Numeros y cuadrática
León-Sotelo
pq08. Se sabe que la
suma de los dos primeros es igual al tercero. Halla m+n+p+q.
2.-Sean a y b números enteros tales que la ecuación en x
(ax-b)^2+(bx-a)^2=x
tiene solo una raíz entera. Encontrar los valores de a , b y las
correspondientes raíces de la ecuación. Dar todas las respuestas.
Saludos.
León-Sotelo.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> 1.-Se tienen los siguientes n�meros de cuatro cifras: 35mn, n53p y
> pq08. Se sabe que la
> suma de los dos primeros es igual al tercero. Halla m+n+p+q.
3500 + 10m + n + 1000n + 530 + p = 1000p + 100q + 8
Viendolo mod 10, n + p = 8, lo que deaja las opciones n + p = 8 y n = p = 9,
pero esta �ltima posibilidad debe descartarse, pues p = 3 + n + 1. Entonces,
n + 4 + n = 8, n = 2, p = 6.
Y mod 100, 10m + n + 30 + p = 8 ===>
10m + 30 = 0 (mod 100) ===> m = 7
Entonces, q = 1, y la suma pedida es 16
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Ignacio Larrosa Ca�estro
>
> 2.-Sean a y b n�meros enteros tales que la ecuaci�n en x
> (ax-b)^2+(bx-a)^2=x
> tiene solo una ra�z entera. Encontrar los valores de a , b y las
> correspondientes ra�ces de la ecuaci�n. Dar todas las respuestas.
>
(ax - b)^2 + (bx - a)^2 = x
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0
La �nica ra�z entera debe ser entonces un divisor de a^2 + b^2, supuestos
a^2 + b^2 =/= 0. Una posibilidad es pues a = b = x = 0.
En otro caso, sea a^2 + b^2 = k*d, donde d es la ra�z entera, k entero.
Dividiendo por (a^2 + b^2),
x^2 - ((4ab + 1)/(a^2 + b^2))x + 1 = 0
Vemos que la otra ra�z es 1/d, por lo que debe ser |d| > 1. Substituyendo x
= d, o por 1/d, o expandiendo (x - d)(x - 1/d), obtenemos,
(4ab + 1)/(a^2 + b^2) = d + 1/d > 2
Esto implica que
4ab + 1 > 2a^2 + 2b^2
1 > 2(a - b)^2 ===> a = b
Entonces,
x^2 - ((4a^2 + 1)/(2a^2))x + 1 = 0
(4a^2 + 1)/(2a^2) = d + 1/d
2 + 1/(2a^2) = d + 1/d
a = rq(d/2)/(d - 1) < 1 si d > 2
Por tanto, debe ser d = 2, a = b = 1, o bien a = b = -1, y no hay otras
soluciones.
Javier Esquinas
> 2.-Sean a y b números enteros tales que la ecuación en x
> (ax-b)^2+(bx-a)^2=x
> tiene solo una raíz entera. Encontrar los valores de a , b y las
> correspondientes raíces de la ecuación. Dar todas las respuestas.
>
> Saludos.
> León-Sotelo.
Desarrollando podemos expresar x como
x = (a^2 + b^2)(x^2 + 1)/(1 + 4ab)
o bien:
(1 + 4ab)/(a^2 + b^2) = (x^2 + 1)/x = x + 1/x >= 2 por ser x positivo
y por tanto:
2(a^2 + b^2) <= 1 + 4ab
2(a^2 + b^2 - 2ab)<= 1
2(a - b)^2 <= 1
Puesto que a y b son enteros se tiene entonces que a = b.
Se tendrá entonces que:
x = 2a^2(x- 1)^2 por la ecuación de partida.
Pero (x - 1)^2 > x salvo para x = 1 y x = 2
con lo que la única solución puede ser x = 2 lo que lleva a que a = b
= +-1.
Saludos.