Cuadrados en el tablero de ajedrez

[Dr. Wolfgang Hintze]

Inspirado por el problema de maximiliano os pregunto

¿ Cuantos cuadrados tiene el tablero de ajedrez ?

a) contando sólo los con lados paralelos al marco del tablero
b) contando también los inclinados

Siempre los vertices de los cuadrados deben estar en vertices de los 64
cuadrados elementales.

Saludos,
Wolfgang

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Para una cuadrícula ortogonal de n*n puntos, C(n) = n^2*(n^2-1)/12. En el
caso del tablero de ajedrez, n = 9 y queda

C(9) = 81*80/12 = 27*20 = 540

Para deducirlo, no hay más que pensar que cualquier cuadrado tiene que estar
inscrito en un cuadrado de lados paralelos a la cuadrícula. Si en el lado de
este cuadrado hay k puntos, podemos inscribir (k-1) cuadrados, escogiendo
cada uno de los puntos del lado como uno de los vértices (por lo tanto, solo
contamos uno de los dos extremos).

En un cuadrado de n*n puntos, con lados paralelos a la cuadrícula, tenemos 1
cuadrado de n puntos, 2^2 cuadrados de n - 1 puntos, 3^2 de (n - 2) puntos,
... y (n-1)^2 de 2 puntos. En total entonces, el número de cuadrados en
cualquier orientación es

C(n) = Sum(k^2(n - k), k, 1, n - 1) = n*Sum(k^2, k, 1, n - 1) - Sum(k^3, k,
1, n - 1)

= n*(n - 1)n(2n - 1)/6 - (n - 1)^2n^2/4 = n^2(n - 1)^2/12

¿Y para una disposición rectangular de m*n puntos?

Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

[Dr. Wolfgang Hintze]

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com>
schrieb im Newsbeitrag
news:jdhp48$tc6$1...@ignaciolarrosa.eternal-september.org...

Yo he pensado diferentemente y obtengo un resultado diferente.

Cuantos cuadrados tiene la siguiente tablero 2x2 ?


A --------------- B
| | |
| b | a |
| | |
| | |
---------------
| | |
| c | d |
| | |
| | |
D --------------- C

Pues, 5, los 4 pequeños (a,b,c,d) y el grande ABCD.
No entiendo tu fórmula, que da valores diferentes.

Ya que hay nxn cudrados 1x1, (n-1)^2 cuadrados 2x2, ..., un cuadrado
nxn el número total de cuadrados queda

f(n) = n^2 + (n-1)^2 + ... + 1^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Para el tablero de ajedrez n=8 hallamos

f(8) = 204.

El apartado b) más tarde.

PD: entiendo, ¿ ya has solvado el problema completo a) y b)?. Pero
todavía no entiendo tu fórmula. En mi ejemplo tenemos exactamente un
cuadrado más que los 5, es decir 6.

Tengo que verificarlo... Oh veo que es n^2(n^2-1)/12 y no n^2(n-1)^2/12
a lo que tu referiste.


Saludos,
Wolfgang

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Si, fué un error de escritura al final. Al principio mestá la fórmula
correcta. En cualquier caso, es la respuesta al número total de cuadrados,
de lados paralelos o no paralelos a los de la cuadrícula.

¿Que hay de m*n puntos?


--

[Dr. Wolfgang Hintze]

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com>
schrieb im Newsbeitrag

news:jdhrqb$cgb$1...@ignaciolarrosa.eternal-september.org...

> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

> ¿Que hay de m*n puntos?

no sé, pero la pregunta me ha llevado considerar restar cuadrados
sucesivamente ásí

Empezamos con el rectángulo m*n (n>m).

Restando el cuadrado mxm nos queda un rectángulo mx(n-m).

Ahora repetimos la sustracción de cuadrados hasta el fin, es decir a un
número de k cuadrados 1x1

Ejemplos

(1) 8 x 13 = 8^2 + 5^2 + 3^2 + 2^2 + 2x1^2
(2) 7 x 11 = 7^2 + 4^2 + 3^2 + 3x1^2
(3) 3 x 8 = 2x3^2 + 2^2 + 2x1^2

El desarollo parece ser es inequívoco.

En general podemos escibir inequívocamente (?)

m x n = Sum( c(k) k^2, (k,1,oo) ), c(k) >= 0

donde sólo un conjunto finito de los c(k) es >0.

¿ Conoce alguién de vosotros este desarrollo ?

Saludos,
Wolfgang

[Ignacio Larrosa Cañestro]

¿ Pero quienes son los c(k)?

En una cuadrícula rectangular de m*n _puntos_, con lados paralelos a la
cuadrículay suponiendo m >= n, hay


(m-1)*(n-1) cuadrados de lado 1 (2 puntos),
(m-2)*(n-2) cuadrados de lado 2 (3 puntos),
.....
(m - (n-1))*(n - (n - 1)) cuadardos de lado n - 1 (n puntos)

En total son

CP(m, n) = Sum((m+1 - k)(n + 1 - k), k, 2, n) = n(n - 1)(3m - n - 1)/6

En cada uno de estos cuadrados de k puntos pueden inscribirse (k - 1)
cuadrados, uno de ellos el mismo, de lados no obligatoriamente paralelos a
los de la cuadrícula. El número total es entonces:

C(m, n) = Sum((m+1 - k)(n + 1 - k)(k - 1), k, 2, n) = n(n^2 - 1)(2m - n)/12

(m >= n)

Para n fijo, C(m, n) es una progresión aritmética. En particular C(m, n) =
100 sólo para m = 12 y n = 4.