Billar circular
Ignacio Larrosa Cañestro
que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que al rebotar una vez
golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas son puntuales, no giran
sobre si mismas)
Si no están en un diámetro es algo más complicado ...
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Ignacio Larrosa Cañestro
> Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar
> circular. ¿A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que
> al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas
> son puntuales, no giran sobre si mismas)
>
> Si no están en un diámetro es algo más complicado ...
Una precisión: Las dos bolas están separadas por otra C, situada en el
centro de la mesa. ¿Siempre hay solución en este caso?
Javier Esquinas
Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
> Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
> > Se tienen dos bolas A y B en el di�metro de una mesa de billar
> > circular. �A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que
> > al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas
> > son puntuales, no giran sobre si mismas)
> >
> > Si no est�n en un di�metro es algo m�s complicado ...
>
> Una precisi�n: Las dos bolas est�n separadas por otra C, situada en el
> centro de la mesa. �Siempre hay soluci�n en este caso?
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45º
no?
Saludos.
Ignacio Larrosa Cañestro
> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
>>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>
>>
>> Una precisi?n: Las dos bolas est?n separadas por otra C, situada en
>> el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>> A Coru?a (Espa?a)
>> ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
>
> Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
> angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45º
> no?
>
A y B están en el diámetro, separadas por C en el centro, pero no
necesariamente en los extremos del diámetro.
Antonio González
Pero los puntos A y B no están en los extremos del diámetro.
Con variable compleja se puede plantear de forma sencilla:
Sea z el punto de reflexión (suponiendo una circunferencia unidad). En
este caso, la condición de que el ángulo de incidencia y del reflexión
sean iguales es
arg(z/(z-B)) = arg((z-A)/z)
o, lo que es lo mismo
Im(ln(z/(z-B)) = Im(ln((z-A)/z))
de donde
ln(z/(z-B)) - ln(z*/(z*-B*)) = ln((z-A)/z) - ln((z*-A*)/z*)
Hallando la exponencial
z(z*-B*)/(z*(z-B)) = (z-A)z*/((z*-A*)z)
Aplicando que zz* = 1
(1-zB*)(1-zA*) - (1-z*B)(1-z*A) = 0
z^2A*B* - z(A*+B*) + z*(A+B) - z*^2AB = 0
Teniendo en cuenta que z* = 1/z, resulta una ecuación de cuarto grado
que el Mathematica es capaz de resolver, pero que es extremadamente
complicada.
Ahora bien, si A y B están en un diámetro, podemos tomar éste como eje
real y queda
(z^2 - 1/z^2)AB - (z - 1/z)(A+B) = 0
como
z^2 - 1/z^2 = (z-1/z)(z+1/z)
y por las condiciones de Ignacio debemos descartar las soluciones z=1 y
z= -1 (que obligan a pasar por el centro de la mesa) queda
(z + 1/z) AB - (A+B) = 0
z^2 -(1/A + 1/B)z + 1 = 0
con soluciones
z = (1/2)((1/A+1/B) +- rq((1/A+1/B)^2-4)
Para que haya solución sobre la circunferencia, estas soluciones no
deben ser reales, sino complejas conjugadas. Por ello, debe ser
-2 < 1/A + 1/B < 2
Como -1 < A < 1 y -1<B < 1, esto implica que A y B deben estar en lados
opuestos respecto del centro. Además, si representamos el par (A,B) en
el cuadrado (-1,1)x(-1,1) la región permitida es la comprendida entre
dos hipérbolas
-2 < 1/A + 1/B < 2
-2 < (A+B)/AB < 2
-2AB > A+B > 2AB
-2AB - A - B > 0 > 2AB - A - B
-2(A+1/2)(B+1/2)+1/2 > 0 > 2(A-1/2)(B-1/2) -1/2
cumpliéndose las desigualdades
(A+1/2)(B+1/2) < 1/4
(A-1/2)(B-1/2) < 1/4
--
Antonio
Javier Esquinas
Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
> Javier Esquinas wrote:
> > Ignacio Larrosa Ca�estro ha escrito:
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro wrote:
> >>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
> >>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
> >>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
> >>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
> >>>
> >>> Si no est?n en un di?metro es algo m?s complicado ...
> >>
> >> Una precisi?n: Las dos bolas est?n separadas por otra C, situada en
> >> el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
> >>
> >> --
> >> Saludos,
> >>
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro
> >> A Coru?a (Espa?a)
> >> ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
> >
> > Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
> > angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45�
> > no?
> >
>
> A y B est�n en el di�metro, separadas por C en el centro, pero no
> necesariamente en los extremos del di�metro.
>
>
>
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Es cierto,se me habia ido la cabeza al caso extremo.
Saludos.
Ignacio Larrosa Cañestro
> Javier Esquinas escribió:
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>>>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
>>>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>>>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>>>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>>
>>> el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
>>>
>>> --
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>>> A Coru?a (Espa?a)
Geométricamente es sencillo: basta invertir A y B en A' y B', y la
intersección de la mediatriz del segmento A'B' con la circunferencia, si la
hay, nos dan los puntos de reflexión.
Ignacio Larrosa Cañestro
Y la justificación no es complicada, partiendo de que la inversión es una
transformación conforme (que mantiene los ángulos).
Demos el problema por resuelto, sea c la circunferencia del billar y P uno
de los dos puntos solución (el otro es el simétrico respecto al diámetro que
pasa por A y B). Considerando la inversión respcto a c, la recta AP se
transforma en la circunferencia cA que pasa por A', C y P, y la recta BP en
la circunferencia cB que pasa por B', C y P, donde A' y B' son los inversos
de A y B respectivamente.
La recta CP se transforma en si misma. Ambas circunferencias cA y cB pasan
por C y por P y deben formar ángulos iguales en P con la cuerda común CP,
por lo que tienen el mismo radio.
Si las proyecciones de los centros O_A y O_B de estas circunferencias sobre
la recta AB son M_A y M_B, se tiene que M_A es el punto medio de C y A', y
M_B el punto medio de C y B'. Si H es el punto medio de CP, también lo es de
O_A y O_B, y su proyección sobre la recta AB será N, el punto medio de M_A y
M_B.
Aplicando ahora una homotecia de centro C y razón 2, N se transforma en M,
proyección de P sobre la recta AB, mientras que M_A y M_B se transforman en
A' y B', por lo que N resulta ser el punto medio de A' y B'.
Entonces la construcción es sencilla. Se invierten A y B en la
circunferencia c, para obtener A' y B'. Se halla el punto medio M de A' y B'
y se traza la perpendicular por él. Los puntos en que esta perpendicular
corta a C, si existen, son las soluciones del problema.
Llamemos a = |AC| y b = |BC|. Como ambos puntos están separados por C,
considerando a este como origen, la coordenada de A, en la recta AB con
origen en C, será a y la de B será -b, por ejemplo.
Entonces, las coordenadas de A' y B' son 1/a y -1/b, y la de M será m =
(1/a - 1/b)/2. Para que el problema tenga solución, debe ser |m| < r, donde
r es el radio de la circunferencia:
-r < 1/a - 1/b < r
Y donde no es imprescindible que a, b < r (el perímetro de la mesa de billar
podría ser solo en parte circular).
¡Maravillas de la inversión!
Ignacio Larrosa Cañestro
Hay debe decir
-2r < 1/a - 1/b < 2r
Antonio González
> Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar circular. ¿A
> que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que al rebotar una vez
> golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas son puntuales, no giran
> sobre si mismas)
>
> Si no están en un diámetro es algo más complicado ...
>
No olvidemos tampoco el álgebra vectorial.
Sea A la posición del punto de partida, y N la del punto de contacto con
la circunferencia. La recta en la trayectoria de ida es
r1: A + t U
con U el unitario director. Igualando al punto de contacto tenemos
A + t U = N
t U = N - A
t^2 = 1 - 2N·A + A^2
t = rq(1 -2N·A + A^2)
Una vez que se refleja lo que se invierte es la componente normal del
vector director, por tanto el rayo reflejado será
r2: N + s(U - 2(U·N)N) =
= N + (s/t)(N - A -2((N-A)·N)N) =
= N - (s/t)(N(1 - 2A·N) + A)
Vuelve a pasar por la recta AB cuando este vector es paralelo a A.
Multiplicando vectorialmente por A
0 = (N x A)(1 -(s/t)(1 - 2A·N))
lo que nos da
s = t/(1 - 2A·N)
y sustituyendo en r2
B = N - (N(1-2A·N) + A)/(1 -2A·N) =
= -A/(1-2A·N)
(¡qué simple!). Pasando a la forma escalar
B = -A/(1-2A cos(t))
B -2AB cos(t) = -A
cos(t) = (B+A)/(2AB) = (1/A + 1/B)/2 (!!)
y como -1 < cos(t) < 1 ya tenemos las condiciones para A y B
--
Antonio
Antonio González
>
> Entonces, las coordenadas de A' y B' son 1/a y -1/b, y la de M será m =
> (1/a - 1/b)/2. Para que el problema tenga solución, debe ser |m| < r, donde
> r es el radio de la circunferencia:
>
> -r < 1/a - 1/b < r
>
Te falta un 2 multiplicando a r (¡no siempre voy a ser yo el que se
equivoca :-P!)
--
Antonio
Antonio González
>>
>> -r < 1/a - 1/b < r
>
> Hay debe decir
Y ahí debe decir "Ahí", ¡Ay!
--
Antonio
Antonio González
> Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar circular. ¿A
> que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que al rebotar una vez
> golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas son puntuales, no giran
> sobre si mismas)
>
> Si no están en un diámetro es algo más complicado ...
>
Por supuesto, también podemos emplear geometría elemental.
Si C es el centro de la circunferencia y N el punto de contacto, se
cumple, por el teorema del coseno para AON
Li^2 = r^2 + a^2 - 2ar cos(t)
con Li la longitud del rayo incidente. Para el triángulo BON
Lr^2 = r^2 + b^2 - 2br cos(pi-t) = r^2 + b^2 +2br cos(t)
Por otro lado aplicando el teorema del seno
a/sen(i) = L1/sen(t)
b/sen(r) = L2/sen(pi-t)
pero sen(i)=sen(r), por lo que
a L2 = b L1
elevando al cuadrado y sustituyendo
a^2(r^2 + b^2 +2br cos(t)) = b^2(r^2+a^2 -2ar cos(t))
2r(ba^2+ab^2)cos(t) = r^2(b^2-a^2)
cos(t) = r(b-a)/(2ab)
y ya está resuelto.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar
>> circular. ¿A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>
>> Si no están en un diámetro es algo más complicado ...
>>
>
> Por supuesto, también podemos emplear geometría elemental.
>
> Si C es el centro de la circunferencia y N el punto de contacto, se
> cumple, por el teorema del coseno para AON
¿Pero no quedamos que el centro era C? ":^)
Antonio González
> Antonio González wrote:
>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>> Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar
>>> circular. ¿A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>
>>> Si no están en un diámetro es algo más complicado ...
>>>
>> Por supuesto, también podemos emplear geometría elemental.
>>
>> Si C es el centro de la circunferencia y N el punto de contacto, se
>> cumple, por el teorema del coseno para AON
>
> ¿Pero no quedamos que el centro era C? ":^)
>
Sí, pero es que se cumple la ley fundamental C = O, cuya demostración
dejo para el curioso lector.
--
Antonio