鏡像反転の謎という鏡像問題に対する幾何学的解答

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「鏡の前で右手を上げると、鏡の中の私は左手を上げているように見える。なぜ鏡の中では左右が反対なのか」といった鏡像問題に対する幾何学的解答

１．鏡像問題を難解にしている理由

「鏡の後ろに回って立つ自分を想定して比較してみる」といった思索に見られるように、鏡に反射して映った虚像を現実の三次元空間と同一のものとして捉え
て問題を解こうとしているスタンス、すなわち鏡像問題を解く上での問題の明確化という最初の段階で既に間違った解釈をしていることによる混乱が問題を難
解にしている理由である。

２．鏡に反射して映る像は、一見すると三次元空間に思えるが実は二次元面である

鏡の表面が二次元面（平面）であることは誰もが異論を唱えることはないであろう。ところが鏡面に反射して映った像は？となると三次元空間に間違いないと
か、いや、やはり二次元像だといった議論が沸きあがってくることが予想される。ここで、鏡像が三次元だと主張される諸兄には私の解答は適用できないので
先にお断りしておく。鏡像はあくまでも虚像であり、おとぎ話の世界でない限り誰もが鏡に映った向こうの世界には飛び込んでいけないことは明白であり、そ
の事実に基づいて私は鏡像が二次元的であることを確信する。

３．鏡像問題は面対象変換説では説明できない

鏡像問題を物理学的・幾何学的に取り組んでいる方々は「鏡像は鏡面を対称面とする実物と面対象な映像である」と定義している。一見何の問題もない定義に
思えるが、この定義は先に述べた鏡像が二次元面であることと矛盾する。この面対象説は実物も鏡像も立体（三次元体）として捉えて問題を解こうとしてい
る。しかし鏡像は二次元である。従ってたとえ実物が立体であってもこの鏡像問題は次元が一つ低い二次元幾何学的に捉える必要がある。何故ならば、我々人
間は三次元空間に存在しているが、残念ながら四次元や五次元世界を垣間見ることはできない。つまり、もし鏡に心があるのならば「鏡像問題は鏡が主役なの
だから、私（鏡）は三次元世界なんてどんな世界か解らないので私に合わせて二次元の問題として議論して下さい。」と懇願するであろうと思われる。三次元
の座標軸は３つあるが二次元には座標軸は縦と横の２つしかない。先に述べた「鏡の後ろに回って立つ自分を想定して比較してみる」といった思索は、鏡像と
いう二次元で起こっている反転現象を三次元的に捉えて、まるで人間が二次元と三次元の間を自由に行ったり来たりすることができるかのような誤った思索を
していることが分かる。その事が問題を難解にして、長年に亘って諸説が飛び交う原因となっているのである。

４．鏡像が「なぜ左右が逆になるのか」という理由は幾何の線対称で明快に説明できる

線対称とは一本の対称軸という直線を軸に平面に描かれた像を折り返すと(反転させると)、その平面図形が全て重なり合う性質のことである。
対称軸に沿って平面を反転させると、像が重なり合うという線対称の性質を応用した物として、版画、印刷、印鑑等がある。
ここでは身近な木版画を例にして説明を行う。左手を上げた人の版画を作成しようとする場合は、原版である版木には右手を上げた人の像を彫らなければいけ
ない。何故ならば線対称でできる像は対称軸に沿って左右が逆転するからである。いわゆる印鑑を作成する場合に、印鑑本体の面には鏡文字（左右逆文字）を
彫る必要があり、そうすることによってその作成した印鑑で判を押したときにできる陰影の文字は紙に正しく押印できるということと同じである。
ここで、作成した版画の原版である版木（右手を上げている人の像）を鏡の前に立っている人に置き換えてみると、刷り上がった版画（左手をあげている人の
像）は鏡に映った鏡像（同じく左手を上げている）と同じであることが分かる。
また、さらに分かりやすい例として、印鑑を鏡の前に持って立ってみると、印鑑本体は鏡文字になっているが、鏡にはちゃんと正しい方向で印鑑の名前が映っ
ていることが解る。更にその印鑑をずっと鏡に近づけて、最後に鏡面に判を押した状態にすると、印鑑と鏡の陰影がピッタリ一致する。
以上のことからも解るとおり、鏡像問題は二次元的に捉えて考えて、線対称の半面が鏡の前の実物で、線対称のもう一方の半面が鏡面に映った鏡像と捉えれ
ば、「左右が逆になる」ことに対して、線対称だから反転するのは当然であるという理論の元に何の違和感も感じる必要が無いことを理解していただけるはず
である。
ただし、実物と鏡像の間の線対称軸は、三次元空間に無数にあるので実験的にこの理論を実証する上では注意が必要であり、なるべく線対称軸は、例えば鏡面
に直線を引いて、それを線対称軸として実験を試みるといった方法を選択する方が賢明である。
また、線対称軸が一つの像について一本だけ存在するので、上下左右の二つの軸（鏡像問題は二次元の問題として捉えているので前後の軸は無い）のうち一つ
の軸だけが逆になることも理解できる。
ただし、線対称軸を地面に水平に引いても、その対称軸を垂直にした場合の画像として捉える習性が人間にはあるので注意が必要である。

５．二次元界からの幻惑
もし鏡に心があるならば、長年、三次元空間に生息する生物を幻惑し続けることができて楽しかったと思っているに違いない。
改めて思索という手段が諸刃の剣であることを思い知らされたしだいである。
平成１９年１２月１８日
田野瀬　裕次