Ley del Paralelogramo

[conchi]

Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.

En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
norma tal que:

|| f || = raiz( < f , f > )

La ley del paralelogramo dice que:

|| f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2

La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
escalar cumple la siguiente condición:

< f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.

¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.

Si es así, ¿de dónde sale?.

Gracias y besos.

[Antonio González]

conchi escribi�:

> Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.
>
> En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
> norma tal que:
>
> || f || = raiz( < f , f > )
>
> La ley del paralelogramo dice que:
>
> || f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2
>

> La demostraci�n me resulta sencilla si aceptamos que el producto
> escalar cumple la siguiente condici�n:

>
> < f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.
>

> �Es esto correcto?. El producto escalar, �cumple esta condici�n?.
>
> Si es as�, �de d�nde sale?.

De la propia definici�n. Un producto escalar en un espacio real se
define como una forma bilineal sim�trica definida positiva.

Por ser bilineal

<f+g|f+g> = <f|f+g> + <g|f+g> = <f|f> + <f|g> + <g|f> + <g|g>

y por ser sim�trico

<f|g> = <g|f>

as� que

<f+g|f+g> = <f|f> + 2<f|g> + <g|g>

Ahora, si prefieres una explicaci�n m�s particular, depende de que
producto tengas. Si es el habitual en L^2

<f|g> = int_D f g dx

entonces la demostraci�n es inmediata usando las reglas del producto de
n�meros reales.

--

Antonio

[jhn]

On 10 ago, 09:13, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> conchi escribió:

>
>
>
> > Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.
>
> > En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
> > norma tal que:
>
> > || f || = raiz( < f , f > )
>
> > La ley del paralelogramo dice que:
>
> > || f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2
>

> > La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
> > escalar cumple la siguiente condición:

>
> > < f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.
>

> > ¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.
>
> > Si es así, ¿de dónde sale?.
>

> De la propia definición. Un producto escalar en un espacio real se
> define como una forma bilineal simétrica definida positiva.

>
> Por ser bilineal
>
> <f+g|f+g> = <f|f+g> + <g|f+g> = <f|f> + <f|g> + <g|f> + <g|g>
>

> y por ser simétrico

>
>   <f|g> = <g|f>
>

> así que

>
>   <f+g|f+g> = <f|f> + 2<f|g> + <g|g>
>

> Ahora, si prefieres una explicación más particular, depende de que

> producto tengas. Si es el habitual en L^2
>
> <f|g> = int_D f g dx
>

> entonces la demostración es inmediata usando las reglas del producto de
> números reales.
>
> --
>
>    Antonio

Dos acotaciones:

1) La igualdad del paralelogramo vale en cualquier espacio con
producto interno, real o complejo, aunque no sea de Hilbert (es decir
aunque no sea completo).

Si el espacio no es real sino complejo, entonces <f,g> no es igual a
<g,f> sino a su conjugado, y no se cumple <f+g, f+g> = <f,f> + 2<f,g>
+ <g,g> sino
<f+g, f+g> = <f,f> + <f,g> + <g,f> + <g,g> = <f,f> + 2Re(<f,g>) +
<g,g>,
pero la igualdad vale igual, ya que

||f + g||^2 + ||f - g||^2 = <f+g, f+g> + <f-g, f-g>
= <f,f> + <f,g> + <g,f> + <g,g> + <f,f> - <f,g> - <g,f> + <g,g>

= 2||f||^2 + 2||g||^2

2) La igualdad del paralelogramo "caracteriza" a los espacios con
producto interno, en el sentido siguiente: dado un espacio normado
(real o complejo), la norma proviene de un producto interno si y sólo
si se cumple la igualdad del paralelogramo (para vectores
cualesquiera).

Saludos,

jhn

[Einstein]

Si estas en un espacio vectorial complejo el producto escalar no es
conmutativo
se tiene que <f,g> = conjugado de <g,f> y la formula < f+g, f+g > = <
f, f > + 2< f, g > + < g, g No es correcta.Y la demostracion de la
identidad del paralelogramo cambia un poco

[Einstein]

> identidad del paralelogramo cambia un poco- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Ademas solo es lineal en la primera componente

Es decir <ax,y>= a<x,y> Esto es por definicion

Si la a esta en el segundo miembro no se puede sacar como antes del
<,>

Sale pero con su congugado es decir <x,ay>= cong(a)<x,y>

Esto ultimo es facil probar pues <x,ay> =cong(<ay,x>)= cong(a<y,x>)=
cong(a). cong(<y,x>)=cong(a)<x,y>

Q.E.D

[Einstein]

> Q.E.D- Ocultar texto de la cita -

>
> - Mostrar texto de la cita -

la suma en la segunda componente si se descompone en dos sumas, es
decir

<x,y+z>=<x,y> +<x,z>

usando <f,g>=cong(<g,f>) la demostacion es trivial

Si ahora tenemos
<x,y-z> la diferencia en la segunda componente tambien se descompone
en dos es decir
<x,y-z>=<x,y>-<x,z>

para probar esto hay que usar <x,ay>=cong(a)<x,y>
y vamos a tener suerte de que el cong(-1)=-1

ESTE ULTIMO DETALLE <x, y-z>=<x,y>-<x,z> SE HA USADO EN LA PRUEBA
GENERAL DE LA LEY DEL PARALELOGRAMO, PERO SIN PROBARSE