標準偏差と平均偏差

[Yoshinobu Inada]

統計で標本の散布度を知るために標準偏差や平均偏差を使うと思います。
もっぱら標準偏差の方が解析に向いているためにメジャーだと思いますが、
先日あるデータを解析している時にこれらの違いが気になりました。統計の
専門家ではないものでどう判断していいのかわからず投稿させていただき
ました。

実際のデータとは違いますが、わかりやすくするために次のようなデータを
用いることにします。

●１００個の値があり、１個だけ「１」で残り９９個が「０」

このデータの平均値：X＝1/100＝0.01
平均偏差→（∑|x-X|）/100＝（0.01×99＋0.99×1）/100＝0.0198
標準偏差→√（｛∑[x-X]^2｝/100）＝√（｛0.01^2×99＋0.99^2×1｝/100）≒
0.0995

となってほぼ１ケタ違います。同じ標本の散布度としてこんなに違っていても
いいものなのかと思いました。平均偏差より標準偏差の値の方が大きくなること
は
理論的に正しいことのようですが、それにしても１ケタも違っていてはどちらを

散布度として使えば良いのか迷ってしまいます。よろしくご教示ください。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　いなだ

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本と申します. # 「Σ」は要注意.

統計のことは良く知りませんが,

In article <abcml9$f...@news.nc.u-tokyo.ac.jp>
Yoshinobu Inada <in...@kawachi.rcast.u-tokyo.ac.jp> writes:
> 平均偏差より標準偏差の値の方が大きくなることは理論的に正しい
> ことのようですが、

Cauchy-Schwarz の不等式で, N 個のデータについては

Σ|x - X| ≦ (√N)(√(Σ(x - X)^2))

(等号は |x - X| が一定のとき) となりますから,

(Σ|x - X|)/N ≦ √((Σ(x - X)^2)/N)

ですね.

> それにしても1ケタも違っていては

違う統計量ですから, 値が離れる場合があっても不思議ではないでしょう.

> どちらを散布度として使えば良いのか迷ってしまいます。

目的によるのでしょう.

# 数学の方から言えば, 普通は標準偏差だろうと思いますが.
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塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@ipc.kit.ac.jp