celebrando un clásico

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Marko Riedel

unread,
Sep 12, 2006, 7:59:49 AM9/12/06
to mri...@neuearbeit.de

Hallar

int_0^oo x^(s-1)/(1+x) dx

donde

0 < Re(s) < 1,

dando cotas para las integrales auxiliares que aparezcan.

Un saludo.

--
+------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, mri...@neuearbeit.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+------------------------------------------------------------+

Antonio González

unread,
Sep 12, 2006, 12:31:28 PM9/12/06
to
Marko Riedel escribió:

> Hallar
>
> int_0^oo x^(s-1)/(1+x) dx
>
> donde
>
> 0 < Re(s) < 1,
>

Haciendo x = e^t queda

I = int_(-oo)^(oo) e^(t(s-1)) e^t dt/(1+ e^t) =

= int_(-oo)^oo e^(ts)/(1+e^t) dt

y esta función es pariente de la distribución de Fermi-Dirac.

Separamos en los intervalos (-oo,0) y (0,oo)

Para la primera

I1 = int_(-oo)^(0) e^(ts)/(1+e^t) dt

Desarrollando el denominador

I1 = sum_(n=0)^(oo) int_(-oo)^0 (-1)^n e^(t(n+s))dt =

= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n/(n+s)

Para la segunda integral

I2 = int_(0)^(oo) e^(ts)/(1+e^t) dt =

= int_0^oo e^(-t(1-s))/(1+e^(-t)) dt =

= sum_0^oo int_0^oo (-1)^n e^(-(n+1-s)) dt =

= sum_0^oo (-1)^n/(n+1-s)

Por tanto

I = sum_(n=0)^oo (-1)^n(1/(n+s) + 1/(n+1-s) =

= sum_(n=0)^oo (-1)^n (2n+1)/(n+s)(n+1-s)

Ahora bien, sumando esta serie resulta

I = pi/(sen(pi s))


--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Sep 12, 2006, 12:42:52 PM9/12/06
to
En el mensaje:4mo5muF...@individual.net,
Antonio González <gonf...@gmail.com> escribió:

O sea, Gamma(s)*Gamma(1 - s). Con 'p' en lugar de 's' suena menos
escatológico: pi/sen(p pi).


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com


Marko Riedel

unread,
Sep 12, 2006, 1:38:59 PM9/12/06
to mri...@neuearbeit.de
Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:

> Marko Riedel escribió:
> > Hallar
> > int_0^oo x^(s-1)/(1+x) dx
>
> > donde
>
> > 0 < Re(s) < 1,
>
> >
>
>
> Haciendo x = e^t queda
>
> I = int_(-oo)^(oo) e^(t(s-1)) e^t dt/(1+ e^t) =
>
> = int_(-oo)^oo e^(ts)/(1+e^t) dt
>
> y esta función es pariente de la distribución de Fermi-Dirac.

Hay algunas condiciones sobre el valor de s para que tenga sentido la
integral I?

>
> Separamos en los intervalos (-oo,0) y (0,oo)
>
> Para la primera
>
> I1 = int_(-oo)^(0) e^(ts)/(1+e^t) dt
>
> Desarrollando el denominador
>

Creo que el desarollo en serie y el intercambio de la suma y de la
integral hay que justificarlo, pero bueno ...

[...]

> Por tanto
>
> I = sum_(n=0)^oo (-1)^n(1/(n+s) + 1/(n+1-s) =
>
> = sum_(n=0)^oo (-1)^n (2n+1)/(n+s)(n+1-s)
>
> Ahora bien, sumando esta serie resulta
>
> I = pi/(sen(pi s))
>

Esto es una representacion alternativa del problema, pero hay que
proporcionar los detalles del cálculo de la suma. Sino solamente hemos
cambiado el problema por otro de igual dificultad.

Enfin, que es mucho mas facil con el teorema de los residuos de Cauchy
...

Antonio González

unread,
Sep 12, 2006, 3:35:01 PM9/12/06
to
Marko Riedel escribió:

>
> Enfin, que es mucho mas facil con el teorema de los residuos de Cauchy

Veamos. Manteniendo el cambio de variable queda

I = int_(-oo)^oo e^(st)/(1 + e^t) dt

Consideremos el siguiente contorno rectangular:

1) El eje real desde z = -M a z = +M (luego haremos M ->oo)

2) el segmento desde z = M a z = M + 2pi i

3) La recta paralela al eje desde z = M + 2pi i a z = -M + 2pi i

4) El segmento desde z = -M + 2pi i a z = -M

Veamos primero que (2) y (4) se anulan cuando M->oo

si z = M + u i

queda

I_2 = i int_0^(2pi) e^(sM) e^(s u i)/(1+e^M e^(ui)) du

pero el integrando tiende cuando M grande a

e^(-(1-s)M) e^((s-1)u i)

que se anula exponencialmente. La integral es igual a este factor
exp(-(1-s)M) por una cantidad acotada, por tanto se hace
exponencialmente pequeña.

Del mismo modo, para (4) el integrando va como exp(-sM) que también se
hace exponencialmente pequeño. Por tanto (2) y (4) se anulan para M->oo

La integral en el tramo (1) es la que queremos calcular.

I_1 = I

mientras que la integral en el tramo (3) tiende a

I_3 = int_{oo)^(-oo) e^(s (t+2pi i))/(1+ e^t) dt =

= -e^(2pi i s) I

Este contorno incluye un solo polo, el de z= pi i, en el cual el residuo es

Res(f) = lim_(z->pi i) (z-pi i)exp(sz)/(1+e^z) = -e^(s pi i)

Por tanto

I_1 + I_3 = (1 - e^(2pi i s))I = -2pi ie^(s pi i)

Despejando

I = -2pi i e^(s pi i)/(1-e^(2pi i s)) = pi/sen(pi s)

¿Vale ahora? :-)

--
Antonio

Marko Riedel

unread,
Sep 12, 2006, 5:45:57 PM9/12/06
to
Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:

> Marko Riedel escribió:
> > Enfin, que es mucho mas facil con el teorema de los residuos de
> > Cauchy
>
>
> Veamos. Manteniendo el cambio de variable queda
>
> I = int_(-oo)^oo e^(st)/(1 + e^t) dt

Muy bonito! Creo que sin el cambio de variable sería aun mas fácil. A
ver si alguien descubre el contorno adecuado, que ademas se deduce
facilmente del contorno que propusiste tu.

Sin embargo, hay que analizar las integrales I_2 y I_4 con mucha
precision, porque proporcionan datos sobre el dominio de s.

>
> Consideremos el siguiente contorno rectangular:
>
> 1) El eje real desde z = -M a z = +M (luego haremos M ->oo)
>
> 2) el segmento desde z = M a z = M + 2pi i
>
> 3) La recta paralela al eje desde z = M + 2pi i a z = -M + 2pi i
>
> 4) El segmento desde z = -M + 2pi i a z = -M
>

[...]


> si z = M + u i
>
> queda
>
> I_2 = i int_0^(2pi) e^(sM) e^(s u i)/(1+e^M e^(ui)) du
>

Tenemos

|I_2| <= e^{Re(s) M} int_0^{2pi} |e^{s u i}|/(e^M-1)| du

= e^{Re(s) M}/(e^M-1) int_0^{2pi} |e^{s u i}| du

= e^{Re(s) M}/(e^M-1) CONST(s).

Vemos que I_2 se anula para M->oo precisamente cuando Re(s)<1. Luego
I_4 no va "del mismo modo." ;-)

Tenemos

|I_4| <= e^{- Re(s) M} int_0^{2pi} |e^{s u i}|/(1-e^{-M})| du

= e^{- Re(s) M}/(1-e^{-M}) int_0^{2pi} |e^{s u i}| du

= e^{- Re(s) M}/(1-e^{-M}) CONST(s).

Vemos que I_4 se anula para M->oo cuando Re(s)>0, con lo cual el
calculo es valido para 0 < Re(s) < 1, que ya vimos en el enunciado.

[...]


>
> Despejando
>
> I = -2pi i e^(s pi i)/(1-e^(2pi i s)) = pi/sen(pi s)
>
> ¿Vale ahora? :-)
>

Si vale. ;-) Seguiré leyendo para ver si alguien nos presenta la
solucion sin tu cambio de variable.

Marko Riedel

unread,
Sep 12, 2006, 5:57:03 PM9/12/06
to
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:

> Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
>
[...]


>
> Tenemos
>
> |I_2| <= e^{Re(s) M} int_0^{2pi} |e^{s u i}|/(e^M-1)| du

Aquí falta un "|": |(e^M-1)|.

[...]

> |I_4| <= e^{- Re(s) M} int_0^{2pi} |e^{s u i}|/(1-e^{-M})| du
>

Y aquí tambien: |(1-e^{-M})|.

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