me pueden explicar como se llega a estas formulas
susana
alguien me podria demostrar como se obtienen y de paso explicarme como
se obtiene el primer cuadro.
lo otro lo entiendo .Muchas gracias.
el link http://www.eneayudas.cl/educa/geo/transformacionesisometricas.1/rotacion.htm#arriba
Antonio González
> estoy viendo este tema por mi cuenta y me tope con estas formulas ,
> alguien me podria demostrar como se obtienen y de paso explicarme como
> se obtiene el primer cuadro.
El primer cuadro simplemente una aplicaci�n de lo anterior sustituyendo
los valores del seno y del coseno.
En cuanto a las f�rmulas de la rotaci�n, una manera de obtenerlas es
usando vectores.
Supongamos que el centro de la rotaci�n es el origen de coordenadas, y
que tenemos un punto que inicialmente se encuentra en la posici�n (x,y).
En forma vectorial tendremos
R = x I + y J
siendo I y J los vectores unitarios en la direcci�n de los ejes X e Y.
Si giramos un �ngulo q, la nueva posici�n ser�
R' = x I' + y J'
con I' y J' el resultado de girar los vectores unitarios anteriores.
Ahora bien, estos vectores se pueden poner como combinaci�n de la base
original, con un poco de trigonometr�a.
El vector I' es la hipotenusa de un tri�ngulo cuyo �ngulo en el origen
es q. Los catetos de este tri�ngulo son (cos(q),sen(q)), esto es
I' = cos(q)I + sen(q)J
Igualmente, el vector J' forma un �ngulo q con el eje Y. Teniendo en
cuenta que su componente X es negativa, el vector J' se puede poner como
J' = -sen(q)I + cos(q)J
Sustituyendo en la expresi�n de R'
R' = x(cos(q)I +sen(q)J) + y(-sen(q)I + cos(q)J) =
= (x cos(q) - y sen(q))I + (x sen(q) + y cos(q))J
o, separando en componentes
x' = x cos(q) - y sen(q)
y' = x sen(q) + y cos(q)
Si el centro de la rotaci�n es (h,k) simplemente medimos respecto a
dicho punto, esto es
x'-h = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q)
y'-k = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q)
y despejando
x' = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q) + h
y' = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q) + k
--
Antonio
susana
> susana escribió:
>
> > estoy viendo este tema por mi cuenta y me tope con estas formulas ,
> > alguien me podria demostrar como se obtienen y de paso explicarme como
> > se obtiene el primer cuadro.
>
> los valores del seno y del coseno.
>
> usando vectores.
>
> Supongamos que el centro de la rotación es el origen de coordenadas, y
> que tenemos un punto que inicialmente se encuentra en la posición (x,y).
> En forma vectorial tendremos
>
> R = x I + y J
>
>
> Si giramos un ángulo q, la nueva posición será
>
> R' = x I' + y J'
>
> con I' y J' el resultado de girar los vectores unitarios anteriores.
>
> original, con un poco de trigonometría.
>
> El vector I' es la hipotenusa de un triángulo cuyo ángulo en el origen
> es q. Los catetos de este triángulo son (cos(q),sen(q)), esto es
>
> I' = cos(q)I + sen(q)J
>
> cuenta que su componente X es negativa, el vector J' se puede poner como
>
> J' = -sen(q)I + cos(q)J
>
>
> R' = x(cos(q)I +sen(q)J) + y(-sen(q)I + cos(q)J) =
>
> = (x cos(q) - y sen(q))I + (x sen(q) + y cos(q))J
>
> o, separando en componentes
>
> x' = x cos(q) - y sen(q)
>
> y' = x sen(q) + y cos(q)
>
> dicho punto, esto es
>
> x'-h = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q)
>
> y'-k = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q)
>
> y despejando
>
> x' = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q) + h
>
> y' = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q) + k
>
> --
>
> Antonio
aunque veo que vectorialmente es facil obtenerlas , como podria
obtenerlas usando algun metodo diferente...en todo gracias de antemano.
Antonio González
> On 19 nov, 05:14, Antonio Gonz�lez <gonfe...@gmail.com> wrote:
>> susana escribi�:
>>
>>> estoy viendo este tema por mi cuenta y me tope con estas formulas ,
>>> alguien me podria demostrar como se obtienen y de paso explicarme como
>>> se obtiene el primer cuadro.
>> los valores del seno y del coseno.
>>
>> usando vectores.
>>
>> Supongamos que el centro de la rotaci�n es el origen de coordenadas, y
>> que tenemos un punto que inicialmente se encuentra en la posici�n (x,y).
>> En forma vectorial tendremos
>>
>> R = x I + y J
>>
>>
>> Si giramos un �ngulo q, la nueva posici�n ser�
>>
>>
>> con I' y J' el resultado de girar los vectores unitarios anteriores.
>>
>> original, con un poco de trigonometr�a.
>>
>> El vector I' es la hipotenusa de un tri�ngulo cuyo �ngulo en el origen
>> es q. Los catetos de este tri�ngulo son (cos(q),sen(q)), esto es
>>
>> I' = cos(q)I + sen(q)J
>>
>> cuenta que su componente X es negativa, el vector J' se puede poner como
>>
>> J' = -sen(q)I + cos(q)J
>>
>>
>> R' = x(cos(q)I +sen(q)J) + y(-sen(q)I + cos(q)J) =
>>
>> = (x cos(q) - y sen(q))I + (x sen(q) + y cos(q))J
>>
>> o, separando en componentes
>>
>> x' = x cos(q) - y sen(q)
>>
>> y' = x sen(q) + y cos(q)
>>
>> dicho punto, esto es
>>
>> x'-h = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q)
>>
>> y'-k = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q)
>>
>> y despejando
>>
>> x' = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q) + h
>>
>> y' = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q) + k
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> aunque veo que vectorialmente es facil obtenerlas , como podria
> obtenerlas usando algun metodo diferente...en todo gracias de antemano.
�Qu� pasa, no te gustan los vectores?
Pues s�, hay m�s formas. Aqu� van 5 formas m�s.
Supondr� siempre la rotaci�n en torno al origen. Luego se traslada como
he hecho arriba.
1) Trigonometr�a pura y dura
Trazamos los ejes X e Y y el punto P. Giramos el punto P un �ngulo q en
torno al origen para obtener el punto P'.
Trazamos los los ejes X' e Y', que resultan de girar X e Y un �ngulo q.
Trazamos las perpendiculares desde P' a los dos pares de ejes. Las
proyecciones de P' sobre X' e Y' miden x e y (las coordenadas
originales) mientras que sobre X e Y miden x' e y'.
Si tratamos las paralelas a X e Y por los v�rtices del rect�ngulo
formado por las perpendiculares a X' e Y', es claro (viendo la figura,
por supuesto) que y' es la suma de dos tramos: uno que vale ycos(q) y
otro que vale xsen(q).
y' = y cos(q) + x sen(q)
Por la misma raz�n, x' es la diferencia entre un tramo que mide x cos(q)
y uno que mide y sen(q), de forma que
x' = x cos(q) - y sen(q)
2) Empleando coordenadas polares
El punto original puede escribirse como
x = R cos(t) y = R sen(t)
cuando lo giramos un �ngulo q se convierte en
x' = R cos(t+q)
y' = R sen(t+q)
desarrollando el seno y el coseno de una suma
x' = R cos(t)cos(q) - R sen(t)sen(q) = x cos(q) - y sen(q)
y' = R sen(t)cos(q) + R sen(q)cos(t) = y cos(q) + x sen(q)
3) Empleando variable compleja
En el plano complejo, el punto original equivale a
z = x + iy
Al girarlo un �ngulo q obtenemos
z' = e^(iq)z
Aplicando la f�rmula de Euler y el producto de n�meros complejos
z' = (cos(q) + i sen(q))(x+iy) =
= (x cos(q) - y sen(q)) + i(x sen(q) + y cos(q))
de donde
x' = x cos(q) - y sen(q)
y' = x sen(q) + y cos(q)
4) Empleando c�lculo diferencial
Si en lugar de un �ngulo finito consideramos una rotaci�n infinitesimal
de un �ngulo dq, la variaci�n en la posici�n de un punto es
perpendicular a su vector de posici�n y proporcional a �ste, esto es
dx = -y dq
dy = x dq
de donde resulta el sistema de ecuaciones diferenciales
dx/dq = -y
dy/dq = x
cuya integraci�n da
x(q) = x(0) cos(q) - y(0) sen(q)
y(q) = x(0) sen(q) + y(0) cos(q)
o, volviendo a la notaci�n original
x' = x cos(q) - y sen(q)
y' = x sen(q) + y cos(q)
5) Empleando c�lculo matricial
Una rotaci�n es una transformaci�n lineal que preserva las distancias y
los �ngulos y que posee un punto fijo. Esto quiere decir que se puede
escribir como
x' = Ax + By
y' = Cx + Dy
puesto que queremos que conserve las distancias, debe cumplirse
x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2
(A^2 + B^2)x^2 + (C^2 + D^2)y^2 + 2(AB+CD)xy = x^2 + y^2
por lo que debe ser
A^2 + B^2 = 1
C^2 + D^2 = 1
2AB + 2CD = 0
De las dos primeras podemos escribir
A = cos(u) B = sen(u) C = cos(v) D = sen(v)
sustituyendo en la �ltima queda
sen(2u) + sen(2v) = 0
de donde v = u + pi/2 y resulta
x' = x cos(u) + y sen(u)
y' = -x sen(u) + x cos(u)
para relacionar v con q observamos que el eje X se transforma en una
recta que forma un �ngulo q con el eje, esto es
t cos(q) = t cos(u)
t sen(q) = - t sen(u)
de donde q = -u y finalmente
x' = x cos(q) - y sen(q)
y' = x sen(q) + y cos(q)
--
Antonio
susana
> susana escribió:
>
>
>
>
>
> > On 19 nov, 05:14, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> >> susana escribió:
>
> >>> alguien me podria demostrar como se obtienen y de paso explicarme como
> >>> se obtiene el primer cuadro.
> >> los valores del seno y del coseno.
>
> >> usando vectores.
>
> >> Supongamos que el centro de la rotación es el origen de coordenadas, y
> >> que tenemos un punto que inicialmente se encuentra en la posición (x,y).
> >> En forma vectorial tendremos
>
> >> R = x I + y J
>
>
> >> Si giramos un ángulo q, la nueva posición será
>
>
> >> con I' y J' el resultado de girar los vectores unitarios anteriores.
>
> >> original, con un poco de trigonometría.
>
> >> El vector I' es la hipotenusa de un triángulo cuyo ángulo en el origen
> >> es q. Los catetos de este triángulo son (cos(q),sen(q)), esto es
>
> >> I' = cos(q)I + sen(q)J
>
> >> cuenta que su componente X es negativa, el vector J' se puede poner como
>
> >> J' = -sen(q)I + cos(q)J
>
>
> >> R' = x(cos(q)I +sen(q)J) + y(-sen(q)I + cos(q)J) =
>
> >> = (x cos(q) - y sen(q))I + (x sen(q) + y cos(q))J
>
> >> o, separando en componentes
>
> >> x' = x cos(q) - y sen(q)
>
> >> y' = x sen(q) + y cos(q)
>
> >> dicho punto, esto es
>
> >> x'-h = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q)
>
> >> y'-k = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q)
>
> >> y despejando
>
> >> x' = (x-h)cos(q) - (y-k)sen(q) + h
>
> >> y' = (x-h)sen(q) + (y-k)cos(q) + k
>
> >> --
>
> >> Antonio
>
> > aunque veo que vectorialmente es facil obtenerlas , como podria
> > obtenerlas usando algun metodo diferente...en todo gracias de antemano.
>
>
> Pues sí, hay más formas. Aquí van 5 formas más.
>
> Supondré siempre la rotación en torno al origen. Luego se traslada como
> he hecho arriba.
>
> 1) Trigonometría pura y dura
> Trazamos los ejes X e Y y el punto P. Giramos el punto P un ángulo q en
> torno al origen para obtener el punto P'.
>
>
> Trazamos las perpendiculares desde P' a los dos pares de ejes. Las
> proyecciones de P' sobre X' e Y' miden x e y (las coordenadas
> originales) mientras que sobre X e Y miden x' e y'.
>
> formado por las perpendiculares a X' e Y', es claro (viendo la figura,
> por supuesto) que y' es la suma de dos tramos: uno que vale ycos(q) y
> otro que vale xsen(q).
>
> y' = y cos(q) + x sen(q)
>
> y uno que mide y sen(q), de forma que
>
> x' = x cos(q) - y sen(q)
>
> 2) Empleando coordenadas polares
> El punto original puede escribirse como
>
> x = R cos(t) y = R sen(t)
>
>
> x' = R cos(t+q)
>
> y' = R sen(t+q)
>
> desarrollando el seno y el coseno de una suma
>
> x' = R cos(t)cos(q) - R sen(t)sen(q) = x cos(q) - y sen(q)
>
> y' = R sen(t)cos(q) + R sen(q)cos(t) = y cos(q) + x sen(q)
>
> 3) Empleando variable compleja
> En el plano complejo, el punto original equivale a
>
> z = x + iy
>
>
> z' = e^(iq)z
>
> Aplicando la fórmula de Euler y el producto de números complejos
>
> z' = (cos(q) + i sen(q))(x+iy) =
>
> = (x cos(q) - y sen(q)) + i(x sen(q) + y cos(q))
>
> de donde
>
> x' = x cos(q) - y sen(q)
>
> y' = x sen(q) + y cos(q)
>
> Si en lugar de un ángulo finito consideramos una rotación infinitesimal
> de un ángulo dq, la variación en la posición de un punto es
> perpendicular a su vector de posición y proporcional a éste, esto es
>
> dx = -y dq
>
> dy = x dq
>
> de donde resulta el sistema de ecuaciones diferenciales
>
> dx/dq = -y
>
> dy/dq = x
>
>
> x(q) = x(0) cos(q) - y(0) sen(q)
>
> y(q) = x(0) sen(q) + y(0) cos(q)
>
>
> x' = x cos(q) - y sen(q)
>
> y' = x sen(q) + y cos(q)
>
> Una rotación es una transformación lineal que preserva las distancias y
> los ángulos y que posee un punto fijo. Esto quiere decir que se puede
> escribir como
>
> x' = Ax + By
>
> y' = Cx + Dy
>
> puesto que queremos que conserve las distancias, debe cumplirse
>
> x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2
>
> (A^2 + B^2)x^2 + (C^2 + D^2)y^2 + 2(AB+CD)xy = x^2 + y^2
>
> por lo que debe ser
>
> A^2 + B^2 = 1
>
> C^2 + D^2 = 1
>
> 2AB + 2CD = 0
>
> De las dos primeras podemos escribir
>
> A = cos(u) B = sen(u) C = cos(v) D = sen(v)
>
>
> sen(2u) + sen(2v) = 0
>
> de donde v = u + pi/2 y resulta
>
> x' = x cos(u) + y sen(u)
>
> y' = -x sen(u) + x cos(u)
>
> para relacionar v con q observamos que el eje X se transforma en una
>
> t cos(q) = t cos(u)
>
> t sen(q) = - t sen(u)
>
> de donde q = -u y finalmente
>
> x' = x cos(q) - y sen(q)
>
> y' = x sen(q) + y cos(q)
>
> --
>
>
> - Mostrar texto de la cita -
gracias , todo lo demas lo entiendo , y la verdad no me gustan los
vectores , algunos niveles de abtraccion usando vectores me complican
un poco.
gracias por tu tiempo
me queda una duda conoces alguna formula similar pero en 3d ,queria
aplicarla a un tetraedro y darle movimiento en el espacio.
Antonio González
>
> me queda una duda conoces alguna formula similar pero en 3d ,queria
> aplicarla a un tetraedro y darle movimiento en el espacio.
En tres dimensiones lo m�s c�modo es usar las matrices de rotaci�n.
Si X es el vector original (x,y,z), tras la rotaci�n se transforma en
X' = R�X
donde R es una matriz 3 x 3 del tipo ortogonal, esto es, que se cumple
R^(-1) = R^t
Por ejemplo, para una rotaci�n en torno al eje Z ser�a
R = (( cos(q), -sen(q), 0),(sen(q),cos(q),0),(0,0,1))
Toda rotaci�n se puede escribir como composici�n de tres rotaciones
consecutivas definidas por los llamados "�ngulos de Euler".
Este es un tema que puedes encontrar en multitud de referencias en la
red. Por ejemplo:
http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html
http://mathworld.wolfram.com/EulerAngles.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_representation_%28mathematics%29
--
Antonio
susana
> > aplicarla a un tetraedro y darle movimiento en el espacio.
>
>
> Si X es el vector original (x,y,z), tras la rotación se transforma en
>
> X' = R·X
>
> donde R es una matriz 3 x 3 del tipo ortogonal, esto es, que se cumple
>
> R^(-1) = R^t
>
>
> R = (( cos(q), -sen(q), 0),(sen(q),cos(q),0),(0,0,1))
>
> consecutivas definidas por los llamados "ángulos de Euler".
>
> Este es un tema que puedes encontrar en multitud de referencias en la
> red. Por ejemplo:
>
> http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/EulerAngles.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_representation_%28mathematics%29
>
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>
> Antonio
bien buscare por ahi , gracias por la informacion