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¿Curvas de curvatura constante?
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Antonio González
Nov 1, 2012, 1:20:39 PM11/1/12
to
Entre las curvas de curvatura constante tenemos evidentemente las
rectas y circunferencias, pero no son las �nica. Las h�lices tambi�n
tienen curvatura constante.
En el plano las �nicas curvas de curvatura constante son las
circunferencias (incluyendo a las rectas como caso l�mite).
En el cilindro son las h�lices (incluyendo circunferencias transversales
y generatrices como casos l�mites).
Pero, �y en otras superficies? �Existe sobre la esfera una curva de
curvatura constante que no sea una circunferencia?
�Y sobre un cono recto r = z? �C�mo se generalizar�an las h�lices al
caso de un cono?
--
Antonio
rectas y circunferencias, pero no son las �nica. Las h�lices tambi�n
tienen curvatura constante.
En el plano las �nicas curvas de curvatura constante son las
circunferencias (incluyendo a las rectas como caso l�mite).
En el cilindro son las h�lices (incluyendo circunferencias transversales
y generatrices como casos l�mites).
Pero, �y en otras superficies? �Existe sobre la esfera una curva de
curvatura constante que no sea una circunferencia?
�Y sobre un cono recto r = z? �C�mo se generalizar�an las h�lices al
caso de un cono?
--
Antonio
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 3, 2012, 5:02:32 AM11/3/12
to
On 1 Nov., 18:20, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> Entre las curvas de curvatura constante tenemos evidentemente las
> rectas y circunferencias, pero no son las única. Las hélices también
> Entre las curvas de curvatura constante tenemos evidentemente las
> tienen curvatura constante.
>
> En el plano las únicas curvas de curvatura constante son las
> circunferencias (incluyendo a las rectas como caso límite).
>
> En el cilindro son las hélices (incluyendo circunferencias transversales
> y generatrices como casos límites).
>
> Pero, ¿y en otras superficies? ¿Existe sobre la esfera una curva de
> curvatura constante que no sea una circunferencia?
>
> ¿Y sobre un cono recto r = z? ¿Cómo se generalizarían las hélices al
> Pero, ¿y en otras superficies? ¿Existe sobre la esfera una curva de
> curvatura constante que no sea una circunferencia?
>
> caso de un cono?
>
> --
> Antonio
>
>
Las fórmulas generales resultan muy complicado (por lo menos para mí).
>
> --
> Antonio
>
>
Sin fórmulas está claro el caso del cono:
Consideramos und punto P en el cono y una pieza de la curva buscada
yendo tras A.
Si la dirección de la curva es 0, es decir la curva está en un círculo
de radio (digamos) R, la cuvatura rho es R, la minimum en P. Si la
dirección sería pi/2, es decir vertical, la curvatura es infinita. Es
decir, por contunuidad, en P hay una dirección de la curva de tal
manera que la curvatura es igual a un valor dado rho0 (si sólo es >R).
Por lo tanto la curva buscada es una espiral que aproxima gradualmente
el círculo r = rho0.
Todanía no he conseguido determinar la función r(phi) exacta.
Para la esfera:
Consideramos la vecinidad de un punto P en la esfera (del radio R).
Marchando un poquito en la curva buscada con una curvatura r < R
significa marchar en un círculo paralelo de este radio. Cada deviación
infinitesimal de etsa círculo significa cambiar la curvatura. Por lo
tanto la curva es un círculo paralelo (o un círculo grande como caso
especial), que es una cincunferencia. Por eso la respuesta es
negativa.
PD: es interesante comparar las cuvaturas del "espacio" de las
superficies: es =R para la esfera, pero =0 para el cono.
PPD: ¿qué pasa en un toro?
Saluos,
Wolfgang
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 12, 2012, 6:21:49 AM11/12/12
to
On 3 Nov., 10:02, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> wrote:
> On 1 Nov., 18:20, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > Entre las curvas decurvaturaconstante tenemos evidentemente las
> On 1 Nov., 18:20, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > rectas y circunferencias, pero no son las única. Las hélices también
> > tienencurvaturaconstante.
>
> > En el plano las únicas curvas decurvaturaconstante son las
> > tienencurvaturaconstante.
>
> > circunferencias (incluyendo a las rectas como caso límite).
>
> > En el cilindro son las hélices (incluyendo circunferencias transversales
> > y generatrices como casos límites).
>
> > Pero, ¿y en otras superficies? ¿Existe sobre la esfera una curva de
> >curvaturaconstante que no sea una circunferencia?
>
> > En el cilindro son las hélices (incluyendo circunferencias transversales
> > y generatrices como casos límites).
>
> > Pero, ¿y en otras superficies? ¿Existe sobre la esfera una curva de
>
> > ¿Y sobre un cono recto r = z? ¿Cómo se generalizarían las hélices al
> > caso de un cono?
>
> > --
> > Antonio
>
> Las fórmulas generales resultan muy complicado (por lo menos para mí).
>
> Sin fórmulas está claro el caso del cono:
> Consideramos und punto P en el cono y una pieza de la curva buscada
> yendo tras A.
> Si la dirección de la curva es 0, es decir la curva está en un círculo
> de radio (digamos) R, la cuvatura rho es R, la minimum en P. Si la
> dirección sería pi/2, es decir vertical, lacurvaturaes infinita. Es
> > ¿Y sobre un cono recto r = z? ¿Cómo se generalizarían las hélices al
> > caso de un cono?
>
> > --
> > Antonio
>
> Las fórmulas generales resultan muy complicado (por lo menos para mí).
>
> Sin fórmulas está claro el caso del cono:
> Consideramos und punto P en el cono y una pieza de la curva buscada
> yendo tras A.
> Si la dirección de la curva es 0, es decir la curva está en un círculo
> de radio (digamos) R, la cuvatura rho es R, la minimum en P. Si la
> decir, por contunuidad, en P hay una dirección de la curva de tal
> manera que lacurvaturaes igual a un valor dado rho0 (si sólo es >R).
> Por lo tanto la curva buscada es una espiral que aproxima gradualmente
> el círculo r = rho0.
> Todanía no he conseguido determinar la función r(phi) exacta.
>
> Para la esfera:
> Consideramos la vecinidad de un punto P en la esfera (del radio R).
> Marchando un poquito en la curva buscada con unacurvaturar < R
> el círculo r = rho0.
> Todanía no he conseguido determinar la función r(phi) exacta.
>
> Para la esfera:
> Consideramos la vecinidad de un punto P en la esfera (del radio R).
> significa marchar en un círculo paralelo de este radio. Cada deviación
> infinitesimal de etsa círculo significa cambiar lacurvatura. Por lo
> tanto la curva es un círculo paralelo (o un círculo grande como caso
> especial), que es una cincunferencia. Por eso la respuesta es
> negativa.
>
> PD: es interesante comparar las cuvaturas del "espacio" de las
> superficies: es =R para la esfera, pero =0 para el cono.
> PPD: ¿qué pasa en un toro?
>
> Saluos,
> Wolfgang
>
>
He hallado un resultado sorprendente: la solución para la curva de
> especial), que es una cincunferencia. Por eso la respuesta es
> negativa.
>
> PD: es interesante comparar las cuvaturas del "espacio" de las
> superficies: es =R para la esfera, pero =0 para el cono.
> PPD: ¿qué pasa en un toro?
>
> Saluos,
> Wolfgang
>
>
constante curvatura en el cono z=a*r cerca del radio final R es una
función oscillatorica.
Buscamos la solución r(phi) cerca del radio R de curvatura, es decir
consideramos la función
r(phi) = R + eps f(phi)
Linearizando las expresiones relevantes (eps->0, ver abajo) hallamos
para f(phi) la ecuación
f''(phi) + f(phi) = 0
que lleva a una curva oscillanda.
Derivación: tenemos que (eps^2 = 0)
vector de radio
vr[u] = {Cos[u]*(R + \[Epsilon]*f[u]), (R + \[Epsilon]*f[u])*Sin[u],
a*(R + \[Epsilon]*f[u])}
vector tangencial
vt[u] = {-Sin[u] + (\[Epsilon]*Cos[u]*Derivative[1][f][u])/R,
Cos[u] + (\[Epsilon]*Sin[u]*Derivative[1][f][u])/
R, (a*\[Epsilon]*Derivative[1][f][u])/R}
radio de curvatura
rho = R + \[Epsilon]*f[u] + \[Epsilon]*Derivative[2][f][u]
Si rho = cte. = R -> f''(u) + f(u) ==0
¿Qué te parece, Antonio?
Saludos,
Wolfgang
Antonio González
Nov 12, 2012, 6:54:18 AM11/12/12
to
El 12/11/12 12:21, Dr. Wolfgang Hintze escribi�:
>>
>>> En el plano las �nicas curvas decurvaturaconstante son las
>>> circunferencias (incluyendo a las rectas como caso l�mite).
>>
>>> En el cilindro son las h�lices (incluyendo circunferencias transversales
>>> y generatrices como casos l�mites).
>>
>> Sin f�rmulas est� claro el caso del cono:
>> decir, por contunuidad, en P hay una direcci�n de la curva de tal
>> manera que lacurvaturaes igual a un valor dado rho0 (si s�lo es >R).
>> Todan�a no he conseguido determinar la funci�n r(phi) exacta.
>> infinitesimal de etsa c�rculo significa cambiar lacurvatura. Por lo
>> tanto la curva es un c�rculo paralelo (o un c�rculo grande como caso
>>
>> Saluos,
>> Wolfgang
>>
>>
>
> He hallado un resultado sorprendente: la soluci�n para la curva de
>
S�, a eso llegu� yo tambi�n y me result� sorprendente. Yo estaba
convencido de que ser�a una funci�n que tender�a asint�ticamente al
radio m�ximo, coloc�ndose cada vez m�s horizontal.
>
--
Antonio
> On 3 Nov., 10:02, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> wrote:
>> On 1 Nov., 18:20, Antonio Gonz�lez <gonfe...@gmail.com> wrote:
>>
>>
>>
>>
>>
>>> Entre las curvas decurvaturaconstante tenemos evidentemente las
>>
>>
>>
>>
>>
>>> Entre las curvas decurvaturaconstante tenemos evidentemente las
>>> rectas y circunferencias, pero no son las �nica. Las h�lices tambi�n
>>> tienencurvaturaconstante.
>>
>>> En el plano las �nicas curvas decurvaturaconstante son las
>>> circunferencias (incluyendo a las rectas como caso l�mite).
>>
>>> En el cilindro son las h�lices (incluyendo circunferencias transversales
>>> y generatrices como casos l�mites).
>>
>>> Pero, �y en otras superficies? �Existe sobre la esfera una curva de
>>> curvaturaconstante que no sea una circunferencia?
>>
>>> �Y sobre un cono recto r = z? �C�mo se generalizar�an las h�lices al
>>> Pero, �y en otras superficies? �Existe sobre la esfera una curva de
>>> curvaturaconstante que no sea una circunferencia?
>>
>>> caso de un cono?
>>
>>> --
>>> Antonio
>>
>> Las f�rmulas generales resultan muy complicado (por lo menos para m�).
>>
>>> --
>>> Antonio
>>
>>
>> Sin f�rmulas est� claro el caso del cono:
>> Consideramos und punto P en el cono y una pieza de la curva buscada
>> yendo tras A.
>> Si la direcci�n de la curva es 0, es decir la curva est� en un c�rculo
>> yendo tras A.
>> de radio (digamos) R, la cuvatura rho es R, la minimum en P. Si la
>> direcci�n ser�a pi/2, es decir vertical, lacurvaturaes infinita. Es
>> decir, por contunuidad, en P hay una direcci�n de la curva de tal
>> manera que lacurvaturaes igual a un valor dado rho0 (si s�lo es >R).
>> Por lo tanto la curva buscada es una espiral que aproxima gradualmente
>> el c�rculo r = rho0.
>> Todan�a no he conseguido determinar la funci�n r(phi) exacta.
>>
>> Para la esfera:
>> Consideramos la vecinidad de un punto P en la esfera (del radio R).
>> Marchando un poquito en la curva buscada con unacurvaturar < R
>> significa marchar en un c�rculo paralelo de este radio. Cada deviaci�n
>> Para la esfera:
>> Consideramos la vecinidad de un punto P en la esfera (del radio R).
>> Marchando un poquito en la curva buscada con unacurvaturar < R
>> infinitesimal de etsa c�rculo significa cambiar lacurvatura. Por lo
>> tanto la curva es un c�rculo paralelo (o un c�rculo grande como caso
>> especial), que es una cincunferencia. Por eso la respuesta es
>> negativa.
>>
>> PD: es interesante comparar las cuvaturas del "espacio" de las
>> superficies: es =R para la esfera, pero =0 para el cono.
>> PPD: �qu� pasa en un toro?
>> negativa.
>>
>> PD: es interesante comparar las cuvaturas del "espacio" de las
>> superficies: es =R para la esfera, pero =0 para el cono.
>>
>> Saluos,
>> Wolfgang
>>
>>
>
> He hallado un resultado sorprendente: la soluci�n para la curva de
> constante curvatura en el cono z=a*r cerca del radio final R es una
> funci�n oscillatorica.
>
S�, a eso llegu� yo tambi�n y me result� sorprendente. Yo estaba
convencido de que ser�a una funci�n que tender�a asint�ticamente al
radio m�ximo, coloc�ndose cada vez m�s horizontal.
>
--
Antonio
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 12, 2012, 11:15:19 AM11/12/12
to
On 12 Nov., 12:54, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> El 12/11/12 12:21, Dr. Wolfgang Hintze escribió:
> >>> tienencurvaturaconstante.
>
> >>> En el plano las únicas curvas decurvaturaconstante son las
> >>> circunferencias (incluyendo a las rectas como caso límite).
>
> >>> En el cilindro son las hélices (incluyendo circunferencias transversales
> >>> y generatrices como casos límites).
>
> >> Sin fórmulas está claro el caso del cono:
> >> decir, por contunuidad, en P hay una dirección de la curva de tal
> >> manera que lacurvaturaes igual a un valor dado rho0 (si sólo es >R).
>
> >> Saluos,
> >> Wolfgang
>
> > función oscillatorica.
>
> Sí, a eso llegué yo también y me resultó sorprendente. Yo estaba
> convencido de que sería una función que tendería asintóticamente al
> radio máximo, colocándose cada vez más horizontal.
>
>
>
> --
> Antonio
El resultado aproximado tiene una interpretación muy simple: puesto
que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la básica, la
curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un cónico, es
decir una elipse.
Saludos,
Wolfgang
> El 12/11/12 12:21, Dr. Wolfgang Hintze escribió:
> >> On 1 Nov., 18:20, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
>
> >>> Entre las curvas decurvaturaconstante tenemos evidentemente las
> >>> rectas y circunferencias, pero no son las única. Las hélices también
>
> >>> Entre las curvas decurvaturaconstante tenemos evidentemente las
> >>> tienencurvaturaconstante.
>
> >>> En el plano las únicas curvas decurvaturaconstante son las
> >>> circunferencias (incluyendo a las rectas como caso límite).
>
> >>> En el cilindro son las hélices (incluyendo circunferencias transversales
> >>> y generatrices como casos límites).
>
> >>> Pero, ¿y en otras superficies? ¿Existe sobre la esfera una curva de
> >>> curvaturaconstante que no sea una circunferencia?
>
> >>> ¿Y sobre un cono recto r = z? ¿Cómo se generalizarían las hélices al
> >>> Pero, ¿y en otras superficies? ¿Existe sobre la esfera una curva de
> >>> curvaturaconstante que no sea una circunferencia?
>
> >>> caso de un cono?
>
> >>> --
> >>> Antonio
>
> >> Las fórmulas generales resultan muy complicado (por lo menos para mí).
>
> >>> --
> >>> Antonio
>
>
> >> Sin fórmulas está claro el caso del cono:
> >> Consideramos und punto P en el cono y una pieza de la curva buscada
> >> yendo tras A.
> >> Si la dirección de la curva es 0, es decir la curva está en un círculo
> >> yendo tras A.
> >> de radio (digamos) R, la cuvatura rho es R, la minimum en P. Si la
> >> dirección sería pi/2, es decir vertical, lacurvaturaes infinita. Es
> >> decir, por contunuidad, en P hay una dirección de la curva de tal
> >> manera que lacurvaturaes igual a un valor dado rho0 (si sólo es >R).
> >> Por lo tanto la curva buscada es una espiral que aproxima gradualmente
> >> el círculo r = rho0.
> >> Todanía no he conseguido determinar la función r(phi) exacta.
>
> >> Para la esfera:
> >> Consideramos la vecinidad de un punto P en la esfera (del radio R).
> >> Marchando un poquito en la curva buscada con unacurvaturar < R
> >> Para la esfera:
> >> Consideramos la vecinidad de un punto P en la esfera (del radio R).
> >> Marchando un poquito en la curva buscada con unacurvaturar < R
> >> significa marchar en un círculo paralelo de este radio. Cada deviación
> >> infinitesimal de etsa círculo significa cambiar lacurvatura. Por lo
> >> tanto la curva es un círculo paralelo (o un círculo grande como caso
> >> infinitesimal de etsa círculo significa cambiar lacurvatura. Por lo
> >> especial), que es una cincunferencia. Por eso la respuesta es
> >> negativa.
>
> >> PD: es interesante comparar las cuvaturas del "espacio" de las
> >> superficies: es =R para la esfera, pero =0 para el cono.
> >> PPD: ¿qué pasa en un toro?
> >> negativa.
>
> >> PD: es interesante comparar las cuvaturas del "espacio" de las
> >> superficies: es =R para la esfera, pero =0 para el cono.
>
> >> Saluos,
> >> Wolfgang
>
> > He hallado un resultado sorprendente: la solución para la curva de
> > constantecurvaturaen el cono z=a*r cerca del radio final R es una
> > función oscillatorica.
>
> Sí, a eso llegué yo también y me resultó sorprendente. Yo estaba
> convencido de que sería una función que tendería asintóticamente al
> radio máximo, colocándose cada vez más horizontal.
>
>
>
> --
> Antonio
El resultado aproximado tiene una interpretación muy simple: puesto
que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la básica, la
curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un cónico, es
decir una elipse.
Saludos,
Wolfgang
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Antonio González
Nov 12, 2012, 12:59:51 PM11/12/12
to
El 12/11/2012 17:21, Dr. Wolfgang Hintze escribi�:
>
> (no s� porque mi mensaje aparec� as�, otra vez!)
> El resultado aproximado tiene una interpretaci�n muy simple: puesto
> que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la b�sica, la
> curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un c�nico,
> es
> decir una elipse.
>
Necesariamente doblada, ya que una elipse no tiene curvatura constante.
--
Antonio
>
> (no s� porque mi mensaje aparec� as�, otra vez!)
> El resultado aproximado tiene una interpretaci�n muy simple: puesto
> que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la b�sica, la
> curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un c�nico,
> es
> decir una elipse.
>
Necesariamente doblada, ya que una elipse no tiene curvatura constante.
--
Antonio
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 12, 2012, 2:03:46 PM11/12/12
to
vr[phi] = {Cos[phi]*(R + eps*Cos(phi)), Sin(phi)*(R + eps*Cos(phi)),
a*(R + eps*Cos(phi)}
Pero lo interesante es que la curva aproximada es cerrada.
¿Se puede probarlo en general?, es decir ¿es la curva de curvatura
constante en un cono recto una curva cerrada?
No lo creo, pero a ver que dice la siguente orden de la
aproximación ...
Saludos,
Wolfgang
Antonio González
Nov 13, 2012, 4:30:40 AM11/13/12
to
El 12/11/2012 20:03, Dr. Wolfgang Hintze escribi�:
siguiente forma: comienza cerca del v�rtice siendo casi paralela a una
generatriz (para compensar la gran curvatura de las secciones con un
"enderezamiento" a lo largo). A medida que va pasando por secciones de
radio creciente, se va haciendo cada vez m�s horizontal, tendiendo a una
circunferencia transversal de curvatura la dada, m�s all� de la cual no
puede pasar.
--
Antonio
> On 12 Nov., 18:59, Antonio Gonz�lez <gonfe...@gmail.com> wrote:
>> El 12/11/2012 17:21, Dr. Wolfgang Hintze escribi :
>>
>>
>>
>>> (no s porque mi mensaje aparec as , otra vez!)
>>> El resultado aproximado tiene una interpretaci n muy simple: puesto
>>> que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la b sica, la
>>> curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un c nico,
>>> es
>>> decir una elipse.
>>
>> Necesariamente doblada, ya que una elipse no tiene curvatura constante.
>>
>> --
>>
>> Antonio
>>
>>
>
> Por supuesto una elipse doblada. La curva en el espacio ya he dado:
>
> vr[phi] = {Cos[phi]*(R + eps*Cos(phi)), Sin(phi)*(R + eps*Cos(phi)),
> a*(R + eps*Cos(phi)}
>
> Pero lo interesante es que la curva aproximada es cerrada.
> �Se puede probarlo en general?, es decir �es la curva de curvatura
> constante en un cono recto una curva cerrada?
>
No tiene por qu�. Ya te digo yo que me imagino una soluci�n de la
>> El 12/11/2012 17:21, Dr. Wolfgang Hintze escribi :
>>
>>
>>
>>> (no s porque mi mensaje aparec as , otra vez!)
>>> El resultado aproximado tiene una interpretaci n muy simple: puesto
>>> que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la b sica, la
>>> curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un c nico,
>>> es
>>> decir una elipse.
>>
>> Necesariamente doblada, ya que una elipse no tiene curvatura constante.
>>
>> --
>>
>> Antonio
>>
>>
>
> Por supuesto una elipse doblada. La curva en el espacio ya he dado:
>
> vr[phi] = {Cos[phi]*(R + eps*Cos(phi)), Sin(phi)*(R + eps*Cos(phi)),
> a*(R + eps*Cos(phi)}
>
> Pero lo interesante es que la curva aproximada es cerrada.
> �Se puede probarlo en general?, es decir �es la curva de curvatura
> constante en un cono recto una curva cerrada?
>
siguiente forma: comienza cerca del v�rtice siendo casi paralela a una
generatriz (para compensar la gran curvatura de las secciones con un
"enderezamiento" a lo largo). A medida que va pasando por secciones de
radio creciente, se va haciendo cada vez m�s horizontal, tendiendo a una
circunferencia transversal de curvatura la dada, m�s all� de la cual no
puede pasar.
--
Antonio
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 13, 2012, 2:11:32 PM11/13/12
to
On 13 Nov., 10:30, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> El 12/11/2012 20:03, Dr. Wolfgang Hintze escribió:
> siguiente forma: comienza cerca del vértice siendo casi paralela a una
> circunferencia transversal de curvatura la dada, más allá de la cual no
> puede pasar.
>
> --
>
> Antonio
>
>
Sí, lo que dices ya he dicho el 3 de noviembre "Por lo tanto la curva
buscada es una espiral que aproxima gradualmente el círculo r = rho0."
pero, sorprendentemente, parece que no sea así.
Además de la solución lineal (en la vecinidad de r=R) también he
integrado la ecuación exacta numéricamente con el resultado de un
comportamiento oscilatorico sin atenuación.
También, para ver si un comportamineto de atenuación sea válido, he
puesto r(phi) = R(1-Exp(-A phi)). Pero la curvatura no sale muy
constante.
Tal vez sea útil presentar las ecuaciones para las cuantidades
relevantes de la curva en el cono recto:
Tomamos el ángulo phi como parametro u de la curva:
In[512]:= \[Phi][u_] := u;
El vector de posición vr
In[513]:= vr[u]
Out[513]= {Cos[u]*r[u], r[u]*Sin[u], a*r[u]}
El vector tangencial vt = d/ds vr
In[514]:= Simplify[vt[u]]
Out[514]= {((-r[u])*Sin[u] + Cos[u]*Derivative[1][r][u])/
Sqrt[r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2], (Cos[u]*r[u] +
Sin[u]*Derivative[1][r][u])/
Sqrt[r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2],
(a*Derivative[1][r][u])/
Sqrt[r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2]}
El vector normal (d/ds)^2 vr
In[516]:= FullSimplify[vn[u]]
Out[516]= {((-Cos[u])*
r[u]*(r[u]^2 + (2 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 -
r[u]*Derivative[2][r][u]) +
Sin[u]*Derivative[1][r][
u]*(-r[u]^2 -
2*(1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 + (1 + a^2)*r[u]*
Derivative[2][r][u]))/
(r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2)^2, ((-r[u])*
Sin[u]*(r[u]^2 + (2 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 -
r[u]*Derivative[2][r][u]) +
Cos[u]*
Derivative[1][r][
u]*(r[u]^2 +
2*(1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 - (1 + a^2)*r[u]*
Derivative[2][r][u]))/(r[u]^2 + (1 + a^2)*
Derivative[1][r][u]^2)^2,
(a*r[u]*(-Derivative[1][r][u]^2 +
r[u]*Derivative[2][r][u]))/(r[u]^2 + (1 + a^2)*
Derivative[1][r][u]^2)^2}
La curvatura k[u] (= el inverso del radio de curvatura)
k[u_] = Simplify[ Sqrt[vn[u].vn[u]] ]
Sqrt[
(r[u]^4
+ 4*(1 + a^2)*r'[u]^4
- 2*r[u]^3*r''[u]
- 4*(1 + a^2)*r[u]*r'[u]^2*r''[u]
+ r[u]^2*((4 + a^2)*r'[u]^2
+ (1 + a^2)*r''[u]^2))
/(r[u]^2 + (1 + a^2)*r'[u]^2)^3
]
La ecucación diferencial para r[u] es k[u] = 1/R = cte.
Saludos,
Wolfgang
> El 12/11/2012 20:03, Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
>
>
>
>
> > On 12 Nov., 18:59, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> >> El 12/11/2012 17:21, Dr. Wolfgang Hintze escribi :
>
> >>> (no s porque mi mensaje aparec as , otra vez!)
> >>> El resultado aproximado tiene una interpretaci n muy simple: puesto
> >>> que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la b sica, la
> >>> curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un c nico,
> >>> es
> >>> decir una elipse.
>
> >> Necesariamente doblada, ya que una elipse no tiene curvatura constante.
>
> >> --
>
> >> Antonio
>
> > Por supuesto una elipse doblada. La curva en el espacio ya he dado:
>
> > vr[phi] = {Cos[phi]*(R + eps*Cos(phi)), Sin(phi)*(R + eps*Cos(phi)),
> > a*(R + eps*Cos(phi)}
>
> > Pero lo interesante es que la curva aproximada es cerrada.
> > ¿Se puede probarlo en general?, es decir ¿es la curva de curvatura
> > constante en un cono recto una curva cerrada?
>
> No tiene por qué. Ya te digo yo que me imagino una solución de la
>
>
>
>
> > On 12 Nov., 18:59, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> >> El 12/11/2012 17:21, Dr. Wolfgang Hintze escribi :
>
> >>> (no s porque mi mensaje aparec as , otra vez!)
> >>> El resultado aproximado tiene una interpretaci n muy simple: puesto
> >>> que la frecuencia de las deviaciones es la misma que la b sica, la
> >>> curva es muy bien aproximada (incluso hasta eps = 1) por un c nico,
> >>> es
> >>> decir una elipse.
>
> >> Necesariamente doblada, ya que una elipse no tiene curvatura constante.
>
> >> --
>
> >> Antonio
>
> > Por supuesto una elipse doblada. La curva en el espacio ya he dado:
>
> > vr[phi] = {Cos[phi]*(R + eps*Cos(phi)), Sin(phi)*(R + eps*Cos(phi)),
> > a*(R + eps*Cos(phi)}
>
> > Pero lo interesante es que la curva aproximada es cerrada.
> > ¿Se puede probarlo en general?, es decir ¿es la curva de curvatura
> > constante en un cono recto una curva cerrada?
>
> siguiente forma: comienza cerca del vértice siendo casi paralela a una
> generatriz (para compensar la gran curvatura de las secciones con un
> "enderezamiento" a lo largo). A medida que va pasando por secciones de
> radio creciente, se va haciendo cada vez más horizontal, tendiendo a una
> "enderezamiento" a lo largo). A medida que va pasando por secciones de
> circunferencia transversal de curvatura la dada, más allá de la cual no
> puede pasar.
>
> --
>
> Antonio
>
>
Sí, lo que dices ya he dicho el 3 de noviembre "Por lo tanto la curva
buscada es una espiral que aproxima gradualmente el círculo r = rho0."
pero, sorprendentemente, parece que no sea así.
Además de la solución lineal (en la vecinidad de r=R) también he
integrado la ecuación exacta numéricamente con el resultado de un
comportamiento oscilatorico sin atenuación.
También, para ver si un comportamineto de atenuación sea válido, he
puesto r(phi) = R(1-Exp(-A phi)). Pero la curvatura no sale muy
constante.
Tal vez sea útil presentar las ecuaciones para las cuantidades
relevantes de la curva en el cono recto:
Tomamos el ángulo phi como parametro u de la curva:
In[512]:= \[Phi][u_] := u;
El vector de posición vr
In[513]:= vr[u]
Out[513]= {Cos[u]*r[u], r[u]*Sin[u], a*r[u]}
El vector tangencial vt = d/ds vr
In[514]:= Simplify[vt[u]]
Out[514]= {((-r[u])*Sin[u] + Cos[u]*Derivative[1][r][u])/
Sqrt[r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2], (Cos[u]*r[u] +
Sin[u]*Derivative[1][r][u])/
Sqrt[r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2],
(a*Derivative[1][r][u])/
Sqrt[r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2]}
El vector normal (d/ds)^2 vr
In[516]:= FullSimplify[vn[u]]
Out[516]= {((-Cos[u])*
r[u]*(r[u]^2 + (2 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 -
r[u]*Derivative[2][r][u]) +
Sin[u]*Derivative[1][r][
u]*(-r[u]^2 -
2*(1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 + (1 + a^2)*r[u]*
Derivative[2][r][u]))/
(r[u]^2 + (1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2)^2, ((-r[u])*
Sin[u]*(r[u]^2 + (2 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 -
r[u]*Derivative[2][r][u]) +
Cos[u]*
Derivative[1][r][
u]*(r[u]^2 +
2*(1 + a^2)*Derivative[1][r][u]^2 - (1 + a^2)*r[u]*
Derivative[2][r][u]))/(r[u]^2 + (1 + a^2)*
Derivative[1][r][u]^2)^2,
(a*r[u]*(-Derivative[1][r][u]^2 +
r[u]*Derivative[2][r][u]))/(r[u]^2 + (1 + a^2)*
Derivative[1][r][u]^2)^2}
La curvatura k[u] (= el inverso del radio de curvatura)
k[u_] = Simplify[ Sqrt[vn[u].vn[u]] ]
Sqrt[
(r[u]^4
+ 4*(1 + a^2)*r'[u]^4
- 2*r[u]^3*r''[u]
- 4*(1 + a^2)*r[u]*r'[u]^2*r''[u]
+ r[u]^2*((4 + a^2)*r'[u]^2
+ (1 + a^2)*r''[u]^2))
/(r[u]^2 + (1 + a^2)*r'[u]^2)^3
]
La ecucación diferencial para r[u] es k[u] = 1/R = cte.
Saludos,
Wolfgang
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 14, 2012, 3:42:59 AM11/14/12
to
constante rho = 10 en el cono rector z = r en tres vistas diferentes:
http://imageshack.us/photo/my-images/18/121113curvadecurvaturach.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/18/121113curvadecurvaturac.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/641/121113curvadecurvaturac.jpg/
Saludos,
Wolfgang
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 14, 2012, 4:46:24 AM11/14/12
to
http://imageshack.us/photo/my-images/5/1211141curvasdecurvatur.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/40/1211143curvasdecurvatur.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/842/1211142curvasdecurvatur.jpg/
Eso significa que son mas que una curva de curvatura dada tras un puto
dado.
Es muy similar que en la esfera.
Saludos,
Wolfgang
Dr. Wolfgang Hintze
Nov 15, 2012, 7:38:57 AM11/15/12
to
>
> > Saludos,
> > Wolfgang
>
> Es mejor junto con la curva r=const
>
> http://imageshack.us/photo/my-images/5/1211141curvasdecurvatur.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/40/1211143curvasdecurvatur.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/842/1211142curvasdecurvatur.jpg/
> > Saludos,
> > Wolfgang
>
> Es mejor junto con la curva r=const
>
>
> Eso significa que son mas que una curva de curvatura dada tras un puto
> dado.
> Es muy similar que en la esfera.
>
> Saludos,
> Wolfgang
>
>
La solución puede ser bastante bien aproximado por
> Eso significa que son mas que una curva de curvatura dada tras un puto
> dado.
> Es muy similar que en la esfera.
>
> Saludos,
> Wolfgang
>
>
vr[u_] = (10. - 0.15) (1 + 0.2 Cos[\[Pi] u*(1.001)]) {Cos[\[Pi] u],
Sin[\[Pi] u], 1};
La curvatura es aproximadamente constante = 10, la deviación relativa
es 4x10^-3.
El comportamiento de esa curva puedes ver con ParamectricPlot3D (vease
el apéndice abajo).
Es decir, hemos llegado an un compromiso: la curva buscada ni es
cerrada, ni tampoco una espiral, pero es una curva infinita rellenando
el espacio entre dos radios (como una figura Lissajous con frecuencias
no comensurables).
Apéndice
~~~~~~~~
pc = ParametricPlot3D[{(z/a)*Cos[Pi*u], (z/a)*Sin[Pi*u], z}, {u, 0,
2}, {z, 0, 13}, DisplayFunction -> Identity];
p0 = ParametricPlot3D[10*{Cos[Pi*u], Sin[Pi*u], 1}, {u, 0, 10},
PlotRange -> {{-2.1, 2.1}, {-2.1, 2.1}, {0, 15}},
PlotStyle -> {Black}];
vr[u_] = (10. - 0.15)*(1 + 0.2*Cos[Pi*u*(1.001 - 0*(u/1000))])*{Cos[
Pi*u], Sin[Pi*u], 1};
Animate[pp =
ParametricPlot3D[vr[u], {u, 0, um}, PlotPoints -> 500,
PlotRange -> {{-2.1, 2.1}, {-2.1, 2.1}, {0, 15}},
PlotStyle -> {Red, Thick}]; Show[{pc, pp, p0}], {um, 0, 200}]
Saludos,
Wolfgang
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