Triángulos en espiral
Antonio González
adosa otro de lado 1/2, con un v�rtice com�n. A este uno de lado 1/4, a
�ste uno de lado 1/8, etc. de forma que vamos construyendo una espiral.
En el l�mite los sucesivos tri�ngulos a�adidos se reducen a un punto.
�Cu�l es la posici�n de este punto respecto al tri�ngulo original?
�Y si los sucesivos tri�ngulos tienen lados 1 (el
inicial),1,1/2,1/6,1/24,...1/n!?
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Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Se tiene un tri�ngulo equil�tero de lado unidad. A uno de sus lados se
> adosa otro de lado 1/2, con un v�rtice com�n. A este uno de lado 1/4,
> a �ste uno de lado 1/8, etc. de forma que vamos construyendo una
> espiral.
> En el l�mite los sucesivos tri�ngulos a�adidos se reducen a un punto.
> �Cu�l es la posici�n de este punto respecto al tri�ngulo original?
La distancia entre los centros de triangulos sucesivos es igual a la mitad
del lado del mayor de ellos, mientras que el vector que va de centro a
centro gira 60� en cada ocasi�n. Colocando el tri�ngulo inicial con el
centro en O y un v�rtice en el eje imaginario, colocando el segundo
tri�ngulo arriba y a la derecha, el afijo z del punto l�mite ser�la suma de
la serie geom�trica:
z = (1/2)e^(i*pi/3)Sum(((1/2)e^(-i*pi/3)))^n, n, 0, inf) = 1/2 + i*rq(3)/6
Es decir, el sim�trico del centro del tri�ngulo inicial, respecto al lado
sobre el que sigue la espiral.
> �Y si los sucesivos tri�ngulos tienen lados 1 (el
> inicial),1,1/2,1/6,1/24,...1/n!?
Bueno, ahora la cosa parece m�s bien exponencial, pero hay que mirarla un
poco m�s despacio y ahora no puedo.
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Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Ignacio Larrosa Ca�estro
Coloquemos ahora el tri�ngulo con los vertices en (0, 0), (1, 0) y (1/2,
rq(3)/2). El nuevo tri�ngulo tendr� un v�rtice en (1, 0). Entonces, si z es
el afijo del punto l�mite,
z = Sum((e^(i*pi/3))^n/n!, n, 0, inf) = e^(e^(i*pi/3)) = e^(1/2 + i*rq(3)/2)
= e^(1/2)*e^(i*rq(3)/2) = e^(1/2)(cos(rq(3)/2) + i*sen(rq(3)/2))
~= 1.068139482 + 1.255929884*i
Ignacio Larrosa Ca�estro
>> Se tiene un tri�ngulo equil�tero de lado unidad. A uno de sus lados
>> se adosa otro de lado 1/2, con un v�rtice com�n. A este uno de lado
>> 1/4, a �ste uno de lado 1/8, etc. de forma que vamos construyendo una
>> espiral.
>> En el l�mite los sucesivos tri�ngulos a�adidos se reducen a un punto.
>> �Cu�l es la posici�n de este punto respecto al tri�ngulo original?
>
>
> La distancia entre los centros de triangulos sucesivos es igual a la
> mitad del lado del mayor de ellos, mientras que el vector que va de
> centro a centro gira 60� en cada ocasi�n. Colocando el tri�ngulo
> inicial con el centro en O y un v�rtice en el eje imaginario,
> colocando el segundo tri�ngulo arriba y a la derecha, el afijo z del
> punto l�mite ser�la suma de la serie geom�trica:
>
> z = (1/2)e^(i*pi/3)Sum(((1/2)e^(-i*pi/3)))^n, n, 0, inf) = 1/2 +
> i*rq(3)/6
> Es decir, el sim�trico del centro del tri�ngulo inicial, respecto al
> lado sobre el que sigue la espiral.
>
M�s sencillamente, como en el otro caso, podemos seguirle la pista al
v�rtice que no esta en el lado del tri�ngulo anterior, m�s que al centro del
tri�ngulo. Entonces, colocando el tri�ngulo inicial con los vertices en (0,
0), (1, 0) y (1/2, rq(3)/2), y tomando el nuevo tri�ngulo con un v�rtice en
(1, 0), tendremos
z = Sum(((e^(i*pi/3)/2)^n, n, 0, inf) = 1 + i*rq(3)/3
El mismo resultado que antes, si tenemos en cuenta la nueva posici�n del
tri�ngulo.
Bueno, a ver si seguimos corrigiendo un poco ...