Uno de triángulos y ortocentro
Antonio González
Sea ABC un tri�ngulo y H su ortocentro.
Sean r y s dos rectas perpendiculares que se cortan en H.
Sean a1 y a2 los cortes de r y s con la recta BC, b1 y b2 con la recta
AC, y c1 y c2 con la recta AB.
Sea D el punto medio de a1 y a2, E el medio de b1 y b2, y F el medio de
c1 y c2.
Probar que D, E y F est�n alineados.
--
Antonio
Antonio González
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--
Antonio
Antonio González
Bueno, visto que nadie lo hace de manera eucl�dea, lo har� yo de manera
anal�tica.
Sin p�rdida de generalidad, supondr� que el ortocentro H es el origen de
coordenadas, y que las rectas r y s son los ejes coordenados. Sean A, B
y C, los vectores de posici�n de los v�rtices, medidos desde el ortocentro.
Puesto que la recta HA es ortogonal a la BC esto implica,
vectorialmente, que
A�(C-B) = 0 ---> A�B = A�C
y, por extensi�n a los otros dos v�rtices
A�B = A�C = B�C = p (1)
Ahora, el lado BC posee la ecuaci�n can�nica
x/a + y/b = 1
siendo sus puntos de corte con los ejes (a,0) y (0,b), el punto medio de
estos dos es D=(a/2,b/2). Por tanto, se cumple
Bx/Dx + By/Dy = 2
Cx/Dx + Cy/Dy = 2
y expresiones an�logas para los otros dos lados.
Queremos demostrar que D, E y F est� alineados. Ello equivale a
(D-E)x(E-F) =? 0
Desarrollando
S = D x E + E x F + F x D =? 0
Veamos como ponemos D, E y F en funci�n de A, B y C y aprovechamos la
relaci�n (1).
Sea D1 el vector que tiene por componentes las inversas de las de D
D1 = (1/Dx,1/Dy)
Las ecuaciones can�nicas equivalen a
D1�B = 2
D1�C = 2
Como por otro lado tenemos
A�B = p
A�C = p
y B y C son vectores linealmente independientes, deducimos que
D1 = (2/p) A
esto es
Dx = p/(2Ax) Dy = p/(2Ay)
y expresiones correspondientes para E y F.
Sustituyendo en S
S = (p^2/4)(1/(Ax By) -1/(Ay Bx) + 1/(Bx Cy) - 1/(By Cx) +
+ 1/(Cx Ay) - 1/(Cy Ax))
Sumando fracciones
X = 4S(Ax Ay Bx By Cx Cy)/p^2 =
= Ay Bx Cx Cy - Ax By Cx Cy + By Cx Ax Ay - Bx Cy Ax Ay +
+ Cy Ax Bx By - Cx Ay Bx By
la clave es que cada uno de estos productos incluye un par Mx Nx y un
par Qy Ry, que permite relacionarlo con los productos escalares.
Escribiendo
Ax Bx = (p + c)/2 Ay By = (p - c)/2
Bx Cx = (p + a)/2 By Cy = (p - a)/2
Cx Ax = (p + b)/2 Cy Ay = (p - b)/2
nos queda
4X = (p-b)(p+a) - (p+b)(p-a) + (p-c)(p+b) - (p+c)(p-b) +
+ (p-a)(p+c) + (p+a)(p-c) =
= -2pb + 2pa -2pc +pb -2pa + 2pc = 0
y por tanto, D, E y F est�n alineados.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
La envolvente de esa recta parece ser una c�nica con focos en el ortocentro
y el circuncentro del tri�ngulo.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Antonio Gonz�lez wrote:
>> Este de los que os gustan:
>>
>> Sea ABC un tri�ngulo y H su ortocentro.
>>
>> Sean r y s dos rectas perpendiculares que se cortan en H.
>>
>> Sean a1 y a2 los cortes de r y s con la recta BC, b1 y b2 con la
>> recta AC, y c1 y c2 con la recta AB.
>>
>> Sea D el punto medio de a1 y a2, E el medio de b1 y b2, y F el medio
>> de c1 y c2.
>>
>> Probar que D, E y F est�n alineados.
>
> La envolvente de esa recta parece ser una c�nica con focos en el
> ortocentro y el circuncentro del tri�ngulo.
Como puede apreciarse en este gr�fico:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/escienciamatematicas_061109.html
(Se pueden mover los v�rtices y pulsar CTRL-F para borrar las trazas
previas)
Antonio González
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Antonio González wrote:
>>> Este de los que os gustan:
>>>
>>>
>>> Sean r y s dos rectas perpendiculares que se cortan en H.
>>>
>>> Sean a1 y a2 los cortes de r y s con la recta BC, b1 y b2 con la
>>> recta AC, y c1 y c2 con la recta AB.
>>>
>>> Sea D el punto medio de a1 y a2, E el medio de b1 y b2, y F el medio
>>> de c1 y c2.
>>>
>> La envolvente de esa recta parece ser una cónica con focos en el
>> ortocentro y el circuncentro del triángulo.
>
> Como puede apreciarse en este gráfico:
>
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/escienciamatematicas_061109.html
>
> (Se pueden mover los vértices y pulsar CTRL-F para borrar las trazas
> previas)
>
>
Sí, ya lo estuve examinando por mi cuenta (aunque mi aplicación con el
geogebra no quede tan bonita como la tuya). Tenía yo curiosidad por ver
cómo se pasaba de elipses a hipérbolas sin pasar por una parábola (pues
ni el ortocentro ni el circuncentro se van al infinito). Lo que ocurre
es que se forma un haz de rectas concurrentes.
En cuanto al cálculo de esa envolvente, se demuestra que en el sistema
de ejes ligados a las dos rectas r y s, la recta que pasa por los tres
puntos es
Ax Bx Cx x + Ay By Cy y = p^2/2
(con p = A·B = A·C = B·C). Ahora, para hallar la envolvente al girar las
dos rectas habría que aplicar la rotación
Ax - > Ax0 cos(t) - Ay0 sen(t) Ay -> Ax0 sen(t) + Ay0 cos(t)
y lo mismo para los otros tres vectores (B, C y X). Al sustituir queda
una expresión del tipo
(P1 x + P2 y) cos(4t) + (Q1 x + Q2 y)sen(4t) + (R1 x + R2 y + R3) = 0
Derivando aquí respecto a t, igualando a 0 y eliminando t queda la
ecuación de la cónica
(R1^2-P1^2-Q1^2) x^2 + (R2^2-P2^2-Q2^2) y^2 +2(R1 R2 - P1 P2-Q1 Q2)xy
+ 2R1R3 x + 2R2 R3 y + R3^2 = 0
Puesto que sabemos o suponemos que uno de los focos es el origen lo suyo
sería pasar a polares y ver si sale algo del tipo p/(1-e cos(fi)) pero
parece un trabajo de chinos.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Ignacio Larrosa Ca�estro escribi�:
>> Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
>>>> Este de los que os gustan:
>>>>
>>>>
>>>> Sean r y s dos rectas perpendiculares que se cortan en H.
>>>>
>>>> Sean a1 y a2 los cortes de r y s con la recta BC, b1 y b2 con la
>>>> recta AC, y c1 y c2 con la recta AB.
>>>>
>>>> Sea D el punto medio de a1 y a2, E el medio de b1 y b2, y F el
>>>> medio de c1 y c2.
>>>>
>>> La envolvente de esa recta parece ser una c�nica con focos en el
>>> ortocentro y el circuncentro del tri�ngulo.
>>
>> Como puede apreciarse en este gr�fico:
>>
>> http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/escienciamatematicas_061109.html
>>
>> (Se pueden mover los v�rtices y pulsar CTRL-F para borrar las trazas
>> previas)
>>
>>
>
> S�, ya lo estuve examinando por mi cuenta (aunque mi aplicaci�n con el
> geogebra no quede tan bonita como la tuya). Ten�a yo curiosidad por
> ver c�mo se pasaba de elipses a hip�rbolas sin pasar por una par�bola
> (pues ni el ortocentro ni el circuncentro se van al infinito). Lo que
> ocurre
> es que se forma un haz de rectas concurrentes.
En realidad, dos. Cuando las rectas perpendiculares coinciden con los
catetos, la recta puede ser cualquiera de las que pasan por el circuncentro.
Por cierto, que en el applet pon�a incomprensiblemente baricentro ... Ahora
ya est� corregido.
> En cuanto al c�lculo de esa envolvente, se demuestra que en el sistema
> de ejes ligados a las dos rectas r y s, la recta que pasa por los tres
> puntos es
>
> Ax Bx Cx x + Ay By Cy y = p^2/2
>
> (con p = A�B = A�C = B�C). Ahora, para hallar la envolvente al girar
> las dos rectas habr�a que aplicar la rotaci�n
>
> Ax - > Ax0 cos(t) - Ay0 sen(t) Ay -> Ax0 sen(t) + Ay0 cos(t)
>
> y lo mismo para los otros tres vectores (B, C y X). Al sustituir queda
> una expresi�n del tipo
>
> (P1 x + P2 y) cos(4t) + (Q1 x + Q2 y)sen(4t) + (R1 x + R2 y + R3) =
> 0
> Derivando aqu� respecto a t, igualando a 0 y eliminando t queda la
> ecuaci�n de la c�nica
>
> (R1^2-P1^2-Q1^2) x^2 + (R2^2-P2^2-Q2^2) y^2 +2(R1 R2 - P1 P2-Q1 Q2)xy
>
> + 2R1R3 x + 2R2 R3 y + R3^2 = 0
>
> Puesto que sabemos o suponemos que uno de los focos es el origen lo
> suyo ser�a pasar a polares y ver si sale algo del tipo p/(1-e cos(fi))
> pero
> parece un trabajo de chinos.
Supongo que el amigo Paco Garc�a-Capit�n nos lo podr�a demostrar en un
plis-plas utilizando coordenadas baric�ntricas.
Contra lo que podr�a pensarse, si tomamos las rectas perpendiculares pasando
por el circuncentro, los tres puntos no est�n alineados. Tampoco son
concurrentes las rectas que los unen con los v�rtices opuestos ... L�stima,
habr�a estado bien.