体積(n-1次元複素ルベーグ測度)にそのノルム ∥Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})∥に
>>
>> 等しくなるようなn次複素ベクトルの事です。
> n 次ではなく, 1次でしょうか.

Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})∈C^nなのでn次ベクトルだと思ったのですが。。

> その長さを決めても, 長さ 1 の複素数倍を除いてしかそれは決まりません.
> R^3 のときでも, その記述では1意に定まりませんよ.

そうですか。。ではどうすればいいのでしょうか?

>>> 因みに, 「符号が」「交互」というのは,
>>> 1-vector u と (n-1)-vector \alpha の外積 u \wedge \alpha が
>>> 標準的な n-vector \omega の k 倍であるとき, 即ち,
>>> u \wedge \alpha = k \omega のとき,
>> ええと, u∈F^1, α∈F^{n-1}, ω∈F^nで, Ext(u,α)=kωの時という意味でしょうか?
> いいえ. u \in V = F^n, \alpha \in Λ^{n-1} V, \omega \in Λ^n V で,
> u \wedge \alpha = k \omega のときです.

u∈F^n=:V,α∈∧^{n-1}F^n=F^n, ω∈∧^nF^n=F,k∈Fでu∧α=kω (∧はGrassman積の意味)である場合 という事ですね。
α'(α,u):={}^tuα∈Fとすると,α'∈V^*と見れますね。

上述しましたように{b_1,b_2,…,b_n}をVの正規直交基底として
g(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F(但し,B:=(b_1,b_2,…,b_n),j=1,2,…,n)と定義すればg(BX)はベクトル同型写像となるのでV～V^* (ベクトル同型) と言えるのでしたね。
この時,F^nでのベクトル積を
Vct(,,…,):(F^n)^{n-1}→F^nを
(F^n)^{n-1}∋(v_1,v_2,…,v_{n-1})→J_n Grs(v_1,v_2,…,v_{n-1})∈F^n
と定義するのですね。

ここでJ_nはJ_n:=
0,0,0,…0,0,(-1)^0
0,0,0,…,0,(-1)^1,0
:
0,(-1)^{n-2},0,…,0,0,0
(-1)^{n-1},0,0,…,0,0,0
という風な単位行列の向きを反転した行列で符号が交互に入れ替わる行列。

>> すいません。異なる行数のベクトルuとαの外積Ext(u,α)は
>> どのように定義してあるのでしょうか?
> p-vector \alpha \in Λ^p V と
> q-vector \beta \in Λ^q V との外積
> \alpha \wedge \beta \in Λ^{p+q} V の話は
> 外積代数について書いてある本を探してください.
> \alpha = u_1 \wedge \cdots \wedge u_p,
> \beta = w_1 \wedge \cdots \wedge w_q と decomposable であれば,
> \alpha \wedge \beta
> = u_1 \wedge \cdots \wedge u_p \wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_q です.

ご紹介有難うございます。
前記事ではuとαの行数が異なっていると勘違いしておりましたのでこのような質問をしてしまいました。

>>> \alpha(u) = k として, \alpha を V^* の元と考えて,
>>> 更に, V と V^* とを同一視して, (n-1)個のベクトルの外積に
>>> 一つのベクトルを対応させるということであれば,
>> 同一視させる...?
>> つまり,仰ってる事はg:V→V^*をV(=F^1)∋∀u=ke_1→g(ke_1):=α ({e_1}はF^1の基底)で,
> F は R とか C とかだとして, V = F^n ですよ.

これもuとαの行数を勘違いしておりこのようなコメントになってしまいました。失礼致しました。

>> α:V(=F^1)→F;F^1∋∀u=ke_1→α(u)=kとαを定義してやればα∈V^*(=(F^1)^*)となり,
>> このgはベクトル同型写像になっているという内容でしょうか?
> \omega \in Λ^n F^n が与えられていれば (\omega \neq 0),
> \alpha \in Λ^{n-1} F^n を (F^n)^* の元と, また (内積があるとして)
> F^n の元と対応させて, Λ^{n-1} F^n と F^n との同型写像を考えても良い,
> という内容です.

これは上述した「…ですね。α'(α,u):={}^tuα∈Fとすると,α'∈V^*と見れますね。」の事ですね。
納得です。

>>>> 基底をとって考えるのでも, 順序を逆にする必要があるでしょう.
>> すみません。 ちょっと混乱してます。
>> ここでの順序って具体的にどのように換えるのでしょうか?
>> 4次元以上のベクトル空間でのベクトル積についてググってみましたら,
>> 最下行から+,-,+,…となってるようでしたので上述致しました。
> そのとき, 成分はどう並べられていましたか.

下記のように並べられてますね。

Vct(a,b,c)=

-|a_2,a_3,a_4|
|b_2,b_3,b_4|
|c_2,c_3,c_4|

|a_1,a_3,a_4|
|b_1,b_3,b_4|
|c_1,c_3,c_4|

-|a_1,a_2,a_4|
|b_1,b_2,b_4|
|c_1,c_2,c_4|

|a_1,a_2,a_3|
|b_1,b_2,b_3|
|c_1,c_2,c_3|.

つまり,Vct(a,b,c)={}^t (-⊿_{w_4},⊿_{w_3},-⊿_{w_2},⊿_{w_1})ですね。

>>>> 4次の場合だと
>>>> Vct(a,b,c):=diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)と
>>>> 書けるのですね?

これも失礼致しました。 Vct(a,b,c):=J_4 Grs(a,b,c) と書かねばなりませんでしたね。

>>> 山本さんの定義で a \wedge b \wedge c が
>>> 順に \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 の成分を持つとき,
>>> (\times(a, b, c), d) = \det(a, b, c, d) とするには,
>>> = \Delta_4 d_1 - \Delta_3 d_2 + \Delta_2 d_3 - \Delta_1 d4
>> 意味がよく分かりません。このdってなんでしょうか?
> d は d_1, d_2, d_3, d_4 を成分とする F^4 のベクトル.

a,b,c,d∈F^4の時, det(a,b,c,d)=<Vct(a,b,c),d> ←<,>は内積の記号
という事ですね。

Vct(a,b,c)=

-|a_2,a_3,a_4|
|b_2,b_3,b_4|
|c_2,c_3,c_4|

|a_1,a_3,a_4|
|b_1,b_3,b_4|
|c_1,c_3,c_4|

-|a_1,a_2,a_4|
|b_1,b_2,b_4|
|c_1,c_2,c_4|

|a_1,a_2,a_3|
|b_1,b_2,b_3|
|c_1,c_2,c_3|.

ですから,

<Vct(a,b,c),d>=

-d_1|a_2,a_3,a_4|
|b_2,b_3,b_4|
|c_2,c_3,c_4|
+
d_2|a_1,a_3,a_4|
|b_1,b_3,b_4|
|c_1,c_3,c_4|
-
d_3|a_1,a_2,a_4|
|b_1,b_2,b_4|
|c_1,c_2,c_4|
+
d_4|a_1,a_2,a_3|
|b_1,b_2,b_3|
|c_1,c_2,c_3|.

=det(a,b,c,d)
=<{}^t (-⊿_{w_4},⊿_{w_3},-⊿_{w_2},⊿_{w_1}), d>
=<-J_4 Grs(a,b,c),d>

となりますね。

>>> ですから, \times(a, b, c) の成分は
>>> 順に \Delta_4, - \Delta_3, \Delta_2, - \Delta_1 とする必要があります.
>>> だから, 貴方の式は違います.
>> つまり,
>> Vct(a,b,c)={}^t(-⊿_1,⊿_2,-⊿_3,⊿_4)ですね。
> 違いますよ,
> \pmatrix{
> \Delta_4\cr
> - \Delta_3\cr
> \Delta_2\cr
> - \Delta_1\cr
> }
> です.

おっと逆さまでした。失礼致しました。
{}^t(a,b,c)={}^t(⊿_4,-⊿_3,⊿_2,-⊿_1)ですね。
ベクトルが4つある場合には,
Vct(a,b,c,d)={}^t(⊿_5,-⊿_4,⊿_3,-⊿_2,⊿_1)と書けるのですね。
(a,b,c,d∈F^5)

>> 私のも
>> diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)
>> =diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1}){}^t(⊿_1,⊿_2,⊿_3,⊿_4)
>> ={}^t(-⊿_1,⊿_2,-⊿_3,⊿_4)
>> という風に一致するのですが。
> だから, 並べている順番が違います.
> 貴方は (1, 2, 3, 4) と (4, 3, 2, 1) が同じだと思いますか.

ごもっともです。

>> VとWはF上のベクトル空間で
> 異なるベクトル空間 V, W については
> (テンソル積 V \otimes W は考えますが)
> 対称積とか交代積とかは考えません.

そうでしたか。了解です。

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年3月24日木曜日 12時05分36秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> 失礼致しました。下記ならいかがでしょうか?

単に分解するだけで, 書き直さないなら同じことです.

[chi...@kit.jp]

工繊大の塚本です.

2016年3月25日金曜日 4時57分20秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:

> > > Grassmann積という対称テンソル積を外積と呼ぶ人もいれば
> > 対称テンソル積ではなく, 交代テンソル積.
>
> え? Grassmann積の各成分⊿_{w_1},⊿_{w_2},⊿_{w_3},⊿_{w_4}は
> -⊿_{w_1},⊿_{w_2},-⊿_{w_3},⊿_{w_4}のように
> 符号が交互に入れ替わってなく,常に正になってるではありませんか?

「対称」「交代」の名称は, 定義式の一表現の「符号」の付き方で
定まっているのではありません.

ベクトル空間 V の元 n 個の組に対して, ベクトル空間 W の元を対応させる
多重線形な写像 f: V \times V \times \cdots \times V \to W が
対称なのは, \forall \sigma \in S_n (n 次対称群) に対して,
f(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)})
= f(v_1, v_2, \dots, v_n) (\forall v_i \in V (1 \leq i \leq n))
となるときであり,
交代となるのは (標数が 2 でなければ),
f(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)})
= \sgn(\sigma) f(v_1, v_2, \dots, v_n)
となるときです.

山本さんの「行列解析の基礎」における Grassmann 積は
上の意味において交代的です.

> つまり,{b_1,b_2,…,b_n}がVの正規直交基底である時.
> g(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F, j=1,2,…,n とする訳ですね。

記述に混乱が見られます.
内積があれば, V と V^* との同型 g: V \to V^* が,
(g(v))(w) = (v, w) で与えられる,
という記述と上の記述の混乱とが区別できますか.

> この写像g(BX)が全射になる事は∀y∈Fに対して,y=0の時は,(V∋)v=0と採ればいいですね。

これも意味不明.

> この時,g(BX)(0)=g(BX)(Σ_{j=1..n}0b_j)=0Σ_{j=1..n}(g(BX))(b_j)
> =0Σ_{j=1..n}<X,b_j>=0.

全く意味不明.

> y≠0なら∃j∈{1,2,…,n};<X,b_j>≠0で,<X,b_1>≠0とすると,
> y=y<X,b_1>^{-1}<X,b_1>+0<X,b_2>+0<X,b_3>+…+0<X,b_n>なので
> v=y<X,b_1>^{-1}b_1と採ればいいですね。
> この時,
> (g(BX))(v)=(g(BX))(y<X,b_1>^{-1}b_1)
> =y<X,b_1>^{-1}(g(BX))(b_1)
> =y<X,b_1>^{-1}<X,b_1>
> =y.

全く意味不明.

> 単射である事は
> 0≠y=y'∈F…(ラ)とすると,<X,b_1>≠0なら,
> g(BX)^{-1}(y)=g(BX)^{-1}(y<X,b_1>^{-1}<X,b_1>)
> =y<X,b_1>^{-1}b_1.
> 同様に,
> g(BX)^{-1}(y')=y'<X,b_1>^{-1}b_1
> を得る。
> この時,y<X,b_1>^{-1}b_1=y'<X,b_1>^{-1}b_1となる
> (∵もし,≠なら,(y-y')<X,b_1>^{-1}b_1≠0で,今b_1≠0なので,
> (F∋)(y-y')<X,b_1>^{-1}≠0で,
> 体Fは整域且つ<X,b_1>^{-1}≠0なので,y≠y'で(ラ)に矛盾)。
> 故に,g(BX)は単射で結果としてg(BX)は全単射,即ち,ベクトル同型。

全く意味不明.

> ご紹介頂いた様にg(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F, j=1,2,…,n とすれば,
> このg(BX)はVからV^*へのベクトル同型となるのですね。

意味不明です.

> テンソル積の冪はV^{(×)p}と表記するのですね。

偶に見かけます.

> Gai(u_1,u_2,…,u_p):=(×)_{j=1..p}u_j (p≦n:=dimV)は

わざわざ別の記号を用意しなくても,

u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p

で良いと思いますが, それは
u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_p
とは違います.

> もし,V:=F^nなら,
> Gai(,,…,) : (F^n)^p → F^{n^p} というテンソル積になるのですね。

(F^n)^p \ni (u_1, u_2, \dots, u_p)
\mapsto u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p
\in Λ^p (F^n) \cong F^{ n \choose p }
ですが, Λ^p (F^n) \subset (F^n)^{\otimes p} \cong F^{n^p}
という意味ではそうです.

> テンソル(多重線形汎写像)ではなくテンソル積(多重線形写像)でした。
> しかも,p階のテンソル積という言い方はしなくて,V上のテンソル積p乗というのですね。

言葉遣いに多くの間違いが有りますが, 無視します.

> > > ベクトル空間C^n内のn-1 個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}が作る

> > > n-1次元立体Qに直交し,
> > Q は複素 n-1 次元の部分空間内のものでしょうが, それは何?
>
> Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})が
> 右手系に並んでいるn-1個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}に直交していて,

貴方の右手には任意の自然数 n に対応するだけの指が有るのでしょうか.

> ∥Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})∥= (v_1,v_2,…,v_{n-1}が張る図形Qの超面積)
> になっているという事です。

一番簡単な n = 2 の場合を考えましょう.
n-1 = 2 - 1 = 1 個のベクトル u \in C^2 が張る図形 Q とは何でしょうか.
{ t u | t \in R, 0 \leq t \leq 1 } という実1次元の図形であれば,
u を含む複素 1 次元の C^2 の部分ベクトル空間 <u> \cong C^1 での
ルベーグ測度で測った値は 0 です.
{ t u | t \in C, |t| \leq 1 } でしょうか.
その場合, 貴方の期待しているものになりますか.

> C^3の場合では,Vct(a,b)とは2つのベクトルa,bに直交しているC^3内のベクトルで,
> ∥Vct(a,b)∥=(a,bの張る平行四辺形の面積)
> という関係が成り立ちますよね。

というわけで, a, b の張る平行四辺形の面積というのは意味不明です.

> > それに直交するベクトルは複素1次元の部分空間内にありますが,
>
> え? それは複素n次元空間内にあるのでは。。?

u_1, u_2, \dots, u_{n-1} という一次独立なベクトルによって
張られる複素 n-1 次元の C^n の部分ベクトル空間 V に対して,
それに直交するベクトルの全体 V^\perp は複素 1 次元の C^n の部分ベクトル空間
になります. (直交が, 内積によるものでも, エルミート内積によるものでも.)

> a,b∈C^3の場合はVct(a,b)というベクトルはC^3の中にありますよね?
>
> n=3の時はa,b∈C^3が右手系に並んでいる場合,Vct(a,b)=
> |a_2,a_3|
> |b_2,b_3|
>
> -|a_1,a_3|
> |b_1,b_3|
>
> |a_1,a_2|
> |b_1,b_2|
>
> という風に3つの行列式を成分に持つ3次ベクトルとなりますよね。

それは貴方の挙げた条件からは定まりません.
R^3 のときでも,
R^3 の一次独立な 2 つのベクトル u_1, u_2 に直交し,
長さが u_1, u_2 で張られる平行四辺形
{ t_1 u_1 + t_2 u_2 | 0 \leq t_1 \leq 1, 0 \leq t_2 \leq 1 }
の面積に等しいベクトルは 2 つありました.
u_1 \times u_2 は (u_1 \times u_2, w) = \det(u_1, u_2, w)
が任意のベクトル w \in R^3 に対して成立する方を取ることによって定められました.
右手系というのは, 空間に座標軸を設定するときは,
u_1, u_2, u_1 \times u_2 が右手の親指, 人差し指, 中指と
同じ形になるようにするという約束事のことです.

> これに習うと,n=4の時は,a,b,c∈C^4が右手系の場合,
> Vct(a,b,c)=
>
> -|a_2,a_3,a_4|
> |b_2,b_3,b_4|
> |c_2,c_3,c_4|
>
> |a_1,a_3,a_4|
> |b_1,b_3,b_4|
> |c_1,c_3,c_4|
>
> -|a_1,a_2,a_4|
> |b_1,b_2,b_4|
> |c_1,c_2,c_4|
>
> |a_1,a_2,a_3|
> |b_1,b_2,b_3|
> |c_1,c_2,c_3|
>
> という4つの行列式を成分に持つ4次ベクトルかなと予想しました。

正しい定義のヒントは既に与えました.

> これはn=4,p=3の時のGrassman積で各行列式の符号を-,+,-,+(交代的)から
> +,+,+,+(対称的?)にしたものですよね。

山本さんの Grassmann 積では並ぶ順序が違っていることは既に注意しましたし,
交代的・対称的の述語の使い方が間違っていることも既に述べました.

> それでベクトル積を交代積,Grassman積を対称積と呼んだのでした。

だから, 駄目です.

> 因みにn=7の時は,
> http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/
> のようになるのですよね。
> これはn=7,p=6の時のGrassman積に交代的な符号を付記したものと一致しますよね。

そこで述べられているのは, 2 つのベクトルの「外積(ベクトル積)」を
R^7 = Im O (Octonion 八元数の虚部) に対しては考えることがある,
ということで, p = 6 の話ではありません.
一致もしません.

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>> 失礼致しました。下記ならいかがでしょうか?
> 単に分解するだけで, 書き直さないなら同じことです.

冒頭にH_nの定義を記しました。これでいかがでしょうか?

http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product00_00.jpg

[Kyoko Yoshida]

ご回答誠に有難うございます。

>>>> Grassmann積という対称テンソル積を外積と呼ぶ人もいれば
>>> 対称テンソル積ではなく, 交代テンソル積.
>> え? Grassmann積の各成分⊿_{w_1},⊿_{w_2},⊿_{w_3},⊿_{w_4}は
>> -⊿_{w_1},⊿_{w_2},-⊿_{w_3},⊿_{w_4}のように
>> 符号が交互に入れ替わってなく,常に正になってるではありませんか?
> 「対称」「交代」の名称は, 定義式の一表現の「符号」の付き方で
> 定まっているのではありません.

そうでしたか。

> ベクトル空間 V の元 n 個の組に対して, ベクトル空間 W の元を対応させる
> 多重線形な写像 f: V \times V \times \cdots \times V \to W が
> 対称なのは, \forall \sigma \in S_n (n 次対称群) に対して,
> f(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)})
> = f(v_1, v_2, \dots, v_n) (\forall v_i \in V (1 \leq i \leq n))
> となるときであり,

これは対称的と呼ばれる性質ですね。
よってこれは対称テンソルですね。

> 交代となるのは (標数が 2 でなければ),
> f(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)})
> = \sgn(\sigma) f(v_1, v_2, \dots, v_n)
> となるときです.

そしてこれは交代的と呼ばれる性質。
よってこれは交代テンソルですね。

そして,これを利用して,m個(m≦n)のテンソルa_1,a_2,…,a_m(夫々をo_1,o_2,…,o_m階とすると)について,
Gai(a_1,a_2,…,a_m):=(o_1+o_2+…+o_m)/(o_1!o_2!…o_m!) Σ_{σ∈Sym(m)}
sgn(σ)a_1(×)a_2(×)…(×)a_m
が外積の定義と考えておりました。

> 山本さんの「行列解析の基礎」における Grassmann 積は
> 上の意味において交代的です.

なるほど。Grassman積は
(a_1∧a_2∧…∧a_m=)Grs(a_1,a_2,…,a_m)=sgn(σ)a_σ(1)(×)a_σ(2)(×)…(×)a_σ(m)
という性質になってるのですね。

>> つまり,{b_1,b_2,…,b_n}がVの正規直交基底である時.
>> g(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F, j=1,2,…,n とする訳ですね。
> 記述に混乱が見られます.
> 内積があれば, V と V^* との同型 g: V \to V^* が,
> (g(v))(w) = (v, w) で与えられる,
> という記述と上の記述の混乱とが区別できますか.

ああ,そういう事でしたか。
g(BX):V→V^*を(g(BX))(BY):=<BX,BY>∈F (Y∈F^n) と書けばよかったのですね。

>> この写像g(BX)が全射になる事は∀y∈Fに対して,y=0の時は,(V∋)v=0と採ればいいですね。
> これも意味不明.

:
>> このg(BX)はVからV^*へのベクトル同型となるのですね。
> 意味不明です.

納得です。

>> Gai(u_1,u_2,…,u_p):=(×)_{j=1..p}u_j (p≦n:=dimV)は
> わざわざ別の記号を用意しなくても,
> u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p
> で良いと思いますが, それは
> u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_p
> とは違います.

一般的に
u_1∧u_2∧…∧u_p
(=sgn(σ)u_σ(1)(×)u_σ(2)(×)…(×)u_σ(m))
≠u_σ(1)(×)u_σ(2)(×)…(×)u_σ(m)
という風に等しくならないのですね。

>> もし,V:=F^nなら,
>> Gai(,,…,) : (F^n)^p → F^{n^p} というテンソル積になるのですね。
> (F^n)^p \ni (u_1, u_2, \dots, u_p)
> \mapsto u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p
> \in Λ^p (F^n) \cong F^{ n \choose p }
> ですが, Λ^p (F^n) \subset (F^n)^{\otimes p} \cong F^{n^p}
> という意味ではそうです.

了解です。

>>>> ベクトル空間C^n内のn-1 個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}が作る
>>>> n-1次元立体Qに直交し,
>>> Q は複素 n-1 次元の部分空間内のものでしょうが, それは何?
>> Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})が
>> 右手系に並んでいるn-1個のベクトルv_1,v_2,…,v_{n-1}に直交していて,
> 貴方の右手には任意の自然数 n に対応するだけの指が有るのでしょうか.

い,いえ。。

>> ∥Vct(v_1,v_2,…,v_{n-1})∥= (v_1,v_2,…,v_{n-1}が張る図形Qの超面積)
>> になっているという事です。
> 一番簡単な n = 2 の場合を考えましょう.
> n-1 = 2 - 1 = 1 個のベクトル u \in C^2 が張る図形 Q とは何でしょうか.
> { t u | t \in R, 0 \leq t \leq 1 } という実1次元の図形であれば,
> u を含む複素 1 次元の C^2 の部分ベクトル空間 <u> \cong C^1 での
> ルベーグ測度で測った値は 0 です.
> { t u | t \in C, |t| \leq 1 } でしょうか.
> その場合, 貴方の期待しているものになりますか.

n≧3の場合でベクトル積は定義されてると思います。

>> C^3の場合では,Vct(a,b)とは2つのベクトルa,bに直交しているC^3内のベクトルで,
>> ∥Vct(a,b)∥=(a,bの張る平行四辺形の面積)
>> という関係が成り立ちますよね。
> というわけで, a, b の張る平行四辺形の面積というのは意味不明です.

3つのベクトルa,b,cでできる平行六面体の体積Vは
V=|∥Vct(a,b)∥∥c∥cos(π/2-θ)|と書け,∥Vct(a,b)∥はaとbとでできる平行四辺形の面積になります。

>>> それに直交するベクトルは複素1次元の部分空間内にありますが,
>> え? それは複素n次元空間内にあるのでは。。?
> u_1, u_2, \dots, u_{n-1} という一次独立なベクトルによって
> 張られる複素 n-1 次元の C^n の部分ベクトル空間 V に対して,
> それに直交するベクトルの全体 V^\perp は複素 1 次元の C^n の部分ベクトル空間
>
> になります. (直交が, 内積によるものでも, エルミート内積によるものでも.)

あっ,そういう意味でしたか。失礼致しました。

>> a,b∈C^3の場合はVct(a,b)というベクトルはC^3の中にありますよね?
>> n=3の時はa,b∈C^3が右手系に並んでいる場合,Vct(a,b)=
>> |a_2,a_3|
>> |b_2,b_3|
>>
>> -|a_1,a_3|
>> |b_1,b_3|
>>
>> |a_1,a_2|
>> |b_1,b_2|
>>
>> という風に3つの行列式を成分に持つ3次ベクトルとなりますよね。
> それは貴方の挙げた条件からは定まりません.
> R^3 のときでも,
> R^3 の一次独立な 2 つのベクトル u_1, u_2 に直交し,
> 長さが u_1, u_2 で張られる平行四辺形
> { t_1 u_1 + t_2 u_2 | 0 \leq t_1 \leq 1, 0 \leq t_2 \leq 1 }
> の面積に等しいベクトルは 2 つありました.
> u_1 \times u_2 は (u_1 \times u_2, w) = \det(u_1, u_2, w)
> が任意のベクトル w \in R^3 に対して成立する方を取ることによって定められました.
> 右手系というのは, 空間に座標軸を設定するときは,
> u_1, u_2, u_1 \times u_2 が右手の親指, 人差し指, 中指と
> 同じ形になるようにするという約束事のことです.

ええと,ではn次元の場合に就いても
<v,w>=det(u_1,u_2,…,u_{n-1},w) for∀w∈C^nで定まるv∈C^nをVct(u_1,u_2,…,u_{n-1})と定義してはいかがでしょうか?

>> これに習うと,n=4の時は,a,b,c∈C^4が右手系の場合,
>> Vct(a,b,c)=
>> -|a_2,a_3,a_4|
>> |b_2,b_3,b_4|
>> |c_2,c_3,c_4|
>>
>> |a_1,a_3,a_4|
>> |b_1,b_3,b_4|
>> |c_1,c_3,c_4|
>>
>> -|a_1,a_2,a_4|
>> |b_1,b_2,b_4|
>> |c_1,c_2,c_4|
>>
>> |a_1,a_2,a_3|
>> |b_1,b_2,b_3|
>> |c_1,c_2,c_3|
>>
>> という4つの行列式を成分に持つ4次ベクトルかなと予想しました。
> 正しい定義のヒントは既に与えました.

上述のとおり,<v,w>=det(u_1,u_2,u_3,w)で定まるv∈C^4でVct(a,b,c)を定義すればいいのですね。

>> 因みにn=7の時は,
>> http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/
>> のようになるのですよね。
>> これはn=7,p=6の時のGrassman積に交代的な符号を付記したものと一致しますよね。
>>
> そこで述べられているのは, 2 つのベクトルの「外積(ベクトル積)」を
> R^7 = Im O (Octonion 八元数の虚部) に対しては考えることがある,
> ということで, p = 6 の話ではありません.
> 一致もしません.

そ,そうでしたか。。ここでの外積とはGrassman積ともベクトル積とも全く別の概念でしたか。


ええと,僭越ながら纏めさせて頂きますと,
ベクトル積Vct(u_1,u_2,…,u_{n-1)は,既述で定まるv∈C^nの事で,
v=J_n Grs(v_1,v_2,…,v_{n-1}) ∈∧^{n-1}C^n
が成り立つのですね。

※J_nはJ_n:=

0,0,0,…0,0,(-1)^0
0,0,0,…,0,(-1)^1,0
:
0,(-1)^{n-2},0,…,0,0,0
(-1)^{n-1},0,0,…,0,0,0
という風な単位行列の向きを反転した行列で符号が交互に入れ替わる行列。

[Kyoko Yoshida]

たびたび失礼致します。

>> つまり,{b_1,b_2,…,b_n}がVの正規直交基底である時.
>> g(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F, j=1,2,…,n とする訳ですね。
> 記述に混乱が見られます.
> 内積があれば, V と V^* との同型 g: V \to V^* が,
> (g(v))(w) = (v, w) で与えられる,
> という記述と上の記述の混乱とが区別できますか.

これから簡単な証明法を思いつきました!

今回の目標は⊿:(H_n^+)^n→R^+を
(H_n^+)^n∋∀(A_1,A_2,…,A_n)→⊿(A_1,A_2,…,A_n):=1/n!
Σ_{σ∈Sym(n)}|{}^t(a_{σ(1)1},a_{σ(2)2},…,a_{σ(n)n})|
(但し,| |は行列式の記号, a_{σ(j)j}は{A_1,A_2,…,A_n}∋A_σ{j}の第j行ベクトルを表す,j=1,2,…,n)
と定義していて,
A_1,A_2,…,A_{n-1}が与えられた時に⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=⊿(M,M,…,M,X)
for∀X∈H_n^+なる。
M∈H_n^+が一意的に存在する事を示す事でした。

さて,
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},):H_n^+→R^+;
H_n^+∋∀X→⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)∈R^+ですから,
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},)∈(H_n^+)^* ←H_n^+の双対空間
となってますよね。

そして,今,H_n^+～(H_n^+)^*という事が分かってるので(～はベクトル同型を表す),
g:H_n^+→(H_n^+)^*;H_n^+∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すればこのgはベクトル同型写像となりますね。

これは
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=<M^*,X> for∀X∈H_n^+
を満たすM^*∈H_n^+が一意的に存在する事を意味します。
このMが
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product01.jpg
でのD(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)になる事を下記に示します。

この時,
<M^*,X>=c⊿(M,M,…,M,X) for∀X∈H_n^+ (cは定数) が成り立つ事を示せばいいのだと思います。

⊿(M,M,…,M,X)=1/n lim_{ε→0}(|M+εX|-|M|)/ε
=1/n <M~,X> (M~はMの余因子行列)
=1/n <|M|M^{-1},X>
=|M|/n <M^{-1},X>
=|M|/n <M^*,X>.

この時,c=|M|/n. (終り)。

となりました。これでいかがでしょうか?

[Kyoko Yoshida]

ちょっと訂正です。
H_n^+はベクトル空間ではありませんでした。

> さて,
> ⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},):H_n^+→R^+;
> H_n^+∋∀X→⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)∈R^+ですから,
> ⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},)∈(H_n^+)^* ←H_n^+の双対空間
> となってますよね。

> そして,今,H_n^+～(H_n^+)^*という事が分かってるので(～はベクトル同型を表す),
>
>
> g:H_n^+→(H_n^+)^*;H_n^+∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すればこのgはベクトル同型写像となりますね。

gの定義域をH_nと拡張して定義すればH_nはC上ベクトル空間ですね。
この時,
g:H_n→(H_n)^*;H_n∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すれば,

これは⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=<M^*,X> for∀X∈H_n

を満たすM^*∈H_nが一意的に存在する事を意味します。
そして,
A_1,A_2,…,A_{n-1}∈H_n^+なら
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)>0 for∀X∈H_n^+ (∵証明済み)でしたので,
<M^*,X>>0 for∀X∈H_n^+ なら,M∈H_n^+
でなければなりませんね。

これでOKだと思います。

[Kyoko Yoshida]

いつも大変お世話になっております。

TeXで打ってみました。
www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/answer.pdf
これでいかがでしょうか?

> gの定義域をH_nと拡張して定義すればH_nはC上ベクトル空間ですね。
> この時,
> g:H_n→(H_n)^*;H_n∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すれば,
> これは⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=<M^*,X> for∀X∈H_n
> を満たすM^*∈H_nが一意的に存在する事を意味します。

このgは全単射にはなりませんのでこの証明は破綻してました。
失礼致しました。

[Kyoko Yoshida]

再度失礼いたします。

>> gの定義域をH_nと拡張して定義すればH_nはC上ベクトル空間ですね。
>> この時,
>> g:H_n→(H_n)^*;H_n∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すれば,
>> これは⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=<M^*,X> for∀X∈H_n
>> を満たすM^*∈H_nが一意的に存在する事を意味します。
> このgは全単射にはなりませんのでこの証明は破綻してました。
> 失礼致しました。

少し訂正したら上手くいきました。これで完璧だと思います。
www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/answer0.pdf
ご意見いただけましたら幸いでございます。


P.S.　　下記の記号の説明です。
I_{ij}はi行j列成分のみ1でその他は0な行列の意味です。
D_1(M,X)はD(M,M,…,M.,X)の意味です。
\mathscr{U}_nはn×nのユニタリ行列全体の集合を表してます。


吉田京子

[Kyoko Yoshida]

ご無沙汰しております。

www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/answer0.pdf
で致命的なミスがありました。

Proposition0.0.2にて
D(A_1,…,A_{n-1},X)=<Q,X^*> for ∀X∈H_n^+だから言って,Q∈H_n^+は言えませんでした。

反例は下記の通りです。
もし,Q=
1,0
0,0
の場合,Q=I^*diag(1,0)I (但し,Iは単位行列)ですよね。
この時,任意の正値エルミートX=V^*diag(x_1,x_2)Vに対して(勿論,x_1>0,x_2>0となります),
<Q,X^*>=x_1>0となり,Qは非正値であるにも拘らずX^*との内積は正となってしまいます。



Q∈H_nで<Q,X^*>>0 for ∀X∈H_n^+の時,Qは半正値とまでしか言えませんね。
大変失礼いたしました。

従って,当初通り,塚本先生の手法でしかQの正値性は証明できませんね。

改めてお詫び申しあげます。m(_ _)m


吉田京子