ganancia casi constante

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Marko Riedel

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Mar 29, 2009, 8:39:33 AM3/29/09
to

Un jugador con un capital inicial de 0 Euros lanza una moneda n
veces. Comienza y lanza la moneda. Si sale cara, su capital aumenta en un
Euro, si sale cruz, su capital se reduce a la mitad. Se repite el proceso
hasta haber sido lanzada la moneda n veces.

Por ejemplo, para n=2, los posibles resultados son: 0, 1, 1/2 and 2.

Hallar el valor esperado de la ganancia E_n del jugador.

Un saludo.

--
+------------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, markor...@yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+------------------------------------------------------------------+

Antonio González

unread,
Mar 29, 2009, 10:21:50 AM3/29/09
to
Marko Riedel escribió:

> Un jugador con un capital inicial de 0 Euros lanza una moneda n
> veces. Comienza y lanza la moneda. Si sale cara, su capital aumenta en un
> Euro, si sale cruz, su capital se reduce a la mitad. Se repite el proceso
> hasta haber sido lanzada la moneda n veces.
>
> Por ejemplo, para n=2, los posibles resultados son: 0, 1, 1/2 and 2.
>

Sea P(n,k) la probabilidad de que tras n tiradas tenga un capital de k
euros. Tenemos que

P(n+1,k) = (1/2)P(n,k-1) + (1/2)P(n,2k)

El valor esperado cumplirá

E(n+1) = sum_k k P(n+1,k) = sum_k k P(n,k-1)/2 + sum_k k P(n,2k)/2 =

= sum_k (k-1)P(n-1,k)/2 + sum_k P(n,k-1)/2 + sum_k (2k)P(n,2k)/4 =

= E(n)/2 + 1/2 + E(n)/4 = 3E(n)/4 + 1/2

La solución de esta recurrencia es la suma de una particular más una de
la homogénea

E(n) = 2 + A(3/4)^n

para n = 0 el valor esperado es 0, así que

E(n) = 2(1-(3/4)^n)

Veamos que va bien para los primeros casos. Para n = 1 debe ser

E(1) = 1/2*0 + 1/2*1 = 1/2 = 2(1-3/4)

E(2) = 1/4*0 + 1/4*(1/2) + 1/4*1+1/4*2 = 7/8 = 2(1-9/16)

--

Antonio

Marko Riedel

unread,
Mar 29, 2009, 11:01:13 AM3/29/09
to
Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:

> Marko Riedel escribió:
> > Un jugador con un capital inicial de 0 Euros lanza una moneda n
> > veces. Comienza y lanza la moneda. Si sale cara, su capital aumenta en un
> > Euro, si sale cruz, su capital se reduce a la mitad. Se repite el proceso
> > hasta haber sido lanzada la moneda n veces.
> > Por ejemplo, para n=2, los posibles resultados son: 0, 1, 1/2 and 2.
> >
>

Hola Antonio,

muy bonito tu solucion y correcta tambien. Sin embargo, no veo algunas cosas
(debe ser el cambio horario).

> Sea P(n,k) la probabilidad de que tras n tiradas tenga un capital de k
> euros. Tenemos que
>
> P(n+1,k) = (1/2)P(n,k-1) + (1/2)P(n,2k)
>
> El valor esperado cumplirá
>
> E(n+1) = sum_k k P(n+1,k) = sum_k k P(n,k-1)/2 + sum_k k P(n,2k)/2 =
>
> = sum_k (k-1)P(n-1,k)/2 + sum_k P(n,k-1)/2 + sum_k (2k)P(n,2k)/4 =

El primer término de esta línea debería ser sum_k (k-1)P(n,k-1)/2, no es así?
Luego sum_k P(n,k-1)/2 = 1/2 está bien (es la suma de todas las
probabilidades), pero no veo por que sum_k (2k)P(n,2k) = E(n).

Un saludo.

>
> = E(n)/2 + 1/2 + E(n)/4 = 3E(n)/4 + 1/2
>
> La solución de esta recurrencia es la suma de una particular más una de la
> homogénea
>
> E(n) = 2 + A(3/4)^n
>
> para n = 0 el valor esperado es 0, así que
>
> E(n) = 2(1-(3/4)^n)
>
> Veamos que va bien para los primeros casos. Para n = 1 debe ser
>
> E(1) = 1/2*0 + 1/2*1 = 1/2 = 2(1-3/4)
>
> E(2) = 1/4*0 + 1/4*(1/2) + 1/4*1+1/4*2 = 7/8 = 2(1-9/16)
>
>
>
>
>
> --
>
> Antonio

--

Antonio González

unread,
Mar 29, 2009, 11:31:38 AM3/29/09
to
Marko Riedel escribió:

> Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
>
>> Marko Riedel escribió:
>>> Un jugador con un capital inicial de 0 Euros lanza una moneda n
>>> veces. Comienza y lanza la moneda. Si sale cara, su capital aumenta en un
>>> Euro, si sale cruz, su capital se reduce a la mitad. Se repite el proceso
>>> hasta haber sido lanzada la moneda n veces.
>>> Por ejemplo, para n=2, los posibles resultados son: 0, 1, 1/2 and 2.
>>>
>
> Hola Antonio,
>
> muy bonito tu solucion y correcta tambien. Sin embargo, no veo algunas cosas
> (debe ser el cambio horario).
>
>> Sea P(n,k) la probabilidad de que tras n tiradas tenga un capital de k
>> euros. Tenemos que
>>
>> P(n+1,k) = (1/2)P(n,k-1) + (1/2)P(n,2k)
>>
>> El valor esperado cumplirá
>>
>> E(n+1) = sum_k k P(n+1,k) = sum_k k P(n,k-1)/2 + sum_k k P(n,2k)/2 =
>>
>> = sum_k (k-1)P(n-1,k)/2 + sum_k P(n,k-1)/2 + sum_k (2k)P(n,2k)/4 =
>
> El primer término de esta línea debería ser sum_k (k-1)P(n,k-1)/2, no es así?

Sí, por supuesto, se me han movido los -1.

> Luego sum_k P(n,k-1)/2 = 1/2 está bien (es la suma de todas las
> probabilidades), pero no veo por que sum_k (2k)P(n,2k) = E(n).

Es evidente que podemos hacer m = 2k y nos queda

sum_m m P(n,m)

la única cuestión es si existe algún valor de m para el cual P(n,m) no
sea cero y que no esté contenido en esa suma.

Es fácil ver que no, ya que los posibles valores de k para n+1 han sido
obtenidos justamente sumando 1 o *dividiendo por 2* los correspondientes
a n.

Por ejemplo, para n = 2 los posibles valores son

k = 0, 1/2, 1, 2 (n = 2)

Para n = 3 tenemos

k = 0, 1/4, 1/2, 1, 3/2, 2, 3 (n = 3)

cuando sumamos sobre todos los k para n = 3 debemos sumar sobre los 8
valores. Al sumar sobre los P(2,2k) deberíamos sumar sobre

2k = 0, 1/2, 1, 2, 3, 4, 6

P(2,2k) es no nulo para los cuatro primeros y nulo para los tres
últimos. Lo importante es que no hay ningún valor de k tal que P(2,k) no
sea nulo y que no aparezca en esta lista.

>
> Un saludo.
>
>> = E(n)/2 + 1/2 + E(n)/4 = 3E(n)/4 + 1/2
>>
>> La solución de esta recurrencia es la suma de una particular más una de la
>> homogénea
>>
>> E(n) = 2 + A(3/4)^n
>>
>> para n = 0 el valor esperado es 0, así que
>>
>> E(n) = 2(1-(3/4)^n)
>>
>> Veamos que va bien para los primeros casos. Para n = 1 debe ser
>>
>> E(1) = 1/2*0 + 1/2*1 = 1/2 = 2(1-3/4)
>>
>> E(2) = 1/4*0 + 1/4*(1/2) + 1/4*1+1/4*2 = 7/8 = 2(1-9/16)
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>>
>> Antonio
>


--

Antonio

jhn

unread,
Mar 29, 2009, 2:09:10 PM3/29/09
to
On 29 mar, 08:39, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
> Un  jugador   con  un  capital  inicial   de  0  Euros  lanza   una  moneda  n
> veces. Comienza  y lanza  la moneda. Si  sale cara,  su capital aumenta  en un
> Euro, si  sale cruz, su  capital se  reduce a la  mitad. Se repite  el proceso
> hasta haber sido lanzada la moneda n veces.
>
> Por ejemplo, para n=2, los posibles resultados son: 0, 1, 1/2 and 2.
>
> Hallar el valor esperado de la ganancia E_n del jugador.
>
> Un saludo.
>
> --
> +------------------------------------------------------------------+
> | Marko Riedel, markoriede...@yahoo.de                             |
> |http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html               |
> +------------------------------------------------------------------+

E(n+1) = (1/2)(E(n)+1) + (1/2)(E(n)/2) = (3/4)E(n) + 1/2
que tiene sol. particular constante 2, de donde
E(n) = A(3/4)^n + 2, y como E(0)=0, A=-2 y
E(n) = 2(1 - (3/4)^n).

jhn

Marko Riedel

unread,
Mar 29, 2009, 4:17:59 PM3/29/09
to
jhn <jhn...@gmail.com> writes:

Ya es hora de pedir E[G*(G-1)] y la varianza, que son igual de difícil de
calcular.

;-)

Con el método adecuado, claro está.

;-)

Marko Riedel

unread,
Mar 31, 2009, 12:04:12 PM3/31/09
to
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:

> Un jugador con un capital inicial de 0 Euros lanza una moneda n
> veces. Comienza y lanza la moneda. Si sale cara, su capital aumenta en un
> Euro, si sale cruz, su capital se reduce a la mitad. Se repite el proceso
> hasta haber sido lanzada la moneda n veces.
>
> Por ejemplo, para n=2, los posibles resultados son: 0, 1, 1/2 and 2.
>
> Hallar el valor esperado de la ganancia E_n del jugador.
>
> Un saludo.
>

(Bastante difícil.) Demuestrese que el número de ganacias diferentes al nivel
n es f_{n+3}-1, con $f_n$ los números de Fibonacci.

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