Problema de Monty Hall. Sí, otra vez.
Dani
las cabras y el coche detras de las tres puertas. Me pareció bastante
curioso y se lo comenté a mi profesor de matemáticas, y casualmente él
lo había visto hacía un par de días solamente. Le había echado un
vistazo rápido mientras miraba un libro, y en este libro un niño decía
que la probabilidad de ganar el coche cambiando de puerta era de 2/3 y
sin embargo, mostraban algunas cartas de profesores de matemáticas que
no estaban de acuerdo.
Pues bueno, mi profesor dice que está de acuerdo con los profesores de
matemáticas, que dicen que la probabilidad de es 1/2. Pero yo le he
dicho que creo que es de 2/3. Él me ha enseñado la solución formal que
encuentra al problema, pero yo nunca he dado probabilidad y no sé ni
interpretarla como para decir qué fallo hay ni crear la mia propia.
Hoy mismo comentandole por qué creo que la probabilidad es de 2/3 ha
empezado a dudar y dice que lo pensará, pero que busque una
demostración o una resolución formal en internet. Y eso he hecho, pero
no encuentro ninguna. Sólo explicaciónes con palabras en lugar de una
matemática que nos gustaría ver.
Ya he mirado los temas pasados que hay en el foro sobre este problema
pero no encuentro lo que busco. Mi pregunta es si podríais darme una
solución matemática a este problema, por favor. Para los que no sepan
de este problema o no lo recuerden aquí lo tienen:
Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:
Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres
puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos
hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de
la puerta que escoja.
Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre
una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede
hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda
otra entre las puertas que ha descartado.
Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección
inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que
continúa cerrada.
La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?
Antonio González
>
> Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:
>
> Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres
> puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos
> hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de
> la puerta que escoja.
> Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre
> una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede
> hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda
> otra entre las puertas que ha descartado.
> Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección
> inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que
> continúa cerrada.
> La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?
>
Debe hacerlo. La probabilidad de que acierte cambiando es 2/3.
Supongamos que el premio está en la puerta A
1) Si el concursante elige la A, el presentador abre la B o la C. El cambio lleva a perder.
2) Si el concursante elige la B, el presentador abre la C y el concursante pasa a la A, ganando.
3) Si el concursante elige la C, el presentador abre la B y el concursante pasa a la A, ganando.
Luego, con la estrategia del cambio, el concursante gana en dos de los tres casos posibles.
Un dibujo aquí:
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
Otra forma de verlo es pasando al límite. Imagina que hay 100 puertas, con 99 cabras y un premio, y
que tras elegir, el presentador abre 98 puertas. Sería absurdo pensar que la probabilidad es 1/2, ya
que la probabilidad de elegir inicialmente una cabra es altísima.
--
Antonio
Juan.Mig...@gmail.com
> Ya he mirado los temas pasados que hay en el foro sobre este problema
> pero no encuentro lo que busco. Mi pregunta es si podríais darme una
> solución matemática a este problema, por favor.
Igual buscas algo del estilo siguiente, que escribí hace tiempo en la
lista snark:
Para simplificar, supongamos que inicialmente el concursante elige la
puerta uno y sean:
e1, e2 y e3: los sucesos el premio está en la puerta uno, dos y
tres, respectivamente.
a2 y a3: los sucesos el presentador abre la puerta dos y tres,
respectivamente.
Entonces, por las reglas del juego tenemos:
p(a2|e1)=1/2, ya que si está en la uno, abrirá la dos o la tres con
igual probabilidad.
p(a2|e2)=0, nunca abre la puerta dos si el premio está detrás.
p(a2|e3)=1, si está en la tres, seguro que abre la dos.
De aquí, la probabilidad de que abra la puerta dos es:
p(a2)= p(a2|e1)p(e1)+p(a2|e2)p(e2)+p(a2|e3)p(e3)=
1/2*1/3+0*1/3+1*1/3= 1/2
Análogamente:
p(a3|e1)=1/2, p(a3|e2)=1, p(a3|e3)= 0 y p(a3)=1/2.
Ahora, la probabilidad de ganar si me mantengo y abre la puerta dos
es:
p(e1|a2)= p(a2|e1)*p(e1)/p(a2)= (1/2*1/3)/1/2= 1/3.
Si cambio es:
p(e3|a2)= p(a2|e3)*p(e3)/p(a2)= (1*1/3)/1/2= 2/3.
En caso de que abra la tres, la conclusión es idéntica: hay que
cambiar.
Saludos,
Juan Miguel
Eduardo
Si nunca cambia, gana cuando ha elegido una puerta con premio ==>
probabilidad 1/3
Si cambia siempre, gana cuando NO ha elegido una puerta con premio ==>
probabilidad 2/3
Eduardo.
Jellby
> Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre
> una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede
> hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda
> otra entre las puertas que ha descartado.
Esta es la clave. El presentador *debe* abrir una puerta que *debe* esconder
una cabra. Si el presentador sabe dónde están las cabras y si el
concursante sabe que el presentador lo sabe (es decir, si esas son las
reglas del juego), entonces al concursante le conviene cambiar:
1. Con probabilidad 2/3 el concursante escoge una cabra al principio, el
presentador desvela la otra cabra y, si cambia, gana el coche.
2. Con probabilidad 1/3 el concursante escoge el coche, el presentador
muestra una de las cabras y, si cambia, se queda la otra cabra.
La cosa cambia si el presentador simplemente muestra una puerta al azar:
1. Con probabilidad 2/3 el concursante escoge una cabra, pero de estas
veces, la mitad (o sea 1/3) el presentador desvela el coche y el
concursante se queda sin opciones. La otra mitad (el otro 1/3), el
concursante gana el coche si cambia.
2. Con probabilidad 1/3 el concursante escoge un coche y de nuevo lo pierde
si cambia.
Las reglas podrían ser distintas, podrían ser que el presentador muestra una
cabra sólo si el concursante ha elegido inicialmente el coche... y si no,
entonces el presentador muestra el coche y el concursante pierde. Con estas
reglas, el concursante nunca debe cambiar.
--
Ignacio __ Fernández Galván
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