確率密度関数の宿題
kei.shindou
よろしくお願いします。
1
（1）αに対して
Γ（α）＝∫（0から＋∞までのインテグラル） （χ＾（α-1））（e^(-χ))dχ
とおく。Γ（α）をガンマ関数と呼ぶ。講義中、自然数ｎに対して
Γ（α）＝（ｎ-1）！
であることを示した。ここでは
Γ（α+1）＝αΓ（α）
を証明せよ。
（2）λ＞0,α＞0とする。確率密度関数
ｆ（ｘ）＝（（α＾λ）/（Γ（α））（λ＾（α-1））(e^（-αχ））
（χ≧0）
ｆ（ｘ）＝0 （ｘ＜0）
を持つ、確率変数χに対して,E（χ）とV（χ）を求めよ。
（λ＝ｎ/2,α＝1/2 のときχ＾2分布を得る）
2
以下では、a∈R に対して
（1+ｔ）^a=Σ（ｒ＝1から＋∞までのシグマ）（aCr）t^r （|t|<1）
が成立が成立することを用いてよい。ただし,
aCr＝a(a-1)(a-2)・・・(a-ｒ+1）/ｒ！
aC0＝1
とする。0＜ｐ＜1、ｑ＝1-ｐとする。
P(ｘ,l)=(l+k-1)C(l）ｐ^ｋ ｑ^ｌ （ｌ＝0,1,2,・・・）
と定めると,ｘは確率変数であることを示せ。
E（ｘ）,V（ｘ）
を求めよ。
Yoshitaka Ikeda
>職場のバイトの学生の宿題ですが、どなたか解いていただけないでしょうか。
>よろしくお願いします。
自分で解いた方が、本人のためになると思うし、やってみてダメでも先生は文
句言わないと思う。
あるいは、先生に質問に行くとか。
>1
>（1）αに対して
>
>Γ（α）＝∫（0から＋∞までのインテグラル） （χ＾（α-1））（e^(-χ))dχ
>とおく。Γ（α）をガンマ関数と呼ぶ。講義中、自然数ｎに対して
> Γ（α）＝（ｎ-1）！
>であることを示した。ここでは
> Γ（α+1）＝αΓ（α）
>を証明せよ。
Γ(α)=(α-1)!
Γ(α+1)=α!
故に
Γ(α+1)/Γ(α)=α
から導かれるんじゃないんでしょうか。
--
池田 尚隆(Yoshitaka Ikeda) mailto:ik...@4bn.ne.jp
IIJIMA Hiromitsu
> >職場のバイトの学生の宿題ですが、どなたか解いていただけないでしょうか。
> >よろしくお願いします。
>
> 自分で解いた方が、本人のためになると思うし、やってみてダメでも先生は文
> 句言わないと思う。
>
> あるいは、先生に質問に行くとか。
同意。
大学2-3年生レベルの問題でしょうから、自分で解くのがスジというものです。
せめて、どこまでは自力でわかって、どこで躓いているのか書いてもらわないと。
> >1
> >（1）αに対して
> >
> >Γ（α）＝∫（0から＋∞までのインテグラル） （χ＾（α-1））（e^(-χ))dχ
> >とおく。Γ（α）をガンマ関数と呼ぶ。講義中、自然数ｎに対して
> > Γ（α）＝（ｎ-1）！
> >であることを示した。ここでは
> > Γ（α+1）＝αΓ（α）
> >を証明せよ。
>
> Γ(α)=(α-1)!
> Γ(α+1)=α!
> 故に
> Γ(α+1)/Γ(α)=α
>
> から導かれるんじゃないんでしょうか。
私もそう思ったのですが、これはαが自然数以外でもΓ（α+1）＝αΓ（α）
が成り立つことを証明せよという意図なのではないでしょうか。
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飯嶋 浩光 / でるもんた・いいじま http://www.ht.sakura.ne.jp/~delmonta/
IIJIMA Hiromitsu, aka Delmonta mailto:delm...@ht.sakura.ne.jp
Tsukamoto Chiaki
In article <3F249A5E...@ht.sakura.ne.jp>
IIJIMA Hiromitsu <delm...@ht.sakura.ne.jp> writes:
> 私もそう思ったのですが、これはαが自然数以外でもΓ(α+1) = αΓ(α)
> が成り立つことを証明せよという意図なのではないでしょうか。
Reα > 0 なる複素数 α について
∞
Γ(α) = ∫ t^{α-1} e^{-t} dt
0
なる積分で定義される関数 Γ(α) が, やはり Reα > 0 で
Γ(α+1) = αΓ(α) を満たすこと, が大事ですが, 多分,
実数 α (> 0) で考えるのでしょうね.
# 一回部分積分するだけ.
--
塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@ipc.kit.ac.jp
Tsukamoto Chiaki
In article <YAMUa.2175$Fk4.3...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp>
"kei.shindou" <04348...@jcom.home.ne.jp> writes:
> （2）λ＞0,α＞0とする。確率密度関数
> ｆ（ｘ）＝（（α＾λ）/（Γ（α））（λ＾（α-1））(e^（-αχ））
> （χ≧0）
> ｆ（ｘ）＝0 （ｘ＜0）
>
> を持つ、確率変数χに対して,E（χ）とV（χ）を求めよ。
> （λ＝ｎ/2,α＝1/2 のときχ＾2分布を得る）
問題を写し間違っているようですね.
% (2) λ > 0, α > 0 とする。確率密度関数 f(x)
%
% f(x) = ((α^λ)/Γ(λ)) x^{λ-1} e^{-αx} (x≧0)
% f(x) = 0 (x < 0)
%
% を持つ、確率変数 X に対して, E(X) と V(X) を求めよ。
% (λ = n/2, α = 1/2 のとき χ^2 分布を得る)
∞
E(X) = ∫ x f(x) dx
0
∞
= ((α^λ)/Γ(λ)) ∫ x^λ e^{-αx} dx
0
とか
∞
E(X^2) = ∫ x^2 f(x) dx
0
∞
= ((α^λ)/Γ(λ)) ∫ x^{λ+1} e^{-αx} dx
0
とかは, t = αx と変数変換すれば直ぐにΓ関数の形になります.
V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2
ですね.
> （1+ｔ）^a=Σ（ｒ＝1から＋∞までのシグマ）（aCr）t^r （|t|<1）
「 r = 0 から」ですね.
∞
(1 + t)^a = Σ (aCr) t^r (|t| < 1).
r=0
# ここでも t^0 は t = 0 のとき 1 とすることになる.
> 0 < p < 1, q = 1 - p とする。
>
> P(X, n) = (n+k-1)Cn p^k q^n (n = 0, 1, 2, ...)
>
> と定めると, X は確率変数であることを示せ。
(n+k-1)Cn = ((n+k-1)(n+k-2)…(k+1)k)/(n!)
= (-1)^n ((-n-k+1)(-n-k+2)…(-k-1)(-k))/(n!)
= (-1)^n ((-k)(-k-1)…(-k-n+2)(-k-n+1))/(n!)
= (-1)^n (-k)Cn
に気が付けば, まあ何とかなるでしょう.
> E(X), V(X) を求めよ。
E(X) はともかく, V(X) は E(X(X-1)) を計算することに
気が付かないと難しいかも.
# 積率母関数 E(e^{tX}) を計算する方が実は易しいかも.
kei.shindou
池田 尚隆さま、飯嶋 浩光さま、塚本千秋さま
助かりました。