Demostración cuadrilátero cícilico

[Antonio González]

¿Cómo puede demostrarse de forma elemental, sin usar cálculo, que un
cuadrilátero cíclico (o inscriptible) es el que da mayor área de todos
los que tienen lados a,b, c y d?

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Antonio

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Usan do la fórmual de Bretschneider para calcular el área del
cuadrilatero de lados a, c, c y d:

S = rq((s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd·cos^2((A+C)/2))

donde s = (a + b + c + d)/2, y A y C son un par de ángulos opuestos.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

[Antonio González]

El 30/05/2013 20:20, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> El 30/05/2013 19:59, Antonio González escribió:
>> ¿Cómo puede demostrarse de forma elemental, sin usar cálculo, que un
>> cuadrilátero cíclico (o inscriptible) es el que da mayor área de todos
>> los que tienen lados a,b, c y d?
>>
>
> Usan do la fórmual de Bretschneider para calcular el área del
> cuadrilatero de lados a, c, c y d:
>
> S = rq((s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd·cos^2((A+C)/2))
>
> donde s = (a + b + c + d)/2, y A y C son un par de ángulos opuestos.
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula
>

¿Y una con razonamientos puramente geométricos no hay?

--
Antonio

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Una forma de verlo es partir de la solución del problema isoperimétrico:
la máxima área abarcada por una curva cerrada de perímetro constante es
la del círculo.

Consideramos entonces el cuadrilátero articulado de lados de longitudes
a, b, c y d lo dispones de manera que sea cíclico y le adosamos a cada
lado los segmentos circulares correspondientes. Deformándolo en
cualquier sentido, obtenemos un superficie limitada por una curva del
mismo perímetro que el del círculo, y por tanto de área menor. Como los
segmentos circulares permanecen invariables, el área del cuadrilátero
articulado no cíclico resulta menor que la del cíclico.