Cuadrado esférico
Antonio González
unidad por cuatro arcos de círculo máximo, de la misma longitud y que
forman cuatro ángulos iguales.
¿Cuál es el área de un cuadrado esférico como función de la longitud de
su lado?
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Antonio
Eduardo
> Definimos un cuadrado esf rico como la figura formada sobre la esfera
> unidad por cuatro arcos de c rculo m ximo, de la misma longitud y que
> forman cuatro ngulos iguales.
>
> Cu l es el rea de un cuadrado esf rico como funci n de la longitud de
> su lado?
>
> --
> Antonio
Después de haberle pegado una buena leída a trigonometría esférica,
parto de la expresión del área del triángulo esférico:
S = (alfa+beta+gama-pi)R^2 ; alfa,beta y gama los ángulos del
triángulo
Como al cuadrado lo puedo descomponer en 4 triángulos rectángulos
esféricos, va a resultar:
Area = 4 (2alfa-pi/2) R^2
para escribir alfa en función del lado uso el teorema del seno y
coseno de trigonometría esférica http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry
Me termina quedando:
Area = 4 R^2 atan(q/rq(1-2q) ; q = (sen(L/(2R)))^2
Antonio González
Como no se trigonometría esférica, prefiero hacerlo con álgebra
vectorial, que es mucho más "intuitiva". Luego pongo la solución.
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Antonio
Antonio González
Lo primero es colocar el cuadrado bien puesto: con su centro en el polo
norte de la esfera (P) y los cuatro vértices A, B C y D sobre cuatro
meridianos en 0º, 90º, 270º y 270º.
El área es efectivamente cuatro veces la del triángulo esférico PAB,
que, por trigonometría esférica es
S = 4(alfa + beta + gamma - pi)R^2
puesto que gamma = pi/2 y beta = alfa queda
S = (8alfa - 2pi)R^2
por otro lado el lado del cuadrado es igual a la longitud del arco
máximo que pasa por A y B
L = R delta
donde delta es el ángulo que forman OA y OB, el cual obtenemos mediante
el producto escalar
delta = arccos(OA·OB/R^2)
siendo
OA = R(sen(theta),0,cos(theta))
OB = R(0, sen(theta),cos(theta))
(theta es la coordenada esférica polar). Por tanto
delta = arccos(cos^2(theta))
o, puesto que nuestro dato es L
cos(theta) = rq(cos(L/R))
theta = arccos(rq(cos/L/R))
(hay otra solución con el signo negativo de la raíz, correspondiente al
cuadrado complementario).
Nos queda hallar alfa. Este es el ángulo que forma el meridiano AN con
el arco AB.
Sea
U = (-cos(theta),0,sen(theta))
el unitario tangente a AN en A. Debemos hallar el unitario tangente a AB
en A. Este es perpendicular a la esfera en A y al normal al plano OAB
El vector normal del plano OAB es
N = OA x OB
así que un vector tangente a AB es
T = OA x (OA x OB)
el ángulo alfa, empleando de nuevo el producto escalar, es
alfa = arccos(|U·(OA x (OA x OB)|/|OA x OB|) =
= arccos(|(U x OA)·(OA x OB)|/|OA x OB|)
donde
OA x OB = sen(theta)(-cos(theta),-cos(theta),sen(theta))
|OA x OB| = sen(theta)rq(1+ cos^2(theta))
U x OA = (0,1,0)
alfa = arccos(cos(theta)/rq(1+cos^2(theta))
o, equivalentemente,
alfa = arccotg(cos(theta)) =
= arccotg(rq(cos(L/R))
por tanto
S = R^2(8 arccotg(rq(cos(L/R))- 2pi)
El cuadrado complementario del mismo lado L es el de área el resto de la
esfera
S' = R^2(2pi + 8 arccotg(rq(cos(L/R)))
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Antonio
Antonio González
esto es, AP
> con
> el arco AB.
>
> Sea
>
> U = (-cos(theta),0,sen(theta))
>
> el unitario tangente a AN en A.
Aquí es AP
Ignacio Larrosa Cañestro
¿No será S = R^2(2pi - 8 arccotg(rq(cos(L/R)))? Lo digo porque S + S'
debería ser 4piR^2, ¿no?
Saludos,
Ignacio Larrosa
Antonio González
No, el primero está bien, donde me he equivocado en el segundo, porque
yo estaré puesto en álgebra vectorial, pero ya no sé ni restar. Hallé el
segundo como S' = 4pi R^2 - S y lo puse mal. Debería ser
S' = R^2(6pi - 8 arccotg(rq(cos(L/R)))
(es que como me había quedado tan simétrico, ni me molesté en
comprobarlo). Por supuesto, también depende de la rama de la
arcotangente que se elija.
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Antonio