Suma de arcotangentes

[Antonio González]

Dejando aparte el problema de León-Sotelo que Ignacio ya ha resuelto de
forma sencilla por inducción, comento un poco más lo de la serie de
arcotangentes.

La verdad es que tiene una demostración más sencilla que el rollo que he
puesto

Sea a_k una sucesión de números reales, y sea S la serie o sumatorio

S = sum_k arctg(a_k)

por ser los a_k reales, se cumple

S = sum_k arg(1 + i a_k)

S = Im(sum_k( ln(1+i a_k))

S = Im(ln(prod_k (1+i a_k)))

S = arg(prod_k(1+ i a_k))

Como resultado de esta fórmula se obtiene otra que ya dedujimos en su día:

http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/browse_frm/thread/497bce5fc9388a14/eceea1d41ad33a23?&hl=es#eceea1d41ad33a23

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Antonio