Miniterminos y Maxiterminos

[Diego Eula]

MINITERMINOS Y MAXITERMINOS

 

Una variable binaria podrá  aparecer  en su forma normal o  en su forma complementaria.

Considere  ahora  dos variables  binarias  y que se combina con una operación  AND.

Puesto que cada  variable  podrá  aparecer  en cualquier  de sus formas , hay    cuatro   combinaciones  posibles  x y, xy, xy y xy  cada  uno de esto   cuatro miniterminos  AND  es un es una mini termino, o producto  estándar. De manera  similar , podemos  combinar n variable para formar 2η- 1 bajo las  n variables.  Cada  miniternino  se obtiene  de un termino AND  de las  n variables , poniendo a un apostrofo a cada  variable  si el  bit  correspondiente  del numero  binario  es un  0  y sin apostrofo   si es un 1. en la tabla  también  se muestra  un símbolo  para  cada  minitermino, el cual  tiene  la forma  m , donde j denota  el equivalente decimal  del numero  binario  del minitermino designado.

 

 

 Asimismo , n  variable  que forman un termino  OR  donde  cada  variable  puede  tener  apostrofo o no  dan  pie a 2 n  posibles combinaciones, llamadas  maxiterminos  o sumas  estándar. En  la tabla 2-3  se presentan  los  ocho maxiterminos  de tres variables , junto con su designación  simbólica . podemos   obtener  de manera  similar  cualesquier 2n  maxiterminos para n variables.

Se puede  expresar  algebraicamente  una  función  boolean   a partir  de una tabla  de verdad  dada  formando un minitermino  para  cada combinaciones de las  variables  que  producen  un 1 en  la funció  y formando  después  el OR  de todos  estos términos.

 

 

 Dijimos antes que para n  variables   binarias , podemos   obtener 2n  miniterminos  distintos  y que  es posible  expresar cualquier  función booleana  como  una suma  de miniterminos. Los  miniterminos  cuya  suma define  a la función  booleana  son los que producen  los  unos de la  función en  una tabla  de verdad.  Puesto que la función puede dar  1 o 0con cada    minitermino.

 

 

 

Expresa la función booleana   F = A-B´C  como  suma  de miniterminos. La  fusión  tiene  tres variables  A,B,C. En  el primer termino, A, faltan  dos variables  por tanto  A esta  todavía  la falta  una variable.

 

                                   A= AB(C+C) + AB (C+C)

                                      = ABC+ABC+ABC+ABC

al Segundo termino, B´C le  falta  una variable :

 

                                    B´C=B´C(A+A)=AB´C+A´B´C

 

Al combinar  todos los términos  tenemos.

                                 F=A+BC

                                    = ABC + ABC +  ABC + ABC + A´B´C  .

 

 

 

 

Sin embargo  A´B´C  aparece  dos veces y, según  el teorema 1 (x+x=x), podemos  eliminar  uno  de ellos . después  de reacomodar  los miniterminos  en orden ascendente . obtenemos  por fin.

 

                    F = A´B´C + AB´C´ + AB´C +  ABC´+ ABC

                     =m1 + m4  +  m6  +   m7

 

 hay  ocasiones  en que  conviene  expresar  la función  booleana, en su forma  de suma  de miniterminos. Con  la siguiente  notación abreviada.

 

             F(A,B,C) =                (1,4,5,6,7)

 

 

 

 

el simbolo de                        representa OR    de los termino numéricos.

 

La  tabla  de verdad  que se  muestra  en la tabla   se deduce  directamente  de la expresión    algebraica  enumerado  las ocho combinaciones  binarias  bajo  las  variables  A,B,C.

 

 

A            B              C               F

 

0             0               0                0

0             0               1                1

0             1               0                0

0             1               1                0

1             0               0                1

1             0               1                1

1             1               0                1

1             1               1                1

   

 

 

PRODUCTOS  DE MAXITERMINOS

 

Cada  una de las  2n  funciones   de n variables  binarias  se puede  expresar también  como  un producto  de maxiterminos  para  expresar la fusión  booleana  como productos  de maxiterminos, primero debe  ponerse  en formato de términos OR  esto  podría  hacerse  con la ayuda  de la ley  distributiva , x + yz = (x+y)(x+z). Luego  se hace  el OR  de cualquier  variable  faltante  x en cada  termino OR  con xx.

 

 

 

 

Un argumento  similar  demuestra  que la conversión  entre  el producto  de maxiterminos  y la  suma  de miniterminos  es similar. Ahora plantearemos  un procedimiento general de conversión. Para  convertir  de una forma cononica  a  otra  intercambiamos  los símbolos     y  П e incluimos  en la lista  solo  números que faltaban  en la forma original.

 

 

 Es posible convertir un función booleana  de una expresión  algebraica  a una producto  de  maxiterminos  utilizando  una tabla  de verdad  y el procedimiento de conversión  cononica.

   

F= xy + xz

 

 Primero obtenemos   la tabla de verdad  de la función, la cual  se muestra  en la tabla . los unos bajo  F en la tabla  se determina  a partir  de las  combinaciones  de las variables  en las   que  xy= 11 o zx = 01. de la tabla  de verdad  deducimos  que los  miniterminos  de la función son  1,3  o y 7. la  función  expresada   como suma  de miniterminos  es :

 

                                        F(x,y,z) =     (1,3,6,7)

 

Puesto que  en total  hay  ocho  miniterminos  o maxiterminos  en una  función de tres  variables   deducimos que los términos faltante  son 0,2,4 y5. la función expresada  como  productos  de maxiterminos es:

 

 

 

F(x,y,z) = П(0,,2,4,5) 

 

Esta  es la misma respuesta  que  obtuvimos  en el ejemplo anterior:

 

 

 x           y        z        F

0            0        0        0

0            0        1        1

0            1        0        0

0            1        1        1

1            0        0        0                 

1            0        1        0

1            1        0        1

1            1        1        1