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calculo de maximo usando derivada
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chucho11028
Apr 6, 2013, 4:35:29 PM4/6/13
to
Saludos
Yo se que en este foro pueden haber personas con un alto perfil de matemática o física y las preguntas mías le pueden parecer tontas pero normalmente cuando se trata de hacer un ejercicio de puro calculo trato de resolverlo sin preguntar(al menos que vea urgido) pero este tipo de ejercicio los cuales no tratan en profundidad los profesores y que me parecen de una verdadera utilidad para la comprensión de la materia es en donde yo les pido su comprensión.
Tengo el siguiente problema:
Una pelota rueda por el tobogán de una piscina , al llegar al extremo su trayectoria cambia suavemente a una trayectoria parabólica que conserva hasta que cae al agua, tengo una grafica representada por y=f(x) la cual es el tobogán y la trayectoria parabólica es y=ax^2+bx+c. El extremo del tobogán se encuentra sobre el eje 'y'. El nivel del agua coincide con x.
Las preguntas son:
1. Demostrar que c=f(0) y b=f'(0)
2. Calcular la altura máxima del movimiento libre de la pelota suponiendo que f(x)= 2+ [x/(1+x2)] y que la bola toca agua en (6,0)
respuestas:
1. Asumo que si las dos funciones se juntan en la ordenada en el origen donde las dos funciones tocan y, el numero c es la ordenada en el origen tanto de la parábola como la función por tanto c=f(0) si yo igualo a 0 las variables de la parábola y=ax^2+bx+c. solo quedaría c???
Luego derivan la parábola obteniendo y'=2ax+b, si igualo a 0 la x obtengo b=f'(0). Pero no entiendo cuando dicen
"Como la pendiente de la recta tangente a la grafica de f es f'(0) y el cambio de trayectoria es suave, necesariamente , b= f'(0)"
Yo que se existe un concepto que dice que existe una transición suave si la derivada de una función es igual a la derivada de otra f'(c)=g'(c), en este caso tengo dos funciones y=f(x) y y=ax^2+bx+c. Sera que lo que hicieron fue derivar y=f(x) y al igualar a 0 esto lógicamente es igual a 0 pero si la segunda la derivo me da b?? son dos resultados distintos???
2. En la segunda respuesta derivaron por la regla del cociente y les da
f'(x)=(1-x^2)/(1+x^2) pero según la regla del cociente el de abajo debería haber quedado totalmente al cuadrado??? Donde me estoy equivocando??
No obstante continúan y exponen que de los resultados de la primera respuesta tienen:
b=f'(0) = 1. Asumo que en la ecuación producto de la derivada sustituyen por 0 y queda 1/1=1???
Luego c=f(0) que lo sustituyen en la ecuación sin derivar y queda 2???
Porque b sale de sustituir en la ecuación que fue derivada y c de la ecuación original??? Lógicamente c desaparece al derivar por ser una constante es lo que puedo ver.
Luego sustituyen en la parábola y obtienen:
y=ax^2+x+2 para luego sustituir el valor (6,0) que es cuando la pelota toca el agua pero eso mismo 6 es un valor de x cuando la pelotas toca el agua, pero si hubiese tenido otro valor de x (por ejemplo 5 en el cual la bola todavía estaría en el aire) porque no puedo tomar este valor para calcular a???? una de mis mayores dudas
a vale -2/9=a
Luego tienen y=-2/9x^2+x+2
El punto maximo lo calcule derivando esta fucnion, gracias
Yo se que en este foro pueden haber personas con un alto perfil de matemática o física y las preguntas mías le pueden parecer tontas pero normalmente cuando se trata de hacer un ejercicio de puro calculo trato de resolverlo sin preguntar(al menos que vea urgido) pero este tipo de ejercicio los cuales no tratan en profundidad los profesores y que me parecen de una verdadera utilidad para la comprensión de la materia es en donde yo les pido su comprensión.
Tengo el siguiente problema:
Una pelota rueda por el tobogán de una piscina , al llegar al extremo su trayectoria cambia suavemente a una trayectoria parabólica que conserva hasta que cae al agua, tengo una grafica representada por y=f(x) la cual es el tobogán y la trayectoria parabólica es y=ax^2+bx+c. El extremo del tobogán se encuentra sobre el eje 'y'. El nivel del agua coincide con x.
Las preguntas son:
1. Demostrar que c=f(0) y b=f'(0)
2. Calcular la altura máxima del movimiento libre de la pelota suponiendo que f(x)= 2+ [x/(1+x2)] y que la bola toca agua en (6,0)
respuestas:
1. Asumo que si las dos funciones se juntan en la ordenada en el origen donde las dos funciones tocan y, el numero c es la ordenada en el origen tanto de la parábola como la función por tanto c=f(0) si yo igualo a 0 las variables de la parábola y=ax^2+bx+c. solo quedaría c???
Luego derivan la parábola obteniendo y'=2ax+b, si igualo a 0 la x obtengo b=f'(0). Pero no entiendo cuando dicen
"Como la pendiente de la recta tangente a la grafica de f es f'(0) y el cambio de trayectoria es suave, necesariamente , b= f'(0)"
Yo que se existe un concepto que dice que existe una transición suave si la derivada de una función es igual a la derivada de otra f'(c)=g'(c), en este caso tengo dos funciones y=f(x) y y=ax^2+bx+c. Sera que lo que hicieron fue derivar y=f(x) y al igualar a 0 esto lógicamente es igual a 0 pero si la segunda la derivo me da b?? son dos resultados distintos???
2. En la segunda respuesta derivaron por la regla del cociente y les da
f'(x)=(1-x^2)/(1+x^2) pero según la regla del cociente el de abajo debería haber quedado totalmente al cuadrado??? Donde me estoy equivocando??
No obstante continúan y exponen que de los resultados de la primera respuesta tienen:
b=f'(0) = 1. Asumo que en la ecuación producto de la derivada sustituyen por 0 y queda 1/1=1???
Luego c=f(0) que lo sustituyen en la ecuación sin derivar y queda 2???
Porque b sale de sustituir en la ecuación que fue derivada y c de la ecuación original??? Lógicamente c desaparece al derivar por ser una constante es lo que puedo ver.
Luego sustituyen en la parábola y obtienen:
y=ax^2+x+2 para luego sustituir el valor (6,0) que es cuando la pelota toca el agua pero eso mismo 6 es un valor de x cuando la pelotas toca el agua, pero si hubiese tenido otro valor de x (por ejemplo 5 en el cual la bola todavía estaría en el aire) porque no puedo tomar este valor para calcular a???? una de mis mayores dudas
a vale -2/9=a
Luego tienen y=-2/9x^2+x+2
El punto maximo lo calcule derivando esta fucnion, gracias
Speaking in silver
Apr 7, 2013, 2:06:46 AM4/7/13
to
"chucho11028" escribió
Una pelota rueda por el tobogán de una piscina, al llegar al extremo su
Hay una confusión con las curvas.
Para entenderlo mejor, podemos llamar siempre:
f(x) = 2 + x/(1+x^2), a la curva del tobogán
g(x) = ax^2+bx+c, a la parábola
La primera pregunta se refiere a la parábola, no al tobogán.
Como te piden calcular g(0), sustituyes y te queda:
g(0) = a0^2+b0+c = c
La derivada es: g'(x) = 2ax+b
Como te piden calcular g'(0), sustituyes y te queda:
g'(0) = 2a0+b = b
---------------------------------
Luego derivan la parábola obteniendo y'=2ax+b, si igualo a 0 la x obtengo
b=f'(0). Pero no entiendo cuando dicen
"Como la pendiente de la recta tangente a la grafica de f es f'(0) y el
cambio de trayectoria es suave, necesariamente , b= f'(0)"
Yo que se existe un concepto que dice que existe una transición suave si la
derivada de una función es igual a la derivada de otra f'(c)=g'(c), en este
caso tengo dos funciones y=f(x) y y=ax^2+bx+c. Sera que lo que hicieron fue
derivar y=f(x) y al igualar a 0 esto lógicamente es igual a 0 pero si la
segunda la derivo me da b?? son dos resultados distintos???
2. En la segunda respuesta derivaron por la regla del cociente y les da
f'(x)=(1-x^2)/(1+x^2) pero según la regla del cociente el de abajo debería
haber quedado totalmente al cuadrado??? Donde me estoy equivocando??
---------------------
Sí, tienes razón, la derivada correcta es
f'(x) = (1-x^2)/(1+x^2)^2
---------------------
No obstante continúan y exponen que de los resultados de la primera
respuesta tienen:
b=f'(0) = 1. Asumo que en la ecuación producto de la derivada sustituyen
por 0 y queda 1/1=1???
----------------------------------------------------------------
Sí, no sé si tienes la gráfica del tobogán, pero puedes ver que tiene un
mínimo en x= -1. La pelota va bajando según avanza por la parte negativa del
eje X hasta llegar a ese mínimo en x=-1, luego sube por el tobogán hasta
llegar a x=0 y a partir de ahí se acaba el tobogán y la pelota "vuela"
libremente describiendo una parábola por el aire.
De la parábola al principio no sabemos nada, solo la expresión general de
todas las parábolas g(x) = ax^2+bx+c, pero con los datos que nos dan podemos
calcular esos a,b y c.
1) Lo primero que nos dicen es que el tobogán y la parábola se unen en x=0.
Eso quiere decir que f(0) = g(0)
Como f(0) = 2 y g(0) = c
Ya tenemos que la c de la parábola es 2.
La parábola es g(x) = ax^2 + bx + 2
2) Lo segundo que nos dicen es que hay una transición suave. Eso quiere
decir que f'(0) = g'(0)
Como f'(0) = 1 y g'(0) = b
Ya tenemos que la b de la parábola es 1.
La parábola es g(x) = ax^2 + x + 2
3) Solo nos falta la a. Para eso nos dicen que la parábola pasa por el punto
(6,0)
Sustituyendo: g(6) = 36a + 6 + 2 = 0
Por lo tanto a = -2/9
Y ya tenemos la parábola definida completamente:
g(x) = (-2/9)x^2 + x +2
Con eso, derivando e igualando a cero tenemos el máximo:
g'(x) = (-4/9)x +1 = 0
Que se produce en x= 9/4 y por lo tanto vale
g(9/4) = 25/8
------------------------------------------------------------------
Luego c=f(0) que lo sustituyen en la ecuación sin derivar y queda 2???
Porque b sale de sustituir en la ecuación que fue derivada y c de la
ecuación original??? Lógicamente c desaparece al derivar por ser una
constante es lo que puedo ver.
Luego sustituyen en la parábola y obtienen:
y=ax^2+x+2 para luego sustituir el valor (6,0) que es cuando la pelota toca
el agua pero eso mismo 6 es un valor de x cuando la pelotas toca el agua,
pero si hubiese tenido otro valor de x (por ejemplo 5 en el cual la bola
todavía estaría en el aire) porque no puedo tomar este valor para calcular
a???? una de mis mayores dudas
a vale -2/9=a
Luego tienen y=-2/9x^2+x+2
El punto maximo lo calcule derivando esta fucnion, gracias
--------------------------
Creo que algunas de tus preguntas eran por no entender bien el enunciado,
que era un poco confuso, por eso no te contesto a todas una por una, pero no
te quedes con dudas, si necesitas alguna aclaración más pregunta lo que
quieras, que para eso estamos.
--
Saludos,
SS
Una pelota rueda por el tobogán de una piscina, al llegar al extremo su
trayectoria cambia suavemente a una trayectoria parabólica que conserva
hasta que cae al agua, tengo una grafica representada por y=f(x) la cual es
el tobogán y la trayectoria parabólica es y=ax^2+bx+c. El extremo del
tobogán se encuentra sobre el eje 'y'. El nivel del agua coincide con x.
Las preguntas son:
1. Demostrar que c=f(0) y b=f'(0)
2. Calcular la altura máxima del movimiento libre de la pelota suponiendo
que f(x)= 2+ [x/(1+x2)] y que la bola toca agua en (6,0)
respuestas:
1. Asumo que si las dos funciones se juntan en la ordenada en el origen
donde las dos funciones tocan y, el numero c es la ordenada en el origen
tanto de la parábola como la función por tanto c=f(0) si yo igualo a 0 las
variables de la parábola y=ax^2+bx+c. solo quedaría c???
---------------------------------
hasta que cae al agua, tengo una grafica representada por y=f(x) la cual es
el tobogán y la trayectoria parabólica es y=ax^2+bx+c. El extremo del
tobogán se encuentra sobre el eje 'y'. El nivel del agua coincide con x.
Las preguntas son:
1. Demostrar que c=f(0) y b=f'(0)
2. Calcular la altura máxima del movimiento libre de la pelota suponiendo
que f(x)= 2+ [x/(1+x2)] y que la bola toca agua en (6,0)
respuestas:
1. Asumo que si las dos funciones se juntan en la ordenada en el origen
donde las dos funciones tocan y, el numero c es la ordenada en el origen
tanto de la parábola como la función por tanto c=f(0) si yo igualo a 0 las
variables de la parábola y=ax^2+bx+c. solo quedaría c???
Hay una confusión con las curvas.
Para entenderlo mejor, podemos llamar siempre:
f(x) = 2 + x/(1+x^2), a la curva del tobogán
g(x) = ax^2+bx+c, a la parábola
La primera pregunta se refiere a la parábola, no al tobogán.
Como te piden calcular g(0), sustituyes y te queda:
g(0) = a0^2+b0+c = c
La derivada es: g'(x) = 2ax+b
Como te piden calcular g'(0), sustituyes y te queda:
g'(0) = 2a0+b = b
---------------------------------
Luego derivan la parábola obteniendo y'=2ax+b, si igualo a 0 la x obtengo
b=f'(0). Pero no entiendo cuando dicen
"Como la pendiente de la recta tangente a la grafica de f es f'(0) y el
cambio de trayectoria es suave, necesariamente , b= f'(0)"
Yo que se existe un concepto que dice que existe una transición suave si la
derivada de una función es igual a la derivada de otra f'(c)=g'(c), en este
caso tengo dos funciones y=f(x) y y=ax^2+bx+c. Sera que lo que hicieron fue
derivar y=f(x) y al igualar a 0 esto lógicamente es igual a 0 pero si la
segunda la derivo me da b?? son dos resultados distintos???
2. En la segunda respuesta derivaron por la regla del cociente y les da
f'(x)=(1-x^2)/(1+x^2) pero según la regla del cociente el de abajo debería
haber quedado totalmente al cuadrado??? Donde me estoy equivocando??
Sí, tienes razón, la derivada correcta es
f'(x) = (1-x^2)/(1+x^2)^2
---------------------
No obstante continúan y exponen que de los resultados de la primera
respuesta tienen:
b=f'(0) = 1. Asumo que en la ecuación producto de la derivada sustituyen
por 0 y queda 1/1=1???
Sí, no sé si tienes la gráfica del tobogán, pero puedes ver que tiene un
mínimo en x= -1. La pelota va bajando según avanza por la parte negativa del
eje X hasta llegar a ese mínimo en x=-1, luego sube por el tobogán hasta
llegar a x=0 y a partir de ahí se acaba el tobogán y la pelota "vuela"
libremente describiendo una parábola por el aire.
De la parábola al principio no sabemos nada, solo la expresión general de
todas las parábolas g(x) = ax^2+bx+c, pero con los datos que nos dan podemos
calcular esos a,b y c.
1) Lo primero que nos dicen es que el tobogán y la parábola se unen en x=0.
Eso quiere decir que f(0) = g(0)
Como f(0) = 2 y g(0) = c
Ya tenemos que la c de la parábola es 2.
La parábola es g(x) = ax^2 + bx + 2
2) Lo segundo que nos dicen es que hay una transición suave. Eso quiere
decir que f'(0) = g'(0)
Como f'(0) = 1 y g'(0) = b
Ya tenemos que la b de la parábola es 1.
La parábola es g(x) = ax^2 + x + 2
3) Solo nos falta la a. Para eso nos dicen que la parábola pasa por el punto
(6,0)
Sustituyendo: g(6) = 36a + 6 + 2 = 0
Por lo tanto a = -2/9
Y ya tenemos la parábola definida completamente:
g(x) = (-2/9)x^2 + x +2
Con eso, derivando e igualando a cero tenemos el máximo:
g'(x) = (-4/9)x +1 = 0
Que se produce en x= 9/4 y por lo tanto vale
g(9/4) = 25/8
------------------------------------------------------------------
Luego c=f(0) que lo sustituyen en la ecuación sin derivar y queda 2???
Porque b sale de sustituir en la ecuación que fue derivada y c de la
ecuación original??? Lógicamente c desaparece al derivar por ser una
constante es lo que puedo ver.
Luego sustituyen en la parábola y obtienen:
y=ax^2+x+2 para luego sustituir el valor (6,0) que es cuando la pelota toca
el agua pero eso mismo 6 es un valor de x cuando la pelotas toca el agua,
pero si hubiese tenido otro valor de x (por ejemplo 5 en el cual la bola
todavía estaría en el aire) porque no puedo tomar este valor para calcular
a???? una de mis mayores dudas
a vale -2/9=a
Luego tienen y=-2/9x^2+x+2
El punto maximo lo calcule derivando esta fucnion, gracias
Creo que algunas de tus preguntas eran por no entender bien el enunciado,
que era un poco confuso, por eso no te contesto a todas una por una, pero no
te quedes con dudas, si necesitas alguna aclaración más pregunta lo que
quieras, que para eso estamos.
--
Saludos,
SS
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