pentagono regular inscrito
Ganimedes
Agradecería la resolución al siguiente problema:
'consideremos un pentágono regular. Al trazar las diagonales se forma en
su interior un nuevo pentágono regular. ¿Qué relación existen entre las
áreas de los dos pentágonos?'.
Gracias por anticipado.
Ignacio Larrosa Cañestro
"Ganimedes" <adob...@hotmail.com> escribió en el mensaje
news:3CDEABD6...@hotmail.com...
Llamemos D al lado del pentágono exterior y d al del interior.
La figura que se obtiene al retirar el pentágono interior puede
descomponerse en 5 triángulos T1, isósceles e iguales, cuyos lados
iguales (y mayores) son iguales a D, y el lado desigual vamos a llamarle
x.
Estos triángulos quedan divididos por las otras diagonales en dos
triángulos isósceles:
El menor, T2, semejante al anterior, con lados mayores x y lado menor d.
Son semejantes porque las diagonales determinan entre si y con los lados
en cada vértice tres ángulos iguales, pues abarcan el mismo arco de la
circunferencia circunscrita: el que tiene por cuerda el lado D del
pentágono exterior.
El mayor, T3, con lados menores iguales a x y lado mayor igual a D.
Entonces, se tiene que x = D - d.
De la semejanza entre T1 y T2, tenemos
D/x = x/d ===> Dd = x^2 = (D - d)^2
Dividiendo por D^2,
d/D = (1 - d/D)^2
Y llamando r = d/D,
r = (1 - r)^2 = 1 - 2r + r^2 ===>
r^2 - 3r + 1 = 0 ===> r = (3 +/- rq(5))/2
Como es r < 1, tomamos el signo negativo, y
r = d/D = (3 - rq(5))/2
El cociente entre las áreas será entonces r^2,
(3 - rq(5))^2/4 = (9 + 5 - 6rq(5))/4 = (7 - 3rq(5))/2 ~= 0.1458980337...
o de forma aproximada, una séptima parte.
La razón entre cualquier segmento de la figura, el pentagrama de los
pitagóricos, con el siguiente en tamaño es 1/fi, siendo fi = (1 +
rq(5))/2 ~= 1.618033988... la conocida razón áurea.
Entonces d/D = 1/fi^2 y la razón de las áreas es 1/fi^4.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ignacio...@eresmas.net
ICQ #94732648
Antonio Gonzalez
Por semejanza, la relación entre las áreas es igual
a la relación entre los lados, elevada al cuadrado.
Calcularemos d/D y luego hallaremos su cuadrado.
Sea un pentágono regular de lado D. En su interior
trazamos un pentagrama (estrella de cinco puntas).
Esta estrella está formada por cinco triángulos
isósceles y el pentágono pequeño.
La idea es calcular la longitud del lado pequeño
de uno de los triángulos, que coincide con el
lado del cuadrado.
Para ello, previamente calcularemos uno de los lados
grandes y luego aplicaremos trigonometría.
El vértice del triángulo divide el vértice del
pentágono original en tres partes. ¿Cuál es el ángulo
de cada una?
Los lados de un pentágono forman un ángulo
(triangulando) de
a = (180º*3)/5 = 108º
A su vez, el ángulo que el lado pequeño del triángulo
forma con uno de los mayores es el suplementario
de este, igual a
b = 180-a = 72º
Hay dos ángulos como este, por lo que el ángulo restante,
del vértice más agudo es
c = 180-2*b = 36º
Los otros dos ángulos que forman el vértice del pentágono
son iguales y valen
e = 108º-2*c = 36º = c
Así pues, el vértice del pentágono se divide en tres partes
iguales.
Para hallar ahora el lado mayor del triángulo isósceles,
estudiamos el triángulo que forma con la mitad del lado del
pentágono mayor. Tenemos
cos(e) = (D/2)/h
de donde la longitud del lado mayor es
h = D/(2cos(36º))
Ahora consideramos la mitad del triángulo isósceles. La mitad
del lado pequeño y el lado h se relacionan por
(d/2) / h = sen(c/2)
de donde
d = 2h sen(18) = D sen(18)/cos(36)
La relación entre los lados es entonces
(d/D) = sen(18)/cos(36)
y entre las áreas
(s/S) = (sen(18)/cos(36))^2
Operando con trigonometría se llega al resultado que ha dado
Ignacio.
Antonio
Antonio Gonzalez
una generalización.
>
> Por semejanza, la relación entre las áreas es igual
> a la relación entre los lados, elevada al cuadrado.
> Calcularemos d/D y luego hallaremos su cuadrado.
>
> Sea un pentágono regular de lado D. En su interior
> trazamos un pentagrama (estrella de cinco puntas).
> Esta estrella está formada por cinco triángulos
> isósceles y el pentágono pequeño.
>
> La idea es calcular la longitud del lado pequeño
> de uno de los triángulos, que coincide con el
> lado del cuadrado.
Evidentemente aquí debe decir pentágono.
>
> Para ello, previamente calcularemos uno de los lados
> grandes y luego aplicaremos trigonometría.
>
> El vértice del triángulo divide el vértice del
> pentágono original en tres partes. ¿Cuál es el ángulo
> de cada una?
>
> Los lados de un pentágono forman un ángulo
> (triangulando) de
>
> a = (180º*3)/5 = 108º
>
> A su vez, el ángulo que el lado pequeño del triángulo
> forma con uno de los mayores es el suplementario
> de este, igual a
>
> b = 180-a = 72º
>
> Hay dos ángulos como este, por lo que el ángulo restante,
> del vértice más agudo es
>
> c = 180-2*b = 36º
>
> Los otros dos ángulos que forman el vértice del pentágono
> son iguales y valen
>
> e = 108º-2*c = 36º = c
En realidad debe ser
e = (108-c)/2 = 36º = c
como el resultado no cambia, todo lo demás es igual.
Ahora me pregunto, ¿cómo quedan los resultados si en vez
de 5 lados tenemos N? Por ejemplo, para 6 tenemos una
estrella de David, y así sucesivamente,
En este caso
a = (180*(N-2))/N
b = 180- a = 360/N
c = 180-2*360/N = 180*(N-4)/N
e = (180*(N-2)/N- 180*(N-4)/N)/2 = 180/N
El lado del triángulo isósceles verifica
(D/2)/h = cos(e) = cos(180/N)
y el del polígono interior
(d/2)/h = cos(b) = cos(360/N)
Dividiendo resulta
d/D = cos(360/N)/cos(180/N)
Este resultado varía desde 0 (para N=4) hasta 1 (para N->oo)
Una generalización adicional es la siguiente.
A partir de 7 lados (y trivialmente con 6) aparece
un segundo polígono interior uniendo vertices separados
por dos intermedios. A partir de 9, un tercero si los tomamos
con tres intermediosy así sucesivamente ¿Cuál es la relación entre
los lados de estos polígonos y el lado del polígono mayor?
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
> Buenos días. Ignacio necesito resolver este ejercicio de la manera que lo explicas. Pero a partir del paso "Estos triángulos quedan divididos por las otras diagonales en dos triángulos isósceles" no entiendo como los divides. Necesitaría verlo dibujado para saber a lo que te refieres. ¿Podrias ayudarme (tú o quien esté dispuesto a hacerlo) a resolver el ejercicio? Os lo agradecería muchisimo.
>
> Gracias por todo.
>
> Un saludo.
>
Pero no se a que ejercicio te refieres. ¿Puedes enviar el enunciado?
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/