¿Derivadas parciales implicitas por definicion?

[Héctor José González]

Calcule por definición Zx y Zy , si z está definida implícitamente como una función de x e y , mediante la siguiente ecuación -3x^3+y - 5z^3+2x ^3y ^2z = -2 y evalué en Zy (3; -1).

[Luis]

"Héctor José González" <hectorjos...@gmail.com> escribió en el mensaje
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Calcule por definición Zx y Zy , si z está definida implícitamente como una
función de x e y , mediante la siguiente ecuación -3x^3+y - 5z^3+2x ^3y ^2z
= -2 y evalué en Zy (3; -1).

Es un caso particular del teorema de la función implícita.

Pongamos F(x,y,z) = -3x^3+y-5z^3+2x^3 y^2 z + 2 = 0.

Si z = f(x,y), definimos g(x,y) = F(x,y, f(x,y) ) = 0

Ponemos u(x,y) = x , v(x,y) = y, w(x,y) = f(x,y) = z y

aplicamos la regla de la cadena :

gx = 0 = Fu ux + Fv vx + Fw wx = Fu + Fw fx

gy = 0 = Fu uy + Fv vy + Fw wy = Fv + Fw fy


donde gx es la derivada parcial de g respecto de x, Fu la

derivada parcial de F respecto de u, etcétera.

Luego, fx = - Fx / Fz , fy = - Fy / Fz

Y ya está :

fx = (-9x^2 + 6x^2 y^2 z ) / (-15z^2 +2 x^3 y^2 )

fy= ( 1 + 4x^3 y z ) / (-15z^2 +2 x^3 y^2 )

con z = f(x,y).

Para calcular fy(3,-1) habría que conocer z = f(3,-1).

Sustituyendo en F(x,y,z) = -3x^3+y-5z^3+2x^3 y^2 z + 2 = 0

nos queda la ecuación 5z^3-54z+80 = 0 que, numéricamente,

tiene una raíz real en z = -3.865...

Luego, fy(3,-1) = -2,460..

Saludos,