Zetas
Leon-Sotelo.
Saludos.
León-Sotelo.
Antonio González
> Hallar las raices de la ecuación (z+1)^7=z^7+1.
>
> Saludos.
> León-Sotelo.
De entrada, una solución es z = -1, que anula los dos miembros.
Desarrollando queda
z^7 + 7z^6 + 21 z^5 + 35 z^4 + 35 z^3 + 21 z^2 + 7 z + 1 = z^7 + 1
Eliminado términos
7z^6 + 21 z^5 + 35 z^4 + 35 z^3 + 21 z^2 + 7 z = 0
con lo que una solución es z=0. Las otras son solución de
7z^5 + 21 z^4 + 35 z^3 + 35 z^2 + 21 z + 7 = 0
Por la simetría de la ecuación vemos que si z es solución,
1/z también lo es. Como son cinco las raíces, un número impar,
una de ellas debe ser z=1 ó z= -1. La primera no lo es.
La segunda sí. Dividiendo por z+1 mediante Ruffini tenemos
7 21 35 35 21 7
-1 -7 -14 -21 -14 -7
-------------------------------
7 14 21 14 7 0
lo que nos deja por resolver la ecuación
z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1 = 0
Dividiendo por z^2 queda
z^2 + 2z + 3 + 2/z + 1/z^2 = 0
Agrupando términos tenemos
(z^2 + 2 + 1/z^2) + 2(z+1/z) + 1 = 0
(z+1/z)^2 + 2(z+1/z) + 1 = 0
(z+1/z+1)^2 = 0
Luego se trata de hallar las soluciones de
z^2 + z + 1 = 0
que son
z = (-1 +- rq(-3))/2 = -1/2 +- i rq(3)/2
Así pues las soluciones de la ecuación original son
z = 0
z = -1 (doble)
z = -1/2 + i rq(3) (doble)
z = -1/2 -i rq(3) (doble)
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
news:c3n4fo$1h5u6p$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de:
¿Por qué doble? Es simple sin duda ninguna. Y no falta ninguna raíz, puesto
que la ecuación realmente es de grado 6, al cancelarse los términos en z^7.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Antonio González
>
> ¿Por qué doble? Es simple sin duda ninguna. Y no falta ninguna raíz,
> puesto que la ecuación realmente es de grado 6, al cancelarse los
> términos en z^7.
>
>
La verdad es que no lo tengo muy claro, pero si tengo una ecuación
f(x)=g(x) tal que x0 es una raiz tanto de f(x) como de g(x), ¿no
diríamos que x0 es una solución de la ecuación?
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
No, si fuera solo raíz de uno de los dos no sería raíz de la ecuación. Si
pasas todo a un miembro, tienes una ecuación equivalente, no se pierden ni
ganan raíces, y queda de grado 6.
(z + 1)^7 - (z^7 + 1) = 7z^6 + 21z^5 + 35z^4 + 35z^3 + 21z^2 + 7z
= 7z(z^5 + 3z^4 + 5z^3 + 5z^2 + 3z + 1) = 0
Si divides una vez por z + 1 el paréntesis, queda
7z(z + 1)(z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1) = 0
sin que aparezcan nuevos factores (z + 1).
Antonio González
en el mensaje c3n92f$29g3j6$1...@ID-137122.news.uni-berlin.de que:
> Antonio González <SPAMgonf...@esi.us.es> escribió en el mensaje
> news:c3n7b5$29u2oq$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de:
>
>> Ignacio Larrosa Cañestro creyó necesario hacer saber al mundo que:
>>>
>>> ¿Por qué doble? Es simple sin duda ninguna. Y no falta ninguna raíz,
>>> puesto que la ecuación realmente es de grado 6, al cancelarse los
>>> términos en z^7.
>>>
>>>
>>
>> La verdad es que no lo tengo muy claro, pero si tengo una ecuación
>> f(x)=g(x) tal que x0 es una raiz tanto de f(x) como de g(x), ¿no
>> diríamos que x0 es una solución de la ecuación?
>>
>> Antonio
>
> No, si fuera solo raíz de uno de los dos no sería raíz de la
> ecuación.
Por eso digo que lo sea de los dos.
Por ejemplo, la ecuación
x^3 - 1 = (x-1)^3
¿no tendría por solución x=1? Este valor produce
0 = 0
> Si pasas todo a un miembro, tienes una ecuación
> equivalente, no se pierden ni ganan raíces, y queda de grado 6.
>
> (z + 1)^7 - (z^7 + 1) = 7z^6 + 21z^5 + 35z^4 + 35z^3 + 21z^2 + 7z
>
> = 7z(z^5 + 3z^4 + 5z^3 + 5z^2 + 3z + 1) = 0
>
Esto fue lo que hice. Lo que no tengo claro, desde un punto
de vista conceptual, es si se eliminan raíces o no.
Antonio
Antonio González
mensaje c3niba$29q855$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de que:
> Ignacio Larrosa Cañestro, en una muestra de su admirable prosa, afirmó
> en el mensaje c3n92f$29g3j6$1...@ID-137122.news.uni-berlin.de que:
>> Antonio González <SPAMgonf...@esi.us.es> escribió en el mensaje
>> news:c3n7b5$29u2oq$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de:
>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro creyó necesario hacer saber al mundo que:
>>>>
>>>> ¿Por qué doble? Es simple sin duda ninguna. Y no falta ninguna
>>>> raíz, puesto que la ecuación realmente es de grado 6, al
>>>> cancelarse los términos en z^7.
>>>>
>>>>
>>>
>>> La verdad es que no lo tengo muy claro, pero si tengo una ecuación
>>> f(x)=g(x) tal que x0 es una raiz tanto de f(x) como de g(x), ¿no
>>> diríamos que x0 es una solución de la ecuación?
>>>
>>> Antonio
>>
>> No, si fuera solo raíz de uno de los dos no sería raíz de la
>> ecuación.
>
> Por eso digo que lo sea de los dos.
>
> Por ejemplo, la ecuación
>
> x^3 - 1 = (x-1)^3
>
> ¿no tendría por solución x=1? Este valor produce
>
> 0 = 0
>
Por seguir con el mismo ejemplo. Supongamos que lo camuflamos un
poco y planteamos el sistema
x^3 = y
(x-1)^3 = y - 1
¿no diríamos que x = 1, y =0 es una solución?
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
Antonio González <SPAMgo...@esi.us.es> escribió:
> Ignacio Larrosa Cañestro, en una muestra de su admirable prosa, afirmó
> en el mensaje c3n92f$29g3j6$1...@ID-137122.news.uni-berlin.de que:
>> Antonio González <SPAMgonf...@esi.us.es> escribió en el mensaje
>> news:c3n7b5$29u2oq$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de:
>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro creyó necesario hacer saber al mundo que:
>>>>
>>>> ¿Por qué doble? Es simple sin duda ninguna. Y no falta ninguna
>>>> raíz, puesto que la ecuación realmente es de grado 6, al
>>>> cancelarse los términos en z^7.
>>>>
>>>>
>>>
>>> La verdad es que no lo tengo muy claro, pero si tengo una ecuación
>>> f(x)=g(x) tal que x0 es una raiz tanto de f(x) como de g(x), ¿no
>>> diríamos que x0 es una solución de la ecuación?
>>>
>>> Antonio
>>
>> No, si fuera solo raíz de uno de los dos no sería raíz de la
>> ecuación.
>
> Por eso digo que lo sea de los dos.
Malinterpreté tu mensaje anterior en este punto. Creí que decías que por eso
era doble.
> Por ejemplo, la ecuación
>
> x^3 - 1 = (x-1)^3
>
> ¿no tendría por solución x=1? Este valor produce
>
> 0 = 0
Si x = 1 es una solución de esta ecuación, pero smple. La única otra es x =
0:
x^3 - 1 = (x - 1)^3 ===> x^2 + x + 1 = x^2 - 2x + 1 ==> 3x = 0
Otra forma de ver que es única es mirar como es el contacto de x^3 - 1 y
(x - 1)^3. Se cortan casi perpenedicularmente, tanto en 1 como en 0.
Lo mismo ocurre con (z^7 +1) y (z + 1)^7. Si la raíz fuese doble, tendrían
la tangente común.
>> Si pasas todo a un miembro, tienes una ecuación
>> equivalente, no se pierden ni ganan raíces, y queda de grado 6.
>>
>> (z + 1)^7 - (z^7 + 1) = 7z^6 + 21z^5 + 35z^4 + 35z^3 + 21z^2 + 7z
>>
>> = 7z(z^5 + 3z^4 + 5z^3 + 5z^2 + 3z + 1) = 0
>>
>
> Esto fue lo que hice. Lo que no tengo claro, desde un punto
> de vista conceptual, es si se eliminan raíces o no.
Si que desparece, es una ecuación polinómica de grado 7 en la que el
coeficiente de z^7 es 0. Es decir, es una ecuación de grado 6. Si quieres,
la raíz desaparecida, al cancelar los dos z^7, sería inf (el único del plano
complejo).
carbun...@cmr-81-9-133-39.telecable.es
Hola, creo que estoy un poco perdido y quizá no diga nada nuevo, pero
si la ecuación es un polinomio de grado 6, factorizando,
p(z)=7*z*(z+1)*(z+1/2+i*sqrt(3)/2)^2*(z+1/2-i*sqrt(3)/2)^2
no es posible que tenga más -ni menos- raíces de las que tiene, que son 6
¿no?
--
Antonio González
al mundo que:
>
> Hola, creo que estoy un poco perdido y quizá no diga nada nuevo, pero
> si la ecuación es un polinomio de grado 6, factorizando,
> p(z)=7*z*(z+1)*(z+1/2+i*sqrt(3)/2)^2*(z+1/2-i*sqrt(3)/2)^2
> no es posible que tenga más -ni menos- raíces de las que tiene, que
> son 6 ¿no?
Por supuesto. El teorema fundamental del álgebra así lo asegura.
Mi duda venía de que originalmente el problema propuesto
parecía ser de grado 7 y no sabía si al convertirlo en
uno de grado 6 estaba eliminando una raiz o no.
Antonio
carbun...@cmr-81-9-133-39.telecable.es
Vale, entonces estamos de acuerdo.
Gracias.
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