Forma fraccionaria de 0.999999...
José Damián
> Hola a todos:
> Repasando un libro de matemáticas especiales del curso de acceso de la UNED
> he visto en la lección 1 el procedimiento que se sigue para calcular una
> fracción equivalente de un número decimal periódico.
> Por ejemplo si queremos calcular una fracción para el número 0.3333333...
> tenemos:
> x=0.333333...
> 10x=3.333333...
> Luego 10x-x=3.333333...-0.333333...
> 9x=3 luego x=3/9 es decir 1/3 y esto es correcto, pero imaginemos que
> queremos calcular una fracción para el número 0.999999... seguimos los
> mismos pasos:
> x=0.999999...
> 10x=9.999999...
> 10x-x=9.999999...-0.999999....
> 9x=9 luego x=1 NO COINCIDE
>
> Supongamos en este mismo orden de cosas que multiplicamos 0.333333... por 3,
> tenemos 0.999999.... pero si multiplicamos 1/3 por 3, tenemos 3/3 que es
> igual a 1 TAMPOCO COINCIDE.
>
> Sé que estoy metiendo la pata en algún paso, pero no sé donde.
Resulta que 0,999999 = 1.
Hay una formula para obtener la fraccion. Se base en que un número como el
anterior es la suma infinita de una progresión geométrica. Por ejemplo
0,3333··· = 3 x 0,1111··· = 3 x ( 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ··· + ( 0,1
)^n )
teniendo n hacia infinito.
La expresion general de una suma infinita es:
S = A0 / (1-r)
A0 es el primer termino de la suma (en este caso A0 = 3 x 1/10)
r es la razón (en este caso 1/10)
S = (1/10) / ( 1- 1/10 ) = 3 x ( (1/10) / ( 9/10 ) ) = 3 x 1 / 9 = 1 /3
Si en lugar de una cifra, se repiten 4 por ejemplo, la razón sería diferente,
pero se puede aplicar la misma expresion:
0,325325325··· = 0,325 + 0,000325 + 0,000000325 + ··· = 0,325 x ( 0,001 +
0,0000001 + 0,0000000001 + ··· + (0,001)^(n) ) con n --> infinito
--
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(o o)
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| José Damián Benavent Pla |
| |
| jdben...@terra.es |
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José Santiago Jiménez Castejón
0,99999......=1 Creo que ya lo han respondido pero es una pruba
Gracias
>Francisco Escribano escribi=F3:
>
>> Hola a todos:
>> Repasando un libro de matem=E1ticas especiales del curso de acceso
de l=
>a UNED
>> he visto en la lecci=F3n 1 el procedimiento que se sigue para calcular =
>una
>> fracci=F3n equivalente de un n=FAmero decimal peri=F3dico.
>> Por ejemplo si queremos calcular una fracci=F3n para el n=FAmero
0.3333=
>333...
>> tenemos:
>> x=3D0.333333...
>> 10x=3D3.333333...
>> Luego 10x-x=3D3.333333...-0.333333...
>> 9x=3D3 luego x=3D3/9 es decir 1/3 y esto es correcto, pero
imaginemos =
>que
>> queremos calcular una fracci=F3n para el n=FAmero 0.999999...
seguimos =
>los
>> mismos pasos:
>> x=3D0.999999...
>> 10x=3D9.999999...
>> 10x-x=3D9.999999...-0.999999....
>> 9x=3D9 luego x=3D1 NO COINCIDE
>>
>> Supongamos en este mismo orden de cosas que multiplicamos
0.333333... p=
>or 3,
>> tenemos 0.999999.... pero si multiplicamos 1/3 por 3, tenemos 3/3 que
e=
>s
>> igual a 1 TAMPOCO COINCIDE.
>>
>> S=E9 que estoy metiendo la pata en alg=FAn paso, pero no s=E9
donde.
>
>Resulta que 0,999999 =3D 1.
>
>Hay una formula para obtener la fraccion. Se base en que un n=FAmero
como=
> el
>anterior es la suma infinita de una progresi=F3n geom=E9trica. Por
ejempl=
>o
>
>0,3333=B7=B7=B7 =3D 3 x 0,1111=B7=B7=B7 =3D 3 x ( 0,1 + 0,01 +
0,001 +=
> 0,0001 + =B7=B7=B7 + ( 0,1
>)^n )
>teniendo n hacia infinito.
>
>La expresion general de una suma infinita es:
>
> S =3D A0 / (1-r)
>
>A0 es el primer termino de la suma (en este caso A0 =3D 3 x 1/10)
>r es la raz=F3n (en este caso 1/10)
>
>S =3D (1/10) / ( 1- 1/10 ) =3D 3 x ( (1/10) / ( 9/10 ) ) =3D 3 x 1 / 9
=3D=
> 1 /3
>
>
>Si en lugar de una cifra, se repiten 4 por ejemplo, la raz=F3n ser=EDa di=
>ferente,
>pero se puede aplicar la misma expresion:
>
>0,325325325=B7=B7=B7 =3D 0,325 + 0,000325 + 0,000000325 +
=B7=B7=B7 =3D 0=
>,325 x ( 0,001 +
>0,0000001 + 0,0000000001 + =B7=B7=B7 + (0,001)^(n) ) con n -->
infinito=
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