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Más integrales y probabilidad
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Dr. Wolfgang Hintze
Sep 20, 2012, 6:45:19 AM9/20/12
to
Esto es inspirado por el reciente problema de Luis.
Calcular las integrales
(i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
con k = 0, 1, 2,...
(ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
con k = 1, 2, ...
Saludos,
Wolfgang
Calcular las integrales
(i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
con k = 0, 1, 2,...
(ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
con k = 1, 2, ...
Saludos,
Wolfgang
Marko Riedel
Sep 20, 2012, 5:20:51 PM9/20/12
to
hago el apartado (ii). Se pide calcular I(k) con
I(k) = int_{-oo}^{+oo} cos(t)/(1+t^{2k}) dt
o sea
I(k) = int_{-oo}^{+oo} exp(it)/(1+t^{2k}) dt.
El metodo es lo de siempre -- hallar un camino cerrado parametrizado que
incluye la integral que buscamos, probar que los demás segmentos
desaparecen en el límite, y sumar los residuos de los polos dentro del
camino.
El camino que usamos consiste en dos partes:
I: el segmento del eje real desde -R a R, con R -> oo en el límite
y II: el semicírculo R exp(i theta), 0 <= theta < pi.
El valor en el límite de la contribución del segmento I es I(k).
Solo falta una prueba que la contribución de II desaparece en el
límite. Con t = R exp(i theta) y dt = R i exp(i theta) dtheta vemos que
se trata de
int_0^pi exp(iR exp(i theta))/(1+R^{2k} exp(i theta 2k))
R i exp(i theta) dtheta
Una cota superior del módulo de esta integral es
int_0^pi |exp(iR cos(theta))exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
= int_0^pi |exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
= int_0^pi R/(R^{2k}-1) dtheta = pi R/(R^{2k}-1).
Esta última cantidad desaparece cuando R -> oo.
Sea v(q) = exp(i pi/(2k) + 2 pi i q/(2k))).
Luego I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} Res(exp(it)/(1+t^{2k}); t=v(q))
o sea
I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} (exp(it)/((1+t^{2k})/(t-v(q))))_{t=v(q)}
donde se entiende que ((1+t^{2k})/(t-v(q))) representa la singularidad
v(q) en estado cancelado.
Esto es el punto donde ocurre algo bastante curioso: mi version de MAPLE
¡produce resultados incorrectos para k impar, k >= 5! Mi version es el
15. Alguien ¿me lo puede confirmar? (Usando mi formula para I(k), por
ejemplo, y estudiando los valores de
evalf(int(cos(t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity))
y evalf(int(exp(I*t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity)).
Un saludo.
Marko
Marko Riedel
Sep 21, 2012, 5:59:32 PM9/21/12
to
finalmente he tenido tiempo para hacer el apartado (i).
Buscamos
I(q) = int_^{-oo}^{+oo} cos(t)^q/(1+t^2) dt
con q un entero no negativo.
Al principio, un poco de algebra:
I(q) = 1/2^q int_^{-oo}^{+oo}
sum_{k=0}^q C(q, k) exp(it(q-k)) exp(-itk)/(1+t^2) dt
o sea
I(q) = 1/2^q sum_{k=0}^q C(q, k)
int_^{-oo}^{+oo} exp(it(q-2k))/(1+t^2) dt.
Vemos que tenemos que hallar
J(m) = int_^{-oo}^{+oo} exp(itm)/(1+t^2) dt,
con m un entero cualquiera. Comenzamos por m >= 0.
En este caso podemos hallar la integral usando el mismo camino que en mi
mensaje anterior. Hay que probar que la contribución del semicírculo
desaparece en el límite. Pero esta contribución es la siguiente
integral:
int_0^pi exp(i R exp(i theta) m) / (1 + R^2 exp(2 i theta))
i R exp(i theta) d theta
y el módulo de esta está acotada por
int_0^pi |exp(i R cos(theta) m - R sin(theta) m)|
/(R^2-1) R d theta =
int_0^pi R/(R^2 - 1) d theta = pi R/(R^2 - 1)
porque |exp(i R cos(theta) m| = 1 y porque -R sin(theta) m <= 0 en el
intervalo [0,pi]. Dado que esa contribución desaparece tenemos el
siguiente resultado:
J(m) = 2 pi i Res(exp(itm)/(1+t^2); t=i)
o sea
J(m) = 2 pi i exp(-m)/(2i) = pi exp(-m).
Para el caso m<0 usamos un cambio de variable trivial (t = -u):
J(m) = int_^{-oo}^{+oo} exp(itm)/(1+t^2) dt,
= int_^{oo}^{-oo} exp(iu(-m))/(1+u^2) -du,
= int_^{-oo}^{oo} exp(iu(-m))/(1+u^2) du
y J(m) = pi exp(-(-m)) = pi exp(m).
Ahora ya podemos continuar con el calculo de I(q). Hay dos casos.
Primer caso: q par.
Entonces
I(q) = 1/2^q sum_{k=0}^q C(q, k) J(q-2k)
= 1/2^q sum_{k=0}^{q/2-1} C(q, k) pi exp(-(q-2k))
+ 1/2^q C(q, q/2) pi
+ 1/2^q sum_{q/2+1}^q C(q, k) pi exp(-(2k-q)).
El tercer término es
1/2^q sum_{k=0}^{q/2-1} C(q, q-k) pi exp(-(q-2k))
con lo cual
I(q) = 1/2^{q-1} pi sum_{k=0}^{q/2-1} C(q, k) exp(-(q-2k))
+ 1/2^q pi C(q, q/2).
Segundo caso: q impar.
Entonces
I(q) = 1/2^q sum_{k=0}^q C(q, k) J(q-2k)
= 1/2^q sum_{k=0}^{(q-1)/2} C(q, k) pi exp(-(q-2k))
+ 1/2^q sum_{k=(q+1)/2}^q C(q, k) pi exp(-(2k-q)).
El tercer término es
1/2^q sum_{k=0}^{(q-1)/2} C(q, q-k) pi exp(-(q-2k))
con lo cual
I(q) = 1/2^{q-1} pi sum_{k=0}^{(q-1)/2} C(q, k) exp(-(q-2k)).
Estoy feliz con este resultado dado que incluso MAPLE está de acuerdo
sobre ello. ;-)
Un saludo.
Marko
Marko Riedel
Sep 21, 2012, 7:52:31 PM9/21/12
to
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:
> "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>
>> Esto es inspirado por el reciente problema de Luis.
>>
>> Calcular las integrales
>>
>> (i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
>>
>> con k = 0, 1, 2,...
>>
>>
>> (ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
>>
>> con k = 1, 2, ...
>>
>>
>> Saludos,
>> Wolfgang
>
> Hola a todos,
>
> hago el apartado (ii). Se pide calcular I(k) con
>
> I(k) = int_{-oo}^{+oo} cos(t)/(1+t^{2k}) dt
>
> o sea
>
> I(k) = int_{-oo}^{+oo} exp(it)/(1+t^{2k}) dt.
>
> El metodo es lo de siempre -- hallar un camino cerrado parametrizado que
> incluye la integral que buscamos, probar que los dem�s segmentos
> "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>
>> Esto es inspirado por el reciente problema de Luis.
>>
>> Calcular las integrales
>>
>> (i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
>>
>> con k = 0, 1, 2,...
>>
>>
>> (ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
>>
>> con k = 1, 2, ...
>>
>>
>> Saludos,
>> Wolfgang
>
> Hola a todos,
>
> hago el apartado (ii). Se pide calcular I(k) con
>
> I(k) = int_{-oo}^{+oo} cos(t)/(1+t^{2k}) dt
>
> o sea
>
> I(k) = int_{-oo}^{+oo} exp(it)/(1+t^{2k}) dt.
>
> El metodo es lo de siempre -- hallar un camino cerrado parametrizado que
> desaparecen en el l�mite, y sumar los residuos de los polos dentro del
> camino.
>
> El camino que usamos consiste en dos partes:
>
> I: el segmento del eje real desde -R a R, con R -> oo en el l�mite
>
> El camino que usamos consiste en dos partes:
>
> y II: el semic�rculo R exp(i theta), 0 <= theta < pi.
>
> El valor en el l�mite de la contribuci�n del segmento I es I(k).
>
> Solo falta una prueba que la contribuci�n de II desaparece en el
> l�mite. Con t = R exp(i theta) y dt = R i exp(i theta) dtheta vemos que
> se trata de
>
> int_0^pi exp(iR exp(i theta))/(1+R^{2k} exp(i theta 2k))
> R i exp(i theta) dtheta
>
> Una cota superior del m�dulo de esta integral es
>
> int_0^pi exp(iR exp(i theta))/(1+R^{2k} exp(i theta 2k))
> R i exp(i theta) dtheta
>
>
> int_0^pi |exp(iR cos(theta))exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
> = int_0^pi |exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
> = int_0^pi R/(R^{2k}-1) dtheta = pi R/(R^{2k}-1).
>
> Esta �ltima cantidad desaparece cuando R -> oo.
> int_0^pi |exp(iR cos(theta))exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
> = int_0^pi |exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
> = int_0^pi R/(R^{2k}-1) dtheta = pi R/(R^{2k}-1).
>
>
> Sea v(q) = exp(i pi/(2k) + 2 pi i q/(2k))).
>
> Luego I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} Res(exp(it)/(1+t^{2k}); t=v(q))
>
> o sea
>
> I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} (exp(it)/((1+t^{2k})/(t-v(q))))_{t=v(q)}
>
> donde se entiende que ((1+t^{2k})/(t-v(q))) representa la singularidad
> v(q) en estado cancelado.
>
> Esto es el punto donde ocurre algo bastante curioso: mi version de MAPLE
> �produce resultados incorrectos para k impar, k >= 5! Mi version es el
> 15. Alguien �me lo puede confirmar? (Usando mi formula para I(k), por
> ejemplo, y estudiando los valores de
>
> evalf(int(cos(t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity))
> y evalf(int(exp(I*t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity)).
>
> Un saludo.
>
> Marko
Estimados amigos,
> Sea v(q) = exp(i pi/(2k) + 2 pi i q/(2k))).
>
> Luego I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} Res(exp(it)/(1+t^{2k}); t=v(q))
>
> o sea
>
> I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} (exp(it)/((1+t^{2k})/(t-v(q))))_{t=v(q)}
>
> donde se entiende que ((1+t^{2k})/(t-v(q))) representa la singularidad
> v(q) en estado cancelado.
>
> Esto es el punto donde ocurre algo bastante curioso: mi version de MAPLE
> �produce resultados incorrectos para k impar, k >= 5! Mi version es el
> 15. Alguien �me lo puede confirmar? (Usando mi formula para I(k), por
> ejemplo, y estudiando los valores de
>
> evalf(int(cos(t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity))
> y evalf(int(exp(I*t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity)).
>
> Un saludo.
>
> Marko
Lo que sigue se refiere al apartado (ii). He podido confirmar la
exactitud de mis dos formulas con Mathematica, que produce unos
resultados muy impresionantes. En cada caso el valor num�rico de estos
coincide con las formulas. MAPLE 15 contin�a a producir resultados
err�neos para k>=5 impar. Debemos contactar a la gente de MAPLE o a
algun grupo relevante, �no les parece? Pero antes quisiera que alguien
con acceso a los dos me confirme mis resultados. �Wolfgang?
Evidentemente la probabilidad de tener un error en mis calculos es mucho
mayor que la de encontrar un fallo en MAPLE, escrito por mentes muy
brillantes y algoritmos testados con matematicas avanzadas (igual que
Mathematica, por supuesto).
Un saludo.
Marko
Dr. Wolfgang Hintze
Sep 29, 2012, 8:40:20 AM9/29/12
to
On 22 Sep., 01:52, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
Mi solución para el apartado (i) es la siguiente:
Ya que Cos[t] = 1/2 (Exp[I t] + Exp[-I t]) desarrollando Cos[t]^k
según la fórmula binomial queda
c(k) = 1/2^k Sum[C[k,m] Integrate[Exp[I (k-2m) /(1+t^2),{t,-oo,oo}] ,
{m,0,k}]
La integral es
Integrate[Exp[I*t*(2*m - k)]/(1 + t^2), {t, -Infinity, Infinity}] = Pi/
E^Abs[k - 2*m]
y por lo tanto
c(k) = (Pi/2^k)*Sum[Binomial[k, m]/E^Abs[k - 2*m], {m, 0, k},
Assumptions -> k > 0]
Es decir, las integrales c(k) son polinomios en 1/E.
Ejemplos
c(2) = Pi/2 + Pi/(2*E^2)
c(3) = Pi/(4*E^3) + (3*Pi)/(4*E)
Haciendo la suma lleva a funciones hipergeométricas, y la expresión
general se puede escibir como
c(2m) = (Pi*(E^2*(1 + E^2)^(2*m) + E^(2*m)*Binomial[2*m,1 +
m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/E^2)]
- E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2])))/
(4^m*E^(2*(1 + m)))
c(2m+1) = (E^2*(4^m*E^(2*m) + (1 + E^2)^(2*m)*Pi) +
E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1 + m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/
E^2)] - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2]))/(4^m*E^(2*(1 +
m)))
Lo dejo al lector de simplificar estos expresiones.
PD: descgraciadamente yo no pude reconocer resulatos explicitos de
Marko para compararlos con los míos.
Saludos,
Wolfgang
Ya que Cos[t] = 1/2 (Exp[I t] + Exp[-I t]) desarrollando Cos[t]^k
según la fórmula binomial queda
c(k) = 1/2^k Sum[C[k,m] Integrate[Exp[I (k-2m) /(1+t^2),{t,-oo,oo}] ,
{m,0,k}]
La integral es
Integrate[Exp[I*t*(2*m - k)]/(1 + t^2), {t, -Infinity, Infinity}] = Pi/
E^Abs[k - 2*m]
y por lo tanto
c(k) = (Pi/2^k)*Sum[Binomial[k, m]/E^Abs[k - 2*m], {m, 0, k},
Assumptions -> k > 0]
Es decir, las integrales c(k) son polinomios en 1/E.
Ejemplos
c(2) = Pi/2 + Pi/(2*E^2)
c(3) = Pi/(4*E^3) + (3*Pi)/(4*E)
Haciendo la suma lleva a funciones hipergeométricas, y la expresión
general se puede escibir como
c(2m) = (Pi*(E^2*(1 + E^2)^(2*m) + E^(2*m)*Binomial[2*m,1 +
m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/E^2)]
- E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2])))/
(4^m*E^(2*(1 + m)))
c(2m+1) = (E^2*(4^m*E^(2*m) + (1 + E^2)^(2*m)*Pi) +
E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1 + m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/
E^2)] - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2]))/(4^m*E^(2*(1 +
m)))
Lo dejo al lector de simplificar estos expresiones.
PD: descgraciadamente yo no pude reconocer resulatos explicitos de
Marko para compararlos con los míos.
Saludos,
Wolfgang
Marko Riedel
Sep 29, 2012, 4:40:58 PM9/29/12
to
"Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
> On 22 Sep., 01:52, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
>> Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> writes:
>> > "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>>
>> >> Esto es inspirado por el reciente problema de Luis.
>>
>> >> Calcular las integrales
>>
>> >> (i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
>>
>> >> con k = 0, 1, 2,...
>>
>> >> (ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
>>
>> >> con k = 1, 2, ...
>>
>> >> Saludos,
>> >> Wolfgang
>>
>> > Hola a todos,
>>
>> > hago el apartado (ii). Se pide calcular I(k) con
>>
>> > á á áI(k) = int_{-oo}^{+oo} cos(t)/(1+t^{2k}) dt
> On 22 Sep., 01:52, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
>> Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> writes:
>> > "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>>
>> >> Esto es inspirado por el reciente problema de Luis.
>>
>> >> Calcular las integrales
>>
>> >> (i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
>>
>> >> con k = 0, 1, 2,...
>>
>> >> (ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
>>
>> >> con k = 1, 2, ...
>>
>> >> Saludos,
>> >> Wolfgang
>>
>> > Hola a todos,
>>
>> > hago el apartado (ii). Se pide calcular I(k) con
>>
>>
>> > o sea
>>
>> > á á áI(k) = int_{-oo}^{+oo} exp(it)/(1+t^{2k}) dt.
>>
>> > El metodo es lo de siempre -- hallar un camino cerrado parametrizado que
>> > incluye ála áintegral áque ábuscamos, áprobar que álos ádem s ásegmentos
>> > El metodo es lo de siempre -- hallar un camino cerrado parametrizado que
>> > desaparecen en el ál mite, y sumar los residuos de álos polos dentro del
>> > camino.
>>
>> > El camino que usamos consiste en dos partes:
>>
>> > á áI: el segmento del eje real desde -R a R, con R -> oo en el l mite
>>
>> > El camino que usamos consiste en dos partes:
>>
>> > y áII: el semic rculo R exp(i theta), 0 <= theta < pi.
>>
>> > El valor en el l mite de la contribuci n del segmento I es I(k).
>>
>> > Solo áfalta áuna prueba áque ála contribuci n áde áII ádesaparece en áel
>> > El valor en el l mite de la contribuci n del segmento I es I(k).
>>
>> > l mite. Con t = R exp(i theta) y ádt = R i exp(i theta) dtheta vemos que
>> > se trata de
>>
>> > á áint_0^pi áexp(iR exp(i theta))/(1+R^{2k} exp(i theta 2k))
>> > á á á á á á áR i exp(i theta) dtheta
>>
>> > Una cota superior del m dulo de esta integral es
>>
>> > á áint_0^pi |exp(iR cos(theta))exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
>> > Una cota superior del m dulo de esta integral es
>>
>> > = áint_0^pi |exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
>> > = áint_0^pi R/(R^{2k}-1) dtheta = pi R/(R^{2k}-1).
>>
>> > Esta ltima cantidad desaparece cuando R -> oo.
>>
>> > Sea v(q) = exp(i pi/(2k) + 2 pi i q/(2k))).
>>
>> > Luego I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} Res(exp(it)/(1+t^{2k}); t=v(q))
>>
>> > o sea
>>
>> > á I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} (exp(it)/((1+t^{2k})/(t-v(q))))_{t=v(q)}
>> > Esta ltima cantidad desaparece cuando R -> oo.
>>
>> > Sea v(q) = exp(i pi/(2k) + 2 pi i q/(2k))).
>>
>> > Luego I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} Res(exp(it)/(1+t^{2k}); t=v(q))
>>
>> > o sea
>>
>>
>> > donde se áentiende que ((1+t^{2k})/(t-v(q))) árepresenta la singularidad
>> > v(q) en estado cancelado.
>>
>> > Esto es el punto donde ocurre algo bastante curioso: mi version de MAPLE
>> > produce resultados incorrectos ápara k impar, k >= 5! áMi version es el
>>
>> > Esto es el punto donde ocurre algo bastante curioso: mi version de MAPLE
>> > 15. Alguien á me lo puede confirmar? á(Usando mi formula ápara I(k), por
>> > ejemplo, y estudiando los valores de
>>
>> > á á áevalf(int(cos(t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity))
>>
>> > y á áevalf(int(exp(I*t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity)).
>>
>> > Un saludo.
>>
>> > Marko
>>
>> Estimados amigos,
>>
>> Lo áque sigue áse árefiere al áapartado á(ii). áHe ápodido confirmar ála
>> > Un saludo.
>>
>> > Marko
>>
>> Estimados amigos,
>>
>> exactitud áde ámis ádos áformulas ácon áMathematica, áque áproduce áunos
>> resultados muy impresionantes. áEn cada ácaso el valor num rico de estos
>> coincide ácon las áformulas. áMAPLE á15 contin a áa áproducir resultados
>> err neos para ák>=5 impar. áDebemos ácontactar a la ágente de MAPLE áo a
>> algun grupo relevante, no les áparece? áPero antes quisiera que alguien
>> con áacceso á a álos ádos á me áconfirme ámis á resultados. á Wolfgang?
>> Evidentemente la probabilidad de tener un error en mis calculos es mucho
>> mayor que ála de áencontrar un áfallo en MAPLE, áescrito por ámentes muy
>> brillantes y áalgoritmos testados ácon matematicas avanzadas á(igual que
>> Mathematica, por supuesto).
>>
>> Un saludo.
>>
>> Marko
>>
>>
>
> Mi soluciˇn para el apartado (i) es la siguiente:
>>
>> Un saludo.
>>
>> Marko
>>
>>
>
>
> Ya que Cos[t] = 1/2 (Exp[I t] + Exp[-I t]) desarrollando Cos[t]^k
> seg˙n la fˇrmula binomial queda
> Ya que Cos[t] = 1/2 (Exp[I t] + Exp[-I t]) desarrollando Cos[t]^k
>
> c(k) = 1/2^k Sum[C[k,m] Integrate[Exp[I (k-2m) /(1+t^2),{t,-oo,oo}] ,
> {m,0,k}]
>
> La integral es
>
> Integrate[Exp[I*t*(2*m - k)]/(1 + t^2), {t, -Infinity, Infinity}] = Pi/
> E^Abs[k - 2*m]
>
> y por lo tanto
>
> c(k) = (Pi/2^k)*Sum[Binomial[k, m]/E^Abs[k - 2*m], {m, 0, k},
> Assumptions -> k > 0]
>
> Es decir, las integrales c(k) son polinomios en 1/E.
>
> Ejemplos
>
> c(2) = Pi/2 + Pi/(2*E^2)
> c(3) = Pi/(4*E^3) + (3*Pi)/(4*E)
>
> Haciendo la suma lleva a funciones hipergeomÚtricas, y la expresiˇn
> c(k) = 1/2^k Sum[C[k,m] Integrate[Exp[I (k-2m) /(1+t^2),{t,-oo,oo}] ,
> {m,0,k}]
>
> La integral es
>
> Integrate[Exp[I*t*(2*m - k)]/(1 + t^2), {t, -Infinity, Infinity}] = Pi/
> E^Abs[k - 2*m]
>
> y por lo tanto
>
> c(k) = (Pi/2^k)*Sum[Binomial[k, m]/E^Abs[k - 2*m], {m, 0, k},
> Assumptions -> k > 0]
>
> Es decir, las integrales c(k) son polinomios en 1/E.
>
> Ejemplos
>
> c(2) = Pi/2 + Pi/(2*E^2)
> c(3) = Pi/(4*E^3) + (3*Pi)/(4*E)
>
> general se puede escibir como
>
> c(2m) = (Pi*(E^2*(1 + E^2)^(2*m) + E^(2*m)*Binomial[2*m,1 +
> m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/E^2)]
> - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2])))/
> (4^m*E^(2*(1 + m)))
>
> c(2m+1) = (E^2*(4^m*E^(2*m) + (1 + E^2)^(2*m)*Pi) +
> E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1 + m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/
> E^2)] - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2]))/(4^m*E^(2*(1 +
> m)))
>
> Lo dejo al lector de simplificar estos expresiones.
>
> PD: descgraciadamente yo no pude reconocer resulatos explicitos de
> Marko para compararlos con los mÝos.
>
> c(2m) = (Pi*(E^2*(1 + E^2)^(2*m) + E^(2*m)*Binomial[2*m,1 +
> m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/E^2)]
> - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2])))/
> (4^m*E^(2*(1 + m)))
>
> c(2m+1) = (E^2*(4^m*E^(2*m) + (1 + E^2)^(2*m)*Pi) +
> E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1 + m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/
> E^2)] - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2]))/(4^m*E^(2*(1 +
> m)))
>
> Lo dejo al lector de simplificar estos expresiones.
>
> PD: descgraciadamente yo no pude reconocer resulatos explicitos de
>
> Saludos,
> Wolfgang
Hola a todos,
puedo confirmar sus resultados para q par. Para q impar, no obtengo los
> Saludos,
> Wolfgang
Hola a todos,
mismos resultados. Numericamente mis resultados parecen que son los
buenos.
Un saludo.
Marko
In[1]:= Ceven[m_] := (Pi*(E^2*(1+E^2)^(2*m)+E^(2*m)*Binomial[2*m,1+m]*(Hypergeometric2F1[1,1-m,2+m,-(1/E^2)\
]-E^4*Hypergeometric2F1[1,1-m,2+m,-E^2])))/(4^m*E^(2*(1+m)))
In[2]:= Codd[m_] :=(E^2*(4^m*E^(2*m)+(1+E^2)^(2*m)*Pi)+E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1+m]*(Hypergeometric2F1[1,1\
-m,2+m,-(1/E^2)]-E^4*Hypergeometric2F1[1,1-m,2+m,-E^2]))/(4^m*E^(2*(1+m)))
In[16]:= Expand[Ceven[1]]
Out[16]= Pi/2+Pi/(2 E^2)
In[24]:= Expand[Ceven[2]]
Out[24]= (3 Pi)/8+Pi/(8 E^4)+Pi/(2 E^2)
In[25]:= Expand[Ceven[3]]
Out[25]= (5 Pi)/16+Pi/(32 E^6)+(3 Pi)/(16 E^4)+(15 Pi)/(32 E^2)
Pi/2+Pi/(2 E^2)
In[26]:= Expand[Codd[1]]
Out[26]= 1+Pi/2+Pi/(2 E^2)
In[33]:= Expand[Codd[2]]
Out[33]= 1+(3 Pi)/8+Pi/(8 E^4)+Pi/(2 E^2)
In[34]:= Expand[Codd[3]]
Out[34]= 1+(5 Pi)/16+Pi/(32 E^6)+(3 Pi)/(16 E^4)+(15 Pi)/(32 E^2)
Ieven[q_] := 1/2^(q-1)*Pi*Sum[Binomial[q,k] *Exp[-(q-2*k)], {k,0,q/2-1}]+1/2^q*Pi*Binomial[q, q/2]
In[19]:= Iodd[q_] := 1/2^(q-1)*Pi*Sum[Binomial[q, k]*Exp[-(q-2*k)], {k, 0, (q-1)/2}]
In[15]:= Expand[Ieven[2]]
Out[15]= Pi/2+Pi/(2 E^2)
In[22]:= Expand[Ieven[4]]
Out[22]= (3 Pi)/8+Pi/(8 E^4)+Pi/(2 E^2)
In[23]:= Expand[Ieven[6]]
Out[23]= (5 Pi)/16+Pi/(32 E^6)+(3 Pi)/(16 E^4)+(15 Pi)/(32 E^2)
In[20]:= Expand[Iodd[3]]
Out[20]= Pi/(4 E^3)+(3 Pi)/(4 E)
In[21]:= Expand[Iodd[5]]
Out[21]= Pi/(16 E^5)+(5 Pi)/(16 E^3)+(5 Pi)/(8 E)
In[31]:= Expand[Iodd[7]]
Out[31]= Pi/(64 E^7)+(7 Pi)/(64 E^5)+(21 Pi)/(64 E^3)+(35 Pi)/(64 E)
Dr. Wolfgang Hintze
Sep 30, 2012, 4:27:07 AM9/30/12
to
On 29 Sep., 22:40, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
> "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>
>
>
>
>
> > On 22 Sep., 01:52, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
> >> Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> writes:
> >> > "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>
> >> >> Esto es inspirado por el reciente problema de Luis.
>
> >> >> Calcular las integrales
>
> >> >> (i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
>
> >> >> con k = 0, 1, 2,...
>
> >> >> (ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
>
> >> >> con k = 1, 2, ...
>
> >> >> Saludos,
> >> >> Wolfgang
>
> >> > Hola a todos,
>
> >> > hago el apartado (ii). Se pide calcular I(k) con
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>
>
>
>
>
> > On 22 Sep., 01:52, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
> >> Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> writes:
> >> > "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>
> >> >> Esto es inspirado por el reciente problema de Luis.
>
> >> >> Calcular las integrales
>
> >> >> (i) c(k) = Integrate[ Cos[t]^k/(1+t^2), {t,-oo,+oo}]
>
> >> >> con k = 0, 1, 2,...
>
> >> >> (ii) d(k) = Integrate[ Cos[t]/(1+t^(2k)), {t,-oo,+oo}]
>
> >> >> con k = 1, 2, ...
>
> >> >> Saludos,
> >> >> Wolfgang
>
> >> > Hola a todos,
>
> >> > hago el apartado (ii). Se pide calcular I(k) con
>
> >> > I(k) = int_{-oo}^{+oo} cos(t)/(1+t^{2k}) dt
>
> >> > o sea
>
>
> >> > o sea
>
> >> > I(k) = int_{-oo}^{+oo} exp(it)/(1+t^{2k}) dt.
>
> >> > El metodo es lo de siempre -- hallar un camino cerrado parametrizado que
>
> >> > El metodo es lo de siempre -- hallar un camino cerrado parametrizado que
> >> > incluye la integral que buscamos, probar que los dem s segmentos
> >> > desaparecen en el l mite, y sumar los residuos de los polos dentro del
> >> > camino.
>
> >> > El camino que usamos consiste en dos partes:
>
>
> >> > El camino que usamos consiste en dos partes:
>
> >> > I: el segmento del eje real desde -R a R, con R -> oo en el l mite
> >> > y II: el semic rculo R exp(i theta), 0 <= theta < pi.
>
> >> > El valor en el l mite de la contribuci n del segmento I es I(k).
>
> >> > El valor en el l mite de la contribuci n del segmento I es I(k).
>
> >> > Solo falta una prueba que la contribuci n de II desaparece en el
> >> > l mite. Con t = R exp(i theta) y dt = R i exp(i theta) dtheta vemos que
> >> > se trata de
>
> >> > int_0^pi exp(iR exp(i theta))/(1+R^{2k} exp(i theta 2k))
> >> > R i exp(i theta) dtheta
>
>
> >> > Una cota superior del m dulo de esta integral es
>
>
> >> > int_0^pi |exp(iR cos(theta))exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
> >> > = int_0^pi |exp(-Rsin(theta))|/(R^{2k}-1) R dtheta
> >> > = int_0^pi R/(R^{2k}-1) dtheta = pi R/(R^{2k}-1).
>
> >> > Esta ltima cantidad desaparece cuando R -> oo.
>
> >> > Sea v(q) = exp(i pi/(2k) + 2 pi i q/(2k))).
>
> >> > Luego I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} Res(exp(it)/(1+t^{2k}); t=v(q))
>
> >> > o sea
>
> >> > Esta ltima cantidad desaparece cuando R -> oo.
>
> >> > Sea v(q) = exp(i pi/(2k) + 2 pi i q/(2k))).
>
> >> > Luego I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} Res(exp(it)/(1+t^{2k}); t=v(q))
>
> >> > o sea
>
> >> > I(k) = 2 pi i sum_{q=0..k-1} (exp(it)/((1+t^{2k})/(t-v(q))))_{t=v(q)}
>
> >> > donde se entiende que ((1+t^{2k})/(t-v(q))) representa la singularidad
>
> >> > v(q) en estado cancelado.
>
> >> > Esto es el punto donde ocurre algo bastante curioso: mi version de MAPLE
>
> >> > Esto es el punto donde ocurre algo bastante curioso: mi version de MAPLE
> >> > produce resultados incorrectos para k impar, k >= 5! Mi version es el
> >> > 15. Alguien me lo puede confirmar? (Usando mi formula para I(k), por
> >> > ejemplo, y estudiando los valores de
>
> >> > evalf(int(cos(t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity))
>
> >> > y evalf(int(exp(I*t)/(1+t^(2*k)), t=-infinity..infinity)).
>
> >> > Un saludo.
>
> >> > Marko
>
> >> Estimados amigos,
>
> >> > Un saludo.
>
> >> > Marko
>
> >> Estimados amigos,
>
> >> Lo que sigue se refiere al apartado (ii). He podido confirmar la
> >> exactitud de mis dos formulas con Mathematica, que produce unos
> >> resultados muy impresionantes. En cada caso el valor num rico de estos
> >> coincide con las formulas. MAPLE 15 contin a a producir resultados
> >> err neos para k>=5 impar. Debemos contactar a la gente de MAPLE o a
> >> algun grupo relevante, no les parece? Pero antes quisiera que alguien
> >> con acceso a los dos me confirme mis resultados. Wolfgang?
> >> exactitud de mis dos formulas con Mathematica, que produce unos
> >> resultados muy impresionantes. En cada caso el valor num rico de estos
> >> coincide con las formulas. MAPLE 15 contin a a producir resultados
> >> err neos para k>=5 impar. Debemos contactar a la gente de MAPLE o a
> >> algun grupo relevante, no les parece? Pero antes quisiera que alguien
> >> Evidentemente la probabilidad de tener un error en mis calculos es mucho
> >> mayor que la de encontrar un fallo en MAPLE, escrito por mentes muy
> >> brillantes y algoritmos testados con matematicas avanzadas (igual que
> >> Mathematica, por supuesto).
>
> >> Un saludo.
>
> >> Marko
>
> > Mi solución para el apartado (i) es la siguiente:
>
> >> Un saludo.
>
> >> Marko
>
>
> > Ya que Cos[t] = 1/2 (Exp[I t] + Exp[-I t]) desarrollando Cos[t]^k
> > según la fórmula binomial queda
> > Ya que Cos[t] = 1/2 (Exp[I t] + Exp[-I t]) desarrollando Cos[t]^k
>
> > c(k) = 1/2^k Sum[C[k,m] Integrate[Exp[I (k-2m) /(1+t^2),{t,-oo,oo}] ,
> > {m,0,k}]
>
> > La integral es
>
> > Integrate[Exp[I*t*(2*m - k)]/(1 + t^2), {t, -Infinity, Infinity}] = Pi/
> > E^Abs[k - 2*m]
>
> > y por lo tanto
>
> > c(k) = (Pi/2^k)*Sum[Binomial[k, m]/E^Abs[k - 2*m], {m, 0, k},
> > Assumptions -> k > 0]
>
> > Es decir, las integrales c(k) son polinomios en 1/E.
>
> > Ejemplos
>
> > c(2) = Pi/2 + Pi/(2*E^2)
> > c(3) = Pi/(4*E^3) + (3*Pi)/(4*E)
>
> > Haciendo la suma lleva a funciones hipergeométricas, y la expresión
> > c(k) = 1/2^k Sum[C[k,m] Integrate[Exp[I (k-2m) /(1+t^2),{t,-oo,oo}] ,
> > {m,0,k}]
>
> > La integral es
>
> > Integrate[Exp[I*t*(2*m - k)]/(1 + t^2), {t, -Infinity, Infinity}] = Pi/
> > E^Abs[k - 2*m]
>
> > y por lo tanto
>
> > c(k) = (Pi/2^k)*Sum[Binomial[k, m]/E^Abs[k - 2*m], {m, 0, k},
> > Assumptions -> k > 0]
>
> > Es decir, las integrales c(k) son polinomios en 1/E.
>
> > Ejemplos
>
> > c(2) = Pi/2 + Pi/(2*E^2)
> > c(3) = Pi/(4*E^3) + (3*Pi)/(4*E)
>
> > general se puede escibir como
>
> > c(2m) = (Pi*(E^2*(1 + E^2)^(2*m) + E^(2*m)*Binomial[2*m,1 +
> > m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/E^2)]
> > - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2])))/
> > (4^m*E^(2*(1 + m)))
>
> > c(2m+1) = (E^2*(4^m*E^(2*m) + (1 + E^2)^(2*m)*Pi) +
> > E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1 + m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/
> > E^2)] - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2]))/(4^m*E^(2*(1 +
> > m)))
>
> > Lo dejo al lector de simplificar estos expresiones.
>
> > PD: descgraciadamente yo no pude reconocer resulatos explicitos de
> > Marko para compararlos con los míos.
>
> > c(2m) = (Pi*(E^2*(1 + E^2)^(2*m) + E^(2*m)*Binomial[2*m,1 +
> > m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/E^2)]
> > - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2])))/
> > (4^m*E^(2*(1 + m)))
>
> > c(2m+1) = (E^2*(4^m*E^(2*m) + (1 + E^2)^(2*m)*Pi) +
> > E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1 + m]*(Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -(1/
> > E^2)] - E^4*Hypergeometric2F1[1, 1 - m, 2 + m, -E^2]))/(4^m*E^(2*(1 +
> > m)))
>
> > Lo dejo al lector de simplificar estos expresiones.
>
> > PD: descgraciadamente yo no pude reconocer resulatos explicitos de
>
> > Saludos,
> > Wolfgang
>
> Hola a todos,
>
> puedo confirmar sus resultados para q par. Para q impar, no obtengo los
> mismos resultados. Numericamente mis resultados parecen que son los
> buenos.
>
> Un saludo.
>
> Marko
>
> In[1]:= Ceven[m_] := (Pi*(E^2*(1+E^2)^(2*m)+E^(2*m)*Binomial[2*m,1+m]*(Hypergeometric2F1[1,1-m,2+m,-(1/E^2)\
> > Saludos,
> > Wolfgang
>
> Hola a todos,
>
> puedo confirmar sus resultados para q par. Para q impar, no obtengo los
> mismos resultados. Numericamente mis resultados parecen que son los
> buenos.
>
> Un saludo.
>
> Marko
>
> ]-E^4*Hypergeometric2F1[1,1-m,2+m,-E^2])))/(4^m*E^(2*(1+m)))
> In[2]:= Codd[m_] :=(E^2*(4^m*E^(2*m)+(1+E^2)^(2*m)*Pi)+E^(2*m)*Pi*Binomial[2*m,1+m]*(Hypergeometric2F1[1,1\
la siguiente.
Extrayendo un factor consideramos
cc(k) = 1/(2Pi) (2E)^k Integrate[Cos[t]^k/(1 + t^2), {t, -Infinity,
Infinity}]
y la forma explícita es cc(k) = p(k) con los polinomios
p(k impar) = Sum[E^(2m) C[k, m], {m, 0, (k - 1)/2}]
p(k par) = Sum[E^(2m) C[k, m], {m, 0, k/2 - 1}] + E^k C[k, k/2]/2
Es decir, las coeficientes del polinomio son simples binomiales.
Las primeras expresiones para p son (en el formato {k,p(k)})
{1, 1}
{2, 1 + E^2}
{3, 1 + 3*E^2}
{4, 1 + 4*E^2 + 3*E^4}
{5, 1 + 5*E^2 + 10*E^4}
{6, 1 + 6*E^2 + 15*E^4 + 10*E^6}
{7, 1 + 7*E^2 + 21*E^4 + 35*E^6}
{8, 1 + 8*E^2 + 28*E^4 + 56*E^6 + 35*E^8}
{9, 1 + 9*E^2 + 36*E^4 + 84*E^6 + 126*E^8}
{10,1 + 10*E^2 + 45*E^4 + 120*E^6 + 210*E^8 + 126*E^10}
PD: el código en mathematica es
cc[k_] := (1/(2*Pi))*(2*E)^k*Integrate[Cos[t]^k/(1 + t^2), {t, -
Infinity, Infinity}]
p[k_] := Sum[E^(2*m)*Binomial[k, m], {m, 0, (k - 1)/2}] /; OddQ[k]
p[k_] := Sum[E^(2*m)*Binomial[k, m], {m, 0, k/2 - 1}] +
E^k*(Binomial[k, k/2]/2) /; EvenQ[k]
Saludos,
Wolfgang
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