Gran non divisor
León-Sotelo
cada uno de estos números de la lista le calculamos su mayor divisor
impar y los sumamos¿que valor se obtiene?.
Generalizar.
Saludos.
León-Sotelo.
Antonio González
> Para n entero positivo tomamos los números n+1,n+2,n+3,...,2n.Si a
> cada uno de estos números de la lista le calculamos su mayor divisor
> impar y los sumamos¿que valor se obtiene?.
Escribiendo k en binario, su mayor divisor impar corresponde a quitar
los 0's finales de su expresión, por ejemplo, para n = 6
7 -> 111 -> 111 = 7
8 -> 1000 -> 1 = 1
9 -> 1001 -> 1001 = 9
10 -> 1010 -> 101 = 5
11 -> 1011 -> 1011 = 11
12 -> 1100 -> 11 = 3
De aquí surge claramente una recurrencia. Supongamos que n = 2^p, de
forma que la lista se compone de los 2^p siguientes, hasta 2^(p+1). la
suma de los divisores impares será la suma de los números impares de
esta lista, más los de los divisores de los números pares, pero tras
remover un 0 de estos nos queda la serie comprendida entre 2^(p-1) y
2^p, esto es
S(2^p) = N(p) = Suma_impares + N(p-1)
siendo
Suma_impares = 2^(2p)-2^(2(p-1))
o, dicho de otra forma
N(p) - 2^(2p) = N(p-1)-2^(2(p-1)) = A
para p = 0, N(0)= 1, por lo que A = 0 y
N(p) = 2^(2p)
que es un caso particular de
S(n) = n^2
ahora habría que examinar los casos que no sean potencias de 2.
--
Antonio
Antonio González
>
> que es un caso particular de
>
> S(n) = n^2
>
> ahora habría que examinar los casos que no sean potencias de 2.
>
La idea es la misma, aunque me sale trabajosa de formalizar. Pero el
resultado es claro, amedida que vamos podando los pares caemos en un
intervalo inferior, siendo el resultado final que los máximos divisores
impares son todos los impares menores que 2n.
Por ejemplo para n = 7
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 8 9 10 11 12 13 14
Nos quedamos con los impares entre 8 y 14 y dividimos los pares por 2.
Nos queda
(1)(2)(3) 4 5 6 7 - 9 - 11 - 13 -
Ahora nos quedamos con los impares entre 4 y 7 y dividimos los pares por 2
(1)2 3 - 5 - 7 - 9 - 11 - 13 -
Repetimos el proceso y queda finalmente
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11 - 13 -
y la suma de estos impares es 49 = 7^2.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
Llamemos i(n) al mayor impar que divide a n.
Para los números comprendidos entre n + 1 y 2n no puede haber dos con el
mismo i(n), pues tendría que ser uno de ellos igual al otro por una potencia
de 2, lo que no es posible, pues 2(n + 1) > 2n. Por lo tanto, tenemos n
numeros impares distintos entre 1 y 2n ... Es decir, tenemos todos los
impares, sin repetirse, entre 1 y 2n, cuya suma ya sabemos todos que es n^2
Sum(2k - 1, k, 1, n) = 2n(n + 1)/2 - n = n^2
Antonio, ¿seguro que te estás recuperando bien? Espero que si ...
Lo que no se es como quería León-Sotelo que generalizaramos.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
León-Sotelo
>
> - Mostrar texto de la cita -
La generalización era simplemente esa Ignacio.Que la suma de los
mayores divisores impares de cada uno de los números de cualquier
lista de consecutivos n+1,...,2n es igual a n^2.
León-Sotelo.
