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OME 2014 Primera Fase (Viernes 17 enero, tarde) - 5
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Ignacio Larrosa Cañestro
Jan 17, 2014, 2:57:59 PM1/17/14
to
Determinar las soluciones enteras de la ecuaci�n
x^4 + y^4 = 3x^3y
Nota: O mucho me confundo o es casi rid�culamente f�cil. El anterior
tambi�n era bastante sencillo.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
x^4 + y^4 = 3x^3y
Nota: O mucho me confundo o es casi rid�culamente f�cil. El anterior
tambi�n era bastante sencillo.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
Paco Moya
Jan 21, 2014, 8:13:22 AM1/21/14
to
Hola
El viernes, 17 de enero de 2014 20:57:59 UTC+1, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Determinar las soluciones enteras de la ecuaci�n
>
> tambi�n era bastante sencillo.
>
Hemos de entender x^4+y^4=3·(x)^(3y)
o x^4+y^4=3(x^3)y
o x^4+y^4= (3x)^(3y)
Saludos
>
> Saludos,
>
>
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
>
> A Coru�a (Espa�a)
>
> ilar...@mundo-r.com
>
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
El viernes, 17 de enero de 2014 20:57:59 UTC+1, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Determinar las soluciones enteras de la ecuaci�n
>
>
>
> x^4 + y^4 = 3x^3y
>
>
>
>
>
> Nota: O mucho me confundo o es casi rid�culamente f�cil. El anterior
>
>
> x^4 + y^4 = 3x^3y
>
>
>
>
>
>
> tambi�n era bastante sencillo.
>
Hemos de entender x^4+y^4=3·(x)^(3y)
o x^4+y^4=3(x^3)y
o x^4+y^4= (3x)^(3y)
Saludos
>
> Saludos,
>
>
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
>
> A Coru�a (Espa�a)
>
> ilar...@mundo-r.com
>
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
Ignacio Larrosa Cañestro
Jan 21, 2014, 12:20:57 PM1/21/14
to
El 21/01/2014 14:13, Paco Moya escribió:
> Hola
> El viernes, 17 de enero de 2014 20:57:59 UTC+1, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Determinar las soluciones enteras de la ecuaci�n
>>
>>
>>
>> x^4 + y^4 = 3x^3y
>>
>>
>>
>>
>>
>> Nota: O mucho me confundo o es casi rid�culamente f�cil. El anterior
>>
>> tambi�n era bastante sencillo.
>>
> Hemos de entender x^4+y^4=3·(x)^(3y)
> o x^4+y^4=3(x^3)y
> o x^4+y^4= (3x)^(3y)
> Saludos
>
>
Se trata de x^4 + y^4 = 3*(x^3)*y
> Hola
> El viernes, 17 de enero de 2014 20:57:59 UTC+1, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Determinar las soluciones enteras de la ecuaci�n
>>
>>
>>
>> x^4 + y^4 = 3x^3y
>>
>>
>>
>>
>>
>> Nota: O mucho me confundo o es casi rid�culamente f�cil. El anterior
>>
>> tambi�n era bastante sencillo.
>>
> Hemos de entender x^4+y^4=3·(x)^(3y)
> o x^4+y^4=3(x^3)y
> o x^4+y^4= (3x)^(3y)
> Saludos
>
>
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
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Ignacio Larrosa Cañestro
Jan 21, 2014, 3:15:48 PM1/21/14
to
El 21/01/2014 20:34, Paco Moya escribió:
> Vale.
> Si x=0 ==> y=0
> Si y=0 ==> x=0
> Si x, y =/=0 dividimos entre yx^3
> x+y^3 =3
> x= 3-y^3
> Lo cual da la familia de soluciones (3-n^3,n) para n entero.
> Saludos.
>
Noooooooooo ...
La ecuación es x^4 + y^4 = 3*x^3*y
Si divides por y*x^3, te queda
x/y + (y/x)^3 = 3
lo que no parece demasiado útil, teniendo en cuenta que buscamos
soluciones enteras.
La solución es bastante sencilla. Esta claro que (0, 0) es una solución,
y que si (x, y) es una solución, también lo es (kx, ky), con k entero
cualquiera, incluso negativo.
Podemos por ello limitarnos a buscar soluciones con mcd(x, y) = 1.
Estudiando la paridad de las soluciones, tenemos entonces dos posibilidades:
i) x, y impares: Imposible, pues el primer miembro resulta par y el
segundo impar.
ii) x, y de distinta paridad: Imposible, el primer miembro resulta impar
y el segundo par.
La posibilidad de que ambos sean pares queda descartada por mcd(x, y) = 1.
> Vale.
> Si x=0 ==> y=0
> Si y=0 ==> x=0
> Si x, y =/=0 dividimos entre yx^3
> x+y^3 =3
> x= 3-y^3
> Lo cual da la familia de soluciones (3-n^3,n) para n entero.
> Saludos.
>
Noooooooooo ...
La ecuación es x^4 + y^4 = 3*x^3*y
Si divides por y*x^3, te queda
x/y + (y/x)^3 = 3
lo que no parece demasiado útil, teniendo en cuenta que buscamos
soluciones enteras.
La solución es bastante sencilla. Esta claro que (0, 0) es una solución,
y que si (x, y) es una solución, también lo es (kx, ky), con k entero
cualquiera, incluso negativo.
Podemos por ello limitarnos a buscar soluciones con mcd(x, y) = 1.
Estudiando la paridad de las soluciones, tenemos entonces dos posibilidades:
i) x, y impares: Imposible, pues el primer miembro resulta par y el
segundo impar.
ii) x, y de distinta paridad: Imposible, el primer miembro resulta impar
y el segundo par.
La posibilidad de que ambos sean pares queda descartada por mcd(x, y) = 1.
Ignacio Larrosa Cañestro
Jan 21, 2014, 3:37:23 PM1/21/14
to
El 21/01/2014 21:15, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> El 21/01/2014 20:34, Paco Moya escribió:
>> Vale.
>> Si x=0 ==> y=0
>> Si y=0 ==> x=0
>> Si x, y =/=0 dividimos entre yx^3
>> x+y^3 =3
>> x= 3-y^3
>> Lo cual da la familia de soluciones (3-n^3,n) para n entero.
>> Saludos.
>>
>
> Noooooooooo ...
>
> La ecuación es x^4 + y^4 = 3*x^3*y
>
> Si divides por y*x^3, te queda
>
> x/y + (y/x)^3 = 3
>
> lo que no parece demasiado útil, teniendo en cuenta que buscamos
> soluciones enteras.
Bueno, puede ser otra forma de verlo. Haciento x/y = t, queda
> El 21/01/2014 20:34, Paco Moya escribió:
>> Vale.
>> Si x=0 ==> y=0
>> Si y=0 ==> x=0
>> Si x, y =/=0 dividimos entre yx^3
>> x+y^3 =3
>> x= 3-y^3
>> Lo cual da la familia de soluciones (3-n^3,n) para n entero.
>> Saludos.
>>
>
> Noooooooooo ...
>
> La ecuación es x^4 + y^4 = 3*x^3*y
>
> Si divides por y*x^3, te queda
>
> x/y + (y/x)^3 = 3
>
> lo que no parece demasiado útil, teniendo en cuenta que buscamos
> soluciones enteras.
t + 1/t^3 = 3 ===> t^4 - 3t^3 + 1 = 0
Ésta ecuación mónica solo puede tener como soluciones racionales a los
divisores del término independiente: 1 y -1. Y ninguna de las dos lo es.
Por tanto, t solo puede tomar valores irracionales, con lo que x e y no
pueden ser simultáneamente enteros.
Pero bueno, lo de la paridad es mucho más simple y directo.
Paco Moya
Jan 21, 2014, 3:44:05 PM1/21/14
to
En que estaria yo pensando, mil perdones.
El martes, 21 de enero de 2014 21:15:48 UTC+1, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> El 21/01/2014 20:34, Paco Moya escribi�:
>
> soluciones enteras.
>
>
>
> La soluci�n es bastante sencilla. Esta claro que (0, 0) es una soluci�n,
>
> y que si (x, y) es una soluci�n, tambi�n lo es (kx, ky), con k entero
El martes, 21 de enero de 2014 21:15:48 UTC+1, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> El 21/01/2014 20:34, Paco Moya escribi�:
>
> > Vale.
>
> > Si x=0 ==> y=0
>
> > Si y=0 ==> x=0
>
> > Si x, y =/=0 dividimos entre yx^3
>
> > x+y^3 =3
>
> > x= 3-y^3
>
> > Lo cual da la familia de soluciones (3-n^3,n) para n entero.
>
> > Saludos.
>
> >
>
>
>
> Noooooooooo ...
>
>
>
> La ecuaci�n es x^4 + y^4 = 3*x^3*y
> > Vale.
>
> > Si x=0 ==> y=0
>
> > Si y=0 ==> x=0
>
> > Si x, y =/=0 dividimos entre yx^3
>
> > x+y^3 =3
>
> > x= 3-y^3
>
> > Lo cual da la familia de soluciones (3-n^3,n) para n entero.
>
> > Saludos.
>
> >
>
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>
> Noooooooooo ...
>
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>
> Si divides por y*x^3, te queda
>
>
>
> x/y + (y/x)^3 = 3
>
>
>
> lo que no parece demasiado �til, teniendo en cuenta que buscamos
>
>
> Si divides por y*x^3, te queda
>
>
>
> x/y + (y/x)^3 = 3
>
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>
>
> soluciones enteras.
>
>
>
> La soluci�n es bastante sencilla. Esta claro que (0, 0) es una soluci�n,
>
> y que si (x, y) es una soluci�n, tambi�n lo es (kx, ky), con k entero
>
> cualquiera, incluso negativo.
>
>
>
> Podemos por ello limitarnos a buscar soluciones con mcd(x, y) = 1.
>
>
>
> Estudiando la paridad de las soluciones, tenemos entonces dos posibilidades:
>
>
>
> i) x, y impares: Imposible, pues el primer miembro resulta par y el
>
> segundo impar.
>
>
>
> ii) x, y de distinta paridad: Imposible, el primer miembro resulta impar
>
> y el segundo par.
>
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> La posibilidad de que ambos sean pares queda descartada por mcd(x, y) = 1.
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> Saludos,
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> cualquiera, incluso negativo.
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> Podemos por ello limitarnos a buscar soluciones con mcd(x, y) = 1.
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> Estudiando la paridad de las soluciones, tenemos entonces dos posibilidades:
>
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> i) x, y impares: Imposible, pues el primer miembro resulta par y el
>
> segundo impar.
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> ii) x, y de distinta paridad: Imposible, el primer miembro resulta impar
>
> y el segundo par.
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> La posibilidad de que ambos sean pares queda descartada por mcd(x, y) = 1.
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> Saludos,
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