どこから見ても同じ形をしている立体は？

[san_syan]

こうさくといいます．はじめて投稿します．失礼があればご指摘頂ければ幸
いです．

以前からずっと疑問に思っていた事があります．

「立体に平行な光をあてて，光の進行方向に対して垂直な平面へ映る影の形
および大きさが立体の回転によらず不変のとき，その立体は球に限る」

という命題は真でしょうか？直感的には真のような気がします．もし真なら
証明はどうするのか，偽ならばどんな反例があるのか是非知りたいです．
（私の知識，理解力を超えている可能性が高いですが．．．）

また，もし命題が真のとき，「影の形および大きさ」（合同）の部分を「影
の形」（相似）もしくは「影の大きさ」（同面積）としても命題は成り立つ
のでしょうか？

[Yuzuru Hiraga]

In article <a64b19ac.02021...@posting.google.com> san_...@yahoo.co.jp (san_syan) writes:
>こうさくといいます．はじめて投稿します．失礼があればご指摘頂ければ幸
>いです．
>
>以前からずっと疑問に思っていた事があります．
>
>「立体に平行な光をあてて，光の進行方向に対して垂直な平面へ映る影の形
>および大きさが立体の回転によらず不変のとき，その立体は球に限る」
>
>という命題は真でしょうか？

確か真だったと思いますが、文献等は今はわかりません。

なおこれの２次元版は成り立たないことに注意。
つまり平面図形の影（である線分）の長さが常に一定でも、
図形は円とは限りません。
いわゆる「ルーロー (Reuleaux) の三角形」をはじめとする「定幅曲線」
がその反例にあたります。

「定幅曲線」について、Eric Weisstein's World of Mathematics:
http://mathworld.wolfram.com/CurveofConstantWidth.html
を見ると、
A generalization gives solids of constant width.
These do not have the same surface area for a given width,
but their shadows are curves of constant width with the "same" width!
とあって、定幅で定面積の影を持つ図形は（球以外は）ないことが示唆されています。
（もっともこの "surface area" というのは影の面積ではなく、
表面積のことだろうか？）

>また，もし命題が真のとき，「影の形および大きさ」（合同）の部分を「影
>の形」（相似）もしくは「影の大きさ」（同面積）としても命題は成り立つ
>のでしょうか？

「相似」というのはありうるのだろうか？
「同面積」についてですが、
Croft, Falconer, Guy 著（秋山訳）：「幾何学における未解決問題集」
（Springer-Verlag 東京, 1991（原著）1996（邦訳）)
の p.17:「A5 影から凸体について何がわかるか？」の項には、
「何年も前に、Blaschke と Bonnesen は光度［影の面積］が一定...の
非球形物体を構成した。」
とありますから、「成り立たない」ことになりますね。

続いて上でも述べた「定幅で定面積の（非球形）立体は存在するか？」
については、「未解決の問題できわだつもの」とされています。

同書には他にも関連のありそうな項目があります。

（平賀＠図書館情報大学）

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本と申します.

In article <a64b19ac.02021...@posting.google.com>
san_syan <san_...@yahoo.co.jp> writes:
> 「立体に平行な光をあてて，光の進行方向に対して垂直な平面へ映る影の形
> および大きさが立体の回転によらず不変のとき，その立体は球に限る」

ある方向に光を当てた時の影が回転で不変であれば円ですね.
その時, 物体はその円をその方向に移動して出来る円柱の内部
にある事になります.

円柱に他の方向から光を当ててみると, その影は円柱の中心線
の両側に円の半径だけそれぞれ離れた二つの平行線で挟まれる
領域になります. その物体にその方向から光を当てた影もこの
領域に含まれます. それが同じ半径の円ですから, その中心は
円柱の中心線の「影」の上にあります. 従って,

二つの方向に対する円柱の中心線は一点で交わる.

更に,

どの方向に対する円柱の中心線もある一点を通る,

ことになります.

中心線がある一点を通る同半径の円柱全ての交わりは, その点
を中心とするその半径の球になります. 物体はこの球に含まれ
ますが, 球の表面上のある一点の近傍が物体に含まれなければ
ある方向から見た時の影が円になりませんから, 閉な物体であ
れば球になります.

> また，もし命題が真のとき，「影の形および大きさ」（合同）の部分を「影
> の形」（相似）

に変えても, 上の論法から容易に円の大きさは同じでなければ
いけないことが分かりますから, 同様ですが,

> もしくは「影の大きさ」（同面積）としても命題は成り立つ
> のでしょうか？

こちらは難しい.
--
塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@ipc.kit.ac.jp

[TAKENAKA Kiyoshi]

竹中@狛江.電中研です。

In article <a4cl1g$mt7$1...@news.kit.ac.jp> chi...@ipc.kit.ac.jp wrote on Wed, 13 Feb 2002 03:03:12 GMT:
>ある方向に光を当てた時の影が回転で不変であれば円ですね.

四角形でも、影の形は不変ですが。

-----------------------------------------------------------------
電力中央研究所 電力システム部 竹中 清
- kiyos - kiyos - kiyos - kiyos - kiyos - kiyos - kiyos - kiyos -
take...@criepi.denken.or.jp

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本です.

In article <a4dbis$ut$1...@dnknews.denken.or.jp>
TAKENAKA Kiyoshi <take...@criepi.denken.or.jp> writes:
> 四角形でも、影の形は不変ですが。

意味が取れないので, むりやり followup.

どんな形の図形でも, 物体を光の軸のまわりに回転する時,
影は同じく回転するだけですから, その意味では不変です.

先程の議論では, 影が円であるとして, 物体を回転するの
ではなく, 光源の方向を変えての議論をしましたが, ここ
では物体を回転することにします.

影は円でなく, SO(3) の元で指定できる物体の回転につれ
て影が回転することを許したとしましょう. 影が円ではあ
りませんから, 影の回転角が定義できます. 或いは, 四角
形のような対称性があれば, ある自然数 n について, 2π/n
の整数倍を除いての回転角としても良いでしょう. SO(2) や
SO(2)/Zn は円周 S^1 と同相なので, これは SO(3) から
S^1 への連続写像で, SO(3)⊃SO(2) 上で identity 又は
S^1 を zero でない回数まわるものになっているものが
与えられたことになります.

ところが SO(3)⊃SO(2) を二回まわる path は SO(3) の
中で homotopic to zero です. これはその像が, S^1 を
zero でない回数まわる, homotopic to zero でない path
になっていることと矛盾します.

つまり, 影が円でなく, どのように物体を回転しても
合同なままであるということは有り得ません.

[san_syan]

元記事を書いたものです．平賀様，塚本様ご回答どうも有り難うござ
います．これで長年の疑問が氷解しそうです．

ニュースリーダーは http://groups.google.com/ を利用しているため
引用が上手くいかず，お見苦しい点があるかと思いますがご容赦下さい．

hir...@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) wrote
：いわゆる「ルーロー (Reuleaux) の三角形」をはじめとする「定幅曲線」
：がその反例にあたります。

ロータリーエンジンのシリンダーですね．「定幅曲線」で思い出したの
ですが「定角曲線」というのもありましたね．随分前の「数学セミナー」
に松浦重武さんが記事を書いていました．

： 「何年も前に、Blaschke と Bonnesen は光度［影の面積］が一定...の
： 非球形物体を構成した。」
：とありますから、「成り立たない」ことになりますね。

これは凄いですね．どんな形をしているか見てみたいですが，目に見
えるものなのでしょうか．

塚本様の回答の中で

chi...@ipc.kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) wrote
：ある方向に光を当てた時の影が回転で不変であれば円ですね.

の部分が理解できなくて考えていたのですが，別の方がその部分にフォ
ローアップして，さらに回答を頂いているのでもう一度考えてみます．
（この部分は私には無理っぽいですが）

[sasaki tadao]

佐々木です。

san_syan wrote:

> こうさくといいます．はじめて投稿します．失礼があればご指摘頂ければ幸
> いです．
>
> 以前からずっと疑問に思っていた事があります．
>
> 「立体に平行な光をあてて，光の進行方向に対して垂直な平面へ映る影の形
> および大きさが立体の回転によらず不変のとき，その立体は球に限る」
>
> という命題は真でしょうか？直感的には真のような気がします．もし真なら
> 証明はどうするのか，偽ならばどんな反例があるのか是非知りたいです．
> （私の知識，理解力を超えている可能性が高いですが．．．）

リング星雲（M57)は、宇宙の何処から見てもリング状に見えるといわれていま
す。
それならば、同じような理由で、どの方向からでも、影がリングの物体もある
かも知れない。

半透明の薄いゴム風船のような物体を考えると、中心付近を通る光は、
わずかに吸収されるだけだが、外周近くをぎりぎりに通る光は、
物質中を斜めに進むため、より強い吸収を受け、中心よりも濃い影になる。

表面の形状については、球と同じですし、立体に半透明の物体を含めるか、
球体と球殻を別物と見るかということはあるけど。

[TAKENAKA Kiyoshi]

竹中@狛江.電中研です。

In article <a4dra0$s53$1...@news.kit.ac.jp> chi...@ipc.kit.ac.jp wrote on Wed, 13 Feb 2002 13:56:16 GMT:
>先程の議論では, 影が円であるとして, 物体を回転するの
>ではなく, 光源の方向を変えての議論をしましたが, ここ
>では物体を回転することにします.

影が円なのですね。私は円盤を回すのかと思っていました。

でも、円柱の周りで中心線を軸に光源を回せば、同じ影に
なります。中心線方向にも光源を回すことまで考えれば、
結果的に影が円以外にはないと想像しますが、
簡単に円以外にないということが納得できませんでした。

以下の塚本さんの説明については、
関数論で数学を投げてしまった私には分りませんが、
おそらく円しかないのでしょう。

>影は円でなく, SO(3) の元で指定できる物体の回転につれ
>て影が回転することを許したとしましょう. 影が円ではあ
>りませんから, 影の回転角が定義できます.

..

以下余談ですが、こんな立体だと光源を単純に回していると
影が同じ形に見えると思ったりして。

1)ロータリーエンジンのシリンダ(これ分りやすいです。)を
底面とする三角柱もどきを考える。
2)その断面が正四面体を構成するように四つの三角柱もどきを
配置した時の共通部分の立体を作る(うまく想像できん)。
3)正四面体の頂点に相当する部分を糸で吊るして回転させて、
斜め上方からの光を当てた時の影がロータリーエンジンのシリンダに
なるように削る。

これで6-7割がたの光源方向からの光で同じ影になりませんかね。

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本です.

In article <3C6B7ECE...@ga.sony.co.jp>

sasaki tadao <ta...@ga.sony.co.jp> writes:
> それならば、同じような理由で、どの方向からでも、影がリングの物体もある
> かも知れない。

透過光を認めて, 影に濃淡があって良いとする場合ですね.
その場合でも, 影が回転で不変でなければ, SO(3) から S^1
への連続写像が得られることになって矛盾しますから, 影は
回転で不変になります. この時, 影の中心線はどの方向から
見たものもある一点を通っているというのが, 私の最初の
投稿の内容. 結局, 三次元ユークリッド空間の任意の直線
について, 光の吸収率の積分が与えられたことになります.
このデータは元の吸収率の分布を再現するのに十分です.

# CT (Computer Tomography) の原理. 実は三次元でデータと
# して全ての直線上の積分を集めるのは過剰.

データが球対称な吸収率の分布から出てくるものと同じで
あるので, 吸収率の分布が球対称であることが分かります.

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本です. # 大事な条件を忘れた.

In article <a4g2rv$d3p$1...@news.kit.ac.jp>

Tsukamoto Chiaki <chi...@ipc.kit.ac.jp> writes:
> その場合でも, 影が回転で不変でなければ, SO(3) から S^1
> への連続写像が得られることになって矛盾しますから,

SO(3)⊃SO(2)上に制限すると, S^1 を zero でない回数まわる
連続写像です.

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本です.

In article <a4fvpi$13s$1...@dnknews.denken.or.jp>

TAKENAKA Kiyoshi <take...@criepi.denken.or.jp> writes:
> 1)ロータリーエンジンのシリンダ(これ分りやすいです。)を
> 底面とする三角柱もどきを考える。
> 2)その断面が正四面体を構成するように四つの三角柱もどきを
> 配置した時の共通部分の立体を作る(うまく想像できん)。
> 3)正四面体の頂点に相当する部分を糸で吊るして回転させて、
> 斜め上方からの光を当てた時の影がロータリーエンジンのシリンダに
> なるように削る。

良く分かりませんが, 正四面体の各頂点を中心として
一辺の長さを半径とする球四つの共通部分を考えても
等幅に *ならない* という話が以前 fj.sci.math で
紹介されていました.

# google で見つかるだろうか.

[TAKENAKA Kiyoshi]

竹中@狛江.電中研です。

等幅についてのみです。

等幅の立体を考えたんですが、合っているでしょうか。

In article <a4g30h$d3q$1...@news.kit.ac.jp> chi...@ipc.kit.ac.jp wrote on Thu, 14 Feb 2002 10:20:01 GMT:
>良く分かりませんが, 正四面体の各頂点を中心として
>一辺の長さを半径とする球四つの共通部分を考えても
>等幅に *ならない* という話が以前 fj.sci.math で
>紹介されていました.

この立体は等幅にはならないようですね。
平面の上にこの立体をおいて、転がすことを考えます。
頂点を下にして転がした(立体を振った)時を考えて、最上点が頂点でない
円弧に達した時に、下の頂点から相対する円弧方向にも転がすことが
できます。この時、両円弧上の2点間の距離は球面の半径とは
異なる場合がほとんどだと思います。

問題点は、正四面体に球面を加える時に、頂点が必ず付いている
(最下点もしくは最上点である)ことを保証できる範囲を考えることだと
思います。
その保証範囲は、頂点に対する面(底面)に対して、頂点を含む三角形を
延長して作られる範囲です。各頂点を中心にして、この範囲で球面を作ると
各辺近傍に唇のように欠けた範囲ができます。

ここに別の立体を埋め込めば、等幅の立体ができると思います。
上記欠けがある立体について、一つの唇を上にして両端(2頂点)を東西に
置きます。そうすると、下側に別の唇(別の2頂点)が南北に置かれます。
この時、下側の唇の北側の頂点から上側の唇の南側に向って扇形が
広がっています。同じように、下側の唇の南側の頂点から上側の唇の北側に
向って同じ形の扇形が広がっています。
これらの扇形は上側の唇の両端(両頂点)が共通点になっているので、
この部分を掴んで、下側の唇の北の頂点にある扇形の中心点を持って
南の頂点まで円弧状に移動させます。
この扇形が移動した範囲を新たに立体として付け加えます。
上側には丸い唇ができ、下側にはとがった唇ができます。

残りの2組の唇に同じ立体を加えれば、非対称ですが等幅な立体に
なっていると思います。

(合ってるかなー。図形問題は久しぶりで、夜も眠れなくなりそう
だったです。)

># google で見つかるだろうか.

情報をありがとうございました。
議論までは見つかりませんでしたが、塚本さんが言われた立体の
グラフィック図形は見つかり参考になりました。

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本です.

In article <a4ij9l$mb$1...@dnknews.denken.or.jp>
TAKENAKA Kiyoshi <take...@criepi.denken.or.jp> writes:
> 残りの2組の唇に同じ立体を加えれば、非対称ですが等幅な立体に
> なっていると思います。

これが等幅な立体だという主張をされる時には, その証明も
付けていただけませんか.

一辺が単位の長さの正四面体を ABCD とし, AB の中点を M,
CD の中点を N とします. 貴方の立体を ABN を通る平面で
切った断面はどうなっていますか.

私の理解が正しければ, AB を「丸い唇」で閉じたとすれば,
CD の側を閉じる「とがった唇」の切り口は AB を底辺とする
正三角形でしょう. C(D) の射影は AB に M から立てた垂線上
√2/2 の所にあります(正三角形の頂点は √3/2 の所).
それを E とし, AE を延長して AF = 1 とした点 F と BE を
延長して BG = 1 とした点 G とを作ると, 元の四面体の頂点を
中心とする単位半径の球四つの共通部分から「唇」を取り除いた
ものは AB と AF を端とする扇形と BA と BG を端とする扇形の
合併としてその切り口が見えます. ギザギザになっていませんか.

これの凸閉を取ったとしても, どうも等幅には思えません.

[Shinji KONO]

河野 真治@琉球大情報工学です。

In article <a4cl1g$mt7$1...@news.kit.ac.jp>,
chi...@ipc.kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) writes

>> 「立体に平行な光をあてて，光の進行方向に対して垂直な平面へ映る影の形
>> および大きさが立体の回転によらず不変のとき，その立体は球に限る」
>ある方向に光を当てた時の影が回転で不変であれば円ですね.

不変ってのは、向き/位置と形が同じとは限らなくて、形だけが同
じ場合もあるので、円とは限らない気がします。

例えば、無限直線なんかは、そういう意味で、並行光線に対して、
影が不変になります。正確には、2方向を除くって感じだけど。

二次元の場合は、球でない影が不変な例があるので、それほど、
自明に球にはならないんじゃないかなぁ。

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus,
PRESTO, Japan Science and Technology Corporation
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科,
科学技術振興事業団さきがけ研究21(機能と構成)

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本です.

In article <12719.10...@insigna.ie.u-ryukyu.ac.jp>

Shinji KONO <ko...@ie.u-ryukyu.ac.jp> writes:
> 不変ってのは、向き/位置と形が同じとは限らなくて、形だけが同
> じ場合もあるので、円とは限らない気がします。

形だけが同じ場合については <a4dra0$s53$1...@news.kit.ac.jp>
を御参照下さい. # 届いていませんか.

> 例えば、無限直線なんかは、そういう意味で、並行光線に対して、
> 影が不変になります。正確には、2方向を除くって感じだけど。

有界は仮定しましょう.

# 濃淡がある場合も一応 support compact を想定.

> 二次元の場合は、球でない影が不変な例があるので、それほど、
> 自明に球にはならないんじゃないかなぁ。

二次元と三次元とは大部違います.

# 高次元の話は任せた.

[TAKENAKA Kiyoshi]

竹中@狛江.電中研です。

In article <a4j1g9$1ir$1...@news.kit.ac.jp> chi...@ipc.kit.ac.jp wrote on Fri, 15 Feb 2002 13:12:41 GMT:
> 単位半径の球四つの共通部分から「唇」を取り除いた
>ものは AB と AF を端とする扇形と BA と BG を端とする扇形の
>合併としてその切り口が見えます. ギザギザになっていませんか.
>これの凸閉を取ったとしても, どうも等幅には思えません.

ご指摘のとおり、とがった唇側の円弧と球面との間の検討が不足しております。
これを加えて、もう少し説明します。

塚本さんが言われましたように、正四面体の各頂点をABCDとします。
各頂点を中心として、他の3点を含む球面で囲まれた立体をVとします。
ABの中点をMとし、CDの中点をNとしておきます。

以下の順序での説明が適当と思います。。
1)一つの頂点から広がる3つの正三角形を延長した範囲で囲まれる球面
2)正四面体の一つの辺の近傍に丸い唇を埋めて相対する辺の近傍に
円弧を導入する。
3)導入された円弧と円弧近傍の球面との間の接続
4)まとめ

(1)については省略します。
(2)について、辺AB側に丸い唇を埋める場合を想定する。
点Cを中心とする扇形CABを、辺ABが中心軸となるように、点Dを中心とする
扇形DABまで、回転させる。各扇形は接する球体の断面にもなっているので、
球面と唇は滑らかに接続されている。また、唇面は扇形で作られた表面と
なっているので、幅を規定する対抗点は扇形の中心点の移動でできた円弧CD
となる。
(3) (2)で示したように丸い唇ABの幅を規定する対抗点は全て相対する
円弧CD上にある。したがって、丸い唇ABによる相対する円弧CDと近傍球面の
間に対する制約は無くなり、他の制約のみで決定できる。
くわえて、円弧CDは立体Vの円弧と同一である。したがって、近傍球面を
円弧CDまで球面として延長すると、円弧と球面を連続に接続でき、
頂点からの幅も保持できる。
(4)以上のことが正しければ、立体Vの一つの頂点から延びる
3円弧を(2)のように丸い唇にするか、立体Vの3角形のようになっている
3円弧を(2)のように丸い唇にすれば等幅立体となる。
言い換えると、立体Vの一頂点を平面上に置き、一円弧を北側に向けて
転がす時に、東西に振りながら、高さが球面の半径を超えた部分を
削ることを3円弧で行なった立体ともいえる。

なお、以下に3点CDMおよびABNをとおる立体の断面を示しておきます。

A-1)3点CDMをとおる断面
球面部分は点Dを中心とする円弧CE(Eは円弧とDMを延長した線分の交点)
および点Cを中心とする円弧DF(Fは円弧とCMを延長した線分の交点)である。
丸い唇部分はABを中心とした扇形の回転でできているので、Mを中心とした
円弧EFとなる。とがった唇部分は同様にMを中心とした円弧CDとなる。
これは等幅図形になっている。

A-2)3点ABNをとおる断面
球面部分は点Aを中心とする円弧BG(Gは線分BCを底辺とする正三角形の頂点で
N近傍の点)および点Bを中心とする円弧AGとなる。丸い唇部分はCを
中心とした扇形CABと同一であるから、Gを中心とした円弧ABとなる。
これは、ロータリーエンジンのシリンダである。

[Nakayama Ryu~ji]

本題とは全く無関係です。Followup-Toはfj.rec.autosです。

Article <a4fvpi$13s$1...@dnknews.denken.or.jp> にて、
TAKENAKA Kiyoshi <take...@criepi.denken.or.jp> さん、

> 1)ロータリーエンジンのシリンダ(これ分りやすいです。)を
> 底面とする三角柱もどきを考える。

これ、「ローター」というちゃんとした名前がついています。それと、ピスト
ンエンジンに対応する部分はシリンダじゃなくてピストンです。:-) ピストン
エンジンのシリンダに対応する部分は、バンケルロータリーエンジンではハウ
ジングと読んでいるようです。

ちなみに、ハウジングの形はトロコイド曲線らしいです。

--
中山隆二
nakayam...@lab.ntt.co.jp

[Tsukamoto Chiaki]

工繊大の塚本です. # 何か勘違いしていたみたい.

In article <a4pufc$l73$1...@dnknews.denken.or.jp>

TAKENAKA Kiyoshi <take...@criepi.denken.or.jp> writes:
> (3) (2)で示したように丸い唇ABの幅を規定する対抗点は全て相対する
> 円弧CD上にある。したがって、丸い唇ABによる相対する円弧CDと近傍球面の
> 間に対する制約は無くなり、他の制約のみで決定できる。
> くわえて、円弧CDは立体Vの円弧と同一である。したがって、近傍球面を
> 円弧CDまで球面として延長すると、円弧と球面を連続に接続でき、
> 頂点からの幅も保持できる。

良いようですね.

三組の対辺の扱いで二通りできますね.

# 1996年の夏から秋に議論があったようですが, google には
# 結論の部分が残っていないように思われる.

[TAKENAKA Kiyoshi]

竹中@狛江.電中研です。

In article <a4r6ue$brj$1...@news.kit.ac.jp> chi...@ipc.kit.ac.jp wrote on Mon, 18 Feb 2002 15:34:38 GMT:
>良いようですね.

ありがとうございました。

久しぶりに数学の問題を解くことができて楽しかったです。
記念に以下のようなリストを作ってみました。

解けて楽しかった、死ぬまで忘れないだろう、数学パズルリスト
1)箱入り娘
2)不等辺四角形に正方形を付けた中点間線分の同長直交
3)ルービックキューブ
4)等幅立体