La arcotangente compleja
Luis
Se trata de encontrar una expresión para las partes real e imaginaria
de la función arctan(z), como función "multivaluada" y también como
función "univaluada".
1) Se deduce que si z = x + i y , x, y reales es
arctan(z) = (1/2i)ln( (1+iz)/(1-iz) ) , z =/= i, - i
y (1+iz)/(1-iz) = (1-(x^2+y^2) + 2x i )/(x^2 + (y+1)^2 ),
obteniéndose la expresión de arctan(z) en la forma a+bi
2) Si x^2 + y^2 =/= 1
Re( arctan(z) ) = (1/2) arctan(2x/(1-(x^2+y^2)) + kPi , k entero
Im( arctan(z) ) = -(1/4) ln ( (x^2 + (y-1)^2 )/(x^2 + (y+1)^2 ) )
son las partes real e imaginaria de arctan(z) "multivaluada".
3) Si x^2 + y^2 = 1
Re( arctan(z) ) = Pi/4 + kPi si x >0 ó -Pi/4 + kPi si x < 0,
k entero
Im( arctan(z) ) = (-1/2) ln ( 2| x | / (x^2+(y+1)^2) )
son las partes real e imaginaria de arctan(z) "multivaluada".
( El caso x = 0 no es posible )
4) Si x^2 + y^2 > 1
Re( arctan(z) ) = (1/2) arctan(2x/(1-(x^2+y^2)) - Pi/2 si x <=0
Re(arctan(z) ) = (1/2) arctan(2x/(1-(x^2+y^2)) + Pi/2 si x >=0
Im( arctan(z) ) = -(1/4) ln ( (x^2 + (y-1)^2 )/(x^2 + (y+1)^2 ) )
son las partes real e imaginaria de arctan(z) "univaluada".
5) Si x^2 + y^2 < 1
Re( arctan(z) ) = (1/2) arctan(2x/(1-(x^2+y^2))
Im( arctan(z) ) = -(1/4) ln ( (x^2 + (y-1)^2 )/(x^2 + (y+1)^2 ) )
son las partes real e imaginaria de arctan(z) "univaluada".
6) Si x^2 + y^2 = 1
( i ) Si x < 0 , y <=0
Re( arctan(z) ) = -Pi/4
Im( arctan(z) ) = (-1/2)ln(-2x/(x^2 +(y+1)^2) )
( ii ) Si x < 0 , y >=0
Re( arctan(z) ) = -Pi/4
Im( arctan(z) ) = (1/2)ln(-2x/(x^2 +(y+1)^2) )
( iii ) Si x > 0 , y <=0
Re( arctan(z) ) = Pi/4
Im( arctan(z) ) = (-1/2)ln(2x/(x^2 +(y+1)^2) )
( iv ) Si x >0 , y >=0
Re( arctan(z) ) = Pi/4
Im( arctan(z) ) = (1/2)ln(2x/(x^2 +(y+1)^2) )
( El caso x = 0 no es posible )
son las partes real e imaginaria de arctan(z) "univaluada".
He estado repasando la teoría sobre las ramas de las funciones
"multivaluadas" y los puntos de ramificación, algo que había estudiado
pero que tenía olvidado.
Por ejemplo, para el caso de la función z^(1/2) es fácil observar
que si das una vuelta completa ( en sentido antihorario o positivo )
alrededor del origen el argumento cambia de "theta" a "theta"+2Pi,
obteniéndose un valor diferente al de partida.
Y si damos una segunda vuelta, el argumento cambia de "theta" a
"theta" + 4Pi, y el valor que se obtiene es el de partida.
Así las cosas, la función z^(1/2) se dice que es "multivaluada" y
que tiene dos ramas :
una si 0 <= theta <= 2Pi y otra si 2Pi <= theta <= 4Pi.
En cada rama, la función z^(1/2) es "univaluada".
Con el fin de mantener la función "univaluada" se hace el artificio
de escoger un punto I en el infinito y establecer una "barrera" con origen
en el "punto de giro" O que une O con I.
Al punto O se le llama "punto de ramificación" y OI es una "rama" que
se acuerda no traspasar.
En nuestro ejemplo, si damos vueltas alrededor de cualquier otro
punto que no sea el origen, siempre obtenemos el mismo valor
Por tanto, el origen ( z = 0 ) es el único "punto de ramificación"
y una "rama" de z^(1/2) podría ser el semieje real positivo.
Este ejemplo es muy ilustrativo, pero las cosas no me parecen tan
sencillas en el caso de la arcotangente.
Si soy sincero, las expresiones para hacer que la función fuese
"univaluada" ( en las que he sumado o restado Pi/2 en un caso y, en
el otro, he visto que bastaba con hacer k = 0 ) las he obtenido
por tanteo.
¿ Cómo puedo deducir para la arctan(z) los puntos de ramificación
y la "barrera" o "barreras" que hay que elegir ?
No me parece sencillo observa cómo es la variación del argumento
en este caso.
Serán bien recibidas vuestras opiniones.
Un saludo,