COS値から角度を求める近似式
Shiro KONO
加減乗除のみで求められる「近似式」をどなたかご存じない
でしょうか？
使用中の開発言語環境でルートを使用する事ができません。
求める値（角度なら０－９０度）の精度はせいぜい０．１度位
までで充分です（何なら１度単位くらいまで）。
ご存じの方よろしくお願いします。
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Shiro KONO e-mail: ai...@mxt.mesh.ne.jp
griffon
in COS値から角度を求める近似式<7e2k87$kvg$5...@meshsv230.tk.mesh.ad.jp>:
cos x(0≦x≦π)の逆関数をCos(-1)x と書くことにすれば、
d(Cos(-1)x)/dx = -1/(1-x^2)^(1/2)
= -1 -x^2/2 -3x^4/8 -5x^6/16 -....
両辺積分して、
Cos(-1)x = -x -x^3/6 -3x^5/40 -5x^7/112 -.... +C
Cos(-1)0 = π/2
なので、C=π/2
でいかがでしょう？
* 凪 ※ _______________________
* (∵) ＊ ぐりふぉん
* `( ： )' * mailto: x...@104.net
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YOSIDA Takayuki
Message-ID: <7e2k87$kvg$5...@meshsv230.tk.mesh.ad.jp>
> 求める値（角度なら０－９０度）の精度はせいぜい０．１度位
> までで充分です（何なら１度単位くらいまで）。
# あまりmath的でない解決の気もしますが、
cos0.05度からcos89.95度まで900個位を、あらかじめ計算した
テーブルを用意するのが楽かもしれません。
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TANAKA Jiro
"Shiro KONO" <ai...@mxt.mesh.ne.jp> wrote:
:０－１の範囲のコサイン値からその角度を求めたいのですが、
:加減乗除のみで求められる「近似式」をどなたかご存じない
:でしょうか？
:求める値（角度なら０－９０度）の精度はせいぜい０．１度位
:までで充分です（何なら１度単位くらいまで）。
必殺「数表」（テーブル引き）ではダメでしょうか？
＃16bit固定小数点の表で、180Byte＋プログラム Ｒ．田中二郎
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<A HREF="http://www.nerimadors.or.jp/~jiro/">Anime & Comics</A>
[ ji...@nerimadors.or.jp ] [ ji...@math.keio.ac.jp ] [ JR3JXE/1 ]
KGK == Keiji KOSAKA
! Fri, 02 Apr 1999 23:54:39 GMT 頃に griffon さん は言ったとさ:
> cos x(0≦x≦π)の逆関数をCos(-1)x と書くことにすれば、
> d(Cos(-1)x)/dx = -1/(1-x^2)^(1/2)
> = -1 -x^2/2 -3x^4/8 -5x^6/16 -....
べき展開よりはチェビシェフ補間あたりの方が安定して求められる気がする。
# arccos だからチェビシェフが楽かなあ、やはり。
--
KGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGKGK
KGK KGK (life name: Keiji KOSAKA), Dept. of Phys., Okayama Univ. KGK
KGK mailto:k...@mp.okayama-u.ac.jp http://mp.okayama-u.ac.jp/~kgk/ KGK
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Kobayashi Kenta
Shiro KONO wrote in message <7e2k87$kvg$5...@meshsv230.tk.mesh.ad.jp>...
>０－１の範囲のコサイン値からその角度を求めたいのですが、
>加減乗除のみで求められる「近似式」をどなたかご存じない
>でしょうか？
>
>求める値（角度なら０－９０度）の精度はせいぜい０．１度位
>までで充分です（何なら１度単位くらいまで）。
とりあえず作ってみたら出来たので書いておきます。
冪級数で初期値を求めてニュートン法で計算します。
Ｃ言語で書きましたが、不都合でしたらおっしゃって下さい。
素で書き直します。（場合分けが面倒ですが）
戻り値の単位はラジアンです。度に換算して±０．１度の精度はあります。
double arccos(double t)
{
int i,j;
int n;
double a;
double p[8];
double cs,sn;
if (t>0.999999){return(0.0007);}
p[0]=1.0;
n=1;
if (t>0.91){n++;}
if (t>0.982){n++;}
if (t>=0.996){
if (t>=0.998){a=0.02;}else{a=0.03;}
}else{
for(j=1; j<8; j++){p[j]=p[j-1]*t;}
a=1.570796-p[1]-p[3]/6.0-p[5]*3.0/40.0-p[7]*5.0/112.0;
}
for(i=1; i<=n; i++){
for(j=1; j<7; j++){p[j]=p[j-1]*a;}
cs=1.0-p[2]/2.0+p[4]/24.0-p[6]/720.0;
sn=p[1]-p[3]/6.0+p[5]/120.0;
a=a+(cs-t)/sn;
}
return(a);
}
小林健太
erm...@ma4.seikyou.ne.jp
京都大学数理解析研究所修士課程
GON
>d(Cos(-1)x)/dx = -1/(1-x^2)^(1/2)
> = -1 -x^2/2 -3x^4/8 -5x^6/16 -....
ｘ＝０の周りでの展開ですよね？ っていうことはｘが０に近いときしか
意味がありませんね。
わたしも他の方と同様、０．１度ごとにあらかじめ計算しておいた変換
テーブルを作って利用するのがベストだと思います。この程度ならたい
してメモリも食わないし、プログラミングの容易さや実行速度的に言って
も申し分ないと思いますよ。
Shiro KONO
当方の開発環境では、何百ものデータをテーブルから読み込んだり、
詳細な場合分けを行っていると極端にパフォーマンスが落ちてしま
うので、ある程度の精度を有している事から、ぐりふぉんさんに教
えていただいた「べき展開」で試してみようと思います。
たくさんのフォロー、本当にありがとうございました。
また、何かの機会にはよろしくお願いします。<m(__)m>
Kobayashi Kenta
実際に試されて、それで問題ないのでしたらこれは無用なフォローですが…。
Shiro KONO wrote in message <7ed1lv$1kt$1...@meshsv230.tk.mesh.ad.jp>...
>当方の開発環境では、何百ものデータをテーブルから読み込んだり、
>詳細な場合分けを行っていると極端にパフォーマンスが落ちてしま
>うので、ある程度の精度を有している事から、ぐりふぉんさんに教
>えていただいた「べき展開」で試してみようと思います。
何百ものデータをテーブルから読み込む必要は無いと思われます。
最初に配列に取り込む手間は必要ですが、後は辞書を引く要領で、
９００個のテーブルなら１０回の比較を行えば良いだけです。
例の冪級数は、１に近い所で極端に精度が悪くなるので、本当に
それで所定の精度が得られるのでしょうか？
そもそも、例の級数は１では発散するというのに。
いや、ほんとに、実際に問題無いならいいんです。ただ少し気になっただけですか
ら。
小林健太
erm...@ma4.seikyou.ne.jp
京都大学数理解析研究所修士課程
Tohma Makoto
In article <7edbj4$gbb$1...@wa1.seikyou.ne.jp>,
Kobayashi Kenta <erm...@ma4.seikyou.ne.jp> wrote:
>小林です。
>実際に試されて、それで問題ないのでしたらこれは無用なフォローですが…。
同じく。
>Shiro KONO wrote in message <7ed1lv$1kt$1...@meshsv230.tk.mesh.ad.jp>...
>何百ものデータをテーブルから読み込む必要は無いと思われます。
>最初に配列に取り込む手間は必要ですが、後は辞書を引く要領で、
>９００個のテーブルなら１０回の比較を行えば良いだけです。
同感ですが…。
あるいは、もう少し間引いてそこで補完したりする手もありますね。
>例の冪級数は、１に近い所で極端に精度が悪くなるので、本当に
>それで所定の精度が得られるのでしょうか？
>そもそも、例の級数は１では発散するというのに。
興味があって、Mathematicaで計算してみました。
0<x<0.5ではそこそこあっているようですね。
そこから先はあまりよくないけど。
0.5から1の間は誤差が大きいからArcsinに置き直すなりして
計算したほうがいいと思います。
ホーナー法は当然お使いでしょうけど、それでも1に近づくとどんどん精度が落ちます。
>いや、ほんとに、実際に問題無いならいいんです。ただ少し気になっただけですか
>ら。
御意。
この辺はかなり研究されてコンピュータの進歩と共に忘れられて行った
分野のようですね。
# ラジアンの公式ではなく度の公式の必要性を説かれていたのは
#名大に居られた二宮先生かなぁ？
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藤間真(to...@st.rim.or.jp) <<リムネットからの発信です。>>
図書館に行ったときは駄目元で司書に相談しましょう。
利用者の手助けをし、疑問に答えることは、本来司書の業務の一部です。
日本の公共図書館では「駄目元で」と言わざるを得ないのが現状ではありますが