duda algebraica
P. Cabré
hacer....
Toda aplicación es inyectiva?
Otra forma de preguntarlo: toda aplicación exhaustiva es biyectiva?
He mirado muchos libros y cada vez estoy más liado, ya que en teoría si
que lo tendría que ser, pero nadie lo dice explicitamente.
Muchas gracias.
Antonio Luis
Una aplicación inyectiva no es necesariamente exhaustiva. Recíprocamente,
una aplicación sobreyectiva (exhaustiva) no es necesariamente inyectiva.
Para ser inyectiva, es necesario y suficiente que cada pareja de originales
(elementos del conjunto inicial) diferentes tengan imágenes también
diferentes y para ser exhaustiva (sobreyectiva, suprayectiva) es necesario
y suficiente que todo elemento del conjunto final sea imagen de al menos un
elemento del conjunto inicial. Como ves, las definiciones se plantean
utilizando condiciones esencialmente distintas. Lo que es cierto es que
estos dos conceptos pueden ser equivalentes si se dan condiciones
adicionales. Por ejemplo, todo endomorfismo inyectivo de un espacio
vectorial real es automáticamente un endomorfismo exhaustivo. Sin embargo,
a falta de condiciones adicionales es claro que son diferentes cosas. Por
cierto, no toda aplicación ha de ser de una u otra forma. Así, existen
aplicaciones que no son ni inyectivas ni exhaustivas.
Saludos
-----El Paraíso de las Matemáticas----
http://www.matematicas.net
"P. Cabré" escribió:
Ignacio Larrosa Cañestro
>Toda aplicación es inyectiva?
En una aplicación cada elemento del conjunto inicial debe tener una sola
imagen.
Para que sea inyectiva, estas imagenes deben ser siempre distintas para
elementos distintos del conjunto inicial. O, dicho de otra forma, cada
elemento del conjunto final debe ser imagen de un sólo elemento del conjunto
inicial.
Por ejemplo, f:R--->R+, f(x)=x^2. Se trata de una aplicación, puesto que
todo elemento de R tiene un sólo cuadrado. Pero no es inyectiva, puesto que
(x)^2 y (-x)^2 son iguales. Es decir 9, por ejemplo, es la imagen de 3 y
de -3.
>Otra forma de preguntarlo: toda aplicación exhaustiva es biyectiva?
NO. Una aplicación es exhaustiva si todos los elementos del conjunto final
son imagen de al menos uno del inicial. Si alguno es imagen de más de uno,
ya no es inyectiva.
La misma aplicación f(x)=x^2, definida de R en R+ (numeros reales mayores o
iguales que cero), es exhaustiva, puesto que todos los elementos de R+ son
cuadrados de algún número real, pero no es inyectiva ya que hay algunos
(todos menos el cero) que lo son de dos.
Ignacio Larrosa
Eduardo Perez
>
> Supongo que esta pregunta os parecerá una tontería, pero que se le va
> hacer....
>
> Toda aplicación es inyectiva?
> que lo tendría que ser, pero nadie lo dice explicitamente.
>
> Muchas gracias.
No. Tomando la aplicación f:{a,b} ---> {0} tal que f(a)=0 f(b)=0, vemos
claramente que no es inyectiva, puesto que f(a) = f(b) = 0. Sí es
exhaustiva, pues 0 tiene antiimagen.
Espero haber ayudado.
Miquel Martorell
Inyectiva: Dos elementos diferentes tienen imagenes diferentes.
Si f(a)=f(b) entonces ocurre a=b.
Exhaustiva: Todo elemento del segundo conjunto tiene antiimagen.
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