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Diophantine linear equation: some unsolvability conditions

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Ivan Shmakov

unread,

Jul 4, 2011, 1:14:52 AM7/4/11

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x + k y = b ;

О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ k \neq 1, k \neq 0.

<<О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫>>, О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ x \in Z, О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫
О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ y \in Z, О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫, О©╫О©╫О©╫ x, y -- О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫:

x + k y = b \eqv x = b - k y \thus x \mod k = b ;

E. g.:

x - 2 y = 1 \eqv x = 2 y + 1 \thus x \mod 2 = 1 ;

О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫, О©╫О©╫О©╫ x = 2 n, n \in Z, О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫
y \in Z, О©╫О©╫О©╫ x, y -- О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫.

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(О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫) О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫?

О©╫ О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫, О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫О©╫ О©╫О©╫ a _i \neq 0, a _i \neq 1, i > 1
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x _1 \in Z ?

x - y - 2 z = 0 \eqv x = y + 2 z ;

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FSF associate member #7257

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