Resolviendo diferencias (III)
Antonio González
entera y D es el operador de diferencia finita
Dy = y(n+1) - y(n)
Se trata ahora de resolver algunas ecuaciones no homogéneas
1) Dy = y + 3^n
y(1) = 1
2) Dy = y + n
y(1) = 1
3) Dy = y + 2^n
y(1) = 1
4) n Dy = y + 1
y(1) = 1
5) n Dy = y + n
y(1) = 1
6) D^2y -3Dy + 2y = n
y(1) = 0
Dy(1) = 0
--
Antonio
pepav...@gmail.com
Estan son mas conocidas pero las de la entrega anterior (4,5,6) no
las conocia se nada.
Asi la numero 1 de aqui:
1) Dy = y + 3^n
y(1) = 1
y(n+1)-2y(n)=1
La solucion de la homogenea es r=2 y_h=a(2)^n
y como 3^n no es solucion de esa homogenea nos vale buscar una
solucion particular del tipo y_p=b(3)^n, sustituyendo la y_p en la
ecuacion de diferencias e imponiendo la condición y(1)=1
llegamos a y_h+y_p=-2^n+3^n
Saludos
León-Sotelo
Marko Riedel
> Como en los otros mensajes, y = y(n) es una función real de variable
> entera y D es el operador de diferencia finita
>
>
> Dy = y(n+1) - y(n)
>
> Se trata ahora de resolver algunas ecuaciones no homogéneas
>
[...]
> 6) D^2y -3Dy + 2y = n
>
> y(1) = 0
>
> Dy(1) = 0
Vemos que y(2) = 0. El proximo paso es hallar y(0):
(0 - 2 * 0 + y0) - 3 * (0-y0) + 2 * y0 = 0
=> y0 = 0.
Entonces
(Y(x)/x^2 - 2 Y(x)/x + Y(x)) - 3 (Y(x)/x - Y(x)) + 2 Y(x)
= x/(1-x)^2
con lo cual
Y(x) = x^3/(1 - 7x + 17x^2 - 17x^3 + 6x^4)
= 1/4 1/(1-x) - 1/(1-2x) + 1/2 1/(1-x)^2 + 1/4 1/(1-3x).
o sea
y(n) = 1/4 (1 + 3^n) - 2^n + 1/2 (n+1).
Un saludo.
--
+------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, mri...@neuearbeit.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+------------------------------------------------------------+
Marko Riedel
> Como en los otros mensajes, y = y(n) es una función real de variable
> entera y D es el operador de diferencia finita
>
>
> Dy = y(n+1) - y(n)
>
> Se trata ahora de resolver algunas ecuaciones no homogéneas
>
[...]
> 5) n Dy = y + n
>
> y(1) = 1
>
Primero, y(0):
0 (1 - y0) = y0 + 0 => y0 = 0.
Luego
x d/dx (Y(x)/x - Y(x)) = Y(x) + x/(1-x)^2
con lo cual
Y(x) = x/(1-x)^2 + x/(1-x)^2 log 1/(1-x).
De ahi,
y(n) = n + sum_{k=1}^{n-1} k/(n-k).
Luego
sum_{k=1}^{n-1} k/(n-k) = - sum_{k=1}^{n-1} (-k)/(n-k)
= - sum_{k=1}^{n-1} (1 - n/(n-k))
= - (n-1) + n sum_{k=1}^{n-1} 1/(n-k)
= - (n-1) + n H_{n-1}
y finalmente
y(n) = 1 + n H_{n-1}.
Vemos que funciona, porque
n Dy = n ( (n+1) H_n - n H_{n-1} )
= n ( (n+1)/n + (n+1) H_{n-1} - n H_{n-1} )
= n ( 1 + 1/n + H_{n-1} )
= n + (1 + n H_{n-1}) = y + n.
Marko Riedel
> Como en los otros mensajes, y = y(n) es una función real de variable
> entera y D es el operador de diferencia finita
>
>
> Dy = y(n+1) - y(n)
>
> Se trata ahora de resolver algunas ecuaciones no homogéneas
>
[...]
> 4) n Dy = y + 1
>
> y(1) = 1
[...]
Primero, y(0):
0 (1 - y0) = y0 + 1 => y0 = -1.
Luego
x d/dx ((Y(x)+1)/x - Y(x)) = Y(x) + 1/(1-x).
y de ahi
Y(x) = (A - 1/x) x/(1-x)^2.
Pero y(1) = 1 => A = 3 y
Y(x) = (3 - 1/x) x/(1-x)^2
con lo cual
y(n) = 3n - (n+1) = 2n-1.
A ver si funciona:
n (2n+1 -2n-1) = 2n = (2n-1) + 1.
Antonio González
> Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
>
>> Como en los otros mensajes, y = y(n) es una función real de variable
>> entera y D es el operador de diferencia finita
>>
>>
>> Dy = y(n+1) - y(n)
>>
>> Se trata ahora de resolver algunas ecuaciones no homogéneas
>>
> [...]
>> 5) n Dy = y + n
>>
>> y(1) = 1
>>
>
>
>
> y(n) = 1 + n H_{n-1}.
>
Sin usar funciones generatrices, sino la técnicas de variación de las
constantes, como con ecuaciones diferenciales, sería:
Una solución de la homogénea es
n Dy_h = y_h
y_h = n
Así que buscamos una solución de la forma
y(n) = n A(n)
En vez de convertirlo en una relación de recurrencia voy a usar el
incremento de un producto:
D(AB) = (DA)B + A(DB) + (DA)(DB)
lo que nos da
D(nA) = A + n DA + DA = A + (n+1)DA
y por tanto
n(A + (n+1)DA = nA + n
(n+1)DA = 1
DA = 1/(n+1)
"Integrando"
A = H(n) + C
y aplicando la c.i.
y = n H(n)
que es lo mismo que tú pones ya que
1 + n H(n-1) = n (H(n-1) + 1/n) = n H(n)
--
Antonio
Antonio González
> Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
>
>> Como en los otros mensajes, y = y(n) es una función real de variable
>> entera y D es el operador de diferencia finita
>>
>>
>> Dy = y(n+1) - y(n)
>>
>> Se trata ahora de resolver algunas ecuaciones no homogéneas
>>
> [...]
>> 4) n Dy = y + 1
>>
>> y(1) = 1
> [...]
>
> Primero, y(0):
>
> 0 (1 - y0) = y0 + 1 => y0 = -1.
>
> Luego
>
> x d/dx ((Y(x)+1)/x - Y(x)) = Y(x) + 1/(1-x).
>
> y de ahi
>
> Y(x) = (A - 1/x) x/(1-x)^2.
>
> Pero y(1) = 1 => A = 3 y
>
> Y(x) = (3 - 1/x) x/(1-x)^2
>
> con lo cual
>
> y(n) = 3n - (n+1) = 2n-1.
>
> A ver si funciona:
>
> n (2n+1 -2n-1) = 2n = (2n-1) + 1.
>
> Un saludo.
>
Esta es más fácil buscando una solución particular más una de la
homogénea. Como el término no homogéneo es simplemente 1, probamos con
y_p = k
0 = Dy_p = k + 1 ---> k = -1
y la solución de la homogénea
n Dy_h = y_h ---> y_h = An
y por tanto
y = A n - 1
que con la c.i. da
y = 2n-1
--
Antonio
Marko Riedel
> Marko Riedel escribió:
> > Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
> >
>
> >> Como en los otros mensajes, y = y(n) es una función real de variable
> >> entera y D es el operador de diferencia finita
> >>
> >>
> >> Dy = y(n+1) - y(n)
> >>
> >> Se trata ahora de resolver algunas ecuaciones no homogéneas
> >>
> > [...]
> >> 5) n Dy = y + n
> >>
> >> y(1) = 1
> >>
> > y finalmente
>
> > y(n) = 1 + n H_{n-1}.
>
> >
>
>
> Sin usar funciones generatrices, sino la técnicas de variación de las
> constantes, como con ecuaciones diferenciales, sería:
>
>
[...]
Muy bonito y por cierto más elegante que mi solucion algo "mecánica."