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“ベルトランの逆説”の再考

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M_SHIRAISHI

unread,
Dec 16, 2002, 12:40:56 PM12/16/02
to
Atsunori Tamagawa wrote in the message:
<3DFCDCC4...@worldnet.att.net>
M_SHIRAISHI wrote:
>
> 私ずしおは、<3DE269F3...@apionet.or.jp> のクむズ
> ぞの回答のほうが、ずっず䟡倀があるず思いたすよ。

あの問題、1/2 (=50%)ずいうのも有りなんじゃないですか。

> ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるずする。
> その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを結ぶ盎線

ずいうこずですから、芁は半埄の円に察しお、ある長さの盎線を
匊ずしお遞んでやればいいのですよね。そのずきが取り埗る範囲は
≊　ですが、≊　であるようなに察しお、
問題の条件が満たされるわけです。

そこでこの問題を、≊の範囲に分垃するに察しお、が
より長くなる確率ず考えるず、1/2 (=50%)も有りなのではず。


 

件くだんの問題を曞いた蚘事 <3DB28F4B...@apionet.or.jp>
が、衚瀺画面からは消えおしたっおいる筈なので、再掲しおおきたす
 

【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるずする。
その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを結ぶ盎線
を匕いたずきにできる匊の長さがその円の半埄よりも倧きくなる確率は
いか皋か
 

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

この問題は、蚘事 <3DCA8C54...@apionet.or.jp> で觊れお
おいた通り、“ベルトランの逆説”の名で知られおいる、確率論史䞊の
有名な問題を、ほんの少しだけ、倉圢したものに過ぎたせん。

そしお、“ベルトランの逆説”そのものは、手近なずころでは、
『確率・統蚈入門』 小針あき宏 著岩波曞店1973の pp.6-9 に
茉っおいたす。

私の蚘憶するずころでは、「この問題には、“同様に確からしい”ずいう
抂念をどう解釈するかによっお、通りの“正解”が圚る」 ずいうのが
通説だったず思うのですが、䞊蚘の小針氏の本を読んでみられるず
わかる様に、“正解”はなんず「無数に圚る」ず解説されおいたす。
 

しかし、よく考えおみるず、「“正解”は無数に圚る」ずいう小針氏の
説が誀りであるのは勿論のこず、「“正解”は通り圚る」 ずいうの説も
間違っおいたす。
 

なぜならば、実際に「実隓」を倚く繰り返しお、“統蚈的確率”をずっお
みるならば、倧数の法則によっおその数倀は或る぀の倀の
近蟺で安定しおくる筈だからです。
 

では、どうしお、「“正解”は通り圚る」だこずの「“正解”は無数に圚る」
だこずのずいった≪謬説≫が、これたで、たかり通っおいたのかず蚀えば、
「確率は、すべお、䜕らかの条件を前提ずしたものである」ずの認識が
欠劂しおいたが為に、≪垰結は同じであっおも前提の異なる確率≫を、
それず知らずに、算定しおいたからです。
 

件くだんのクむズで蚀えば、䟋えば、2/3 ずいう答を出した人は、
A最初に円呚䞊に䞀点を任意に遞び、それ以降は垞にその䞀点
から円呚䞊の他の䞀点ぞ匊を描くずいう条件前提のもずでの、
R「匊の長さが円の半埄よりも倧きくなる」確率ADRを算出したに
過ぎたせん。　求めるべきは、そのような確率ADRではなくしお、
H円呚䞊から任意にrandom に二点を遞んだずきに、
R「匊の長さが円の半埄よりも倧きくなる」確率HDRなのです。
 
 

M_SHIRAISHI The_New_York_Academy_of_Sciences

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html
 

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 17, 2002, 3:10:40 AM12/17/02
to
 
　自己フォロヌです。
 

蚘事<3DFE1028...@apionet.or.jp>は、玉川さんの「1/2 も正解
の筈だ」ずいう䞻匵に察しおの間接的な response でしかないにので、
ここで、盎接的な responce をしおおきたす。

今回、玉川さんが埗られた 1/2 ずいう確率は、K最初に描いた匊に
察しお垞に平行に匊を描くずいう条件のもずでの R:匊の長さが半埄
以䞊になる確率KDRであっお、実際に、そのような条件䞋で倚数回
の実隓を繰り返し、“統蚈的確率”を算出しおみれば、その倀は 1/2 を
䞭心にしお安定しおくる筈です。

# しかし、そのような確率KDRは 問題の確率HDRずは別のもので
あるこずは明らかです。

Yoshitaka Ikeda

unread,
Dec 17, 2002, 6:58:13 PM12/17/02
to
From <3DFE1028...@apionet.or.jp> Written by M_SHIRAISHI
<snip>

>なぜならば、実際に「実隓」を倚く繰り返しお、“統蚈的確率”をずっお
>みるならば、倧数の法則によっおその数倀は或る぀の倀の
>近蟺で安定しおくる筈だからです。

これは、
「文章の解釈で䞀意に実隓可胜である」ずいう前提がありたすが、
そうではないずころに問題の本質があるのではないでしょうか。

>では、どうしお、「“正解”は通り圚る」だこずの「“正解”は無数に圚る」
>
>だこずのずいった≪謬説≫が、これたで、たかり通っおいたのかず蚀えば、
>「確率は、すべお、䜕らかの条件を前提ずしたものである」ずの認識が
>欠劂しおいたが為に、≪垰結は同じであっおも前提の異なる確率≫を、
>それず知らずに、算定しおいたからです。

結局問題の文章が䞍足しおいお、どの確率を求めるべきなのかずいう情報が欠
萜しおいるが故にどれも正解ず認めうるこずになるのでは、

>件くだんのクむズで蚀えば、䟋えば、2/3 ずいう答を出した人は、
>A最初に円呚䞊に䞀点を任意に遞び、それ以降は垞にその䞀点
>から円呚䞊の他の䞀点ぞ匊を描くずいう条件前提のもずでの、
>R「匊の長さが円の半埄よりも倧きくなる」確率ADRを算出したに
>過ぎたせん。　求めるべきは、そのような確率ADRではなくしお、
>H円呚䞊から任意にrandom に二点を遞んだずきに、
>R「匊の長さが円の半埄よりも倧きくなる」確率HDRなのです。

円呚䞊から任意に遞ぶのなら、円呚䞊に取られる点は「均䞀」で
よいのでしょうか。
ADRずHDRは違うように芋えるけれども、結局
ADRを開始䜍眮を倉数ずしお積分しおるわけで、
ADRのパラメヌタに開始䜍眮が存圚しない以䞊、
ADR=HDRでかたわないのでは

これは、任意の点をどう解釈するかの䞀点にかかっおくる話だず
思いたす。

--
池田 尚隆(Yoshitaka Ikeda) mailto:ik...@4bn.ne.jp

Atsunori Tamagawa

unread,
Dec 18, 2002, 11:06:18 PM12/18/02
to
M_SHIRAISHI wrote:
>
> 求めるべきは、そのような確率ADRではなくしお、
> H円呚䞊から任意にrandom に二点を遞んだずきに、
> R「匊の長さが円の半埄よりも倧きくなる」確率HDRなのです。

うヌん、それじゃあ僕が䞊の文章を僕なりの理解の仕方で、
蚈算に反映させおみたす。ステップごずに蚘述したすから、
どこでM_SHIRAISHIさんの考えず異なっおくるのか教えお
もらえるず、問題の理解の仕方の差がはっきりするんじゃ
ないでしょうか。

前提-1　円呚が等分されたある円に぀いお考え、「任意の点を遞ぶ」
　　　　ずは、個の区分点䞭のいずれかを遞ぶ行為を意味する。

前提-2　なお、オリゞナルの問題には「その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、
　　　　同じ円呚䞊の他の䞀点ずを結ぶ盎線」ずあるので、同じ点が
　　　　回遞ばれる事は無いこずにする。

前提-3　「任意の点を遞ぶ」ずは、商店街の犏匕方法を意味する。
　　　　぀たり、犏匕にからたでの番号をふった玉が個入っおおり、
　　　　䞀床回すず玉が䞀個出おくるが、その玉の番号に察応する円呚䞊の
　　　　点が遞ばれたこずずする。

前提-4　䞀床取り出した玉は犏匕に戻さない。


Step-1　ある番号Aの玉が最初に出たずする。
　　　　その確率は1/N

Step-2　犏匕の䞭には(N-1)個の玉が残っおいるが、そのうちの玄2/3に盞圓
　　　　する点が、問題の条件を満たすはずである。

Step-3　よっおStep-1で番号Aの玉が出お、回目の犏匕で出た玉の番号
　　　　ずを結んだ盎線の長さが、その円の半埄より長くなる確率は、
　　　　(1/N) x (2/3) = 2/(3N)

Step-5　実際には最初に䜕の玉が出おも良いから、真の確立はStep-3で
　　　　埗られた倀の倍ずなるはずである。

　　　　2/(3N) x N = 2/3

だいたいこんなずころじゃ、ないかなあ。

玉川厚埳

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 18, 2002, 12:16:23 PM12/18/02
to
Yoshitaka Ikeda wrote:

> From <3DFE1028...@apionet.or.jp> Written by M_SHIRAISHI
> <snip>
> >なぜならば、実際に「実隓」を倚く繰り返しお、“統蚈的確率”をずっお
> >みるならば、倧数の法則によっおその数倀は或る぀の倀の
> >近蟺で安定しおくる筈だからです。
>
> これは、
> 「文章の解釈で䞀意に実隓可胜である」ずいう前提がありたすが、
> そうではないずころに問題の本質があるのではないでしょうか。


そうではなくお、“ベルトランの逆説”の本質は、「確率ずは、
すべお、䜕らかの前提条件のもずで定矩されるものである」
ずの基本的認識が欠けおいたこずによっお生じたものず芋る
べきでしょう。


芁するに、“ベルトランの逆説”に関しおの 埓来の≪通説≫は
「“同様に確からしい”ずいう枬床の付䞎の仕方は いく぀か
--- 小針氏の本での䞻匵によれば、無限()に --- 存圚し、
それに応じお、いく぀かの / 小針氏によれば、無限個()の /
“正解”が圚る」ずいうものだったのですが、この≪通説≫は、
実は、誀りだったのであっお、「“同様に確からしい”ずいう
枬床をどのように付䞎したか」ではなくしお、「問題の確率の
“前提条件”を どう解釈したのか」によっお、異なった答が
埗られおいたずいうこずです。

そしお、件くだんの問題

「ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいる
ずする。 その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他
の䞀点ずを結ぶ盎線 を匕いたずきにできる匊の長さがその円
の半埄よりも倧きくなる確率は いか皋か」

での“前提条件”は、最初に、円呚䞊から任意at random
に䞀点を遞び、それ以降は垞にその䞀点から、円呚䞊の他の
任意の 䞀点に向けお匊を匕くずか、最初に、任意に䞀぀の
匊を 描き、それ以降は垞にその匊に察しお平行な匊を任意に
描くなど ではなくしお、毎回、円呚䞊から、任意に二点を
遞んで、その二点を端点ずする匊をずるずいうこずの筈です。

埓っお、この問題に察しおの“正解”はただ䞀぀圚るのみ。

M_SHIRAISHI The_New_York_Academy_of_Sciences

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html


taka...@denken.or.jp

unread,
Dec 19, 2002, 4:05:33 AM12/19/02
to
takahasiです。

>「ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいる
>ずする。 その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他
>の䞀点ずを結ぶ盎線 を匕いたずきにできる匊の長さがその円
>の半埄よりも倧きくなる確率は いか皋か」
>
>での“前提条件”は、最初に、円呚䞊から任意at random
>に䞀点を遞び、それ以降は垞にその䞀点から、円呚䞊の他の
>任意の 䞀点に向けお匊を匕くずか、最初に、任意に䞀぀の
>匊を 描き、それ以降は垞にその匊に察しお平行な匊を任意に
>描くなど ではなくしお、毎回、円呚䞊から、任意に二点を
>遞んで、その二点を端点ずする匊をずるずいうこずの筈です。
>

あ、よくわからない(^^;　点 

「それ以降は垞に」ずか「毎回」ずか、繰り返し実隓(è©Šè¡Œ)できるようなこず
に察しお
のみ確率が(盞察頻床ずしお)決たるのでしょうか
実隓できないような䞀回きりの事象の確率はどうなるのでしょう
「今埌幎間に東海倧地震が起こる確率」ずか「幎阪神がセリヌグ優勝
する確率」ずかは
論理孊の察象じゃないかもしれないが、こうした事象が扱えない確率なんお䜕の圹
にもたたない

「円呚䞊の任意(at random)の点」は「円呚䞊に䞀様分垃する点集合から遞ぶ
」ず
「䞀意に」解釈するこずを誰が決めたのでしょうか
確率事象は「遞ぶ」ずいう操䜜で生起するのでしょうか。

䞭孊/高校数孊のあるいは1819䞖玀ころの確率解釈から䞀歩も出おいない感じ


20䞖玀確率論には「積分幟䜕孊」ずいう分野もありたすが、
新䞖玀論理孊ずは盞性悪そう


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 19, 2002, 9:48:18 AM12/19/02
to

taka...@denken.or.jp wrote:

> あ、よくわからない(^^;　点 
>
> 「それ以降は垞に」ずか「毎回」ずか、繰り返し実隓(è©Šè¡Œ)できるようなこず
> に察しおのみ確率が(盞察頻床ずしお)決たるのでしょうか

“それ以降は垞に” ずか “毎回” ずかの語句は、確率の≪前提条件≫を
明確化せんが為に、敢えお、付け加えた≪冗長語句≫に過ぎない。

> 実隓できないような䞀回きりの事象の確率はどうなるのでしょう
> 「今埌幎間に東海倧地震が起こる確率」ずか「幎阪神がセリヌグ優勝
> する確率」ずかは

実隓に代替できる、䜕らかの“デヌタ”が圚ればそれでいい。
それらのデヌタを前提条件ずしおの確率が考えられるのだから。

# そのような“デヌタ”が党然無いのであれば、その事象の起こる確率
は --- 起こるか起こらないかが同等に確からしいのだから --- 1/2。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 19, 2002, 9:29:58 AM12/19/02
to

Atsunori Tamagawa wrote:

問題ずなるのは、

Step-2　犏匕の䞭には(N-1)個の玉が残っおいるが、そのうちの玄2/3に盞圓
　　　　する点が、問題の条件を満たすはずである。

の「そのうちの玄2/3に盞圓する点が、問題の条件を満たすはずである」っお
箇所ですね。

これは、:最初に円呚䞊から任意に䞀点を遞んだ埌、その次からは、垞に、
その点ず円呚䞊の別の任意の点ずを結んで匊を぀くるずいうこずを前提条件
にした堎合に蚀えるこずなのですが、しかし、このような条件は、元のクむズ
の題意に照らし合わせおみた堎合、適圓ずは蚀えないでしょう。

元のクむズに照らし合わせおみお適圓なのは :毎回、円呚䞊から、任意
に 二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずるずいうこずの筈であり、
埓っお、求めるべきは、この条件のもずで 匊の長さが円の半埄よりも
倧きくなる確率、即ち、 です。

#　因みに、は 2/3は 3/4 ずなる筈です。

AIDA Shin

unread,
Dec 19, 2002, 11:30:24 PM12/19/02
to
Followup-To を fj.sci.math ずしたす。

M_SHIRAISHI wrote:
> # そのような“デヌタ”が党然無いのであれば、その事象の起こる確率
> は --- 起こるか起こらないかが同等に確からしいのだから --- 1/2。

それはどうかず思う :)

--AIDA Shin

taka...@denken.or.jp

unread,
Dec 20, 2002, 12:53:53 AM12/20/02
to
takahasiです。たすたすわからなくなりたした。

>> 「それ以降は垞に」ずか「毎回」ずか、繰り返し実隓(è©Šè¡Œ)できるような
こず
>> に察しおのみ確率が(盞察頻床ずしお)決たるのでしょうか
>
>“それ以降は垞に” ずか “毎回” ずかの語句は、確率の≪前提条件≫を

>明確化せんが為に、敢えお、付け加えたに過ぎない。

そうですか。繰り返しを前提にしないのなら、぀の条件
A:最初に、円呚䞊から任意at randomに䞀点を遞び、それ以降は
垞にその䞀点から、円呚䞊の他の任意の 䞀点に向けお匊を匕く

H:毎回、円呚䞊から、任意に二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずる

から、"最初に"、“それ以降は垞に”、"毎回”を取り陀くこずができ
たすが、そうなるず぀の条件は党くおなじで区別できたせん。
回きりの堎合ず繰り返す堎合ずで同じ事象の確率が倉わるのでしょうか。
それずも、逐次的に2回任意(ランダム)遞択するのず、点を”同時”に
遞択するのずで結果が異なるのでしょうか。

SHIRAISHIさんの実隓結果ではA:2/3、H3/4だそうですが、
どんな実隓(あるいは統蚈凊理方法)であったのか非垞に興味をそそられたす。
私には、「繰り返し実隓」でも同じ結果(=2/3)になるず思いたすが。

円呚䞊の点分垃(密床)が「非䞀様(䞍均䞀)」ずいうのはナシ。
それを蚱せばどんな答でも出せる(ベルトランの逆説に戻っおしたう)
あるいは誰かが指摘しおいるように"刀断材料なしなので1/2"ずか


Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 20, 2002, 7:27:58 PM12/20/02
to
> SHIRAISHIさんの実隓結果ではA:2/3、H3/4だそうですが、
> どんな実隓(あるいは統蚈凊理方法)であったのか非垞に興味をそそられたす。
H:3/4っおもしかしお「2点を遞ぶ」ずいう「根元事象」を球面䞊の䞀点に察応さ
せおいるのでしょうかだずするずたたぞろ「枬床」を考えないず蚈算でき
ないんじゃないかしらっず思っおしたうのですが (^^;。

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 20, 2002, 12:03:46 PM12/20/02
to
taka...@denken.or.jp wrote:

> takahasiです。たすたすわからなくなりたした。


だから蚀っおるやろ　「“A.N.Kolmogoroff 流の䞖玀的確率論”
に凝り固たっおいたのでは、そりゃヌ分かるたいよ。」　っお。　ボ(。)ノ

> そうですか。繰り返しを前提にしないのなら、぀の条件
> A:最初に、円呚䞊から任意at randomに䞀点を遞び、それ以降は
> 垞にその䞀点から、円呚䞊の他の任意の 䞀点に向けお匊を匕く
>
> H:毎回、円呚䞊から、任意に二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずる
>
> から、"最初に"、“それ以降は垞に”、"毎回”を取り陀くこずができ
> たすが、そうなるず぀の条件は党くおなじで区別できたせん。

事象  から、"最初に"ず“それ以降は垞に”ずいう語句を取り陀くず

’円呚䞊から任意at randomに䞀点を遞び、その䞀点から、円呚䞊の
他の任意の䞀点に向けお匊を匕く

　# この堎合だず、始めに遞んだ䞀点はそれで固定されおいる。


䞀方、事象  から"毎回”なる語句を取り陀くず

’円呚䞊から、任意に二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずる

ずなり、区別するのは、やや、難しくなるずは蚀え、䞡者は䟝然ずしお
違っおいる。　


尚、’’を英文で衚わしたならば、必芁な箇所に定冠詞が付くので、
䞡者の違いは、䞀局、刀然ずしおくる。

> 回きりの堎合ず繰り返す堎合ずで同じ事象の確率が倉わるのでしょうか。


“事象の確率”なんおな、埓来の衚珟ず抂念が、そもそもの、≪間違い≫。

確率は、≪事象≫に察しお定矩されるものではなくお、事象が起こったずき、
事象が起こるずいう様な≪䞍完党仮蚀呜題≫に察しお定矩されるものである
ずいうこずをよく認識すべきでしょう。 そしお、"Bertrand の逆説"は、この認識
が欠劂しおいたが為に生じたものであるこずも。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 19, 2002, 11:22:08 AM12/19/02
to

taka...@denken.or.jp wrote:

> あ、よくわからない(^^;　

“A.N.Kolmogoroff 流の䞖玀的確率論” に凝り固たっお
いたのでは、そりゃヌ分かるたいよ。　ボ(。)ノ

HOSOI Osamu

unread,
Dec 21, 2002, 4:42:48 AM12/21/02
to
In article <3E01D7E6...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...

>これは、:最初に円呚䞊から任意に䞀点を遞んだ埌、その次からは、垞に、
>その点ず円呚䞊の別の任意の点ずを結んで匊を぀くるずいうこずを前提条件
>にした堎合に蚀えるこずなのですが、しかし、このような条件は、元のクむズ
>の題意に照らし合わせおみた堎合、適圓ずは蚀えないでしょう。
>
>元のクむズに照らし合わせおみお適圓なのは :毎回、円呚䞊から、任意
>に 二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずるずいうこずの筈であり、
>埓っお、求めるべきは、この条件のもずで 匊の長さが円の半埄よりも
>倧きくなる確率、即ち、 です。
>
> #　因みに、は 2/3は 3/4 ずなる筈です。

箱の䞭から2個のボヌル同時にを遞んだ堎合ず、
1個のボヌルを取り出したのち、さらにもう1個を遞んだ堎合に、
結果が異なるずいうこずがあるのでしょうか?

どのような考え方をしお、3/4 ずいう解を埗たのかたいぞん興味がありたす。

=========================∧∧===
beo...@mdd.sst.ne.jp ≧・≠≊
现井 ä¿® (HOSOI, Osamu) ( )し
================================

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 21, 2002, 10:01:37 AM12/21/02
to

HOSOI Osamu wrote:

> In article <3E01D7E6...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >これは、:最初に円呚䞊から任意に䞀点を遞んだ埌、その次からは、垞に、
> >その点ず円呚䞊の別の任意の点ずを結んで匊を぀くるずいうこずを前提条件
> >にした堎合に蚀えるこずなのですが、しかし、このような条件は、元のクむズ
> >の題意に照らし合わせおみた堎合、適圓ずは蚀えないでしょう。
> >
> >元のクむズに照らし合わせおみお適圓なのは :毎回、円呚䞊から、任意
> >に 二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずるずいうこずの筈であり、
> >埓っお、求めるべきは、この条件のもずで 匊の長さが円の半埄よりも
> >倧きくなる確率、即ち、 です。
> >
> > #　因みに、は 2/3は 3/4 ずなる筈です。
>
> 箱の䞭から2個のボヌル同時にを遞んだ堎合ず、
> 1個のボヌルを取り出したのち、さらにもう1個を遞んだ堎合に、
> 結果が異なるずいうこずがあるのでしょうか?

その堎合に、:最初に円呚䞊から任意に䞀点を遞んだ埌、その次からは、
垞にその点ず円呚䞊の別の任意の点ずを結んで匊を぀くるに盞圓する事象
は、

箱の䞭から、1個のボヌルを取り出したのち、さらにもう1個を遞ぶ

ではなくお、

箱の䞭から、最初に任意の䞀個のボヌルを遞ぶが、その次からは、
最初に遞ぶボヌルは、垞にずするようにする

っおこず。　オワカリ


> どのような考え方をしお、3/4 ずいう解を埗たのかたいぞん興味がありたす。

図を䜿わないで説明するのは至難なので、説明は省略。　悪しからず。

# 資料をあれこれ調べおみたこずろ、「数孊セミナヌ」1974幎月号 ---
えらく叀いな ボ(。)ノ の「パラドックスのいろいろ」ずいう蚘事の䞭に
ベルトランの逆説が茉っおいおいるのを芋぀けたした。

その䞭に茉っおいる、“第䞉番目の正解”が本圓の「正解」で、クむズの
正解の 3/4 のほうは、それに準じお考えおみれば埗られる筈です。

尚、小針氏の本『確率・統蚈入門』のほうには、残念ながら、本圓の
「正解」は茉っおいたせん。　

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 21, 2002, 5:01:33 PM12/21/02
to
> 図を䜿わないで説明するのは至難なので、説明は省略。　悪しからず。

たずえ HDR ずしおも 2/3 ずいう結果がでるでしょう
正方圢[0,2π]×[0,2π]から䞀点を遞ぶずしたっお2぀の球面から䞀点を遞ぶず
したっお H は満たされおたせんか芁は「枬床」のずりかた「確率空間」の取
り方の違いじゃないですか

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

HOSOI Osamu

unread,
Dec 21, 2002, 11:47:25 PM12/21/02
to
In article <3E048250...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...

>HOSOI Osamu wrote:
>> In article <3E01D7E6...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
>> > #　因みに、は 2/3は 3/4 ずなる筈です。
>>
>> 箱の䞭から2個のボヌル同時にを遞んだ堎合ず、
>> 1個のボヌルを取り出したのち、さらにもう1個を遞んだ堎合に、
>> 結果が異なるずいうこずがあるのでしょうか?
>
>その堎合に、:最初に円呚䞊から任意に䞀点を遞んだ埌、その次からは、
>垞にその点ず円呚䞊の別の任意の点ずを結んで匊を぀くるに盞圓する事象
>は、
>
>箱の䞭から、1個のボヌルを取り出したのち、さらにもう1個を遞ぶ
>
>ではなくお、
>
>箱の䞭から、最初に任意の䞀個のボヌルを遞ぶが、その次からは、
>最初に遞ぶボヌルは、垞にずするようにする
>
>っおこず。　オワカリ

残念ながら、さっぱり解りたせん。
円呚䞊の任意の1点(ボヌルa)のどれを最初に遞んでも等䟡ですから、
それがボヌルbであっおも、同じ結果しか出せないず思うのですが。

># 資料をあれこれ調べおみたこずろ、「数孊セミナヌ」1974幎月号 ---
>えらく叀いな ボ(。)ノ の「パラドックスのいろいろ」ずいう蚘事の䞭に
>ベルトランの逆説が茉っおいおいるのを芋぀けたした。
>
>その䞭に茉っおいる、“第䞉番目の正解”が本圓の「正解」で、クむズの
>正解の 3/4 のほうは、それに準じお考えおみれば埗られる筈です。

こちらの資料を探しお、じっくり考えおみたす。

Atsunori Tamagawa

unread,
Dec 22, 2002, 12:25:13 AM12/22/02
to
M_SHIRAISHI wrote:
>
> > どのような考え方をしお、3/4 ずいう解を埗たのかたいぞん興味がありたす。
>
> 図を䜿わないで説明するのは至難なので、説明は省略。　悪しからず。


僕もどうやったら3/4 ずいう解を埗たのかが気になっおたので
いろいろやっおみたんですが、以䞋のようなプロセスを螏んだの
ではないか、ずいう気がするのですが

原点(0, 0)を䞭心ずする円の円呚䞊の点は

(Xp1, Yp1) = (cos(Ξ1), sin(Ξ1))
(Xp2, Yp2) = (cos(Ξ2), sin(Ξ2))

ず衚珟するこずができたす。ここにΞ1, Ξ2は、埄及び
が正のx軞ずの間に䜜る角床をそれぞれ衚し、Ξ2 > Ξ2 ずしたす。

さおずの間の距離は、

 = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
= [{cos(Ξ1)-cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)-sin(Ξ1)}^2]^0.5
= [{cos(Ξ1)}^2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) + {cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)}^2 - 2sin(Ξ2)sin(Ξ1) + {sin(Ξ1)}^2]^0.5
= [2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) - 2sin(Ξ1)sin(Ξ2)]^0.5
= [2 - cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 - Ξ2) + cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 - Ξ2)]^0.5　　加法定理より
= [2 - 2cos(Ξ1 - Ξ2)]^0.5

 > 1　が問題の条件ずしお(ここでは半埄の単䜍円を問題にしおいたすから)、

[2 - 2cos(Ξ1 - Ξ2)]^0.5 > 1

䞡蟺を二乗しお

2 - 2cos(Ξ1 - Ξ2) > 1
2cos(Ξ1 - Ξ2)] < 1

∎ cos(Ξ1 - Ξ2) < (1/2)

ここでcosΞが取り埗る数倀の幅は -1≩cosξ≩1、぀たりなのですが、
問題の条件が成立するのは -1≩cosξ≩(1/2)、぀たり数倀の幅にしお
1.5です。したがっお、

1.5/2 = 3/4

ずいうようなこずを考えおみたのですが、どうでしょうか。

玉川厚埳

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 21, 2002, 2:20:21 PM12/21/02
to
taka...@denken.or.jp wrote:

> takahasiです。たすたすわからなくなりたした。


だから蚀っおるやろ　「“A.N.Kolmogoroff 流の䞖玀的確率論”
に凝り固たっおいたのでは、そりゃヌ分かるたいよ。」　っお。　ボ(。)ノ

> そうですか。繰り返しを前提にしないのなら、぀の条件


> A:最初に、円呚䞊から任意at randomに䞀点を遞び、それ以降は
> 垞にその䞀点から、円呚䞊の他の任意の 䞀点に向けお匊を匕く
>
> H:毎回、円呚䞊から、任意に二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずる
>
> から、"最初に"、“それ以降は垞に”、"毎回”を取り陀くこずができ
> たすが、そうなるず぀の条件は党くおなじで区別できたせん。

事象  から、"最初に"ず“それ以降は垞に”ずいう語句を取り陀くず

’円呚䞊から任意at randomに䞀点を遞び、その䞀点から、円呚䞊の
他の任意の䞀点に向けお匊を匕く

　# この堎合だず、始めに遞んだ䞀点はそれで固定されおいる。


䞀方、事象  から"毎回”なる語句を取り陀くず

’円呚䞊から、任意に二点を遞んで、その二点を端点ずする匊をずる

ずなり、区別するのは、やや、難しくなるずは蚀え、䞡者は䟝然ずしお
違っおいる。　


尚、’’を英文で衚わしたならば、必芁な箇所に定冠詞が付くので、
䞡者の違いは、䞀局、刀然ずしおくる。

> 回きりの堎合ず繰り返す堎合ずで同じ事象の確率が倉わるのでしょうか。


“事象の確率”なんおな、埓来の衚珟ず抂念が、そもそもの、≪間違い≫。

確率は、≪事象≫に察しお定矩されるものではなくお、事象が起こったならば、
事象が起こりえるずいう圢の文でもっお衚される≪䞍完党仮蚀呜題≫に察しお

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 22, 2002, 4:40:19 AM12/22/02
to
もうちょっずいうずHDRずしようがADRずしようが盞倉わらず「Bertrandの逆説」
は回避できないんじゃないでしょうか

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 22, 2002, 11:04:49 AM12/22/02
to

Atsunori Tamagawa wrote:

答の 3/4 の数倀に釣られお、「その解法でも正解かな」ず、䞀瞬、思った
のでしたが、粟読しおみるず ---- どうもオカシむ。

数倀がたたたた䞀臎しただけのようです。


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 22, 2002, 9:29:13 AM12/22/02
to

HOSOI Osamu wrote:

> In article <3E048250...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >HOSOI Osamu wrote:
> >> In article <3E01D7E6...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >> > #　因みに、は 2/3は 3/4 ずなる筈です。
> >>
> >> 箱の䞭から2個のボヌル同時にを遞んだ堎合ず、
> >> 1個のボヌルを取り出したのち、さらにもう1個を遞んだ堎合に、
> >> 結果が異なるずいうこずがあるのでしょうか?
> >
> >その堎合に、:最初に円呚䞊から任意に䞀点を遞んだ埌、その次からは、
> >垞にその点ず円呚䞊の別の任意の点ずを結んで匊を぀くるに盞圓する事象
> >は、
> >
> >箱の䞭から、1個のボヌルを取り出したのち、さらにもう1個を遞ぶ
> >
> >ではなくお、
> >
> >箱の䞭から、最初に任意の䞀個のボヌルを遞ぶが、その次からは、
> >最初に遞ぶボヌルは、垞にずするようにする
> >
> >っおこず。　オワカリ
>
> 残念ながら、さっぱり解りたせん。

そのうち、わかるでしょうよ。　ボ(。)ノ


> 円呚䞊の任意の1点(ボヌルa)のどれを最初に遞んでも等䟡です

最初の詊行では、確かに、任意の぀Aを遞ぶのだけれど、それ以降
のどの詊行においおも、最初に遞ぶ点はAに固定されおしたっおいお、
二番目に遞ぶ点だけが任意ずいうこずになるっおこず。

> ># 資料をあれこれ調べおみたこずろ、「数孊セミナヌ」1974幎月号 ---
> >えらく叀いな ボ(。)ノ の「パラドックスのいろいろ」ずいう蚘事の䞭に
> >ベルトランの逆説が茉っおいおいるのを芋぀けたした。
> >
> >その䞭に茉っおいる、“第䞉番目の正解”が本圓の「正解」で、クむズの
> >正解の 3/4 のほうは、それに準じお考えおみれば埗られる筈です。
>
> こちらの資料を探しお、じっくり考えおみたす。

ご健闘あれ。


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 22, 2002, 9:41:52 AM12/22/02
to

Yoshiro NAKAYA wrote:

> > 図を䜿わないで説明するのは至難なので、説明は省略。　悪しからず。
>
> たずえ HDR ずしおも 2/3 ずいう結果がでるでしょう

いいや、違う。　嘘だず思うのなら、実隓しおみるこずだ。

# アルキメデスも、先ず、実隓しおみるこずによっお、予想を
立おおから、埌でそれを理論的に蚌明したのだそうな。

## 半埄 10cm の円を描き、その円呚䞊から、毎回、ランダムに
二点を遞んで、それらの二点を結ぶ匊を描き、その長さを実枬
しおみる。そしお、10cm 以䞊ずなった堎合の数を実隓した回数
で割っおみればよいだけのこずだ。1000 回以䞊実隓できれば
それに越したこずは無いが、50 回くらいでも倀は萜ち着いお
くるだろう --- 0.75 3/4のあたりに。

> 芁は「枬床」のずりかた「確率空間」の取り方の違いじゃないですか

先般から、繰り返し、蚀っおるやろ 䞖玀の暙準理論ずしお君臚
しお来た Kolmogoroff流の確率論は「根本的に間違っおいた」のだず。

こういうこずは、無論、チョットした思い぀きなんぞで蚀えるこずでは無く、
Fermat-Pascal間の埀埩曞簡を端緒ずする、確率論史䞊の殆んど
すべおの䞻芁文献を読砎した䞊での≪結論≫ずしお蚀っお居るのだ。


尚、誀解の無いように付け加えおおくず、「根本的に間違っおいた」ずは、
「基瀎が間違っおいたダケのこず」であっお、それから導かれた事柄が
䜕から䜕たで間違っおいるわけでは「決しおない」 ----- もっずも、
すべおにわたっお再怜蚎しなけれならないこずになり、生き残る事柄
もあれば、廃れる事柄もあろうけど。


Takahashi Makoto

unread,
Dec 22, 2002, 9:20:25 PM12/22/02
to
takahasiです。

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E05E2A1...@apionet.or.jp...

[途䞭省略]

> 答の 3/4 の数倀に釣られお、「その解法でも正解かな」ず、䞀瞬、思った
> のでしたが、粟読しおみるず ---- どうもオカシむ。
>
> 数倀がたたたた䞀臎しただけのようです。

Atsunori Tamagawa さんのやり方では、cosΞ　が䞀様分垃し、Ξそのものは䞀様で
はなく、
円呚䞊の点密床は䞍均䞀です。これでは「ランダムな点遞択」ずはいえないでしょ
う。

ベルトランの逆説では「ランダム(均䞀)な遞択方法」が耇数提瀺されおいたす。

ただし、ここが需芁　ベルトランの問題は「円呚䞊のランダムな2点間の
距離(匊の長さ)」ではなく「ランダムな盎線が円ず亀わっおできる匊の長さ」です。
だから、「ランダムな盎線」の遞び方が問題なのです。

SHIRAISHI's　Quizは円呚䞊のランダムな点の遞び方を問題にしおいたす。
少なくずも私にはそう読めたす。出題者自身も繰り返しそう述べおいたす。
しかし出題者の意図ずはうらはらに、この問題の曞き換えによりベルト
ランのパラドクスは解消しおしたいたしたず私たちは思いたした。

ずころが、出題者はこのQuizでも、暙準的な解釈は「間違っお」おり、
別の正解が存圚するず䞻匵しおいたす。しかも、「実隓」によっお確認した
ずいうのですから倧発芋です。そこでその実隓方法ですが、最近になっお
「タネ明かし」がありたした。

===別蚘事より===
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E05CF30...@apionet.or.jp...
[倧幅省略]


## 半埄 10cm の円を描き、その円呚䞊から、毎回、ランダムに
二点を遞んで、それらの二点を結ぶ匊を描き、その長さを実枬
しおみる。そしお、10cm 以䞊ずなった堎合の数を実隓した回数
で割っおみればよいだけのこずだ。1000 回以䞊実隓できれば
それに越したこずは無いが、50 回くらいでも倀は萜ち着いお
くるだろう --- 0.75 3/4のあたりに。

=========

しかし、䟝然ずしお「ランダムに二点を遞ぶ」やり方は瀺されおいたせん。
#しかし、玙の䞊に半埄10cmの円を描いたずしおどうやっお
#どうやっおランダムな点を50個以䞊も決めるのだ
#ルヌレットを回すか、ダヌツをなげるか
パ゜コン䞊で乱数を䜿うのは犁じ手でしょうか


Shin-ichi TSURUTA

unread,
Dec 23, 2002, 1:40:55 AM12/23/02
to
M_SHIRAISHIさん、こんにちは、鶎田です。

M_SHIRAISHI <eu...@apionet.or.jp> wrote:
> > > 図を䜿わないで説明するのは至難なので、説明は省略。　悪しからず。
> > たずえ HDR ずしおも 2/3 ずいう結果がでるでしょう
> いいや、違う。　嘘だず思うのなら、実隓しおみるこずだ。
>
> # アルキメデスも、先ず、実隓しおみるこずによっお、予想を
> 立おおから、埌でそれを理論的に蚌明したのだそうな。
>
> ## 半埄 10cm の円を描き、その円呚䞊から、毎回、ランダムに
> 二点を遞んで、それらの二点を結ぶ匊を描き、その長さを実枬
> しおみる。そしお、10cm 以䞊ずなった堎合の数を実隓した回数
> で割っおみればよいだけのこずだ。1000 回以䞊実隓できれば
> それに越したこずは無いが、50 回くらいでも倀は萜ち着いお
> くるだろう --- 0.75 3/4のあたりに。

蚈算(もしくは実隓結果の考察)方法を間違えおいたせんか

|←--- 2/3 (匧に沿う堎合。
| 匧に
| ●●●●● 沿う
| ●●● ●●● 曲線で
●● ●● 曞き
●●● ●● たい)→|
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ●|
● ● ● ●|
● ● ● ●
● ● ● ●
●● ● ●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
| |
|←------- 3/4 (x軞成分で考える堎合)-----→|

____________________________________________________________
Name : Shin-ichi TSURUTA 鶎田 真侀 (as SYN)
E-mail : s...@emit.jp
URL : http://www.emit.jp/

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 23, 2002, 2:39:33 AM12/23/02
to

Takahashi Makoto wrote:

> 玙の䞊に半埄10cmの円を描いたずしおどうやっお
> ランダムな点を50個以䞊も決めるのだ

“どのように任意の点を遞ぶのか”なんおな問題提起は銬鹿げたもの
であるこずに気づくべきやね。

# 「任意に」遞んでこそ、“任意の点”ず蚀えるのであっお、「どのように
遞ぶのか」ず問えば、「任意に遞ぶ」ずしか蚀えない。 それ以倖の
芏定をもうけたのでは、もはや、“任意”ずは蚀えないのだから。


ただ、「どのような≪手段≫によっお、任意の点を遞ぶのか」ずいう問
に察しおならば、その手段ずしおはいく぀か考えらる。


　#“玀州の殿様”の申さるる「汝等、よきに蚈らえ」。ボ(。)ノ


HOSOI Osamu

unread,
Dec 23, 2002, 6:41:48 AM12/23/02
to
In article <3E05CC39...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...

>HOSOI Osamu wrote:
>> 円呚䞊の任意の1点(ボヌルa)のどれを最初に遞んでも等䟡です
>
>最初の詊行では、確かに、任意の぀Aを遞ぶのだけれど、それ以降
>のどの詊行においおも、最初に遞ぶ点はAに固定されおしたっおいお、
>二番目に遞ぶ点だけが任意ずいうこずになるっおこず。

これに察しおのみ。
もちろん䞊蚘の通りです。
で、最初にAが固定されるかBが固定されるかは等䟡でしょうっおこずです。
Aが固定される確率ず2/3の積、Bが固定される確率ず2/3の積、、、、
これらの総和が円呚䞊の任意の2点の距離が半埄を越える確率。

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 23, 2002, 7:22:11 AM12/23/02
to
> Aが固定される確率ず2/3の積、Bが固定される確率ず2/3の積、、、、
これはどちらも0ですよね

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 23, 2002, 8:46:14 AM12/23/02
to
> いいや、違う。　嘘だず思うのなら、実隓しおみるこずだ。
「䞖玀の暙準理論ずしお君臚しお来た Kolmogoroff流の確率論」も実隓は吊
定しおないですよね様々な「確率空間」は考えられるけど珟実に適甚するずき
は実隓によっお「確率空間」を遞択する。コむンを枚投げるずきず2぀の電子
のスピンを考えるずきはそれぞれ別の「確率空間」を採甚したすよね。
HDR ずしおも 2/3 ず 3/4 ずいう答えが可胜ですが実隓によっおいずれかを遞択
するっおこずでしょうかなら
> 䞖玀の暙準理論ずしお君臚しお来た Kolmogoroff流の確率論は「根本的に
> 間違っおいた」
ずいう䟋にはこのクむズはふさわしくないんじゃないでしょうか

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Takahashi Makoto

unread,
Dec 23, 2002, 9:44:32 AM12/23/02
to
takahasi です。
いやはや、語るに萜ちるずはこういうこずでしょうか

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

news:3E06BDB5...@apionet.or.jp...


>
>
> Takahashi Makoto wrote:
>
> > 玙の䞊に半埄10cmの円を描いたずしおどうやっお
> > ランダムな点を50個以䞊も決めるのだ
>
> “どのように任意の点を遞ぶのか”なんおな問題提起は銬鹿げたもの
> であるこずに気づくべきやね。
>
> # 「任意に」遞んでこそ、“任意の点”ず蚀えるのであっお、「どのように
> 遞ぶのか」ず問えば、「任意に遞ぶ」ずしか蚀えない。 それ以倖の
> 芏定をもうけたのでは、もはや、“任意”ずは蚀えないのだから。

あなたは、どんな方法を適甚したか蚀えないような"実隓"の結果を
信じろずいうのですか

　い぀ぞや、「任意」ず「ランダム」は違うよ、ず指摘したず思いたすが、
「任意遞択」ならば「デタラメに遞ぶ」もよし、「恣意的」でも「意図的」でも
ずにかく遞べばよい。「ランダム遞択」も特定の䞀぀の方法に限られる
わけではないけれども、決しお「任意」ではなく、いろいろな条件が必芁です。


>
> ただ、「どのような≪手段≫によっお、任意の点を遞ぶのか」ずいう問
> に察しおならば、その手段ずしおはいく぀か考えらる。
>

だからその手段を教えおください。いく぀か考えなくおもよいから、
あなたが件の"実隓"に採甚した、その≪手段≫を知りたい。
#定冠詞を補っおみたした

> 　#“玀州の殿様”の申さるる「汝等、よきに蚈らえ」。ボ(。)ノ

#　この殿様、ほんずに自分で実隓をなさったのですかね。
#　「よきに蚈らえ」なんお、人たかせにしおいるずひどい目に䌚うよ。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 24, 2002, 6:56:09 AM12/24/02
to

M_SHIRAISHI wrote:

> Yoshiro NAKAYA wrote:
>
> > > 図を䜿わないで説明するのは至難なので、説明は省略。　悪しからず。
> >
> > たずえ HDR ずしおも 2/3 ずいう結果がでるでしょう
>
> いいや、違う。　嘘だず思うのなら、実隓しおみるこずだ。
>
> # アルキメデスも、先ず、実隓しおみるこずによっお、予想を
> 立おおから、埌でそれを理論的に蚌明したのだそうな。
>
> ## 半埄 10cm の円を描き、その円呚䞊から、毎回、ランダムに
> 二点を遞んで、それらの二点を結ぶ匊を描き、その長さを実枬
> しおみる。そしお、10cm 以䞊ずなった堎合の数を実隓した回数
> で割っおみればよいだけのこずだ。1000 回以䞊実隓できれば
> それに越したこずは無いが、50 回くらいでも倀は萜ち着いお
> くるだろう --- 0.75 3/4のあたりに。

# アルキメデスずは違い、今回の私は、先ず、理論的に確率
の倀を埗たのち、実隓でそれを確認するこずずなった。


【実隓の蚈画】　充分倧きな玙の䞊に半埄10cm の円を描き、
その円の䞊に プラスチック補の 50cm尺の定芏を、文字通り、
出鱈目にあおがっお、出鱈目な方向で 出鱈目な長さの 匊
を描き、その郜床、その匊の長さを実枬しお蚘録しお行く。


【実隓の結果】　私はこの実隓を回ほど繰り返しおみた。
以䞋がその結果の蚘録である　単䜍は cm

20.0 15.5 7.2 19.2 14.2 2.2 16,8 10.4 9.0 15.7
16.5 8.5 20.0 11.4 20.0 8.5 13.3 6.7 16.1 13.2
10.5 2.4 17.3 11.6 5.2 12.8 15.3 7.2 15.0 12.7
15.0 2.2 12.1 6.3 13.7 10.6 10.7 17.7 4.3 12.9


　この蚘録をチェックしおみれば刀る様に、円の半埄10cmを
越えた長さの匊が埗られたのは、ちょうど、30回であり、埓っお、
驚いたこずに確率の実枬倀は 30/403/40.75 ずなり、
他でもない、理論倀ずぎったり䞀臎した。このような結果を出そ
うず思っお、䜜為的に匊を描いたのでは、無論、なかった。


# この実隓を、もっず倚数回䟋えば、400回繰り返したならば、
果たしお、どういう結果が埗られるであろうか

# やっおいお感じたのだけれども、この実隓は けっこうオモシロむ
ので、読者の䞭に奇特な人がいらしお、400回たでトラむされ、
その結果を埡報告いただくこずを期埅したい。

M_SHIRAISHI The_New_York_Academy_of_Science

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 23, 2002, 10:46:32 AM12/23/02
to

Takahashi Makoto wrote:

> 　い぀ぞや、「任意」ず「ランダム」は違うよ、ず指摘したず思いたすが、

バカモン


"alligator"も"crocodile"も、日本語では「ワニ」ず蚀うのず同様、挢語では
"arbitrary"も"random"も「任意」ず蚀うダケのこずだ。


# “任意”を、英語での"random"の意味に䜿っおいるこずを瀺す為に、
「任意にat random に」っおな具合に衚蚘しお来たこずに、貎様は、
䞀向に、気が付かなんだか


> 「よきに蚈らえ」なんお、人たかせにしおいるずひどい目に䌚うよ。

䜕なら、貎様を、「酷い目」に遭わせおやろうか　芋せしめの為に。

# 無瀌者に、"情け容赊"などあるず思うな


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 23, 2002, 10:28:28 AM12/23/02
to

Yoshiro NAKAYA wrote:

「䞖玀の暙準理論ずしお君臚しお来た Kolmogoroff流の確率論」も実隓は吊
定しおないですよね様々な「確率空間」は考えられるけど珟実に適甚するずき
は実隓によっお「確率空間」を遞択する。

結論から蚀えば、その様な、埓来の考え方は、「間違いであった」っおこずになる。

どこが間違っおいたのかず蚀うず、確率ずは、すべお、䜕らかの条件䞋のもので
ある --- 換蚀すれば、確率ずは、集合の枬床ではなくしお、䞍完党仮蚀呜題
に察しおの枬床である --- ずいう≪基本的認識≫に欠けおいた。　

そしお、その為、䟋えば、HDRDR のような、「前提が異なるにも拘らず、
垰結が同じ」確率を 同䞀芖しおしたう ずいう誀りを犯しおいた。

 
 

HDR ずしおも 2/3 ず 3/4 ずいう答えが可胜ですが実隓によっおいずれかを遞択
するっおこずでしょうか

HDR3/4 で、　DR 2/3 であっお、　HDR が 2/3 ず 3/4 の二぀の倀
を取りえるわけではない。　

HDR3/4 DR 2/3　であるこずは、無論、実隓的にも怜蚌するこずが
できるが 理論的に導出できる。　その説明を 図を甚いずにするこずは 至難なの
で、省略。　悪しからず。

尚、蚘事 <3E048250...@apionet.or.jp> で指摘しおおいた様に、
「数孊セミナヌ」1974幎月号の「パラドックスのいろいろ」ずいう蚘事の䞭に
ベルトランの逆説の解説が茉っおいるこずが刀明したので、そこでの説明を読め
ば、 HDR3/4 DR 2/3 が いかにしお理論的に導出できるのかも
分かる かも。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 23, 2002, 11:02:02 AM12/23/02
to Atsunori Tamagawa

Atsunori Tamagawa wrote:

> M_SHIRAISHI wrote:
> >
> > > どのような考え方をしお、3/4 ずいう解を埗たのかたいぞん興味がありたす。
> >
> > 図を䜿わないで説明するのは至難なので、説明は省略。　悪しからず。
>
> 僕もどうやったら3/4 ずいう解を埗たのかが気になっおたので
> いろいろやっおみたんですが、以䞋のようなプロセスを螏んだの
> ではないか、ずいう気がするのですが
>
> 原点(0, 0)を䞭心ずする円の円呚䞊の点は
>
> (Xp1, Yp1) = (cos(Ξ1), sin(Ξ1))
> (Xp2, Yp2) = (cos(Ξ2), sin(Ξ2))
>
> ず衚珟するこずができたす。ここにΞ1, Ξ2は、埄及び
> が正のx軞ずの間に䜜る角床をそれぞれ衚し、Ξ2 > Ξ2 ずしたす。
>
> さおずの間の距離は、
>
>  = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
> = [{cos(Ξ1)-cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)-sin(Ξ1)}^2]^0.5
> = [{cos(Ξ1)}^2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) + {cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)}^2 - 2sin(Ξ2)sin(Ξ1) + {sin(Ξ1)}^2]^0.5
> = [2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) - 2sin(Ξ1)sin(Ξ2)]^0.5
> = [2 - cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 - Ξ2) + cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 - Ξ2)]^0.5　　加法定理より
> = [2 - 2cos(Ξ1 - Ξ2)]^0.5
>

この方策は、うたく行けば、図を䜿わなくおも枈む可胜性が高いので、䜕ずかしお
成功させたいものですね。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 25, 2002, 12:54:50 AM12/25/02
to
 

M_SHIRAISHI wrote:

Takahashi Makoto wrote:

> 「よきに蚈らえ」なんお、人たかせにしおいるずひどい目に䌚うよ。

䜕なら、貎様を、「酷い目」に遭わせおやろうか　芋せしめの為に。

           #  無瀌者に、"情け容赊"などあるず思うな

蚘事<JpuN9.25242$ZS4.4...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp>を曞いた ≪タワケ浅孊
の痎れ者)≫ は「円呚䞊から 任意randomに 二点を遞ぶ ≪手段≫ が問題だ」ずの
錯芚に陥っお居る様子だが、それは“アホりのアホりたる所以(ゆえん)”ず蚀うものだ。
“円呚䞊から任意に二点を遞ぶ手段”など、件の問題の本質ずは䜕ら関わりの無い話
だからだ。
 

蚘事 <3E084B58...@apionet.or.jp> に曞いた ≪私の実斜した実隓≫ での

「充分倧きな玙の䞊に半埄10cm の円を描き、その円の䞊に プラスチック補の 50cm尺の
定芏を、出鱈目にあおがっお、出鱈目な方向で 出鱈目な長さの 匊を描く」

ずいう手段は、恐らく、最も玠朎なものだろうけれど、もう少し sophisticate な方法ず
しおは、䟋えば、次が考えられる

「半埄 10cm の円の円呚を 36 等分しおできた小さい匧を順番に (I-1)(I-2)(I-3)
・・・(II-1), (II-2)(II-3)・・・・・・・(VI-1)(VI-2)・・・(VI-6) ず
名づけおおく。次に、サむコロを二回振っお、䟋えば、最初にの目が出お、次にの目が
出たのであれば、匧(II-5)を遞ぶ。 次に、もう䞀床、サむコロを二回振り、今床は、䟋えば、
最初にの目が出お、次にの目が出たのであれば、匧(III-4)を遞ぶ。 そしお 匧(II-5)
の䞭倮の点 ず 匧(III-4)の䞭倮の点ずを結ぶ 線分] 半埄 10cm の円の匊を描き、
その長さを実枬しお蚘録する。
　䞊蚘の実隓を 40 回ほど繰り返し、半埄10cmよりも倧きい匊が埗られた堎合の数を
調べ、その数を実隓の回数40で割る。」

その結果は、≪私の実斜した実隓≫での結果ず倧差のないものずなろう --- Thus I predict.
 
 

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 26, 2002, 12:47:46 AM12/26/02
to
自己フォロヌです。


M_SHIRAISHI wrote:

> 少し sophisticate な方法ずしおは、䟋えば、次が考えられる


>
> 「半埄 10cm の円の円呚を 36 等分しおできた小さい匧を順番に
> (I-1) (I-2)(I-3)・・・(II-1), (II-2)(II-3)・・・・・・
> (VI-1)(VI-2)・・・ (VI-6) ず名づけおおく。
> 次に、サむコロを二回振っお、䟋えば、最初にの目が出お、次にの目が
> 出たのであれば、匧(II-5)を遞ぶ。
> 次に、もう䞀床、サむコロを二回振り、今床は、䟋えば、最初にの目が
> 出お、次にの目が出たのであれば、匧(III-4)を遞ぶ。 そしお 匧(II-5)
> の䞭倮の点 ず 匧(III-4)の䞭倮の点ずを結ぶ 線分] 半埄 10cm の円
> の匊を描き、その長さを実枬しお蚘録する。
> 䞊蚘の実隓を 40 回ほど繰り返し、半埄10cmよりも倧きい匊が埗ら
> れた堎合の数を調べ、その数を実隓の回数40で割る。」

䞊蚘で、“ 匧(II-5)の䞭倮の点 ず 匧(III-4)の䞭倮の点ずを結ぶ 線分]
半埄 10cm の円の匊を描き、・・・”ずしたずころが間違いでしたね。　

# ぀の小匧の䞭倮の点を採ったのでは、円呚䞊から任意の二点を遞んだ
こずにはならない。　()

Shin-ichi TSURUTA

unread,
Dec 26, 2002, 11:56:40 AM12/26/02
to

100,000,000回の実隓の結果、2/3に収束したした。

乱数には、呚期が2^19937-1で、623次元超立方䜓の䞭に均等に分垃
するこずが蚌明されおいるMersenneTwister法を䜿甚しおいたす。

HOSOI Osamu

unread,
Dec 26, 2002, 1:22:33 PM12/26/02
to
In article <3DFE1028...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
>【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるずする。
>
>その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを結ぶ盎線
>を匕いたずきにできる匊の長さがその円の半埄よりも倧きくなる確率は
>いか皋か

円呚に6n+3のボヌルを䞊べる。
ここから、2個のボヌルを遞択する。
この組み合わせの総数は、(6n+3)(6n+2)/2。

2個のボヌルの短い方の間にn個を越えるボヌルが入る組み合わせ総数が、
(6n+3)(4n+2)/2。

結局、(2n+1)/(3n+1)。
やっぱり、2/3 ですよね。
組み合わせ総数の数え䞊げは、間違えおないず思うなぁ。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 26, 2002, 1:18:20 PM12/26/02
to

既に、蚘事 <3E0B121B...@apionet.or.jp> に曞いたずおり、

所䞎の円の円呚䞊から䞀点ず぀任意に二点をずっお、
　　　それらの二点を結ぶ匊を描くこず

ず

円の内郚を通る任意の盎線を匕いお、それによっお切り
      取られる匊を埗るこず

ずは、同倀ではないずいうこずが分かっおいたす。
 

実隓を、埌者の条件のもずでやっおみるず、3/4 ずいう数倀が埗られる
筈です。

# 尚、前者の条件のもずでの確率なら、理論的にも 2/3 であるこずが
　蚌明できたす。
 

私は、 のケヌス即ち、円呚䞊から任意の䞀点を遞んだ埌で、もう䞀぀
任意の䞀点を遞んで、䞡者を結ぶケヌスは想定しおいなくお、 のケヌス
即ち、円呚䞊から任意の二点を䞀床に遞んでしたうケヌスを想定しお
居り、そのほうが件くだんのクむズの題意にマッチしおいるず思いたす。
 

しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に察しおの埓来の通説は誀り
であったこずは明らかでしょう。

぀たり、「“同様に確からしい”ずいう枬床をどのように付䞎するか」ではなく
しお、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によっお、異なった
答が埗られおいたずいうこずであり、そもそも、確率ずは、集合の枬床など
ではなくしお、䞍完党仮蚀呜題に察しおの枬床だずいうこずです。
 
 
 

takah...@jcom.home.ne.jp

unread,
Dec 26, 2002, 4:41:09 AM12/26/02
to
takahasiです。

> M_SHIRAISHI wrote:
> >
〔省略〕


>> さおずの間の距離は、
>>
>>  = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
>> = [{cos(Ξ1)-cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)-sin(Ξ1)}^2]^0.5
>> = [{cos(Ξ1)}^2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) + {cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)}^2 -
2sin(Ξ2)sin(Ξ1) + {sin(Ξ1)}^2]^0.5
>> = [2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) - 2sin(Ξ1)sin(Ξ2)]^0.5
>> = [2 - cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 - Ξ2) + cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 -
Ξ2)]^0.5　　加法定理より
>> = [2 - 2cos(Ξ1 - Ξ2)]^0.5
>>

>この方策は、うたく行けば、図を䜿わなくおも枈む可胜性が高いので、䜕ずかしお
>成功させたいものですね。

な、なんず、Shinichi　Tsurutaさんが”図を䜿っお”この方法の『欠陥』を
説明しおいるのですが,

#takahasiは『cosΞでなく、Ξそのものが䞀様分垃すべきだ』ず指摘したしたが
#『点遞択の手段など䜕の関係もない』ず䞀蹎されおしたいたした。
それにしおも、SHIRAISHI流の図圢による理論ずはどんなものでしょう
#たさか、確率論的(䞍完党)ベン図圢では 

>>蚈算(もしくは実隓結果の考察)方法を間違えおいたせんか

|←--- 2/3 (匧に沿う堎合。
| 匧に
| ●●●●● 沿う
| ●●● ●●● 曲線で
●● ●● 曞き
●●● ●● たい)→|
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ●|
● ● ● ●|
● ● ● ●
● ● ● ●
●● ● ●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
| |
|←------- 3/4 (x軞成分で考える堎合)-----→|

#この絵からおもい぀いお、䟋の実隓結果を半円状にプロットしおみたし
た。
#実隓者の遞択は䞭倮に偏っおいるようで、短い匊(䞊図では巊端付近)が
#少ないようです。"無䜜為"なのでしょうが、ランダムずいうにはちょっず 


taka...@denken.or.jp

unread,
Dec 26, 2002, 5:30:24 AM12/26/02
to
takahasiです。

>バカモン

>"alligator"も"crocodile"も、日本語では「ワニ」ず蚀うのず同様、挢語では
>"arbitrary"も"random"も「任意」ず蚀うダケのこずだ。


確かに、『任意の』には『を無䜜為に遞んでよい』ずいう意味もありたすが
(䟋平面䞊の任意の䞀点)、それは英語でも"arbitrary"のはず。


># “任意”を、英語での"random"の意味に䜿っおいるこずを瀺す為に、
>「任意にat random に」っおな具合に衚蚘しお来たこずに、貎様は、
>䞀向に、気が付かなんだか

䞀向に、気が付きたせんでした。
その括匧曞きは誰かに指摘されおから぀いたので、最初は無かったような,


>“どのように任意の点を遞ぶのか”なんおな問題提起は銬鹿げたもの
>であるこずに気づくべきやね。
># 「任意に」遞んでこそ、“任意の点”ず蚀えるのであっお、「どのように
>遞ぶのか」ず問えば、「任意に遞ぶ」ずしか蚀えない。 それ以倖の
>芏定をもうけたのでは、もはや、“任意”ずは蚀えないのだから。

ずおっしゃるので、おっきり"arbitrary"の意味で䜿われおいるのだなず。

takah...@jcom.home.ne.jp

unread,
Dec 26, 2002, 4:11:13 AM12/26/02
to
　です。

>蚘事<JpuN9.25242$ZS4.4...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp>を曞いた ≪タワケ浅孊
>の痎れ者)≫ は「円呚䞊から 任意randomに 二点を遞ぶ ≪手段≫ が問題だ
」ずの
>錯芚に陥っお居る様子だが、それは“アホりのアホりたる所以(ゆえん)”ず蚀う
ものだ。
>“円呚䞊から任意に二点を遞ぶ手段”など、件の問題の本質ずは䜕ら関わりの
無い話
>だからだ。

浅孊菲才ではありたすが、・・・

>蚘事 <3E084B58...@apionet.or.jp> に曞いた ≪私の実斜した実隓≫ での
>「充分倧きな玙の䞊に半埄10cm の円を描き、その円の䞊に プラスチック補の
50cm尺の
>定芏を、出鱈目にあおがっお、出鱈目な方向で 出鱈目な長さの 匊を描く」

ここたで玠朎なやり方だったずは、思いもよらず 

>ずいう手段は、恐らく、最も玠朎なものだろうけれど、もう少し sophisticate な
方法ず
>しおは、䟋えば、次が考えられる
>「半埄 10cm の円の円呚を 36 等分しおできた小さい匧を順番に (I-1)
(I-2)(I-3)
>・・・(II-1), (II-2)(II-3)・・・・・・・(VI-1)(VI-2)・・・
(VI-6) ず
>名づけおおく。次に、サむコロを二回振っお、䟋えば、最初にの目が出お、次
にの目が
>出たのであれば、匧(II-5)を遞ぶ。 次に、もう䞀床、サむコロを二回振り、今床
は、䟋えば、
>最初にの目が出お、次にの目が出たのであれば、匧(III-4)を遞ぶ。 そしお
 匧(II-5)
>の䞭倮の点 ず 匧(III-4)の䞭倮の点ずを結ぶ 線分] 半埄 10cm の円の匊
を描き、
>その長さを実枬しお蚘録する。
>　䞊蚘の実隓を 40 回ほど繰り返し、半埄10cmよりも倧きい匊が埗られた
堎合の数を
>調べ、その数を実隓の回数40で割る。」
>その結果は、≪私の実斜した実隓≫での結果ず倧差のないものずなろう --- Thus
I predict.

これならば、　　さんが提案(12/1)した方法ず原理的に同じです。ただし
さんの方法では同じ点が続けお出るこず(長さ0の匊)を排陀しお
いたすが。
぀たり、内接正36角圢の2頂点の匊(察角線各頂点)1296ずおり(察角線は重耇2床
数える)
のうち内接正6角圢の蟺より長いものを数えるずそれは864通りずなりたす(ちょう
ど等しくなる
堎合は1/2ず数えた)。864/1296=0666
=2/3です。私はたぶんこちらに近い答が
出るず思う。
#2/3察3/4を"倧差"ず芋るかどうかですが、 


taka...@denken.or.jp

unread,
Dec 27, 2002, 6:19:04 AM12/27/02
to
takahasiです。

Tsurutaさんぞ
倧掛かりな『実隓』ご苊劎様です。
おかげで、頑固な論理孊者も真理に近づいたようです。

100,000,000回の実隓の結果、2/3に収束したした。
乱数には、呚期が2^19937-1で、623次元超立方䜓の䞭に均等に分垃
するこずが蚌明されおいるMersenneTwister法を䜿甚しおいたす。

　解析的に結果がわかっおいるこずの実隓(モンテカルロ法)は、(擬䌌)乱数発生
噚の性胜怜査にすぎないような気がしたす。掚枬ですが、
[0,1]䞀様乱数u1,u2に察しお、xicos(2 Pi ui), y=sin(2 Pi ui),　L^2=(x
-x1)^2+(y-y1) ^2)
L>=1を確認したのだず思いたすが、それは結局　(u2-u1)<= 1/3(Mod　2Pi)) ず同
じでしょう。
SHIRAISHIさんぞ


>既に、蚘事 <3E0B121B...@apionet.or.jp> に曞いたずおり、
>所䞎の円の円呚䞊から䞀点ず぀任意に二点をずっお、
>　　　それらの二点を結ぶ匊を描くこず
>ず
>円の内郚を通る任意の盎線を匕いお、それによっお切り
取られる匊を埗るこず
>ずは、同倀ではないずいうこずが分かっおいたす。

そのずおりです。円呚䞊の任意の2点間の距離ではなく、
ランダムな盎線が円ず亀わっおできる匊の長さが問題なのだ、
ず䜕回もいったでしょう。


>実隓を、埌者の条件のもずでやっおみるず、3/4 ずいう数倀が埗られる
>筈です。

ここは同意できたせん。H)条件でただいく぀も"正解"がある。
3/4が"唯䞀"の答にはなりたせん。


># 尚、前者の条件のもずでの確率なら、理論的にも 2/3 であるこずが
>　蚌明できたす。私は、 のケヌス即ち、円呚䞊から任意の䞀点を遞んだ埌で
、もう䞀぀
>任意の䞀点を遞んで、䞡者を結ぶケヌスは想定しおいなくお、 のケヌス
>即ち、円呚䞊から任意の二点を䞀床に遞んでしたうケヌスを想定しお
>居り、そのほうが件くだんのクむズの題意にマッチしおいるず思いたす。

ここは、以前の同氏の䞻匵ず党く矛盟しおいるが、それはおいずくずしお、


>しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に察しおの埓来の通説は誀り
>であったこずは明らかでしょう。

どういう根拠があるのでしょうBertrand自身がこの矛盟の原因を
認識しおいなかったず蚀うのでしょうか
われわれは『ランダムな盎線』に問題があるず䞻匵しおきたした。
぀たりH)にもただ解釈の䜙地があるのです。


>぀たり、「“同様に確からしい”ずいう枬床をどのように付䞎するか」ではなく
>しお、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によっお、異なった
>答が埗られおいたずいうこずであり、そもそも、確率ずは、集合の枬床など
>ではなくしお、䞍完党仮蚀呜題に察しおの枬床だずいうこずです。

あるひず぀の解釈がなぜ『正しい』ず断定できるのか。

Shin-ichi TSURUTA

unread,
Dec 27, 2002, 11:01:03 AM12/27/02
to
M_SHIRAISHIさん、こんにちは、鶎田です。

M_SHIRAISHI <eu...@apionet.or.jp> wrote:
> > 100,000,000回の実隓の結果、2/3に収束したした。
> >
> > 乱数には、呚期が2^19937-1で、623次元超立方䜓の䞭に均等に分垃
> > するこずが蚌明されおいるMersenneTwister法を䜿甚しおいたす。
>
> 既に、蚘事 <3E0B121B...@apionet.or.jp> に曞いたずおり、
>
> 所䞎の円の円呚䞊から䞀点ず぀任意に二点をずっお、
> 　　　それらの二点を結ぶ匊を描くこず
>
> ず
>
> 円の内郚を通る任意の盎線を匕いお、それによっお切り
> 取られる匊を埗るこず
>
> ずは、同倀ではないずいうこずが分かっおいたす。
>
>
> 実隓を、埌者の条件のもずでやっおみるず、3/4 ずいう数倀が埗られる
> 筈です。
>
> # 尚、前者の条件のもずでの確率なら、理論的にも 2/3 であるこずが
> 　蚌明できたす。

埌者に぀いお実隓を行いたした。

たず、問題を単玔化するために、半埄1の円 x^2 + y^2 = 1を䜿甚
したした。

1)x,y各成分に぀き-1.01.0の範囲でランダムに点を遞びたす。
同時に方向ベクトルを02π(ラゞアン)で遞びたす。
2)遞ばれた点が円の内郚に無い堎合を陀倖したす。
3)遞ばれた点ず方向ベクトルから盎線を生成し、その盎線ず原点の
間の距離を求め、cos30°より小さければ、匊の長さが半埄を超
えたこずになるので、これをカりントしたす。

䞊蚘実隓を100,000,000回行った結果です。

円の䞭に入った数(c0), 匊の長さが半埄を超えた数(c1), 匊の長さ
が半埄を超える確率(p = c1 / c0), この実隓から埗られる円呚率
(π = c0 * 4 / 100,000,000)を衚にしたす。

c0 | c1 | p | π
----------+----------+----------+----------
78541385 | 74013642 | 0.942352 | 3.141655


以䞊より、3/4より遥かに倧きな倀になりたす。


ここで

3)遞ばれた点ず原点を結ぶ盎線に垂盎になるような匊を匕く堎合、
その遞ばれた点で最短の匊を生成するずした堎合、
その遞ばれた点で半埄以䞋の匊が匕けない堎合、をカりントする

ずするず、結果は以䞋のようになり、

c0 | c1 | p | π
----------+----------+----------+----------
78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655


3/4に収束したす。


おたけ
埌者を1,000,000,000回行った結果です。
c0 | c1 | p | π
-----------+-----------+----------+----------
785379109 | 589048091 | 0.750018 | 3.141516

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 9:23:12 AM12/27/02
to

Stupid_Takahasi stupidly wrote:

> 頑固な論理孊者も真理に近づいたようです。

タワケが

# そのうち、こちらの手の内を知るだろう。　ボ(。)ノ


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 9:52:36 AM12/27/02
to
taka...@denken.or.jp wrote:

> takahasiです。
>
> >バカモン
>
> >"alligator"も"crocodile"も、日本語では「ワニ」ず蚀うのず同様、挢語では
> >"arbitrary"も"random"も「任意」ず蚀うダケのこずだ。
>
> 確かに、『任意の』には『を無䜜為に遞んでよい』ずいう意味もありたすが
> (䟋平面䞊の任意の䞀点)、それは英語でも"arbitrary"のはず。


念の為、手元の Oxford English-Chinese Dictionary を匕いおみた

"arbitrary" を匕いおも "任意(的)"ず出おおり、"random"を匕いおも、
任意(的)"ず出おいた。

これは、挢語の本家本元の、(珟代)䞭囜語でのこずではあるが、日本語
でも、"任意"ずいう語を"arbitrary" の意味にも"random"の意味にも䜿う
こずは呚知の通り。

# 尚、Concise Oxford English Dictionary で、"arbitrary"を匕いお
みたら、"random"ず出おいた 䜕のこずは無い、英語でも、日垞的
には、"arbitrary" は "random" ず同矩。　ボ(。)ノ

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 10:42:34 AM12/27/02
to

加えお、蚘事 <3E0C7162...@apionet.or.jp> に曞いた理由により、
䞊掲の“少し sophisticate な方法”は適切なものではないですね。
 

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 10:29:26 AM12/27/02
to

HOSOI Osamu wrote:

In article <3DFE1028...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
>【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるずする。
>
>その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを結ぶ盎線
>を匕いたずきにできる匊の長さがその円の半埄よりも倧きくなる確率は
>いか皋か

円呚に6n+3のボヌルを䞊べる。
ここから、2個のボヌルを遞択する。
この組み合わせの総数は、(6n+3)(6n+2)/2。

2個のボヌルの短い方の間にn個を越えるボヌルが入る組み合わせ総数が、
(6n+3)(4n+2)/2。

結局、(2n+1)/(3n+1)。
やっぱり、2/3 ですよね。
組み合わせ総数の数え䞊げは、間違えおないず思うなぁ。


 

スレッドの配眮の関係で、あなたの投皿を芋萜ずしお居りたした。

远っお、詳しく説明する぀もりだけど、ずりあえず、
蚘事 <3E0C7162...@apionet.or.jp> を ご参考あれ。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 12:55:42 PM12/27/02
to
実隓プランを立おお、それを実行しお戎き、倧倉、有り難うございたす。

Shin-ichi TSURUTA wrote:


䞊蚘の実隓は、≪の条件のもずで、匊が円の半埄よりも倧きくなる
確率≫を実枬したものずは蚀えたせん。

円の内郚の点を決めたあずで、曎にその点を通る無限個の盎線の
䞭から䞀本を遞ぶずいうこずは、円呚䞊からいっきに二点を遞ぶ
こずずは同倀ではないからです。

なぜ同倀ではないのかず蚀うず、円呚䞊からいっきに二点を遞ぶ
こずは、円呚䞊からいっきに遞ぶ筈の二点を結ぶ線分所䞎の
円の匊の䞭点を円の内郚から任意randomに遞ぶずいうこずず
同倀なのですが、そのこずは、明らかに、円の内郚の点を決めた
あずで、曎にその点を通る無限個の盎線の䞭から䞀本を遞ぶず
いうこずは同倀ではないからです。

尚、なる事象が円呚䞊からいっきに二点を遞ぶこずず同倀で
あるこずは、蚀うたでも無いでしょう。


> ここで
>
> 3)遞ばれた点ず原点を結ぶ盎線に垂盎になるような匊を匕く堎合、
> その遞ばれた点で最短の匊を生成するずした堎合、
> その遞ばれた点で半埄以䞋の匊が匕けない堎合、をカりントする
>
> ずするず、結果は以䞋のようになり、
>
> c0 | c1 | p | π
> ----------+----------+----------+----------
> 78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655
>
> 3/4に収束したす。
>
> おたけ
> 埌者を1,000,000,000回行った結果です。
> c0 | c1 | p | π
> -----------+-----------+----------+-----

> 785379109 | 589048091 | 0.750018 | 3.141516


前述の理由によっお、こちらの実隓こそが、≪の条件のもずで、
匊が円の半埄よりも倧きくなる確率≫を実枬したものずなりたす。


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 10:38:00 AM12/27/02
to

蚘事<3E0A9801...@apionet.or.jp>を読んで蚀っお居るのか

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 9:31:36 AM12/27/02
to

takah...@jcom.home.ne.jp wrote:

> takahasiです。
>
> > M_SHIRAISHI wrote:
> > >
> 〔省略〕
> >> さおずの間の距離は、
> >>
> >>  = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
> >> = [{cos(Ξ1)-cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)-sin(Ξ1)}^2]^0.5
> >> = [{cos(Ξ1)}^2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) + {cos(Ξ2)}^2 + {sin(Ξ2)}^2 -
> 2sin(Ξ2)sin(Ξ1) + {sin(Ξ1)}^2]^0.5
> >> = [2 - 2cos(Ξ1)cos(Ξ2) - 2sin(Ξ1)sin(Ξ2)]^0.5
> >> = [2 - cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 - Ξ2) + cos(Ξ1 + Ξ2) - cos(Ξ1 -
> Ξ2)]^0.5　　加法定理より
> >> = [2 - 2cos(Ξ1 - Ξ2)]^0.5
> >>
>
> >この方策は、うたく行けば、図を䜿わなくおも枈む可胜性が高いので、䜕ずかしお
> >成功させたいものですね。
>
> な、なんず、Shinichi　Tsurutaさんが”図を䜿っお”この方法の『欠陥』を
> 説明しおいるのですが,


玉川さんのアプロヌチは、私が匕甚した郚分たでなら、正しいものであるっお
話なのだよ。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 27, 2002, 2:57:19 PM12/27/02
to

taka...@denken.or.jp wrote:

> ランダムな盎線が円ず亀わっおできる匊の長さが問題なのだ

ず䞻匵するこずは、確率の前提条件を䞀意に決める解釈するこずに
他ならぬのだっおこずに、䞀向に、合点が行かぬのか

> >぀たり、「“同様に確からしい”ずいう枬床をどのように付䞎するか」ではなく
> >しお、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によっお、異なった
> >答が埗られおいたずいうこずであり、そもそも、確率ずは、集合の枬床など
> >ではなくしお、䞍完党仮蚀呜題に察しおの枬床だずいうこずです。
>
> あるひず぀の解釈がなぜ『正しい』ず断定できるのか。

「ランダムな盎線が円ず亀わっおできる匊の長さが問題なのだ」ず䞻匵しお、
自分自身が、確率の前提条件の解釈を䞀぀に絞っおおきながら、どの面
さげお、「ある䞀぀の解釈がなぜ『正しい』ず断定できるのか」なんお蚀える
のだ　このバカモン

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 27, 2002, 5:39:54 PM12/27/02
to
> ぀たり、「“同様に確からしい”ずいう枬床をどのように付䞎するか」ではなく
> しお、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によっお、異なった
> 答が埗られおいたずいうこずであり、そもそも、確率ずは、集合の枬床など
> ではなくしお、䞍完党仮蚀呜題に察しおの枬床だずいうこずです。

これがおっしゃりたいこずだずいうこずは明らかでしたが 。
「“同様に確からしい”ずいう枬床をどのように付䞎するか」ず
「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」
が䞀察䞀に察応しおいる䟋を出しおも

> しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に察しおの埓来の通説は誀り
> であったこずは明らかでしょう。

ずは蚀えない気がするのですがもう少し別の䟋が必芁じゃないのでしょうか

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Tarokun

unread,
Dec 27, 2002, 8:40:41 PM12/27/02
to
わたしは文系の人間ですが、arbitraryずrandomはかなり語感的に
異なるように感じたす。

　"arbitrary"は、人為的な芁玠が介入しおいるず思いたす。研究
瀟の新英和䞭蟞兞では、「任意的な」、「恣意的な」、「勝手
な」、「独断的な」ずいう蚀葉が続きたす。Collins English
Dictionaryずいう代衚的な英英䞭蟞兞でも、"founded on or
subject to personal whims, prejudices etc."ず説明がなされお
いたす。
　実際、"arbiter"仲裁者や"arbitrament"仲裁刀決ずいう
掟生語からもその意味が想像できたす。

　これに察しお、"ramdom"は、人の意思などが介入しないニュアン
スが感じられたす。研究瀟の蟞曞では、「いきあたりばったりの」
ずいう意味がかかれおいたす。「任意」ずいう蚀葉は出おきたせ
ん。そもそも、「任意」ずはある人がその自由意思で遞ぶこず、ず
いうのが、通垞の囜語蟞兞の説明だず思いたす。

　ですので、"arbitrary"は「恣意的」あるいは「任意の」で、
"random"は「無䜜為」ずいう蚳語が適切のように思われたす。よっ
お、本件における実隓に関しおは、「無䜜為に・・・」の蚀葉を甚
いるのが適切であろうず思われたす。

Tarokun


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 28, 2002, 12:46:21 PM12/28/02
to
実隓プランを立おお、それを実行しお戎き、倧倉、有り難うございたす。

Shin-ichi TSURUTA wrote:

䞊蚘の実隓は、≪の条件のもずで、匊が円の半埄よりも倧きくなる
確率≫を実枬したものずは蚀えたせん。

円の内郚の点を決めたあずで、曎にその点を通る無限個の盎線の
䞭から䞀本を遞ぶずいうこずは、円呚䞊からいっきに二点を遞ぶ
こずずは同倀ではないからです。

なぜ同倀ではないのかず蚀うず、円呚䞊からいっきに二点を遞ぶ
こずは、円呚䞊からいっきに遞ぶ筈の二点を結ぶ線分所䞎の
円の匊の䞭点を円の内郚から任意randomに遞ぶずいうこずず
同倀なのですが、そのこずは、明らかに、円の内郚の点を決めた

埌で、曎にその点を通る無限個の盎線の䞭から䞀本を遞ぶずいう
こず ず は同倀ではないからです。

尚、なる事象が円呚䞊からいっきに二点を遞ぶこずず同倀で
あるこずは、蚀うたでも無いでしょう。

> ここで
>
> 3)遞ばれた点ず原点を結ぶ盎線に垂盎になるような匊を匕く堎合、
> その遞ばれた点で最短の匊を生成するずした堎合、
> その遞ばれた点で半埄以䞋の匊が匕けない堎合、をカりントする
>
> ずするず、結果は以䞋のようになり、
>
> c0 | c1 | p | π
> ----------+----------+----------+----------
> 78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655
>
> 3/4に収束したす。
>
> おたけ
> 埌者を1,000,000,000回行った結果です。
> c0 | c1 | p | π

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 28, 2002, 9:21:13 AM12/28/02
to

Tarokun wrote:

> わたしは文系の人間ですが、arbitraryずrandomはかなり語感的に
> 異なるように感じたす。
>
> 　"arbitrary"は、人為的な芁玠が介入しおいるず思いたす。研究
> 瀟の新英和䞭蟞兞では、「任意的な」、「恣意的な」、「勝手
> な」、「独断的な」ずいう蚀葉が続きたす。

"arbitrary"の意味を、 蟞兞では、任意の 専暪的な ずいうふうに
区分しおいるのが普通でしょう。

# 実際、研究瀟の『新英和䞭蟞兞』でも、そうしおいたすね。

> "arbitrary"は「恣意的」あるいは「任意の」で、
> "random"は「無䜜為」ずいう蚳語が適切のように思われたす。

珟代䞭囜語で"random"に、「任意的」ずいう蚳語をあおおいるのず
同様に、日本語でも"at random"の意味で「任意に」ずいう語*も*
䜿っおいるのが実情です。 勿論、「無䜜為に」ずいう蚳語を䜿う人
もいたすが。

Tarokun

unread,
Dec 29, 2002, 4:56:51 AM12/29/02
to
SHIRAISHIさん、Replyありがずうございたした。

　私の語感では、arbitraryは「任意的」あるいは「恣意的」研
究者の英和蟞曞にある最初の意味で、at randomでたらめに、
無䜜為にずは、たあ違うだろうず感じおいたした。

　昔の数孊の確率の授業を思い出しおみるず、袋から玉を個取り
出すずきなど、「無䜜為に」ず䜿っおいたようにも芚えおいたす。
「任意に」぀たり自由に、奜きに個ずるのずは正確には異な
りそうです・・・　蚌明問題の最初で、「座暙䞊で任意の䞀点遞ん
で・・・」ずいうのは、ずにかく恣意的でもなんでもいいから、奜
きな䞀点遞んでください、ずいう意味だず思いたす。

　しかし、実際䞊、䞡者を同じ意味で䜿う堎合が特に数孊の䞖界
であるようでしたら、誀甚かどうかわかりたせんがなるほど
ず思いたす。

　あたり本題ずは関係が薄いので、このあたりで・・・

Tarokun

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 29, 2002, 11:07:10 AM12/29/02
to

Yoshiro NAKAYA wrote:

> > ぀たり、「“同様に確からしい”ずいう枬床をどのように付䞎するか」ではなく
> > しお、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によっお、異なった
> > 答が埗られおいたずいうこずであり、そもそも、確率ずは、集合の枬床など
> > ではなくしお、䞍完党仮蚀呜題に察しおの枬床だずいうこずです。
>
> これがおっしゃりたいこずだずいうこずは明らかでしたが 。
> 「“同様に確からしい”ずいう枬床をどのように付䞎するか」ず
> 「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」
> が䞀察䞀に察応しおいる䟋を出しおも
>
> > しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に察しおの埓来の通説は誀り
> > であったこずは明らかでしょう。
>
> ずは蚀えない気がするのですがもう少し別の䟋が必芁じゃないのでしょうか

八癟長现工をされおいないサむコロを、二回続けお投げたならば、二床ずも
偶数の目がでるこずがありえるずいう≪䞍完党仮蚀呜題≫を量的に評䟡した
ものが“八癟長现工をされおいないサむコロを、二回続けお投げたずき、二床
ずも偶数の目がでる確率”であっお、それは、集合の枬床などではない -----
っおな「䟋」で、充分じゃないかな

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 29, 2002, 12:15:41 PM12/29/02
to

# さお、諞君、䞀連の議論を終結させるべき時が来たようだ。

円呚䞊から、先ず䞀点を任意に遞んで、次にたた円呚䞊に
　　 残った点の䞭から任意に䞀点を遞ぶこず

ず

円呚䞊から、䞀床に二点を遞ぶこず

ずが、どうしお同倀ではないのかずいうワケを、アッフォヌにも
分かるような≪わかりやすい䟋≫でもっお、瀺しおおこう


’個の異なるものから、先ず任意に個を遞ぶ、次に、
残った個の䞭から任意に個を遞ぶこず

ず

’個の異なるものから、䞀床に個を任意に遞ぶこず

ずは、同倀ではない。 なんずならば、前者の組合わせの数は
5!1! 4!4!1! 3!であり、埌者の組合わせの数は
5!2! 3! であっお、明らかに、

　　　　5!1! 4!4!1! 3! ≠5!2! 3!

であるからである。


　　
　　　# これを、≪トドメの䞀撃≫ずぞ、人は蚀ふらむ。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 29, 2002, 12:32:18 PM12/29/02
to

# さお、諞君、䞀連の議論を終結させるべき時が来たようだ。

円呚䞊から、先ず䞀点を任意に遞んで、次にたた円呚䞊に
　　 残った点の䞭から任意に䞀点を遞ぶこず

ず

円呚䞊から、䞀床に二点を遞ぶこず

ずが、どうしお同倀ではないのかずいうワケを、アッフォヌにも
分かるような≪わかりやすい䟋≫でもっお、瀺しおおこう


’個の異なるものから、先ず任意に個を遞んで、次に、
残った個の䞭から任意に個を遞ぶこず

ず

’個の異なるものから、䞀床に個を任意に遞ぶこず

ずは、同倀ではない。

なんずならば、前者の組合わせの数は 5!1! 4!4!1! 3!
であり、埌者の組合わせの数は5!2! 3! であっお、明らかに、

　　　　5!1! 4!4!1! 3! ≠5!2! 3!

であるからである。


　　
　　　# これを、≪トドメの䞀撃≫ずぞ、人は蚀ふらし。

M_SHIRAISHI The_New_York_Academy_of_Sciences

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html


Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 29, 2002, 8:58:26 PM12/29/02
to

> ’個の異なるものから、先ず任意に個を遞んで、次に、
> 残った個の䞭から任意に個を遞ぶこず
>
> ず
>
> ’個の異なるものから、䞀床に個を任意に遞ぶこず
>
> ずは、同倀ではない。
>
> なんずならば、前者の組合わせの数は 5!1! 4!4!1! 3!
> であり、埌者の組合わせの数は5!2! 3! であっお、明らかに、
>
> 　　　　5!1! 4!4!1! 3! ≠5!2! 3!
>
> であるからである。

A' : 「個の異なるものから、先ず任意に個を遞んで、次に、残った個の
䞭から任意に個を遞ひ、次に、残った個の䞭から任意に個を遞ひ、次に、
残った個の䞭から任意に個を遞ぶ」

ず比べるべきなんでしょうけど 。

> 　　　# これを、≪トドメの䞀撃≫ずぞ、人は蚀ふらし。

わざず倖しおるんでしょうか

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 29, 2002, 9:25:53 PM12/29/02
to
おっずすみたせん。意味䞍明なこずを曞いおしたいたしたm(__)m。

> A' : 「個の異なるものから、先ず任意に個を遞んで、次に、残った個の
> 䞭から任意に個を遞ひ、次に、残った個の䞭から任意に個を遞ひ、次に、
> 残った個の䞭から任意に個を遞ぶ」
>
> ず比べるべきなんでしょうけど 。

なにやっおるんだかわからないですよね(--;。

> なんずならば、前者の組合わせの数は 5!1! 4!4!1! 3!
> であり、埌者の組合わせの数は5!2! 3! であっお、明らかに、
>
>　　　　5!1! 4!4!1! 3! ≠5!2! 3!

5!1! 4!4!1! 3!/(2!) ず 5!2! 3!を比べるか
5!1! 4!4!1! 3!ず 5!2! 3!を比べるべきなんでしょうね 。

の誀りですねm(__)m。


○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 29, 2002, 9:28:36 PM12/29/02
to
培倜明けで最悪です(+_+)

> 5!1! 4!4!1! 3!ず 5!2! 3!を比べるべきなんでしょうね
>  。
じゃなくお

5!1! 4!4!1! 3!ず 5!2! 3!×2を比べるべきなんで
しょうね 。

ですm(__)m。

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Yoshiro NAKAYA

unread,
Dec 29, 2002, 9:41:34 PM12/29/02
to
ずころで
「1,2,3 の 3 ぀の数字から重耇を蚱しお 3 個遞ぶずき1が3個遞ばれる確率を求めよ」
ずいう問いに察しM_SHIRAISHIさんならどうお答えになるのか興味があるのですが 。

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

HOSOI Osamu

unread,
Dec 30, 2002, 12:33:50 AM12/30/02
to
In article <3E0F31A2...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...

>円呚䞊から、先ず䞀点を任意に遞んで、次にたた円呚䞊に
>　　 残った点の䞭から任意に䞀点を遞ぶこず
>
>ず
>
>円呚䞊から、䞀床に二点を遞ぶこず
>
>ずが、どうしお同倀ではないのかずいうワケを、アッフォヌにも
>分かるような≪わかりやすい䟋≫でもっお、瀺しおおこう
>
>
>’個の異なるものから、先ず任意に個を遞んで、次に、
> 残った個の䞭から任意に個を遞ぶこず
>
>ず
>
>’個の異なるものから、䞀床に個を任意に遞ぶこず
>
>ずは、同倀ではない。
>
>なんずならば、前者の組合わせの数は 5!1! 4!4!1! 3!
>であり、埌者の組合わせの数は5!2! 3! であっお、明らかに、
>
>　　　　5!1! 4!4!1! 3! ≠5!2! 3!
>
>であるからである。

おかしな点を䞀぀。
2点の組み合わせでは順番は問われないのですから、A'は、2で割らないず。
で、結局䞡者は等しい。

=========================∧∧===
beo...@mdd.sst.ne.jp ≧・≠≊
现井 ä¿® (HOSOI, Osamu) ( )し
================================

Shin-ichi TSURUTA

unread,
Dec 30, 2002, 4:48:00 AM12/30/02
to
M_SHIRAISHIさん、こんにちは、鶎田です。

M_SHIRAISHI <eu...@apionet.or.jp> wrote:
> > 埌者に぀いお実隓を行いたした。
> > たず、問題を単玔化するために、半埄1の円 x^2 + y^2 = 1を䜿甚
> > したした。
> > 1)x,y各成分に぀き-1.01.0の範囲でランダムに点を遞びたす。
> > 同時に方向ベクトルを02π(ラゞアン)で遞びたす。
> > 2)遞ばれた点が円の内郚に無い堎合を陀倖したす。
> > 3)遞ばれた点ず方向ベクトルから盎線を生成し、その盎線ず原点の
> > 間の距離を求め、cos30°より小さければ、匊の長さが半埄を超
> > えたこずになるので、これをカりントしたす。
> > 䞊蚘実隓を100,000,000回行った結果です。
> > 円の䞭に入った数(c0), 匊の長さが半埄を超えた数(c1), 匊の長さ
> > が半埄を超える確率(p = c1 / c0), この実隓から埗られる円呚率
> > (π = c0 * 4 / 100,000,000)を衚にしたす。
> > c0 | c1 | p | π
> > ----------+----------+----------+----------
> > 78541385 | 74013642 | 0.942352 | 3.141655
> > 以䞊より、3/4より遥かに倧きな倀になりたす。
> 䞊蚘の実隓は、≪の条件のもずで、匊が円の半埄よりも倧きくなる
> 確率≫を実枬したものずは蚀えたせん。
>
> 円の内郚の点を決めたあずで、曎にその点を通る無限個の盎線の
> 䞭から䞀本を遞ぶずいうこずは、円呚䞊からいっきに二点を遞ぶ
> こずずは同倀ではないからです。

決めた埌ではありたせん。プロセスずしおは党く同時です。方向ベ
クトルを先に求めおおいおも、論理的に党く同じ結果です。


> なぜ同倀ではないのかず蚀うず、円呚䞊からいっきに二点を遞ぶ
> こずは、円呚䞊からいっきに遞ぶ筈の二点を結ぶ線分所䞎の
> 円の匊の䞭点を円の内郚から任意randomに遞ぶずいうこずず
> 同倀なのですが、そのこずは、明らかに、円の内郚の点を決めた
> 埌で、曎にその点を通る無限個の盎線の䞭から䞀本を遞ぶずいう
> こず ず は同倀ではないからです。

任意に盎線を匕き、円の内郚に入ったものの䞭で確率を求める堎合、
結局前者の通りになりたす。たた「条件」は、匊を䜜る前に盎線
を匕いおいたす。「条件」に察しおはこちらの方法が正しいはず
です。たた、この方法で同時に二点遞べおいたす。


> > ここで
> > 3)遞ばれた点ず原点を結ぶ盎線に垂盎になるような匊を匕く堎合、
> > その遞ばれた点で最短の匊を生成するずした堎合、
> > その遞ばれた点で半埄以䞋の匊が匕けない堎合、をカりントする
> > ずするず、結果は以䞋のようになり、
> > c0 | c1 | p | π
> > ----------+----------+----------+----------
> > 78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655
> > 3/4に収束したす。

> 前述の理由によっお、こちらの実隓こそが、≪の条件のもずで、
> 匊が円の半埄よりも倧きくなる確率≫を実枬したものずなりたす。

こちらは、遞んだ点に察する盎線の方向ベクトルを勝手に拘束しお
いるので、正しくありたせん。匊の生成方向を原点方向にしおしたっ
たら、確率は1.0になるこずから、この考え方の間違いは明らかです。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 30, 2002, 9:22:06 AM12/30/02
to

HOSOI Osamu wrote:

> In article <3E0F31A2...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >円呚䞊から、先ず䞀点を任意に遞んで、次にたた円呚䞊に
> >　　 残った点の䞭から任意に䞀点を遞ぶこず
> >
> >ず
> >
> >円呚䞊から、䞀床に二点を遞ぶこず
> >
> >ずが、どうしお同倀ではないのかずいうワケを、アッフォヌにも
> >分かるような≪わかりやすい䟋≫でもっお、瀺しおおこう
> >
> >
> >’個の異なるものから、先ず任意に個を遞んで、次に、
> > 残った個の䞭から任意に個を遞ぶこず
> >
> >ず
> >
> >’個の異なるものから、䞀床に個を任意に遞ぶこず
> >
> >ずは、同倀ではない。
> >
> >なんずならば、前者の組合わせの数は 5!1! 4!4!1! 3!
> >であり、埌者の組合わせの数は5!2! 3! であっお、明らかに、
> >
> >　　　　5!1! 4!4!1! 3! ≠5!2! 3!
> >
> >であるからである。
>
> おかしな点を䞀぀。
> 2点の組み合わせでは順番は問われないのですから、

先ず䞀点を任意に遞んで、次にたた円呚䞊に 残った点の䞭から
任意に䞀点を遞ぶのであるから、圓然、順番は問われる。

䟋えば、最初にを遞び、次にを遞んだ堎合のず、最初に
を遞び、次にを遞んだ堎合のずは区別されねばならない。


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 30, 2002, 9:13:43 AM12/30/02
to

Yoshiro NAKAYA wrote:

> 「1,2,3 の 3 ぀の数字から重耇を蚱しお 3 個遞ぶずき1が3個遞ばれる確率を求めよ」
> ずいう問

それは、別に、どうっおこずは無いんじゃないかなぁ

二項係数 n![r!(n-r)!] を {r,n} ず曞くこずにすれば、

求める確率P  1 {3,9}  184即ち、玄 0.0119。


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 30, 2002, 10:21:49 AM12/30/02
to

Shin-ichi TSURUTA wrote:

この堎合、ノェクトルの始点を先に決めるか方向を先に決めるかなんお
こずは問題ではないのだよ。　

どちらを先に決めたずころで、円呚䞊からいっきに二点を遞ぶこずずは
同倀ではありえぬのだから。


ノェクトルの方向のほうを先に決めるずした堎合、

「ノェクトルの方向を無限にある方向の䞭から䞀方向を決め、今床はその
始点を円内の無限個の点の䞭から遞ぶ」

のだから、それは

円呚䞊からいっきに二点を遞ぶ

こずずは同倀ではありえない。

> > 前述の理由によっお、こちらの実隓こそが、≪の条件のもずで、
> > 匊が円の半埄よりも倧きくなる確率≫を実枬したものずなりたす。
>
> こちらは、遞んだ点に察する盎線の方向ベクトルを勝手に拘束しお
> いるので、正しくありたせん。匊の生成方向を原点方向にしおしたっ
> たら、確率は1.0になるこずから、この考え方の間違いは明らかです。

そのように考えるのこそ、「明らかな間違い」だ。　ボ(。)ノ

匊の䞭点を決めるっおこずはその匊を決めるこずに他なならず、
そのこずは、即ち、円呚䞊からいっきに二点を決めるこずず同倀だ
からだ。

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 30, 2002, 1:06:41 PM12/30/02
to
M_SHIRAISHI wrote:

> 件くだんの問題を曞いた蚘事 <3DB28F4B...@apionet.or.jp>
> が、衚瀺画面からは消えおしたっおいる筈なので、再掲しおおきたす
>
>
> 【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
> する。その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを
> 結ぶ盎線を匕いたずきにできる匊の長さがその円の半埄よりも倧きく
> なる確率はいか皋か

今にしお思えば、この問題における確率の前提条件は、今ひず぀、明解性
に欠けおた曖昧なものでしたね。　ボ(。)ノ

曖昧さを陀去すべく、次の様に曞き換えおおくこずにしたす


【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
する。 この円の内郚を通る盎線を任意at randomに匕いた堎合、
その時できる匊の長さが所䞎の円の半埄の長さより倧きくなる確率は
いか皋か


M_SHIRAISHI The_New_York_Academy_of_Sciences

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html

Akira Kakuto

unread,
Dec 30, 2002, 11:26:16 PM12/30/02
to

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E105497...@apionet.or.jp...


> > 「1,2,3 の 3 ぀の数字から重耇を蚱しお 3 個遞ぶずき1が3個遞ばれる確率を求めよ」
> > ずいう問
>
> それは、別に、どうっおこずは無いんじゃないかなぁ
>
> 二項係数 n![r!(n-r)!] を {r,n} ず曞くこずにすれば、
>
> 求める確率P  1 {3,9}  184即ち、玄 0.0119。
普通は P = 1 / C{2,5} = 1 / 10 ではないですか?

--
Akira Kakuto

Akira Kakuto

unread,
Dec 30, 2002, 11:57:54 PM12/30/02
to

"Akira Kakuto" <kak...@fuk.kindai.ac.jp> wrote in message
news:I%8Q9.27085$ZS4.4...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp...
これは個数のみに着目した堎合で、䞀番玠盎に 1/27 が普通かも。

--
Akira Kakuto

Takahashi Makoto

unread,
Dec 31, 2002, 1:47:51 AM12/31/02
to
takahasiです。

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

news:3E10568D...@apionet.or.jp...
>
> HOSOI Osamu wrote:
[省略]


>
> > おかしな点を䞀぀。
> > 2点の組み合わせでは順番は問われないのですから、
>
> 先ず䞀点を任意に遞んで、次にたた円呚䞊に 残った点の䞭から
> 任意に䞀点を遞ぶのであるから、圓然、順番は問われる。
>
> 䟋えば、最初にを遞び、次にを遞んだ堎合のず、最初に
> を遞び、次にを遞んだ堎合のずは区別されねばならない。

はお、䜕のこずやら
「ベルトランSHIRAISHIの逆説」では「点間の距離=匊の長さ」が問題ですが、䞡端点
の順序により距離は倉わりたせん。順序を区別すれば組合せ(匊)の数は倍になりた
すが、分母(党郚の匊の数)も分子(条件を満たす匊の数)も倍になるのでので、確率
の倀は倉わりたせん。
#的倖れな「トドメの䞀撃」のおかげで、幎を越しおしたいそうです


　


HOSOI Osamu

unread,
Dec 31, 2002, 5:07:54 AM12/31/02
to
In article <3E10568D...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...

>先ず䞀点を任意に遞んで、次にたた円呚䞊に 残った点の䞭から
>任意に䞀点を遞ぶのであるから、圓然、順番は問われる。
>
>䟋えば、最初にを遞び、次にを遞んだ堎合のず、最初に
>を遞び、次にを遞んだ堎合のずは区別されねばならない。

えっ!?
順列ず組み合わせが別物だっおこずを、声高に叫んでたんですか?
匊の長さが、端点のどちらから描くかで倉わるずでも蚀うんでしょうか?

Takahashi Makoto

unread,
Dec 31, 2002, 5:18:46 AM12/31/02
to
takahasiです。倧晊日になっお、どうやら本来の「ベルトランの逆説」に立ち戻れそ
うです。

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

news:3E108B31...@apionet.or.jp...


>
> 【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
> する。 この円の内郚を通る盎線を任意at randomに匕いた堎合、
> その時できる匊の長さが所䞎の円の半埄の長さより倧きくなる確率は
> いか皋か

12/26の投皿　Message-ID: auhcv8$eie$1...@dnknews.denken.or.jp
でものべたように、ベルトランのオリゞナルの問題は、ランダムな盎線が円ず亀わっ
お出来る匊の長さがテヌマですを問題にしおいたす。円呚䞊の2点を決めるのは匊の
遞び方の『ひず぀』にすぎたせん。
#これに気が぀かぬたた幎が明けるかず思った
　しかし「ランダムな盎線」ずしおもただあいたいさがありたす。ベルトランは異なる
確率を䞎える耇数の解釈を瀺し、このあいたいさを明確にしおみせたのです。「぀
の正解」を瀺したのではありたせん。
#たしおや、そのひず぀だけが「正解」ず宣蚀されたら、びっくりするでしょう。
#これには気が぀かぬたた幎が明けるのでしょうか

「ランダムな匊」は、匊の䞭点を円内でランダムに遞んでも決められたす。しかし「ラ
ンダムに䞭点を遞ぶ」方法(手順)が確定したせん。「デタラメに」遞ぶのでは、人によ
り堎合により結果が異なる可胜性があり、客芳的ずはいえたせん。
　幟䜕孊的察象の確率は、たずえば匧や線分の長さ、図圢の面積、立䜓の䜓積など客
芳的な『量』に比䟋するように決めるのが合理的です。幟䜕孊的図圢(点・線・面・立
䜓の集合)に関する確率を、長さ・角床・面積・䜓積などの枬床(積分量)によっお芏
定するのはきわめお自然な考え方です。
「倧数の法則」は集合や枬床を甚いずに蚌明できるのだろうか
それずも、SHIRAISHI流確率論は「20䞖玀暙準確率論」を前提ずしお構築されるのか


たずえば、匊を任意に遞ぶために定芏を「デタラメ」に甚いる方法が瀺されおいるが、
これが「匊の䞭点を円内でランダムに遞ぶ」のず同等(equivalent)である根拠(論理)は

#「倪陜を䞭心ずする半埄1億Kmの円」が察象でも「半埄10cmの円」ず(ほが)同じ結
果が埗られる
#前提条件が異なるので、同じ確率が埗られるずは限らない。


Atsunori Tamagawa

unread,
Dec 31, 2002, 6:15:23 AM12/31/02
to
Takahashi Makoto wrote:
>
> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
> news:3E108B31...@apionet.or.jp...
> >
> > 【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
> > する。 この円の内郚を通る盎線を任意at randomに匕いた堎合、
> > その時できる匊の長さが所䞎の円の半埄の長さより倧きくなる確率は
> > いか皋か
>
> 12/26の投皿　Message-ID: auhcv8$eie$1...@dnknews.denken.or.jp
> でものべたように、ベルトランのオリゞナルの問題は、ランダムな盎線が円ず亀わっ
> お出来る匊の長さがテヌマですを問題にしおいたす。円呚䞊の2点を決めるのは匊の
> 遞び方の『ひず぀』にすぎたせん。

僕もその埌いろいろ面倒な蚈算をやっおみたんですけど、匊を実際に匕く
人の手順を暪で芋ないこずには、圓を埗た蚈算匏が立おられないのではず、
今では考えおたす。

最初は半埄Rの円内にランダムに点を遞んで、その点を通るランダムな
方向の盎線が䜜る匊の長さに぀いおも蚈算しおみたのですけど、別の
蚘事でM_SHIRAISHIさんが鶎田さんに答えおいるように、そのやり方は
圌が芏定するずころの「任意の匊」ではないわけです。

ずころで、以䞋のこずは蚀えそうです。

---------------------------------------------------------------
原点 O(0, 0)を䞭心ずする半埄 Rの円を考えたす。

この円を通過する盎線を匕く際に、円の䞭心 O(0, 0)ずその盎線ずの
間の距離が、 r < {(3^0.5)・R}/2 の堎合、その盎線が䜜る匊は円の
半埄 Rよりも倧きくなり、したがっお問題の条件を満たしたす。

【理由】
䟋えば軞䞊にたたたた点Qが遞ばれたずし、その点Qを通る盎線が正の
軞ずの間に䜜る角床をΞずし、匊の䞡端をそれぞれG1, G2ずしたす。

L1 = |QG1|
L2 = |QG2|
L(匊の長さ) = L1 + L2

このずきΞが90床の堎合、぀たり軞に䞊行な盎線が匕かれた堎合に、
最も匊の長さが短くなるこずは明らかです。そこでΞが90床の堎合でも
匊の長さが円の半埄 R以䞊ずなる rの条件ですが、

　　L = L1 + L2 = 2・(R^2 - r^2)^0.5 > R
∎　r < {(3^0.5)・R}/2 ---------- (1)

これは぀たり、半埄Rの円の䞭にある点 Qを任意に遞ぶ堎合、
もし点Qが半埄((3^0.5)・R)/2 なる、やや小さな円 R'の䞭に
収たった堎合には、その点を通るどのような角床の盎線を
匕いおも垞に匊の長さはRより倧きくなり、したがっお問題の
条件を満たすずいうこずです。

ちなみに、その様な内円 R'の、Rに察する面積の割合は以䞋の通りです。

π[{(3^0.5)・R}/2]^2 ÷ π・R^2 = 3/4 ---------- (2)
---------------------------------------------------------------

僕はもずもず䞎えられた円 Rの内郚にランダムな点を遞んで、その
点からランダムな方向の盎線を䜜るずいう蚈算をしたのですが、前述
の理由でそれはここではM_SHIRAISHIさんの考える方法ではないず
分りたした。

しかし(1)を少し芋方を倉えお、半埄Rの円が䞎えられ、その円を通過
するランダムな盎線を匕く堎合に、その盎線が(1)で䞎えられる半埄の
内円 R'を通過すれば、問題の条件を満たすず考えるこずもできたす。

単にある円の内郚にランダムに点を遞び、その点が(1)で䞎えられる
半埄の内円 R'に収たる確率、ずいうこずであるなら、無論その倀は
(2)で䞎えられる3/4ずなるんですけど。

玉川厚埳

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 31, 2002, 3:59:12 AM12/31/02
to

Takahashi Makoto wrote:

> #的倖れな「トドメの䞀撃」のおかげで、幎を越しおしたいそうです

　　　　　　　　　　　　　　　あな哀し
　　　　　　　　　　　　　　　がけががけ呌ぶ
　　　　　　　　　　　　　　　幎の暮れ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　啄朚 圖


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 31, 2002, 2:52:06 PM12/31/02
to

Takahashi Makoto wrote:
>
> 「デタラメに」遞ぶのでは、人により堎合により結果が異なる可胜性があり、
> 客芳的ずはいえたせん。


䞎えられた円の䞭に、デタラメに、䞀回だけ、匊を匕くのであれば、
人により堎合により結果が異なり埗るのは、圓たり前のこず。 ボ(。)ノ

しかし、デタラメに匊を匕く実隓を、回以䞊、繰り返せば、匊の長さ
が半埄の長さよりも倧きくなった回数の実隓回数に察しおの比の倀
は 或る䞀定の倀の呚蟺に安定しお来るのだよ。


# そしお、その“䞀定の倀”ずは、0.75 なのだ。

M_SHIRAISHI The_New_York_Academy_of_Sciences

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 31, 2002, 2:16:02 PM12/31/02
to

“ベルトランの逆説”を解説した Web site は、日本語のものは無い
ようだけど、英語のものだず、結構、圚りたすね


http://www.cut-the-knot.org/bertrand.shtml

http://www.math.uah.edu/stat/buffon/buffon3.html

http://web.mit.edu/tee/www/bertrand/

http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html

M_SHIRAISHI

unread,
Dec 31, 2002, 3:20:35 PM12/31/02
to
远蚘。

M_SHIRAISHI wrote:

> デタラメに匊を匕く実隓を、回以䞊、繰り返せば、匊の長さ
> が半埄の長さよりも倧きくなった回数の実隓回数に察しおの比の倀
> は 或る䞀定の倀の呚蟺に安定しお来るのだよ。
>
> # そしお、その“䞀定の倀”ずは、0.75 なのだ。

「正解はただ䞀぀であっお、その倀は 3/40.75である」ずの䞻匵に
違和感を持぀人の気持ちは、私自身、よヌく、承知の䞊のこずなのだよ。

このクむズを出題した時点では、他ならぬ私自身が、埓来の通説に埓い、
このクむズには 2/3 や 3/4 を含めお耇数個の“正解”が圚るず信じお
居たのだから。


しかし、よく、考えおみた結果、この「埓来の通説」は、間違いである
こずに気づいたのさ。


M_SHIRAISHI

unread,
Dec 31, 2002, 10:47:19 AM12/31/02
to

Akira Kakuto wrote:

新春や
今幎も出るらし
ボケナスが


　啄朚 圖

M_SHIRAISHI

unread,
Jan 1, 2003, 1:43:02 PM1/1/03
to

曎なる远蚘。


M_SHIRAISHI wrote:

しかし、旧説に凝り固たっおいる人々に、それが間違った説であるこずを
説明しお玍埗させるこずは、決しお、容易なこずではない。


説明するよりも、実隓でもっお事実に盎面させたほうが手っ取り早い。


そこで、正月でもあるこずだから、“犏笑い”のゲヌムの芁領で、 次の
ような「実隓」をやっおみるこずをお奚めする

䜕人かず炬燵にあたり、炬燵の䞊には、半埄が 10cm の円を描いた
玙を眮く。　そしお、䞀人が 、50cm尺の定芏を持っお、目を閉じる。
残りの人たちは、件の玙を炬燵の䞊の出鱈目な䜍眮に眮き、定芏
を持っお目を぀ぶっおいる人に、目を぀ぶったたたで定芏を振りあげ
お、円があるず本人が思ったずころに、出鱈目な方向から、振り䞋ろ
させる。 定芏が円の䞊に振り䞋ろされお、定芏の目盛りが刻たれお
いる偎に匊ができたならば、目を開かせお、できた匊の長さを枬らせ、
その数倀を蚘録する。　䜆し、振り䞋ろされた定芏が円を倖れ、定芏
の目盛りが刻たれおいる偎に匊ができなかった堎合は、゚ラヌずしお
凊理し、蚘録からは倖す。

以䞊の実隓を、゚ラヌは陀いお、回繰り返し、匊の長さが
半埄よりも倧きくなった回数を数え、その数をで割る。


M_SHIRAISHI The_New_York_Academy_of_Sciences

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html


Yasuhiro Furuta

unread,
Jan 2, 2003, 10:29:43 AM1/2/03
to
違っお圓然です。
同時に二点ずるか䞀点ず぀ずるかの問題ではありたせん。

任意の䜕かは、䞀様に取るずするず。

Aでは、円匧の長さが[,π)の䞀様分散になりたす。
Hでは、円匧の䞭点ず、円匧の端を結ぶ線分の䞭点の距離が[,)の䞀様分散にな
りたす。

これは、円呚の曲がりを利甚したトリックです。

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

news:3E0B47EC...@apionet.or.jp...

> 所䞎の円の円呚䞊から䞀点ず぀任意に二点をずっお、
> 　　　それらの二点を結ぶ匊を描くこず

> 円の内郚を通る任意の盎線を匕いお、それによっお切り
> 取られる匊を埗るこず


F.K.

unread,
Jan 2, 2003, 6:40:04 PM1/2/03
to
F.K.ず申したす

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

news:3E108B31...@apionet.or.jp...


> > 【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
> > する。その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを
> > 結ぶ盎線を匕いたずきにできる匊の長さがその円の半埄よりも倧きく
> > なる確率はいか皋か
>
> 今にしお思えば、この問題における確率の前提条件は、今ひず぀、明解性
> に欠けおた曖昧なものでしたね。　ボ(。)ノ
>
> 曖昧さを陀去すべく、次の様に曞き換えおおくこずにしたす
>
> 【問題】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
> する。 この円の内郚を通る盎線を任意at randomに匕いた堎合、
> その時できる匊の長さが所䞎の円の半埄の長さより倧きくなる確率は
> いか皋か

自分の答に合わせお問題を倉えようず努力するずはM_SHIRAISHI氏らしく倧胆
ですね

Yoshiro NAKAYA

unread,
Jan 3, 2003, 1:36:18 AM1/3/03
to


○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Yoshiro NAKAYA

unread,
Jan 3, 2003, 1:38:21 AM1/3/03
to
> > > > > 「1,2,3 の 3 ぀の数字から重耇を蚱しお 3 個遞ぶずき1が3個遞ば
> > > > > れる確率を求めよ」ずいう問

> > > >
> > > > それは、別に、どうっおこずは無いんじゃないかなぁ
> > > >
> > > > 二項係数 n![r!(n-r)!] を {r,n} ず曞くこずにすれば、
> > > >
> > > > 求める確率P  1 {3,9}  184即ち、玄 0.0119。
> > > 普通は P = 1 / C{2,5} = 1 / 10 ではないですか?
> > これは個数のみに着目した堎合で、䞀番玠盎に 1/27 が普通かも。
では「1,2 の 2 ぀の数字から重耇を蚱しお 2 個遞ぶずき1 が 2 個遞ばれ
る確率を求めよ」に察しおはどうお答えになるのでしょう
1/6ですか1/3ですかそれずも 1/4 ですか
「 2 枚のコむンを投げお2 枚ずも衚になる」のは

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Yoshiro NAKAYA

unread,
Jan 3, 2003, 3:00:28 AM1/3/03
to
> > > > > 「1,2,3 の 3 ぀の数字から重耇を蚱しお 3 個遞ぶずき1が3個遞ば
> > > > > れる確率を求めよ」
> > > > それは、別に、どうっおこずは無いんじゃないかなぁ
> > > >
> > > > 二項係数 n![r!(n-r)!] を {r,n} ず曞くこずにすれば、
> > > >
> > > > 求める確率P  1 {3,9}  184即ち、玄 0.0119。
> > > 普通は P = 1 / C{2,5} = 1 / 10 ではないですか?
> > これは個数のみに着目した堎合で、䞀番玠盎に 1/27 が普通かも。

≪䞍完党仮蚀呜題≫の「解釈」により確率が倉わるんだずすれば「確率空間」
のずり方により「事象」の確率が倉わる話ずなにが違うのでしょう

# そういう意味では「ベルトランの逆説」は珟代確率論でも「逆説」じゃなかっ
# たわけだし 。

## 「ふ぀う」1/27 でしょうね(^^)

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

M_SHIRAISHI

unread,
Jan 3, 2003, 9:22:16 AM1/3/03
to
> Wise Akira Kakuto humbly wrote:
>
> > 1,2,3 ず曞いた
> > ボヌルが䞀個ず぀、合蚈 3 個あり、䞀個ず぀採り出し、採りだしたら
> > たた元に戻したす。3 回詊行しお 3 回ずも 1 である確率は
> > 1/3 を 3 回掛けお 1/27 です。


次に、䞊蚘 のほうですが、「䞀床ずりだしたものを、元ぞ返しお、再床、
遞びなおす」のであれば、問題文に、明確にそのように曞いおおく必芁が
あるず思いたす。

# もっずも、「遞んだものは元ぞは戻さないのなら、それも問題文に明確
に曞いおおくべきだ」ず蚀われれば、確かに、その通りでしょうが。

M_SHIRAISHI

unread,
Jan 3, 2003, 9:50:09 AM1/3/03
to
 

"F.K." wrote:

F.K.ず申したす


"F.K"では「申した」こずにはナラヌわ、この卑怯者
 

自分の答に合わせお問題を倉えようず努力するずはM_SHIRAISHI氏らしく
倧胆ですね

“ベルトランの逆説”の問題は

http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html 　での

What is the probability that a chord drawn at random on a circle of radius r
(i.e., circle line picking) has length  (or sometimes greater than or equal to
the side length of an inscribed equilateral triangle; Solomon 1978, p. 2)?

ず提起されるのが通垞であり、それに合わせた迄のこずだ。
 

M_SHIRAISHI

unread,
Jan 3, 2003, 9:09:04 AM1/3/03
to

Wise Akira Kakuto humbly wrote:

> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

> news:3E11BC06...@apionet.or.jp...


> > > > > > 「1,2,3 の 3 ぀の数字から重耇を蚱しお 3 個遞ぶずき1が3個遞ばれる確率を求めよ」
> > > > > > ずいう問
> > > > >
> > > > > それは、別に、どうっおこずは無いんじゃないかなぁ
> > > > >
> > > > > 二項係数 n![r!(n-r)!] を {r,n} ず曞くこずにすれば、
> > > > >
> > > > > 求める確率P  1 {3,9}  184即ち、玄 0.0119。
> > > > 普通は P = 1 / C{2,5} = 1 / 10 ではないですか?
> > > これは個数のみに着目した堎合で、䞀番玠盎に 1/27 が普通かも。
> >
> >
> >
> > 新春や
> > 今幎も出るらし
> > ボケナスが

> ボケナスです。
> (1) M_SHIRAISHI さんのものは、1 ず曞いたボヌルが 3 個、2 ず曞いた
> ボヌルが 3 個、3 ず曞いたボヌルが 3 個、合蚈 9 個のものから
> 3 個取り出すずき、䞉぀ずも 1 である確率のようです。これは 1/84
> でしょう。 1,1,2 である確率は 9/84, 1,2,3 である確率は 27/84。
> さお、1 ず曞いたボヌルの数、2 ず曞いたボヌルの数、3 ず曞いた
> ボヌルの数を n ( n > 2) ずし、 n をずヌっず倧きくしお䞋さい。
> そうするず n(n-1)(n-2)/[3n(3n-1)(3n-2)] ---> 1/27。
> これが䞀番玠盎ず曞いた堎合に盞圓したす。぀たり、 1,2,3 ず曞いた


> ボヌルが䞀個ず぀、合蚈 3 個あり、䞀個ず぀採り出し、採りだしたら
> たた元に戻したす。3 回詊行しお 3 回ずも 1 である確率は
> 1/3 を 3 回掛けお 1/27 です。

> (2) 1/10 ずしたのは、高校(äž­å­Š?) で習う 3 個の異なったものから
> 重耇を蚱しお 3 個採りだす堎合の数 C{3,5} = C{2,5} を数えたもの
> です。
> 出題者がどういう状況を考えおいるか存じたせん。

「1,2,3 の 3 ぀の数字から重耇を蚱しお 3 個遞ぶずき1 が 3個

遞ばれる確率を求めよ」ずいう問いが well-posed なものでない為、
この問題をどう解釈するか劂䜕によっお、解答は぀圚り埗るずいう
趣旚ず拝読したした。

最初に読んだずきは、「成る皋なぁ、これは自分が迂闊だったかな」
ずいう気がしたのでしたが、よく怜蚎しおみるず、その埡芋解には、
やはり、無理があるず思いたす。

先ず、(2) のほうですが、これは、≪個の集合 {1,1,1}, {1,1.2}
{1,1.3}{1,2,2}, {1,2.3}{1,3,3}, {2,2.2}{2,2,3}, {2,3.3} が
䞎えられたずき、その䞭から 集合{1,1,1} を遞び出す確率≫であっお、
それは≪1, 2, 3 の䞉皮の数字より、重耇を蚱しお、䞉個を遞び出すずき、
䞉個ずも 1 ずなる確率≫ずは、䞀芋、同じものであるかの様に感じられる
ものの、実際は、党然、別のものであるこずが分かりたす。

Yoshiro NAKAYA

unread,
Jan 3, 2003, 7:25:50 PM1/3/03
to
> # もっずも、「遞んだものは元ぞは戻さないのなら、それも問題文に明確
> に曞いおおくべきだ」ず蚀われれば、確かに、その通りでしょうが。
「ベルトランの逆説」にせよこの問題にせよ「問題文に明確に曞いおおくべき」
こずが曞いおなかったっおいうオチなのではっおこずなんですが(^^;。

○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷䜳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp

Akira Kakuto

unread,
Jan 3, 2003, 10:33:27 PM1/3/03
to
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E159980...@apionet.or.jp...

> 先ず、(2) のほうですが、これは、≪個の集合 {1,1,1}, {1,1.2}
> {1,1.3}{1,2,2}, {1,2.3}{1,3,3}, {2,2.2}{2,2,3}, {2,3.3} が
> 䞎えられたずき、その䞭から 集合{1,1,1} を遞び出す確率≫であっお、
> それは≪1, 2, 3 の䞉皮の数字より、重耇を蚱しお、䞉個を遞び出すずき、
> 䞉個ずも 1 ずなる確率≫ずは、䞀芋、同じものであるかの様に感じられる
> ものの、実際は、党然、別のものであるこずが分かりたす。

おっしゃる通りです。このためには "党く区別できないボヌル" が必芁
ですから特別な堎合が必芁です。次の量子論の問題は盞圓するものです。
䞉぀の同等な調和振動子 (数字 1, 2, 3 に察応) からなる系
の゚ネルギヌ準䜍が (3 + 3/2) だったずする。(\hbar\omega = 1 の単䜍をずりたす)。
このずき、2 番目ず 3 番目の調和振動子が基底状態にある
確率はいくらか。ただし党おの可胜な状態は同等に確からしいず仮定する。

蚀い換えるず
n1 + n2 + n3 = 3 (n1, n2, n3 >=0, integer)
で n1 = 3 である確率です。n1 = 3 が 1 を䞉぀遞んだこずに察応したす。
n2 = 3 だったら 2 を䞉぀遞んだこずになりたす。

--
Akira Kakuto

F.K.

unread,
Jan 4, 2003, 7:40:20 AM1/4/03
to
F.K.ず申したす

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

news:3E15A321...@apionet.or.jp...
> “ベルトランの逆説”の問題は
> http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html
> (本文略)
> ず提起されるのが通垞であり、それに合わせた迄のこずだ。

M_SHIRAISHI氏が2002/10/20 20:11の蚘事
news:3DB28F4B...@apionet.or.jp...
で提出した問題がBertrandの逆説ず違う蚭定であるこずは高橋氏が
2002/10/22 17:16の蚘事
news:ap31hj$gkn$1...@dnknews.denken.or.jp...
でやんわりず指摘なさっおいたす

2ヶ月以䞊たっおいたさら䜕を蚀っおいるのですか

M_SHIRAISHI

unread,
Jan 4, 2003, 9:52:27 AM1/4/03
to

Stupid "F.K." stupidly wrote:

> M_SHIRAISHI氏が2002/10/20 20:11の蚘事
> news:3DB28F4B...@apionet.or.jp...
> で提出した問題がBertrandの逆説ず違う蚭定であるこずは高橋氏が
> 2002/10/22 17:16の蚘事
> news:ap31hj$gkn$1...@dnknews.denken.or.jp...
> でやんわりず指摘なさっおいたす
>
> 2ヶ月以䞊たっおいたさら䜕を蚀っおいるのですか

裏を返しお蚀えば、こういうこず↓だ。


Bertrand本人がやった、次のような問題蚭定

【問題A】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず


する。 この円の内郚を通る盎線を任意at randomに匕いた堎合、
その時できる匊の長さが所䞎の円の半埄の長さより倧きくなる確率は
いか皋か

では、逆説ずはならぬので、逆説にしたかったなら、

【問題B】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず


する。その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを
結ぶ盎線を匕いたずきにできる匊の長さがその円の半埄よりも倧きく
なる確率はいか皋か

ずいうふうに蚭定せよ。

# "小心者の F.K"、これで少しは合点が行ったか、それずも未だ、䞀向に
合点が行かぬか


F.K.

unread,
Jan 6, 2003, 6:49:47 AM1/6/03
to
F.K.ず申したす

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message

news:3E16F52B...@apionet.or.jp...

> > M_SHIRAISHI氏が2002/10/20 20:11の蚘事
> > news:3DB28F4B...@apionet.or.jp...
> > で提出した問題がBertrandの逆説ず違う蚭定であるこずは高橋氏が
> > 2002/10/22 17:16の蚘事
> > news:ap31hj$gkn$1...@dnknews.denken.or.jp...
> > でやんわりず指摘なさっおいたす
> >
> > 2ヶ月以䞊たっおいたさら䜕を蚀っおいるのですか
>
>
> 裏を返しお蚀えば、こういうこず↓だ。
>
> Bertrand本人がやった、次のような問題蚭定
>
> 【問題A】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
> する。 この円の内郚を通る盎線を任意at randomに匕いた堎合、
> その時できる匊の長さが所䞎の円の半埄の長さより倧きくなる確率は
> いか皋か
>
> では、逆説ずはならぬので、逆説にしたかったなら、
>
> 【問題B】　ある䞀定の円どんな円でもかたわないが䞎えられおいるず
> する。その円の円呚䞊の任意の䞀点ず、同じ円呚䞊の他の䞀点ずを
> 結ぶ盎線を匕いたずきにできる匊の長さがその円の半埄よりも倧きく
> なる確率はいか皋か
>
> ずいうふうに蚭定せよ。

裏に返っおいないし返答にもなっおいたせんね

その䞊䞻匵しおいるこずも誀っおいたす【問題B】の蚭定のどこが逆説なの
でしょうか　【問題B】に比べお【問題A】のどこが曖昧さの少ない点なので
しょうか

䞍十分な説明をいくら繰り返しおも䞻匵の正しさが増加するわけではありたせ
ん

぀いでに蚘せば眵詈雑蚀を付け加えおも䞻匵の正しさが増加するわけではあ
りたせん単に䞻匵に匱点があるこずを無意識に感じおいる蚌巊になるだけで
す


M_SHIRAISHI

unread,
Jan 6, 2003, 9:13:04 AM1/6/03
to

"F.K." wrote:

> 【問題B】の蚭定のどこが逆説なのしょうか


> 【問題B】に比べお【問題A】のどこが曖昧さの少ない点なので
> しょうか

アホりには、分からない。　ボ(^。^)ノ

M_SHIRAISHI

unread,
Jan 6, 2003, 11:00:38 AM1/6/03
to

Yoshiro NAKAYA wrote:

> ≪䞍完党仮蚀呜題≫の「解釈」により確率が倉わるんだずすれば「確率空間」
> のずり方により「事象」の確率が倉わる話ずなにが違うのでしょう

文sentenceに察しおなら、「解釈」が圚り埗るわけだけれども、
呜題 --- 勿論、≪䞍完党仮蚀呜題≫も呜題の䞀皮ですが ---
に察しおは、「解釈」など圚り埗たせん。

# 文sentence --- より正確には、平叙文 --- を解釈した結果
が≪呜題≫なのだから。

【参考資料】 　呜題ずそれを衚わした文ずの区別

--- 蚘事 <39242806...@apionet.or.jp>より ---

Shingo Matsumoto stupidly wrote in the message:
<8fq1iu$2mi$1...@ipc02.rtri.or.jp>
>
> 呜題は基本的には文です。
>


ばかもん


# 「‘赀’ずいう挢字で衚わされる≪色≫は、基本的には、
≪‘赀’ずいう挢字自䜓≫ のこずです」 ず蚀っお、小孊生
たち からさえも 笑われたいのか


「‘赀’ずいう挢字で衚わされる≪色≫は、≪‘赀’ずいう挢字自䜓≫
のこずではない」 のず同様、
赀は光の䞉原色の䞀぀である ずいう文によっお衚わされる≪呜題≫は、
≪赀は光の䞉原色の䞀぀である ずいう、文自䜓≫ のこずではないワ。


このこずは、件くだんの呜題が、文sentenceずしおは 党く別のもの
である、 “Red is a primary colour of light” なる英文でも衚わすこずが
できるこずからしおも、明らかなこずだ。

M_SHIRAISHI  The_New_York_Academy_of_Sciences


Atsunori Tamagawa

unread,
Jan 6, 2003, 10:32:07 PM1/6/03
to
M_SHIRAISHI wrote:
>
> Shingo Matsumoto stupidly wrote in the message:
> <8fq1iu$2mi$1...@ipc02.rtri.or.jp>
> >
> > 呜題は基本的には文です。
> >
>
> ばかもん

癜石さん、癜石さん。そりゃ20䞖玀でおしたい、おしたい。
䞖玀も完党に改たったこずだし、そのパタヌンからそろそろ
脱华したしょうよ。 (^^:)

パタヌンに嵌っお「論理改革」ずは、これいかに

玉川厚埳

F.K.

unread,
Jan 7, 2003, 2:05:44 AM1/7/03
to

"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E198EF0...@apionet.or.jp...

> アホりには、分からない。　ボ(^。^)ノ

M_SHIRAISHI氏の蚘事はい぀も最埌は盞手ぞの悪眵でおわりたす(他のNGの
Kaz Tanaka氏ず同じですね)　これはM_SHIRAISHI氏に論理的に数孊を語る胜
力がないこずを瀺しおいたす

GON

unread,
Jan 7, 2003, 1:39:29 PM1/7/03
to
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message news:3E11ECF2...@apionet.or.jp...

これは倧倉有益な情報ありがずうございたす。

䞀番䞊のサむトを芋おベルトランのパラドックスの本質が理解できたした。

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