Raiz séptima
León-Sotelo
+z^4+z^9+z^16+z^25+z^36
Saludos
León-Sotelo
Javier Esquinas
La expresión pedida es igual 1 + z + z ^4 + z^2 + z^2 + z^4 + z = 1 + 2
(z + z^2 + z^4)
Ahora bien,si z = e ^(2*pi*i/7) tendremos que z^6 + z^5 + z^4 + z^3 +
z^2 + z + 1 = 0
De esta última ecuación,y teniendo en cuenta que:
cos(12pi/7) = cos(2pi/7)
sen(12pi/7) = - sen(2pi/7)
cos(10pi/7) = cos(4pi/7)
sen(10pi/7) = - sen(4pi/7)
cos(8pi/7) = cos(6pi/7)
sen(8pi/7) = - sen(6pi/7)
separando parte real y parte imaginaria:
cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) = -1/2
sen(2pi/7) + sen(4pi/7) + sen(6pi/7) = 0
La expresión que buscamos: 1 + 2(z + z^2 + z^4)
es precisamente :
1 + 2(cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) + i(sen(2pi/7) + sen(4pi/7)
+ sen(6pi/7)))
por tanto el resultado es 1 + 2(-1/2 + 0) = 0
Saludos.
Pepe Bosch
f(z)=1+z+z^4+z^9+z^16+z^25+z^36
Por las propiedades de las raices y potencias pares
f(e ^(2*pi*i/7) ) = i*raiz(7)
Pepe
Ignacio Larrosa Cañestro
> Sea z =e ^(2*pi*i/7) una raiz septima de la unidad.Hallar: 1+z
> +z^4+z^9+z^16+z^25+z^36
>
Sea
S(n) = Sum((e ^(2*pi*i/7))^k^2, k, 0, n-1)
Entonces.
S(n) = rq(n), n = 1 (mod 4)
= 0, n = 2 (mod 4)
= rq(n)i, n = 3 (mod 4)
= rq(n)(1 + i)
Se trata de las llamadas sumas de Gauss.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Javier Esquinas
Ahhhhhhhhhh,ya he caido en que me había equivocado,pero es igual ,creo
que sale una demostración bonita`por otro camino:
Quiero calcular 1 + 2(z + z^2 + z^4)
Sea S = z + z^2 + z^4
Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que z^7 = 1:
S^2 = z^2 + z^4 + z^8 + 2(z^3 + z^5 + z^6) =
= z + z^2 + z^4 + 2(1/z^4 + 1/z^2 + 1/z)
Ahora bien,veamos cuánto vale: (z + z^2 + z^4)(1/z + 1/z^2 + 1/z^4)
1 + 1/z + 1/z^3 + z + 1 + 1/z^2 + z^3 + z^2 + 1 =
1 + z^6 + z^4 + z + 1 + z^5 + z^3 + z^2 + 1 =
Teniendo en cuenta que 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0
Obtenemos que:
S(1/z + 1/z^2 + 1/z^4) = 2
luego 1/z + 1/z^2 + 1/z^4 = 2/S
por tanto la suma S cumple la ecuación:
S^2 = S + 4/S
S^3 - S^2 - 4 = 0
Por tanto S debe valer 2,-1/2 - rq(7)/2i,-1/2 + rq(7)/2i
Y por tanto el valor de 1 + 2S será : 5, -i·rq(7), ó i·rq(7)
Bueno,y ahora falta dilucidar cuál es,eso mañana ya,pero no me
negareis que queda bonito :-)
Saludos.
Ignacio Larrosa Cañestro
> On 23 dic, 13:50, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
>> León-Sotelo wrote:
>>> Sea z =e ^(2*pi*i/7) una raiz septima de la unidad.Hallar: 1+z
>>> +z^4+z^9+z^16+z^25+z^36
>>
>> Sea
>>
>> S(n) = Sum((e ^(2*pi*i/7))^k^2, k, 0, n-1)
>>
>> Entonces.
>>
>> S(n) = rq(n), n = 1 (mod 4)
>>
>> = 0, n = 2 (mod 4)
>>
>> = rq(n)i, n = 3 (mod 4)
>>
>> = rq(n)(1 + i)
>>
>> Se trata de las llamadas sumas de Gauss.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com
>
> Ahhhhhhhhhh,ya he caido en que me había equivocado,pero es igual ,creo
> que sale una demostración bonita`por otro camino:
>
> Quiero calcular 1 + 2(z + z^2 + z^4)
>
> Sea S = z + z^2 + z^4
si z = e^(2pi*i/7), tienes que Sum(z^k, k, 0, 6) = 0. La parte real de los
sumandos de esta suma es la misma que la de los de 1 + 2S, por tanto cero.
Por tanto, el valor pedido coincide con la parte imaginaria de 2S:
2(sen(2pi/7) + sen(4pi/7) + sen(8pi/7))
Suma que creo recordar que ya ha salido más de una vez por aquí, aunque no
consigo localizar los mensajes. Por cierto, que esos ángulos son los dobles
de los del famoso triángulo heptagonal.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
León-Sotelo
>
> - Mostrar texto de la cita -
Yo a la suma le habia incorporado el 1 es decir
para mi S es la suma buscada con lo que S=1+2x+2x^2+2x^4 y S^2=1+8(z
+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)=1+8(-1)= -7 por lo que S podria ser
sqrt(7)i o -sqrt(7)i ¿Cual de las dos?
León-Sotelo
León-Sotelo
>
> - Mostrar texto de la cita -
Aqui hay algo:
y aqui hay tambien hay gente conocida:
No se si habrá algun otro ...
León-Sotelo
Ignacio Larrosa Cañestro
Muy bueno, si señor ...
> ¿Cual de las dos?
+rq(7)i, teniendo en cuenta que es 2(sen(2pi/7) + sen(4pi/7) + sen(8pi/7)).
Los dos primeros son positivos y el tercero negativo, pero es mucho más
pequeño, puesto que
sen(8pi/7) = -sen(pi/7)
y
sen(2pi/7) > sen(pi/7), sen(4pi/7) = sen(3pi/7) > sen(pi/7)
Para verlo visualmente, no hay más que representar las raíces sétimas de la
unidad.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
Javier Esquinas
>
> - Mostrar texto de la cita -
Ya,que cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) = -1/2 estaba claro.El
problema es el valor de sen(2pi/7) + sen(4pi/7) + sen(8pi/7).Aunque
realmente lo único que se necesita saber de esa expresión es el
signo,que como bien dices en el otro post es positivo.
Realmente el valor exacto de sen(2pi/7) + sen(4pi/7) + sen(8pi/7)) yo
creo no había salido hasta ahora.
Saludos.
Antonio González
> Sea z =e ^(2*pi*i/7) una raiz septima de la unidad.Hallar: 1+z
> +z^4+z^9+z^16+z^25+z^36
>
Generalicemos. Sea
z = exp(2pi i/n) n impar
Hallar
S(n) = sum_(k=0)^(n-1) z^(k^2)
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
S(n) = rq(n), n = 1 (mod 4)
= 0, n = 2 (mod 4)
= rq(n)i, n = 3 (mod 4)
= rq(n)(1 + i)
Y Feliz Navidad ...
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)