factorizacion

[el mendigo]

expresar los polinomios como producto de factores.

p(x) = ( 1+ x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )^2 - x^5

f(x) = x^5 - 5x^4 - x^3 + 16x^2 - 11x+2

[Antonio González]

El 27/05/2012 2:06, el mendigo escribi�:

> expresar los polinomios como producto de factores.
>
> p(x) = ( 1+ x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )^2 - x^5
>

Veamos

(1+x+x^2 + ... + x^5) = (1-x^6)/(1-x)

As� que tenemos

p(x) = (1-x^6)^2/(1-x)^2 - x^5 =

= ((1-x^6)^2 - x^5(1-x)^2)/(1-x)^2 =

= (1-2x^6 + x^12 - x^5 + 2x^6 - x^7)/(1-x)^2 =

= (1 -x^5 - x^7 + x^12)/(1-x)^2 =

= (1-x^5)(1-x^7)/(1-x)^2 =

= (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)



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Antonio

[Ignacio Larrosa Cañestro]

El 27/05/2012 2:06, el mendigo escribió:
> expresar los polinomios como producto de factores.
>
>

> f(x) = x^5 - 5x^4 - x^3 + 16x^2 - 11x+2

Se supone que como producto de polinomios con coeficientes enteros. Como
carece de raíces enteras (+/- 1, +/-2 no lo son), si se puede
descomponer lo será en un polinomio de grado 2 y otro de grado 3. La
duda es donde va el 2 como término independiente y con que signo. Lo
dejamos pendiente y ponemos

f(x) = (x^2 + ax + b)(x^3 + cx^2 + dx + e) =

x^5+(a+c)x^4+(ac+b+d)x^3+(ad+bc+e)x^2+(ae+bd)x+be

De aquí, c = -a - 5, e = 2/b ===>

f(x) = x^5-5x^4-(a^2+5a-b-d)x^3-(a(b-d)+5b-2/b)x^2+(2a/b+bd)x + 2

Tenemos 4 posibilidades: i) b = 2, e = 1; ii) b = -2, e = -1; iii) c(b =
1, e = 2; iv) b = -1, e = -2.

Empecemos por la primera,

i) b = 2, e = 1

f(x) = x^5-5x^4-(a^2+5a-d-2)x^3+(a(d-2)-9)x^2+(a+2d)x + 2

Por tanto, a = -11 - 2d,

f(x) = x^5-5x^4-(4d^2+33d+64)x^3-(2d^2+7d-13)x^2-11x+2

Por tanto, debe ser

4d^2 + 33d + 64 = 1 ===> d = - 3, d = -21/4

Solo valdrá la primera si es que también cumple

2d^2 + 7d - 13 = -16 ===> d = - 3, d = -1/2

Por tanto, d = -3, a = -5, c = 0, b = 2, e = 1 y

f(x) = (x^2 - 5x + 2)(x^3 - 3x + 1)



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Saludos, de un lector atento ...

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/