Triángulo en progresión
Antonio González
aritm�tica. �Cu�l es la proporci�n entre el inradio y el circunradio?
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
Tenemos que si r es el inradio,
a = r + d, b = r + 2d, c = r + 3d
s = (3r + 6d)/2
S = rq(s(s - a)(s - b)(s - c))
r = S/s = rq(3r(r + 4d))/6
r^2 = r(r + 4d)/12
12r^2 = r^2 + 4dr
descartando r = 0,
d = 11r/4
R = abc/4S
R/r = abcs/(4S^2)
Sustituyendo todo lo anterior, nos queda
R/r = 2(r + d)(r + 3d)/(r(r + 4d))
Sustituyendo d = 11r/4, nos queda
R/r = 185/32
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Javier Esquinas
> El inradio y los tres lados de un triángulo se encuentran en progresión
> aritmética. ¿Cuál es la proporción entre el inradio y el circunradio?
>
> --
>
> Antonio
Es posible saber de pasao mucho más de "este" triángulo.Las siguientes
preguntas conducen a otro método de resolución:
Suponiendo que r < a < b < c y que están en progresión aritmética
demostrar que:
(i) senC = 4/5
(ii) b = (26/15)a , c = (17/15)a , r = (4/5)a y deducir que R/r =
185/32.
De hecho es posible determinar también los ángulos A y B con lo cual
el triángulo queda completamente determinado salvo similaridad.
Saludos.
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Javier Esquinas" <jesq...@renfe.es> escribi� en el mensaje
news:64f1cacf-b5b6-4acc...@c3g2000yqd.googlegroups.com...
On 15 nov, 17:48, Antonio Gonz�lez <gonfe...@gmail.com> wrote:
> El inradio y los tres lados de un tri�ngulo se encuentran en progresi�n
>
> --
>
> Antonio
Es posible saber de pasao mucho m�s de "este" tri�ngulo.Las siguientes
preguntas conducen a otro m�todo de resoluci�n:
Suponiendo que r < a < b < c y que est�n en progresi�n aritm�tica
demostrar que:
(i) senC = 4/5
(ii) b = (26/15)a , c = (17/15)a , r = (4/5)a y deducir que R/r =
185/32.
De hecho es posible determinar tambi�n los �ngulos A y B con lo cual
el tri�ngulo queda completamente determinado salvo similaridad.
============================>
[ILC]:
Yo conclu� que d = 11r/4, por lo que
a = (1 + 11/4)r = (15/4)r ===> r = (4/15)a
�No se te habr� escapado un 1, y donde ponnes 4/5 quieres poner 4/15?
Siguiendo,
b = r + 2d = (26/4)r = (26/15)a
c = r + 3d = (37/4)r = (37/15)a
Como R = (185/32)r = (37/24)a
sen(A) = a/(2R) = 12/37
sen(B) = b/(2R) = (1/2)(26/15)(24/37) = 312/555
sen(C) = c/(2R) = (1/2)(37/15)(24/37) = 4/5
De mi respuesta ya se conclui que el triangulo era �nico, salvo similitud,
dada la proporci�n fija entre los lados.
Ignacio
Javier Esquinas
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> "Javier Esquinas" <jesqui...@renfe.es> escribió en el mensajenews:64f1cacf-b5b6-4acc...@c3g2000yqd.googlegroups.com...
> On 15 nov, 17:48, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
>
> > El inradio y los tres lados de un triángulo se encuentran en progresión
>
> > --
>
> > Antonio
>
> Es posible saber de pasao mucho más de "este" triángulo.Las siguientes
> preguntas conducen a otro método de resolución:
>
> Suponiendo que r < a < b < c y que están en progresión aritmética
> demostrar que:
>
> (i) senC = 4/5
>
> (ii) b = (26/15)a , c = (17/15)a , r = (4/5)a y deducir que R/r =
> 185/32.
>
> el triángulo queda completamente determinado salvo similaridad.
>
> ============================>
> [ILC]:
>
> Yo concluí que d = 11r/4, por lo que
>
> a = (1 + 11/4)r = (15/4)r ===> r = (4/15)a
>
>
Sí,desde luego,se me ha escapado el 1 del 15.
Yo lo que ocurre es que lo hice al revés,lo primero que establecí es
que tg(C/2) = 2 y de ahí tiré del hilo.
Por cierto,demostrar sin utilizar otros resultados del problema que tg
(C/2) = 2. :-)
Saludos.